基于多相分解濾波器實現(xiàn)的ZoomFFT算法

1、摘要 本文介紹了一種基于多相分解濾波器實現(xiàn)的Zoom-FFT算法，該算法是在復(fù)調(diào)制Zoom-FFT算法的基礎(chǔ)上，采用多相分解的濾波器代替低通濾波器來實現(xiàn)對局部頻譜細化的算法，并且利用多抽取頻率系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的等效的變換來減少運算量。通過分析表明：這種基于多相分解的局部頻譜細化算法不僅保留了常規(guī)復(fù)調(diào)制的Zoom-FFT算法選帶細化靈活的優(yōu)點，而且還很大程度減少了運算量。本論文首先介紹了常規(guī)復(fù)調(diào)制Zoom-FFT算法，然后在復(fù)調(diào)制的基礎(chǔ)上推導(dǎo)了基于多相分解的Zoom-FFT算法，最后討論了實現(xiàn)方法，并和其他一些Zoom-FFT算法進行了比較，同時給出了仿真結(jié)果。 關(guān)鍵詞： 頻率分辨率 Zoom-F

2、FT 復(fù)調(diào)制 多相分解濾波器 Abstract This paper introduces a polyphase decomposition filter based on the Zoom-FFT algorithm implementation of the algorithm in the complex modulation of Zoom-FFT algorithm based on the polyphase decomposition of the filter instead of using low-pass filter to achieve the fine local

3、 spectrum of the algorithm, and taking advantage of multi-frequency network structure of the equivalent transformation to reduce computation.The analysis shows: The polyphase decomposition of the local spectrum based thinning algorithm not only retains the conventional complex modulation Zoom-FFT al

4、gorithm with a refinement of flexible benefits option, but also significantly reduces the computational complexity.This paper first describes the conventional complex modulation Zoom-FFT algorithm, and then on the basis of the complex modulation derived polyphase decomposition based Zoom-FFT algorit

5、hm, and finally discusses the implementation method, and some other Zoom-FFT algorithm are compared,while the simulation results. Key Words: frequency resolution zoom-FFT complex modulationpolyphase decomposition filter 目 錄第1章 引言1第2章 基于復(fù)調(diào)制的局部頻譜細化算法32.1 復(fù)調(diào)制zoom-FFT算法實現(xiàn)過程概述及原理圖32.2 復(fù)調(diào)制頻移32.3 低通數(shù)字濾波42.

6、3.1 數(shù)字濾波器的設(shè)計42.3.2 低通數(shù)字濾波62.4 抽取72.5 復(fù)FFT調(diào)制72.6 頻率調(diào)整82.7 基于復(fù)調(diào)制的局部頻譜細化算法綜述8第3章 基于多相分解的局部頻譜細化算法93.1 多相分解的提出93.2 多相分解濾波器的推導(dǎo)93.3.1 一個定理113.3.2 定理在FFT整序中的應(yīng)用113.3.3 整序流程圖133.4 基于多相分解濾波器zoom-FFT算法實現(xiàn)原理圖及改進方案14第4章 基于多相分解的局部頻譜細化算法的評估16第5章 基于多相分解的zoom-FFT 算法在MATLAB下的仿真185.1基于復(fù)調(diào)制的zoom-FFT算法在MATLAB下的仿真195.2基于多相分

7、解的zoom-FFT算法在MATLAB下的仿真245.3 基于多相分解的zoom-FFT算法在不同細化倍數(shù)時的結(jié)果285.4 結(jié)論29結(jié)束語31參考文獻32致謝33外文資料原文34外文資料譯文45第1章 引言在對工程信號的分析中，研究信號的幅值、相位、能量、功率等特征隨頻率變化的規(guī)律，也就是我們最常用的頻譜分析法。快速傅里葉變換（FFT）算法是實現(xiàn)離散傅里葉變換（DFT）的一種高效算法，可以快速實現(xiàn)時域到頻域的變換。在數(shù)字化系統(tǒng)的頻譜分析中最重要的和最基礎(chǔ)的信號處理，研究和提高FFT算法技術(shù)有廣泛的使用性和應(yīng)用價值性。常規(guī)的頻譜分析是直接采用FFT算法，但是我們往往會碰到比較密集的譜線，而且我

8、們一般只關(guān)心一個很窄的頻段附近的信號，這就要求有較高的頻率分辨率。頻率分辨率表示兩個頻率分量的最小間隔，用表示：=/N，同時N點FFT的乘法運算量為。要提高分辨率，有兩種方法：（1）降低采樣頻率，這樣會使頻率分析范圍縮小，就不能很好地反映出真實信號的特性；（2）增加采樣的點數(shù)，這樣會使得計算機的儲存量和計算量成指數(shù)增加，同時由于實際軟件、硬件的限制，這樣做并不現(xiàn)實。因此以上2種方法提高頻率分辨率的能力有限而且靈活性差。為了解決只對一個窄頻帶的范圍進行細致觀測和要求高分辨率的問題，提出了一種集高的頻率分辨率和快速性于一體的先進性的FFT分析技術(shù)是局部頻率細化技術(shù)（又稱為zoom技術(shù)），其基本思想

9、是對信號頻譜中的某一頻段局部放大，也即是在某一頻率附近局部增加譜線密度，實現(xiàn)可選擇的頻段分析。70年代以來，已經(jīng)提出并采用了多種高分辨率FFT算法，具有代表性的算法是：Chirp-z變換法、Yip級聯(lián)zoom-FFT法、復(fù)調(diào)制zoom-FFT法、相位補償法zoom-FFT法等。Chirp-z變換是Lawrence Rabiner在1975年對語音信號進行分析時提出來的，它可以將z平面的單位圓變成一個螺旋線逐漸地從單位原點到單位圓內(nèi)。信號譜分析可以在z平面上的螺旋線上實現(xiàn)，可以開始于任意一點，結(jié)束于另一任意點; 相位補償法的基本原理: 它是基于N為組合數(shù)的快速傅氏變換算法的.為提高頻率分辨率,應(yīng)

10、延長信號記錄時間T,若以D為細化因子,則記錄信號時間為DT,相應(yīng)的采樣數(shù)據(jù)為DN.把這個DN輸入序列分解成D個子序列,每個子序列由N個采樣組成,并且由相距D個取樣間隔的那些取樣結(jié)合在一起 ;復(fù)調(diào)制zoom-FFT法基本原理是對離散數(shù)字信號先做復(fù)調(diào)制，通過低通濾波后對信號進行重采樣提高頻率分辨率。上述算法各有長處和不足，其中復(fù)調(diào)制zoom-FFT法能夠?qū)θ我饨o定頻率附近的頻譜進行細化，且實現(xiàn)方法簡單，在工程中得到廣泛應(yīng)用，同時也是目前使用最為廣泛的局部頻譜細化算法，但是，濾波器的階數(shù)多精度的影響比較大，在高精度要求下復(fù)調(diào)制zoom-FFT算法中需要對信號高性能的低通濾波器，花費了絕大多數(shù)運算量。

11、為此，我們采用多相濾波器方法來實現(xiàn)高性能的低通濾波器，并且利用多抽取系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)等效變換來減少運算量。分析表明：這種基于多相分解濾波器實現(xiàn)的復(fù)調(diào)制zoom-FFT算法不但保留了復(fù)調(diào)制zoom-FFT算法選帶靈活的特點，而且大大減少了運算量，其運算量僅約為原來的復(fù)調(diào)制zoom-FFT的算法的，是細化的倍數(shù)?；诙嘞喾纸獾木植款l譜細化算法核心問題是將復(fù)調(diào)制zoom-FFT算法中的低通濾波器使用多相分解的形式來完成對復(fù)調(diào)制以后的信號進行濾波；重點是對基于多相分解的局部頻譜細化算法的推導(dǎo)過程清楚掌握，并且在matlab上完成仿真。本文首先推導(dǎo)了基于多相分解濾波器的zoom-FFT算法，然后討論該算法的

12、實現(xiàn)方法，并與一些常用的zoom-FFT算法進行比較，最后給出仿真結(jié)果。第2章 基于復(fù)調(diào)制的局部頻譜細化算法2.1 復(fù)調(diào)制zoom-FFT算法實現(xiàn)過程概述及原理圖 復(fù)調(diào)制細化頻譜分析方法采用：頻移（復(fù)調(diào)制）低通數(shù)字濾波重采樣FFT及譜分析頻率調(diào)整這個過程。 設(shè)模擬信號為x(t)，經(jīng)過濾波和A/D轉(zhuǎn)換以后，得到離散數(shù)字信號x(n),為采樣頻率。為需要細化的頻帶的中心頻率，為細化倍數(shù)，N為FFT分析點數(shù)。具體實現(xiàn)原理圖如圖2-1所示. 圖2-1 基于復(fù)調(diào)制zoom-FFT的原理圖2.2 復(fù)調(diào)制頻移所謂復(fù)調(diào)制頻移就是將頻域坐標(biāo)向左右移動，使得被觀測頻段的起點位置在零頻位置。模擬信號經(jīng)過抗混疊濾波和A

13、/D轉(zhuǎn)換以后，得到采樣后的離散數(shù)字信號，其離散傅里葉變換為： （2.1）N點輸入數(shù)據(jù)直接進行離散傅里葉變換可以得到N根譜線，其中。如果只對其中指定的一組頻率譜線研究細化，就是zoom-FFT算法。對離散信號乘上，完成復(fù)調(diào)制。復(fù)調(diào)制信號為： （2.2）其中。要使得更加具有普遍性，可以假設(shè)為一個整數(shù)。復(fù)調(diào)制信號經(jīng)過離散傅里葉變換得到頻譜為： (2.3)由計算得到=可以表明，復(fù)調(diào)制使得的頻率成分移到了零頻點，也就是說的第條譜線移到了零點頻譜的地方。由復(fù)調(diào)制頻移過程分析可以知道中心頻率是由我們自己決定的，可以根據(jù)自己的意愿選擇中心頻率，因此復(fù)調(diào)制具有選帶靈活的特點。為了得到細化頻譜，我們必須對復(fù)調(diào)制后

14、的頻譜進行抽群。如果直接抽取的話，那么頻譜會發(fā)生頻率混疊生，因此在抽取之前必須對信號進行低通濾波，濾出我們所希望的頻段，再對信號抽取。2.3 低通數(shù)字濾波2.3.1 數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器采用FIR數(shù)字濾波器。有限長單位沖激響應(yīng)（FIR）數(shù)字濾波器在保證幅度特性滿足技術(shù)要求的同時，很容易做成嚴(yán)格的線性相位特性；FIR單位抽樣響應(yīng)是有限長的，因而濾波器一定是穩(wěn)定的；而且只要經(jīng)過一定的延時，任何非因果有限長的序列都可以變成因果的有限長序列，因而總能夠用因果系統(tǒng)來實現(xiàn)；最后，F(xiàn)IR單位濾波器由于單位沖擊響應(yīng)是有限長的，可以用快速傅里葉變換（FFT）算法來實現(xiàn)，從而可以大大提高運算效率。FIR濾波

15、器的設(shè)計任務(wù)是選擇有限長的單位沖激響應(yīng)，使得傳輸函數(shù)滿足技術(shù)要求。我們最常用的FIR濾波器的設(shè)計方法是窗函數(shù)法。窗函數(shù)設(shè)計法也稱為傅里葉級數(shù)法，同時窗函數(shù)設(shè)計法也是FIR數(shù)字濾波器設(shè)計中最簡單的方法。FIR濾波器的設(shè)計問題，就是要使得設(shè)計的FIR濾波器的頻率響應(yīng)去逼近所要求的理想的濾波器頻率響應(yīng)。從單位取樣響應(yīng)序列來看，就是使得設(shè)計的濾波器的逼近理想的濾波器單位取樣響應(yīng)。由于理想的選頻濾波器的頻率響應(yīng)是逐段恒定的，且在頻帶邊界有不連續(xù)的點，因此一定是無限長的序列，且是非因果的，故不能采用 來設(shè)計所要求的FIR濾波器。實際上要設(shè)計FIR濾波器，其必然是有限長的，且因果可以實現(xiàn)的，所以要用有限長的

16、來逼近無限長的，最有效的方法是截斷，或者說用一個有限長的窗函數(shù)序列來截斷，即 (2.4)因此窗函數(shù)序列的形狀及長度的選擇就非常關(guān)鍵。在窗函數(shù)法設(shè)計中正確選擇窗函數(shù)可以提高設(shè)計的數(shù)字濾波器的性能，或者在滿足設(shè)計要求的情況下，減少FIR數(shù)字濾波器的階數(shù)。常用的窗函數(shù)有以下幾種：矩形窗(Rectangular window)、三角窗(Triangular window)、漢寧窗(Hanning window)、海明窗(Hamming window)、布拉克曼窗(Blackman window)、切比雪夫窗(Chebyshev window)、巴特里特窗(Bartlett window)及凱塞窗(Ka

17、iser window)。各種窗函數(shù)性能比較如表2-1所示：窗 函 數(shù)第一旁瓣相對于主瓣衰減/dB主 瓣 寬阻帶最小衰減/dB矩形窗134/N21三角窗258/N25漢寧窗318/N44海明窗418/N53布拉克曼窗57274凱塞窗可調(diào)可調(diào)可調(diào)切比雪夫窗可調(diào)可調(diào)可調(diào) 表2-1 不同窗函數(shù)的性能比較在窗函數(shù)設(shè)計中我們使用最多的是海明窗。海明窗又稱為改進的升余弦窗。對升余弦窗加以改進，可以得到龐瓣更小的效果，窗函數(shù)為： (2.5)其頻率響應(yīng)的幅度函數(shù)為 (2.6)其結(jié)果可將99.963%的能量集中在窗譜的主瓣內(nèi)，與漢寧窗相比，主瓣寬度同為，但是旁瓣幅度更加小，旁瓣峰值小于主瓣峰值的1%。 使用定量

18、海明窗設(shè)計FIR低通濾波器的實例如圖2-2所示： 圖2-2 FIR數(shù)字低通濾波器設(shè)計綜上所述我們可以總結(jié)出用窗函數(shù)法設(shè)計FIR濾波器的主要步驟：（1） 給出希望設(shè)計的濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)；（2） 根據(jù)允許的過渡帶寬度及阻帶衰減，初步選定窗函數(shù)及其長度N；（3） 根據(jù)技術(shù)要求確定待求濾波器的單位取樣響應(yīng)， (2.7) （4）將與窗函數(shù)相乘得到FIR數(shù)字濾波器的單位取樣響應(yīng)， (2.8) （5）按照如下方法計算FIR數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)，并驗證是否達到所要求的技術(shù)指標(biāo)： (2.9)2.3.2 低通數(shù)字濾波 要保證重新采樣后的信號不發(fā)生頻譜混疊，就必須進行抗混疊濾波，低通數(shù)字濾波的主要目的是濾除我們

19、不感興趣的頻段，濾出所需要分析的頻段信號分析，因此我們必須給濾波器給定限制條件，設(shè)頻譜細化的倍數(shù)為，則低通數(shù)字濾波器的截止頻率為。如果數(shù)字低通濾波器傳輸函數(shù)，此時濾波器的輸出為： (2.10)通過離散傅里葉變換的逆變換得到此時的時域信號序列為： (2.11)考慮到的周期性，上式可以改寫成： (2.12)2.4 抽取信號被頻移和低通濾波后，分析信號頻帶變窄，可以對信號進行抽取。抽取最關(guān)鍵的問題是要避免頻譜發(fā)生混疊。由于的頻譜限制在以內(nèi)，可以進行重采樣而不造成混疊，抽取的最大比為。記 ，新的采樣率，即對原來的采樣點每隔D點再抽取一次（采樣的時間間隔為D），經(jīng)過抽取后得到序列。對應(yīng)N點序列，序列為點

20、，且滿足： (2.13)2.5 復(fù)FFT調(diào)制 下面分析序列的頻譜與輸入序列的頻譜關(guān)系。 (2.14)利用和（是數(shù)字Dirac函數(shù)），由上式可得： (2.15) 即： 當(dāng)。由上式可以看出序列的點的DFT實際上就是序列N點的DFT在附近的局部細化值。由于我們與觀察分析的頻段是中心頻率附近的頻段，根據(jù)分析我們就是要分析序列的點DFT得到的條譜線。重采樣后的點離散序列做DFT得到條譜線，其分辨率:，其分辨率提高了倍。2.6 頻率調(diào)整通過FFT變換以后所得到的頻譜位于零頻附近，我們關(guān)心的是中心頻率附近的頻譜，因此我們需要通過頻移將頻譜移動到中心頻率附近以便更加好分析。由復(fù)調(diào)制的過程我們知道復(fù)調(diào)制后將原始

21、頻譜頻移到了零頻附近，因此，我們可以使用同樣的方法多重采樣的信號做頻移，使我們欲觀察的頻段位于中心頻率附近。將上述譜線移動到實際頻率處即得到細化后的頻段，則有： (2.16)2.7 基于復(fù)調(diào)制的局部頻譜細化算法綜述由以上的五個步驟分析可知，經(jīng)過分析所得到的結(jié)果，完全反應(yīng)出原來數(shù)字序列在某一頻率范圍內(nèi)頻譜特性。與相同點數(shù)的直接FFT相比，這一細化方法所獲得的分辨率要高倍。因為直接FFT分析時，頻率分辨率，重采樣后的分辨率為，因此又被稱為細化倍數(shù)。第3章 基于多相分解的局部頻譜細化算法3.1 多相分解的提出 基于多相分解的局部頻譜細化算法是在復(fù)調(diào)制局部頻譜細化算法的基礎(chǔ)上對其進行改進得出的。由圖2

22、-1可以推導(dǎo)出復(fù)調(diào)制zoom-FFT算法的運算量，復(fù)乘次數(shù)為：，其中r為低通數(shù)字濾波器的階數(shù)。在要求高精度的條件下，濾波器的階數(shù)r不能太小，因此運算量就很大。同時，從圖1可以發(fā)現(xiàn)，低通濾波器的輸出經(jīng)過了變采樣的操作，因此，我們可以利用多抽取率系統(tǒng)中的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的等效變換原理來減少運算量。為了實現(xiàn)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的變換，低通濾波器需要進行多相分解。 3.2 多相分解濾波器的推導(dǎo)一種讓人感興趣的FIR濾波器的實現(xiàn)是基于傳輸函數(shù)的多相分解所得到得并聯(lián)結(jié)構(gòu)。我們考慮一個長度為9的因果FIR傳輸函數(shù)： (3.1) 上面的式子可以表示成兩項之和，一部分包含了所有的偶系數(shù)項，另一部分包含了所有的奇系數(shù)項，如下所示：

23、(3.2) 使用記號 (3.3) 我們可以把重新寫為： (3.4) 我們用類似的方法可以將寫為： 其中： (3.5) 對的以上分解就是通常所說的多相分解。在一般的情況下，如果濾波器的階數(shù)為N，分解成L條支路的多相分解的具體形式為： (3.6) 其中， 當(dāng)時，。的基于式 的分解實現(xiàn)稱為多相實現(xiàn)。 多相分解濾波器實現(xiàn)框圖如圖3-1所示： . . . 圖3-1 多相分解濾波器實現(xiàn)框圖 在FIR傳輸函數(shù)的多相實現(xiàn)中，各個子濾波器也是一個FIR濾波器，可以使用同原來一樣的方法實現(xiàn)。然而，為了得到整個結(jié)構(gòu)的規(guī)范實現(xiàn)，所有的濾波器必須共用延時器。圖3說明了通過共用延時器得到長度為N的FIR傳輸函數(shù)的規(guī)范型多

24、相實現(xiàn)。 3.3 整序 3.3.1 一個定理定理：個逆序數(shù)順次排列，以中心為對稱的任意對數(shù)的和都等于證明：由二進制表示方法可知，個逆序數(shù)順次排列時，第一個逆序數(shù)是位全0的數(shù)，最后一個逆序數(shù)是位全是1的數(shù)，即可以寫為： 00.00,10.00,.,11.10,|,00.01,.,01.11,11.11 其中的|表示中心。顯然，00.00+11.11=0+=。其它以中心為對稱的任意對數(shù)的和為。這是因為二進制位全0的數(shù)加一個數(shù)沒有進位現(xiàn)象，全1的數(shù)減一個數(shù)沒有借位現(xiàn)象。其中 為逆序數(shù)。證畢。對于個順序數(shù)順次排列而言，此定理是平凡的。3.3.2 定理在FFT整序中的應(yīng)用我們知道實現(xiàn)FFT運算的核心是蝶

25、形運算。在按原位計算時，蝶形圖的輸出正好是自然序列但是輸入?yún)s不是自然序列，而是表面上是雜亂無序的，實際是有規(guī)律的，即倒序的排列方法。倒序的形成原因是FFT不斷對序列進行奇偶分組造成的，重新排列了序列的存放順序，因為它是按碼位倒置順序排列的。例如，的數(shù)可以表示成三位二進制數(shù)，時域按奇偶分組的過程如圖3 所示。第一次分組，按照的0和1按照奇偶分成兩組，相當(dāng)于偶序列，相當(dāng)于奇序列。第二次分組按照的0和1分成奇偶兩組，依次類推形成圖3-2 的樹狀結(jié)構(gòu)。事實上，只要把二進制碼位倒置就可以得對應(yīng)的二進制倒序。如十進制1（二進制001），其倒序為4（二進制100）。在實際運算中，不可能開始就把輸入序列按照倒

26、序排列存放，而往往是按照自然順序存放，然后采用變址運算來實現(xiàn)倒序。 0 000 0 1 0 100 4 0 0 010 2 1 1 110 6 0 001 1 1 0 101 5 0 1 011 3 1 1 111 7 圖3-2 倒序形成的樹狀結(jié)構(gòu) 已知序列,n為順序數(shù)。要重排列為序列， 滿足,m為逆序數(shù)。顯然，當(dāng)時，序列中的一些元素要發(fā)生交換，才能得到新的序列。為了是問題理解簡化，令，如果,則有這樣就由對求逆序列數(shù)，轉(zhuǎn)化為由 求逆序數(shù) 。即按逆序數(shù)方式重排下面的序列。 0,1,2,3,4,5,6,7,|8,9,10,11,12,13,14,15 整序結(jié)果為 0,5,4,12,2,10，6，1

27、4 | 1,9,5,13,3,11,7,15 對一般情況而言，應(yīng)是重排下面的序列 我們把中心之前的部分稱為前部，把中心以后的部分稱為后部。如果依次由0到對上式求逆序數(shù)是有浪費的，只要對前部求逆序數(shù)即可，理由如下：（1） 由前部的順序數(shù)計算出的逆序數(shù)大于順序數(shù)，且逆序數(shù)大于時，將發(fā)生前部的數(shù)和后部的數(shù)交換，其實就是 前部的奇數(shù)與后部的偶數(shù)交換，只要前部的數(shù)循環(huán)求一遍逆序數(shù)，就能夠保證前部的所有奇數(shù)與后部的所有偶數(shù)交換完成。（2） 由前部的順序數(shù)計算出的逆序數(shù)等于順序數(shù)時，此時保持不動，無交換發(fā)生。亦即前部的這個偶數(shù)處于的位置正是它的逆序數(shù)處于的位置。按照定理后部中與此數(shù)中心對稱的那個奇數(shù)也保持不

28、動。（3） 有前部的順序數(shù)計算出的逆序數(shù)大于順序數(shù)、且逆序數(shù)小于時，將發(fā)生前部的數(shù)與前部的數(shù)交換，其實就是前部的兩個偶數(shù)之間的交換。按照定理，后部中與這兩個偶數(shù)中心對稱的那兩個奇數(shù)也必須得交換。只有在這種情況下，文中提出的定理起作用。 （4） 由前部的順序數(shù)計算出的逆序數(shù)小于順序數(shù)時，無交換發(fā)生，以防重復(fù)交換。與文中的定理無關(guān)。3.3.3 整序流程圖整序的流程圖如圖3-3所示： 圖3-3 整序流程圖 3.4 基于多相分解濾波器zoom-FFT算法實現(xiàn)原理圖及改進方案 基于多相分解濾波器的復(fù)調(diào)制zoom-FFT算法的實現(xiàn)可以用圖5的框圖來實現(xiàn)。 整序 . . . 輸出細化譜線 圖3-4 基于多相

29、分解濾波器實現(xiàn)zoom-FFT算法 利用多抽樣率系統(tǒng)中網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的等效性變換原理，可以就圖6所示的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)變換成圖3-4所示的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，這種變換對系統(tǒng)特性未作任何改變，卻大大減少了運算量。因為圖3-4中濾波器是對高速的數(shù)據(jù)流進行處理，處理的結(jié)果只有1/的數(shù)據(jù)被使用，而圖3-5中濾波器是在變速后進行處理，數(shù)據(jù)流只有輸入數(shù)據(jù)流的1/了。根據(jù)3-5我們不難算出基于多相分解濾波器實現(xiàn)的zoom-FFT算法的運算量。復(fù)數(shù)乘法次數(shù)為：。與復(fù)調(diào)制zoom-FFT算法相比較，其主要運算 數(shù)據(jù)濾波操作的運算量減少到原來的1/。 整 序 . . . 輸出細化譜線 圖3-5 基于多相分解濾波器實現(xiàn)zoom-FFT算法

30、第4章 基于多相分解的局部頻譜細化算法的評估 基于多相分解的濾波器實現(xiàn)的zoom-FFT算法是在基于復(fù)調(diào)制的zoom-FFT算法的基礎(chǔ)上對其的改進得到的，同時目前還有其他局部頻譜細化算法。對基于多相分解濾波器的zoom-FFT算法的性能的評估主要是看其運算量。通過對幾種常用的zoom-FFT算法的運算量的比較來評價其性能。Zoom-FFT算法的運算量主要是在運算的復(fù)乘次數(shù)，因此我們對算法的復(fù)乘次數(shù)來代替運算量。首先我們來分析直接進行FFT變換和N點zoom-FFT算法的運算量。設(shè)直接FFT點數(shù)N=,細化的倍數(shù)，低通濾波器的階數(shù)為M，只考慮三角運算和復(fù)乘法運算，則運算量見表4-1： 算法 三角函

31、數(shù) 移頻計算 濾波計算 FFT計算量 計算量 量 量 N點FFT 0 0 N點 zoom-FF 示例 N=1024 =128 M=500 N點FFT 0 0 N點 zoom-FFT 2048 5420 表4-1 直接進行FFT和zoom-FFT算法計算量的比較 從表4-1的定量計算結(jié)果我們可以看出，zoom-FFT算法與直接FFT變換相比，zoom-FFT算法雖然增加了移頻和濾波器計算，但是三角函數(shù)計算量要比直接FFT變換的運算量要小得多，使之最后總的運算量zoom-FFT算法的運算量要比直接作FFT變換的運算量小得多。因此可以看出zoom-FFT算法的有效性和高實用性。 接下來我們分析幾種常

32、用zoom-FFT算法的運算量，zoom-FFT算法的運算量主要是取決于算法的復(fù)生次數(shù)。下面所示的是幾種zoom-FFT算法統(tǒng)計復(fù)乘次數(shù)：多相分解的濾波的zoom-FFT算法： 復(fù)調(diào)制zoom-FFT算法： Yip級聯(lián)zoom-FFT算法（未修正）： 相位補償zoom-FFT算法： 其中r表示的是濾波器的階數(shù)，表示細化倍數(shù)，表示輸出細化譜線數(shù)。 從上面各種zoom-FFT算法的統(tǒng)計復(fù)乘次數(shù)計算公式可以容易看出，隨著細化的倍數(shù)的不同，各算法的運算量差異很大。如果濾波器的階數(shù)r=100，輸出的局部細化譜線數(shù)=64，細化的倍數(shù)為分別取1、16、32、64，可以計算出此時的運算量如表4-2所示： Zo

33、om-FFT 算法 =1 =16 =32 =64 多相分解濾波器 6656 7616 8640 10688 復(fù)調(diào)制zoom-FFT 6656 Yip級聯(lián)（未修正） 67 2096 5216 12480 相位補償 67 4096 8192 16384 表4-2 多相分解濾波的zoom-FFT算法與其他常用zoom-FFT算法運算量的定量比較從表4-2的定量計算結(jié)果分析可以看出，在高精度要求下直接使用復(fù)調(diào)制局部頻譜細化算法是不行，因為在高精度要求時，濾波器的階數(shù)就會很大，使得算法的運算量非常的大，但是在基于多相分解濾波的復(fù)調(diào)制zoom-FFT算法能夠大大減少復(fù)調(diào)制zoom-FFT算法的運算量，并且

34、隨著細化的倍數(shù)的增加，減少的運算量越大。當(dāng)細化的倍數(shù)達到了32時，基于多相分解濾波的zoom-FFT算法運算量比相位補償zoom-FFT算法，未修正的Yip級聯(lián)zoom-FFT算法等的運算量都要低?；诙嘞喾纸鉃V波的zoom-FFT算法不僅大大減少了運算量，而且保留了復(fù)調(diào)制zoom-FFT算法選帶細化的靈活性，特別是在高精度要求下，復(fù)調(diào)制zoom-FFT算法有效性較差，再增加窄帶信號情況時基于多相分解的局部頻譜細化算法在工程中有有特別的工程意義。 第5章 基于多相分解的zoom-FFT 算法在MATLAB下的仿真 設(shè)有模擬信號： 采樣頻率=2014HZ，采樣的點數(shù)N=1024,。我們分別采樣直

35、接FFT和基于多相分解的局部頻譜細化算法來分析信號。 在基于多相分解的局部頻譜細化算法是在復(fù)調(diào)制基礎(chǔ)上改進得到的，因此也稱為基于多相分解濾波的復(fù)調(diào)制局部頻譜細化算法。在基于多相分解濾波的局部頻譜細化算法中，選擇細化的帶寬分別設(shè)為64HZ（細化的倍數(shù)為=16），32HZ（細化的倍數(shù)為=32）,16HZ（細化的倍數(shù)為=64）。中心頻率選為=508HZ。所以，我們可以得到復(fù)調(diào)制信號： 低通濾波器我們采用FIR數(shù)字低通濾波器，設(shè)低通濾波器的階數(shù)為r。由于理想低通濾波器的傳輸函數(shù)為： 通過離散傅里葉變換逆變換可以求出理想沖激函數(shù)為： 由于理想低通濾波器實際上是不存在的，我們使用窗函數(shù)法設(shè)計濾波器。如果使

36、用海明窗設(shè)計且濾波器的階數(shù)設(shè)為96，那么窗函數(shù)是： 由此可以得到實際的FIR數(shù)字低通濾波器的沖激函數(shù)為： 5.1基于復(fù)調(diào)制的zoom-FFT算法在MATLAB下的仿真 （1）仿真代碼 clear allfs=2048; %設(shè)定采樣頻率N=1024; %設(shè)定采樣點數(shù)n=0:1:N-1;syms tx=cos(2*pi*488*t)+cos(2*pi*t*500)+3*cos(2*pi*t*508) +cos(2*pi*t*511)+cos(2*pi*t*522)+5*cos(2*pi*t*553); %輸入模擬信號 M=1024;y=subs(x,t,n/fs); %采樣信號fc=508;fig

37、ure(1);z=fft(y,M);k=0:M-1;plot(k*fs/M,abs(z);z1=y.*exp(-1*2*pi*n*fc*1i/fs); %復(fù)調(diào)制輸出信號z2=fft(z1,M);figure(2);k=0:M-1;plot(k*fs/M,abs(z2);N2=16;wc=1/(2*N2);m=0:1:63;hn=sin(2*pi*wc*(m-32)./(m-32)*pi); hn(33)=1/N2; %理想低通濾波器的沖激序列wn=hamming(64);h=hn.*wn; %基于海明窗的數(shù)字濾波器z3=filter(h,1,z1); %低通數(shù)字濾波器輸出信號z4=fft(z3

38、,M);figure(3);k=0:M-1;plot(k*fs/M,abs(z4);z5=z3(1:N2:N); %抽取后的信號z8=fft(z5,N/N2); %細化后的頻譜figure(4);k=0:N/N2-1;plot(abs(z8);m=0:1:N/N2-1;z6=z5.*exp(2*pi*m*fc*1i/fs); z7=fft(z6,N/N2); %頻率調(diào)整后的頻譜figure(5); k=0:1:N/N2-1;plot(476+fs*k/N,abs(z7); (2) 仿真輸出波形 圖5-1 直接FFT輸出頻譜 圖5-2 復(fù)調(diào)制頻移后的頻譜 圖5-3 低通濾波后的信號頻譜 圖5-4

39、 抽取后的信號頻譜 圖5-5 采樣信號細化后頻譜從圖5-1所示我們可以看出信號的頻譜圖中幾個譜峰完全疊加在一起形成了一個譜峰，由于各個頻率成分間隔較小，即頻譜分辨率較低，幅值也也有很大的誤差，各頻率成分不可分辨。圖5-2是頻移后的信號頻譜，中心頻率附近的譜線平移到了零頻附近。圖5-3所示通過低通濾波后信號頻帶變窄，剛好濾出我們需要分析的頻段。圖5-5是細化后的頻譜，通過圖可以清晰看出中心頻率附近的頻譜，很明顯各頻率成分和圖5-1所示的中心頻率附近的頻譜完全一樣，只是頻率分辨率提高了，譜線圖清晰了。5.2基于多相分解的zoom-FFT算法在MATLAB下的仿真 （1）仿真代碼：clear all

40、fs=2048; %設(shè)定采樣頻率N=1024;n=0:1:N-1;syms tx=cos(2*pi*488*t)+cos(2*pi*t*500)+3*cos(2*pi*t*508)+cos(2*pi*t*511)+cos(2*pi*t*522)+5*cos(2*pi*t*553); %輸入模擬信號M=1024;y=subs(x,t,n/fs); %采樣輸出信號fc=508 ;figure(1); z=fft(y,M); %原始信號直接FFT變換k=0:M-1;plot(k*fs/M,abs(z);z1=y.*exp(-2*pi*n*fc*1i/fs); %復(fù)調(diào)制輸出信號z2=fft(z1,M)

41、;N2=16; %輸入細化倍數(shù) wc=1/(2*N2);m=0:1:95;hn=sin(2*pi*wc*(m-48)./(m-48)*pi);hn(49)=1/N2;wn=hamming(96);h=hn.*wn;z4=zeros(N/N2,1);for m=1:1:N2 hp=; z3=z1(1:N2:N); k=m; while length(hp)length(h) hp=hp(1:length(h); end z4=z4+filter(hp,1,z3); z1=0,z1;end %多相分解濾波器及通過濾波器輸出信號z6=fft(z4,N/N2); %多相分解濾波器濾出的信號的頻譜fig

42、ure(2);plot(abs(z6);figure(3);m=0:1:N/N2-1;z5=z4.*exp(2*pi*m*fc*1i/fs); z7=fft(z5,N/N2); %頻率調(diào)整后輸出頻譜k=0:1:N/N2-1;plot(476+fs*k/N,abs(z7); （2）仿真結(jié)果波形： 圖5-6 直接FFT頻譜 圖5-7 復(fù)調(diào)制信號頻譜 圖5-8通過多相分解的濾波器濾波和抽取網(wǎng)絡(luò)的頻譜 圖5-9 采樣信號細化后的輸出頻譜從圖5-4和5-8比較可以看出，通過低通FIR數(shù)字濾波器，再對信號抽取后輸出頻譜和通過多相分解的濾波器和抽取網(wǎng)絡(luò)后的輸出頻譜是完全一樣的，說明使用多相分解的濾波器代替數(shù)字濾波器對信號處理是完全可行的。從圖5-6和圖5-9比較分析可以看出，圖5-6所示頻譜譜峰集中在一起，頻率成分不可分辨