高等幾何講義(第5章)

1、高高 等等 幾幾 何何 ( Higher Geometry )2.1 虛元素虛元素 復(fù)射影平面復(fù)射影平面稱坐標(biāo) (u1, u2, u3) 不與任何有序?qū)崝?shù)組成比例的元素為虛元素虛元素虛元素與實元素合稱復(fù)元素復(fù)元素引進(jìn)了虛元素的射影平面稱為復(fù)射影平面復(fù)射影平面例例：(1, 3, 1 i)，(1 i, 0, 1) ； (1 i, 0, 0)，(i, 2i, 3i) 關(guān)于共軛復(fù)元素，有以下結(jié)論同類型二元素，若其坐標(biāo)可分別寫為(u1, u2, u3)與 (u1, u2, u3)，則稱為共軛復(fù)元素共軛復(fù)元素 高高 等等 幾幾 何何 ( Higher Geometry )定理定理1 一元素為實元素 此元素

2、與其共軛元素重合定理定理2 若復(fù)點 x 在復(fù)直線 上，則其共軛復(fù)點在其共軛復(fù)直線上定理定理3 一對共軛虛點的連線是實直線指定了無窮遠(yuǎn)直線的復(fù)射影平面稱為復(fù)擴大仿復(fù)擴大仿射平面射平面注意注意：坐標(biāo)系的基點和單位點必須為實點，變換式的矩陣元素及二次曲線的方程系數(shù)必須是實數(shù)高高 等等 幾幾 何何 ( Higher Geometry )pqp/q/2.2 絕對對合與直角坐標(biāo)絕對對合與直角坐標(biāo)在無窮遠(yuǎn)直線 上，指定一確定確定的橢圓型對合，稱為絕對對合絕對對合絕對對合的二虛不動點稱為圓環(huán)點圓環(huán)點，記為 I 和 J通過絕對對合的一對對應(yīng)點的兩條普通直線稱為互相垂直互相垂直的直線一對垂直直線所成的角稱為直角直

3、角右圖中，p、p/；q、q/；是絕對對合 的對應(yīng)點對高高 等等 幾幾 何何 ( Higher Geometry )有關(guān)垂直關(guān)系的性質(zhì)： 1過一普通點，有且僅有一條直線與已知直線垂直 2與二平行直線之一垂直的直線必與另一直線垂直 3與同一直線垂直的兩條直線平行若齊次仿射坐標(biāo)系 o(1), o(2), o(3); e的前兩個基點 o(1)、o(2) 是絕對對合的一對對應(yīng)點，則稱 為齊次正交坐標(biāo)系齊次正交坐標(biāo)系通過兩個圓環(huán)點的橢圓稱為圓圓 該橢圓的中心稱為圓心圓心 注意注意：圓可以等價地定義為通過兩個圓環(huán)點的非退化二次曲線高高 等等 幾幾 何何 ( Higher Geometry )在以齊次正交坐標(biāo)

4、系的第三個基點為圓心的圓中，指定一確定的圓，稱為度量單位圓度量單位圓記度量單位圓與o(1)o(3)的交點為e(2)，與o(2)o(3) 的交點為e(1)，令e (o(1)e(1)(o(2)e(2)指定了度量單位圓，且如上選取單位點 e 的齊次正交坐標(biāo)系 o(1), o(2), o(3); e 稱為齊次直角坐齊次直角坐標(biāo)系標(biāo)系o(1)o(2)o(3)e(2)e(1)e建立了齊次直角坐標(biāo)系的擴大仿射平面稱為擴大歐氏平擴大歐氏平面面(如右圖)高高 等等 幾幾 何何 ( Higher Geometry )2.3 保距變換與歐氏度量保距變換與歐氏度量在擴大歐氏平面上，有如下重要結(jié)論定理定理4 在齊次直角

5、坐標(biāo)下，度量單位圓的方程為 x12 x22 x32 0 (5.8) 證明證明：因 o(1)、o(2) 是絕對對合的一對對應(yīng)點， 又因 I、J 是絕對對合的不動點，故 (o(1)o(2); IJ) 1 由于 I、J 在度量單位圓上， 故 o(1)、o(2) 共軛 由于 o(3) 是中心，所以 o(1)o(2) o(3) 是度量單位圓的自極三點形 所以，度量單位圓的方程具有如下形式：高高 等等 幾幾 何何 ( Higher Geometry ) b1x12 b2x22 b3x32 0 由于 e(1)(0, 1, 1) 和 e(2)(1, 0, 1) 在度量單位圓上，故其方程可化為 x12 x22

6、x32 0推論推論 在齊次直角坐標(biāo)系下，圓環(huán)點 I、J 的坐標(biāo)分別為 I (1, i, 0)、J (1, i, 0)在建立了齊次直角坐標(biāo)系 o(1), o(2), o(3); e 的擴大歐氏平面上，可以建立無窮遠(yuǎn)直線上的一維射影坐標(biāo)系： 依次選取o(1)、o(2)為基點，坐標(biāo)為 (1, 1, 0) 的點為單位點 e* 坐標(biāo)系 * o(1), o(2); e* 稱為 的誘導(dǎo)坐標(biāo)系誘導(dǎo)坐標(biāo)系高高 等等 幾幾 何何 ( Higher Geometry )定理定理5 在已知齊次直角坐標(biāo)系的誘導(dǎo)坐標(biāo)系下，絕對對合的變換式為 / 1 0 證明證明：設(shè)其變換式為： a/ b( /) d 0 因圓環(huán)點的一維非

7、齊次坐標(biāo)為 i，又是不動點， 代入即得 a d 0，b 0若采用齊次坐標(biāo)，則絕對對合的表達(dá)式為 1/1 2/2 0擴大歐氏平面上，保持圓環(huán)點集合 I, J 不動的仿射變換稱為相似變換相似變換 其中，I、J 均為不動點的相似稱為正向相似正向相似； I 與 J 互換的相似稱為反向相似反向相似高高 等等 幾幾 何何 ( Higher Geometry )相似變換的兩個等價定義： 1保持退化曲線 12 22 0不動的仿射變換； 2保持絕對對合不變的仿射變換定理定理6 齊次直角坐標(biāo)系下，相似變換的表達(dá)式為x/1 a11x1 a12x2 a13x3 x/2 a21x1 a22x2 a23x3 x/3 a3

8、3x3，證明證明：若在給定的齊次直角坐標(biāo)系下，仿射變換以 I、J 為不動點T：x/1x/2x/3x1x2x3a11 a21 a13a21 a11 a23 0 0 a33，(a112 a212)a33 0 (5.9)高高 等等 幾幾 何何 ( Higher Geometry )將 II 代入變換式，得由此得 (a22 a11) i a21 a12 0，故 a22 a11，a21 a12(將 JJ 代入可得相同結(jié)果)若 T 作用下，IJ 而 JI，則由 IJ 得由此得 (a22 + a11) i a21 a12 0，故 a22 a11，a21 a12(由JI 代入可得相同結(jié)果)反之，不難驗證仿射變

9、換(5.9)保持I, J不動 a11 a12i i a21 a22i ， a11 a12i i a21 a22i ，高高 等等 幾幾 何何 ( Higher Geometry )齊次直角坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系 Oxy 的聯(lián)系： 將擴大歐氏平面上的無窮遠(yuǎn)直線去掉，則可得到 (非擴大) 歐氏平面，相應(yīng)的齊次直角坐標(biāo)系變成了直角坐標(biāo)系(如下圖)eo(3)e(2)o(3)o(1)e(1)p(x1, x2, x3)O o(3)e(2)e(1)ep(x1, x2, x3)xy去掉高高 等等 幾幾 何何 ( Higher Geometry )在直角坐標(biāo)系 Oxy 下，正向相似的表達(dá)式為由此可得推論推論 在直角坐

10、標(biāo)系 Oxy 下，相似變換的表達(dá)式為反向相似的表達(dá)式為上式中的 | | 稱為相似比相似比x/ ax by c y/ bx ay d ，baab a2 b2 2 0 x/ ax by c y/ bx ay d ，baab (a2 b2) 2 0 x/ ax by c y/ (bx ay) d，baab 2 0 1，高高 等等 幾幾 何何 ( Higher Geometry )相似比 | 1 的相似變換稱為保距變換保距變換， 1 時為正向保距正向保距， 1 時為反向保距反向保距注意注意：從推論可以看出，此處定義的保距變換就是第一章介紹的保距變換易見，對歐氏平面上的兩點 p(x1, y1)、q(x2

11、, y2)而言，量 (x2 x1)2 (y2 y1)2 在保距變換下不變，故定義兩點間的距離為 d (x2 x1)2 (y2 y1)21/2定理定理7 在直角坐標(biāo)系下，圓的方程為 x2 y2 2b13x 2b23y b33 0高高 等等 幾幾 何何 ( Higher Geometry ) 證明證明：由于二次曲線 a11x12 a22x22 a33x32 2a12x1x2 2a13x1x3 2a23x2x3 0 是圓的充要條件為過點 (1, i, 0)，即 a11 a22 2a12i 0， 也即 a11 a22，a12 0 故圓的齊次坐標(biāo)方程為 a11x12 a11x22 a33x32 2a13

12、x1x3 2a23x2x3 0 令 b13 a13/a11，b23 a23/a11，b33 a33/a11，化為非齊次坐標(biāo)方程，即得結(jié)果通過一個圓環(huán)點的虛直線稱為迷向直線迷向直線由于直線 1x1 2x2 3x3 0 過圓環(huán)點 1 i2 0，故迷向直線的方程為 i x1 x2 3x3 0高高 等等 幾幾 何何 ( Higher Geometry )采用非齊次坐標(biāo)，即得引理引理 在直角坐標(biāo)系 Oxy 下，迷向直線的方程為 y i x b定理定理8 歐氏平面上，若過兩條實直線 、 交點的迷向直線為 、，則 與 垂直 ( ; ) 1 證明證明：設(shè) 、 上的無窮遠(yuǎn)點分別為 p、q，則, , , p, q

13、 , I, J故 ( ; ) 1 ( p,q ; IJ ) 1 p、q是絕對對合的對應(yīng)點 與 垂直 高高 等等 幾幾 何何 ( Higher Geometry )cabIJc/實直線 與 的交成的角度角度定義為： (, ) (i/2)ln( ; ) 其中，、 是過 與 交點的迷向直線由此定義及定理8不難證明 定理定理9 歐氏平面上，實直線 與 垂直的充要條件為 (, ) /2 定理定理10 斜率為 k1，k2 的兩條直線垂直的充要條件為 k1k2 1例例1 證明：同弧上的圓周角相等證明證明：如圖，在圓弧 ab 上有圓周角 acb， / ac/b(高高 等等 幾幾 何何 ( Higher Geo

14、metry ) 根據(jù)施泰納定理，有 (ca, cb; cI, cJ) (c/a, c/b; c/I, c/J) 故 2 iln(ca, cb; cI, cJ) iln(c/a, c/b; c/I, c/J) 2 /2.4 二次曲線的度量性質(zhì)二次曲線的度量性質(zhì)二次曲線的直徑，若垂直它所平分的弦，則稱為主軸主軸若主軸與二次曲線的交點為普通點，則稱為曲線的頂點頂點對于有心曲線，直徑是主軸直徑是主軸 直徑與其共軛直徑與其共軛直徑垂直直徑垂直；對于無心曲線(即拋物線)，有高高 等等 幾幾 何何 ( Higher Geometry )vpo定理定理11 拋物線只有一條主軸實際上，拋物線的主軸是無窮遠(yuǎn)點(A

15、23, A13, 0)的極線這是因拋物線的直徑均過中心 o，故被主軸平分的弦必過中心o(A13, A23, 0)關(guān)于絕對對合的對應(yīng)點 p(A23, A13, 0)因而拋物線的主軸是無窮遠(yuǎn)點(A23, A13, 0)的極線定理定理12 有心二次曲線(x)(aij)(x)T 0，aij aji，det (aij) 0的直徑 是主軸的充要條件是其斜率 k 滿足：a12k2 (a11 a22)k a12 0高高 等等 幾幾 何何 ( Higher Geometry ) 證明證明：設(shè)直徑 的斜率為 k，則其共軛直徑的斜率 k/ 滿足： a11 a12(k k/) a22kk/ 0 故直徑 是主軸 kk/

16、 1 a11 a12(k 1/k) a22 0 a12k2 (a11 a22)k a12 0由于對圓而言，a11 a22，a12 0，故有 推論推論1 圓的任意直徑都是主軸對于非圓有心曲線， (a11 a22)2 4a122 0，故有 推論推論2 除圓之外的所有有心二次曲線均有且僅有兩條互相垂直的主軸高高 等等 幾幾 何何 ( Higher Geometry )定理定理13 若 (; ) 1 且 垂直于，則 、 是 、 所成角的內(nèi)外平分線 證明證明：記過四線所共點的迷向直線為、，則 (; ) 1 建立一維射影坐標(biāo)系 , ; ，設(shè)、 的非齊次坐標(biāo)分別為(1)、 ()、 (/)則 1 ( ; )

17、1 又由( ; ) 1，得 ( )(0 /)/( /)(0 ) 1， 故 / 所以，( ; ) ( )(1 )/( )(1 ) (1 )/(1 )，高高 等等 幾幾 何何 ( Higher Geometry ) (; ) ( 1 )( )/( 1 )( ) (1 )/(1 ) 從而由角度的定義，有 (, ) (, ) 同理，(, ) (, )推論推論 雙曲線的兩條主軸是兩條漸近線所成角的平分線 證明證明：分別記漸近線為、，主軸為、，則(; ) 1且 垂直于 由定理13得證例例2 abc 的邊 bc 上的高為 ad，h是 ad上任一點，設(shè) (bh)(ac) e，(ch)(ab) f求證： ad

18、平分 ed 與 fd 所成的角高高 等等 幾幾 何何 ( Higher Geometry )bdcfhega證明證明：設(shè) (df )(ac) g，則在完全四點形 bfhd 的對角線 ac 上，有 (ac; eg) 1又 da, c, e, f a, c, e, g，故 (da, dc; de, df ) 1但 ad、cd 垂直，故 ad 平分 ed 與 fd 所成的角高高 等等 幾幾 何何 ( Higher Geometry )二次曲線的迷向切線的非無窮遠(yuǎn)交點稱為此二次曲線的焦點焦點 焦點的極線稱為準(zhǔn)線準(zhǔn)線A33x12 A33x22 (A11 A22)x32 2A13x1x3 2A23x2x3 0A12x32 A33x1x2 A23x1x3 A13x2x3 0 x1x2x3: (x1, x2, x3)a11 a12 a13a12 a22 a23a13 a23 a33 0，|aij| 0二次曲線的焦點方程組焦點方程組為高高 等等 幾幾 何何 ( H