一類數(shù)列求和公式的推廣.doc

1、一類數(shù)列求和公式的推廣武漢市江夏區(qū)一中李新橋在高中數(shù)學(xué)“數(shù)列”這一章，我們經(jīng)常用到數(shù)列an= n 2 的前n 項(xiàng)和公式，即Sn = 12 + 22 + 32 + + n2 =1an = n3 的前 n6 n(n+1)(2n+1)，同時(shí)也會(huì)用到數(shù)列項(xiàng)和公式，即 Sn = 13 + 23 + 33 + + n3 =14 n2(n+1)2如果將通項(xiàng)的次數(shù)升高，例如 an = n4，an = n5或an = nm，其前 n 項(xiàng)的和又將怎樣求呢？這是一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題，我們不妨先求 an = n 4的前 n 項(xiàng)和，看看能不能得到什么啟示。構(gòu)造等式： (k+1)(k+2)(k+3)=k 4+6k 3 +1

2、1 k 2+6k1又 k(k+1)(k+2)(k+3)=5 k(k+1)(k+2)(k+3)（ k+4） -(k-1)k(k+1)(k+2)(k+3) k(k+1)(k+2)(k+3)= ( k 4 +6 k 3 +11 k 2 +6k)= k 4 +6 k 3 +11 k 2 +6 k= k 4 +33129n(n+1)2n 2 + 6n +61又 k(k+1)(k+2)(k+3)=5 k(k+1)(k+2)(k+3)（ k+4） -(k-1)k(k+1)(k+2)(k+3)=15 (1 2 3 4 5-0)+(2 34 5 6-1 2 34 5)+ n(n+1)(n+2)(n+3) （ n

3、+4）-(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)=1n(n+1)(n+2)(n+3)（ n+4）5 k 4133129= 5n(n+1)(n+2)(n+3)（ n+4）- n(n+1)2 n2 + 6n +6 11n2 +3n -1)= 15 n(n+2 )(n+1)(3由以上的解法可以得到一些啟示，即這種形式的一類數(shù)列求和問題，能否都可以采用前后各添一項(xiàng)的辦法，裂成相鄰連續(xù)自然數(shù)之積的差，以便于前后相互抵消呢？我們再用這種方法來試一試an = n 5的前 n 和 .構(gòu)造等式： k(k+1)(k+2)(k+3)（ k+4）=k 5 +10 k 4 +35 k3 +50 k 2 +24k1又k

4、(k+1)(k+2)(k+3)（k+4）=6k(k+1)(k+2)(k+3)（ k+4）(k+5)-(k-1)k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4) k(k+1)(k+2)(k+3)（ k+4） = k 5+10 k4+35 k 3+50 k 2 +24 k= 47103k 5 +n(n+1)2 n3 + 4 n2+ 4 n+20又 k(k+1)(k+2)(k+3)（ k+4） =1 k(k+1)(k+2)(k+3)（ k+4 ）6(k+5)-(k-1)k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)=1(1 2 3 4 5 6-0)+(2 3 4 5 6 7-16 2 3 4 5 6)+ n(

5、n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)-(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)=16 n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)1 k 5 = 6 n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)-n(n+1)24710312(2 n 2 +2n-1)n3 + 4 n2 +4 n+20 = 12 n2(n+1)an = nm因此，這種方法對于m=5也成立，故可以推廣到數(shù)列(m N*) 的求和之中。構(gòu)造等式： k(k+1)(k+2)(k+m-1)=k m +Cm2 k m1+(m-1)！ k又 k(k+1)(k+2)(k+m-1)=(m+1)1 k(k+1)

6、(k+2)(k+m-1)(k+m)-(k-1)k(k+1)(k+2)(k+m-1)k(k+1)(k+2)(k+m-1)=(m+1)1k(k+1)(k+2)(k+m-1)(k+m)-(k-1)k(k+1)(k+2)(k+m-1)= (m+1)1 n(n+1)(n+2)(n+m) k m =(m+1) 1 n(n+1)(n+2)(n+m)- Cm2 k m 1+ +(m-1) ！ k當(dāng) k m 1， k m 2 k 2 ， k 都求出時(shí)，再按照這種構(gòu)造等式的方法，兩次用不同的手段對同一數(shù)列求和，便可以求出Sn = k m=1 m +2 m +n m =(m+1) 1 n(n+1)(n+2)(n+m

7、)- Cm2 k m1 + +(m-1) ！ k,這樣便推廣到數(shù)列 an = nm的前 n 項(xiàng)和公式。n（說明：為了書寫簡便，以上符號(hào)均表示數(shù)列前n 項(xiàng)和 k 1）參考文獻(xiàn)：全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書. 數(shù)學(xué)第一冊上（必修），人民教育出版社作者簡介：李新橋男 32 歲 中學(xué)一級(jí)教師2005.3清代 “紅頂商人 ”胡雪巖說：“做生意頂要緊的是眼光，看得到一省，就能做一省的生意；看得到天下，就能做天下的生意；看得到外國，就能做外國的生意?！笨梢?，一個(gè)人的心胸和眼光，決定了他志向的短淺或高遠(yuǎn)；一個(gè)人的希望和夢想，決定了他的人生暗淡或輝煌。人生能有幾回搏，有生不搏待何時(shí)！所有的機(jī)遇和成功，都在充滿陽光，充滿希望的大道之上！我們走過了黑夜，就迎來了黎明；走過了荊棘，就迎來了花叢；走過了坎坷，就走出了泥濘；走過了失敗，就走向了成功！一個(gè)人只要心存希望，堅(jiān)強(qiáng)堅(jiān)韌，堅(jiān)持不懈，勇往直前地去追尋，去探索，去拼搏，他總有一天會(huì)成功。正如鄭板橋所具有的人格和精神：“咬定青山不放松，立根原在破巖中。千磨萬擊還堅(jiān)勁，任爾東南西北風(fēng)。”夢想在，希望在，人就有奔頭；愿奮斗，勇