§2.3 泊松分布和二項分布的近似的解釋

1、12.32.3幾種重要的離幾種重要的離散型分布散型分布 2 如果一個隨機變量如果一個隨機變量X X只有一個取值，則稱只有一個取值，則稱X X一、單點分布一、單點分布服服從從單點分布單點分布顯然，它的顯然，它的分布列分布列為為 1,P XC 分布函數(shù)分布函數(shù)為為 0,1,.xCF xxC 任何常數(shù)都可以看作是一個隨機變量，并稱任何常數(shù)都可以看作是一個隨機變量，并稱為為常數(shù)值隨機變量常數(shù)值隨機變量3如果一個隨機變量只有兩個可能取值，則如果一個隨機變量只有兩個可能取值，則二、兩點分布二、兩點分布稱服從稱服從兩點分布兩點分布新生嬰兒是男還是女；新生嬰兒是男還是女； 一次抽樣的結果是正品還是次品；一次抽

2、樣的結果是正品還是次品； 擲一枚骰子是否擲出點擲一枚骰子是否擲出點2 2；一次投籃是否投中；一次投籃是否投中； 一次投標是否中標一次投標是否中標 都可以用一都可以用一個服從兩點個服從兩點分布的隨機分布的隨機變量來描述變量來描述 4任何兩點分布，均可通過變換化成如下標準概型任何兩點分布，均可通過變換化成如下標準概型XP01p 1p 1P(1),0,1 .kkXkppk 或用公式表示為或用公式表示為此時，稱服從此時，稱服從參數(shù)為參數(shù)為的的0-10-1分布分布，p其其分布分布函數(shù)函數(shù)為為 0,0,1,011,1.xF xpxx ，5三、二項分布三、二項分布 ,kkn knP XkC p q 努利努利

3、試驗中成功的次數(shù)，則可把試驗中成功的次數(shù)，則可把伯努利公式伯努利公式(1.9)(1.9)重新寫成如下的形式重新寫成如下的形式 若若X X表示每次試驗成功概率為表示每次試驗成功概率為的的p重伯重伯n其中其中 01 ,1,pqp 稱稱X X服從服從參數(shù)為參數(shù)為0, 1, 2,kn ,.XB n p的二項分布的二項分布，記作，記作 ,n p6 00C1.nnnkkn kknkkpp qpq 二項式定理二項式定理kkn kknpC p q 每個每個恰好是二項式恰好是二項式 npq 展開展開式中的各項，這就是式中的各項，這就是“二項分布二項分布”這個名這個名稱稱的來歷的來歷 分布列正則性驗證：分布列正則

4、性驗證： 7 例例2.72.7 設從學校乘汽車到火車站的途中有設從學校乘汽車到火車站的途中有3 3個交通崗，個交通崗，其概率均為其概率均為0.40.4，求途中遇到紅燈的概率，求途中遇到紅燈的概率. .交通崗交通崗交通崗交通崗交通崗交通崗1 1在各交通崗遇到紅燈是相互獨立的，在各交通崗遇到紅燈是相互獨立的，特別地，若特別地，若則服從參數(shù)為則服從參數(shù)為 1,XBp的的0-10-1分布分布p8 3, 0.4 .XB中遇到紅燈的次數(shù)，則就是在每次成功概率為中遇到紅燈的次數(shù)，則就是在每次成功概率為0.40.4的的3 3重伯努利試驗中恰好成功的次數(shù)，從而重伯努利試驗中恰好成功的次數(shù)，從而于是，所求概率為于

5、是，所求概率為 110P XP X 003310.40.60.784 .C 解解 考察在每個交通崗是否遇到紅燈相當于考察在每個交通崗是否遇到紅燈相當于作一次試驗，每次試驗有兩個可能結果：遇到紅作一次試驗，每次試驗有兩個可能結果：遇到紅燈或沒有遇到紅燈，即成功或失敗燈或沒有遇到紅燈，即成功或失敗用表示途用表示途9解解 由由 3191101127P XP Xp得得 1,3p 故故 13,3XB于是于是 2231222.339P XC 例例2.82.8 設隨機變量設隨機變量X X服從參數(shù)為服從參數(shù)為,n p的二的二項分布，已知項分布，已知求求 191,27P X 2 .P X 10 例例2.92.9

6、 已知某種疾病患者自然痊愈率為已知某種疾病患者自然痊愈率為0.10.1，為了鑒定一種新藥是否有效，醫(yī)生把它給為了鑒定一種新藥是否有效，醫(yī)生把它給1010個病個病人服用，且事先規(guī)定一個決策準則：這人服用，且事先規(guī)定一個決策準則：這1010個病人個病人中至少有中至少有3 3個人治好此病，則認為這種藥有效，提個人治好此病，則認為這種藥有效，提高了痊愈率；反之，則認為此藥無效求新藥完高了痊愈率；反之，則認為此藥無效求新藥完全無效，但通過試驗被認為有效的概率全無效，但通過試驗被認為有效的概率 解解 每次成功每次成功( (病人痊愈病人痊愈) )的概率為的概率為0.10.1，用，用X X表表 10,0.1

7、.XB示示1010個病人中痊愈的人數(shù)，則個病人中痊愈的人數(shù)，則于是，所求概率為于是，所求概率為 210100310.10.90.0702.kkkkP XC 11四、泊松分布四、泊松分布 兩點分布和二項分布都是以伯努利試驗為背兩點分布和二項分布都是以伯努利試驗為背 ,0,1, 2,!kP Xkekk 若離散型隨機變量的分布列若離散型隨機變量的分布列為為景，即將要研究的分布以法國數(shù)學家和物理學景，即將要研究的分布以法國數(shù)學家和物理學家家泊松泊松的名字來命名的名字來命名其中其中則稱服從則稱服從參數(shù)為參數(shù)為0, 的泊松分布的泊松分布， .XP 記作記作120001.!kkkkkkpeeeekk 服從或

8、近似服從泊松分布的例子是大量存服從或近似服從泊松分布的例子是大量存在：在：分布列正則性驗證：分布列正則性驗證： 服務系統(tǒng)在單位時間內(nèi)來到的顧客數(shù)；服務系統(tǒng)在單位時間內(nèi)來到的顧客數(shù)；擊中飛機的炮彈數(shù)；擊中飛機的炮彈數(shù)； 大量螺釘中不合格品出現(xiàn)的次數(shù)；大量螺釘中不合格品出現(xiàn)的次數(shù)；數(shù)字通訊中傳輸數(shù)字中發(fā)生的誤碼個數(shù)；數(shù)字通訊中傳輸數(shù)字中發(fā)生的誤碼個數(shù)；母雞在一生中產(chǎn)蛋的只數(shù)母雞在一生中產(chǎn)蛋的只數(shù) 13例例2.102.10 某城市每天發(fā)生火災的次數(shù)某城市每天發(fā)生火災的次數(shù) 1 ,XP 203131kP XP XP Xk 求該城市一天內(nèi)發(fā)生求該城市一天內(nèi)發(fā)生3 3次或次或3 3次以上火災的概率次以上火

9、災的概率 解解 2101110.9200.08.!kkek 對立事件公式對立事件公式 查泊松分布查泊松分布表（附表表（附表1 1） 14泊松分布有一個非常實用的特性泊松分布有一個非常實用的特性二項分二項分 ,XB n p布的泊松近似布的泊松近似具體地講，設具體地講，設 ,YP 其中其中 n較大，較大， p很小，而很小，而 ,np 如果要計算如果要計算 1,n kkknP XkC pp ,1.!knpn kkknnpC ppek 很很大大很很小小那么可近似計算那么可近似計算 .!kP Ykek 即即 15這個結論可敘述為：這個結論可敘述為：的二項分布的概率計算問題的二項分布的概率計算問題可以轉(zhuǎn)化

10、可以轉(zhuǎn)化成參數(shù)成參數(shù)pp較大，較大，n很小的條件下，參數(shù)為很小的條件下，參數(shù)為,n 在在的泊松分布的概率計算問題的泊松分布的概率計算問題np 為為 例例2.112.11 在例在例2.92.9中，根據(jù)二項分布我們已中，根據(jù)二項分布我們已經(jīng)計算出了認為新藥有效的概率約為經(jīng)計算出了認為新藥有效的概率約為7.027.02，現(xiàn)在我們利用二項分布的泊松近似重新計算認現(xiàn)在我們利用二項分布的泊松近似重新計算認為新藥有效的概率為新藥有效的概率16解解 kkkkP XC 101010330.10.9kkek 10131!二項分布的泊松二項分布的泊松近似近似 查泊松分布查泊松分布表（附表表（附表1 1） 0.080

11、3.它與例它與例2.92.9的結果相比較，近似效果是良好的的結果相比較，近似效果是良好的 如果如果p p較大，那么二項分布不宜轉(zhuǎn)化泊松較大，那么二項分布不宜轉(zhuǎn)化泊松分布，該如何辦的問題將在分布，該如何辦的問題將在5.35.3中回答中回答17例例2.122.12 某出租汽車公司共有出租汽車某出租汽車公司共有出租汽車500500輛，輛，解解 設設X X是每天內(nèi)出現(xiàn)故障的出租汽車數(shù)，則是每天內(nèi)出現(xiàn)故障的出租汽車數(shù)，則 500,0.01XB， 10010kP XP Xk 設每天每輛出租汽車出現(xiàn)故障的概率為設每天每輛出租汽車出現(xiàn)故障的概率為0.010.01，試求，試求一天內(nèi)出現(xiàn)故障的出租汽車不超過一天內(nèi)

12、出現(xiàn)故障的出租汽車不超過1010輛的概率輛的概率101050055000050.010.990.986.!kkkkkkCek18例例2.132.13 設有設有N N件產(chǎn)品，其中有件產(chǎn)品，其中有M M件是次品，件是次品，隨隨* *五、超幾何分布五、超幾何分布n機地從這件產(chǎn)品中抽取機地從這件產(chǎn)品中抽取件產(chǎn)品，我們關件產(chǎn)品，我們關心心的是在所抽的的是在所抽的件產(chǎn)品中恰有件產(chǎn)品中恰有kn件次品的概率件次品的概率 解解 顯然，顯然，且在所抽的且在所抽的,kM kn n件件產(chǎn)產(chǎn),NM 品中的正品數(shù)也不能超過整個產(chǎn)品的正品數(shù)品中的正品數(shù)也不能超過整個產(chǎn)品的正品數(shù)即即于是于是.nkNM 滿足約束條件滿足約束條

13、件k max 0,min,.MnNkM n(2.4)(2.4) 19典概型容易計算出典概型容易計算出否則相應的概率為否則相應的概率為0 0若若k滿足滿足(2.4)(2.4)式，則所求概率由式，則所求概率由(2.5)(2.5)式?jīng)Q定，式?jīng)Q定，用用X表示所抽的表示所抽的n件產(chǎn)品的次品數(shù)，利用古件產(chǎn)品的次品數(shù)，利用古 kn kMNMnNC CP XkC ，(2.5)(2.5) 若離散型隨機變量若離散型隨機變量X的概率分布由式（的概率分布由式（2.5）和）和分布分布. 記作記作 ,.XH n M N(2.4)給出，則稱給出，則稱X服從服從參數(shù)為參數(shù)為,n M N的超幾何的超幾何20 超幾何分布與抽樣檢

14、驗有密切的聯(lián)系，下面超幾何分布與抽樣檢驗有密切的聯(lián)系，下面分布列正則性驗證：分布列正則性驗證： 1.kn kkn knMNMkMNMNknnnkkNNNC CC CCpCCC 舉一個計數(shù)抽樣方案的例子所謂舉一個計數(shù)抽樣方案的例子所謂計數(shù)抽樣計數(shù)抽樣是對是對產(chǎn)品的檢驗只分產(chǎn)品的檢驗只分“好好”與與“次次”兩種情況，若在兩種情況，若在一批一批產(chǎn)品中隨機抽取了產(chǎn)品中隨機抽取了n件產(chǎn)品，并規(guī)定若其中的次件產(chǎn)品，并規(guī)定若其中的次品數(shù)品數(shù)c c，則判定這批產(chǎn)品合格，否則判定不合，則判定這批產(chǎn)品合格，否則判定不合格，通常用格，通常用 (n(nc)c)表示這個抽樣方案表示這個抽樣方案21 制定一個計數(shù)抽樣方案

15、就是根據(jù)實際情況選制定一個計數(shù)抽樣方案就是根據(jù)實際情況選擇合適擇合適n的和的和c 例例2.142.14 設有一批產(chǎn)品，批量為設有一批產(chǎn)品，批量為10001000件，假件，假定該批產(chǎn)品的次品率為定該批產(chǎn)品的次品率為11若采用抽樣方案若采用抽樣方案（1501502 2），求接受這批產(chǎn)品為合格的概率），求接受這批產(chǎn)品為合格的概率解解 此例中，此例中，1000,1000 0.0110,NM 接受產(chǎn)品為合格的概率是接受產(chǎn)品為合格的概率是 150,n 2012P XP XP XP X 22即即當采用（當采用（1501502 2）方）方案時，在每案時，在每100批這樣產(chǎn)品批這樣產(chǎn)品0150114921481

16、09901099010990150150150100010001000C CC CC CCCC 0.19530.34830.27740.821, 中，約有中，約有82批被判定是合格的批被判定是合格的. 下面我們把二項分布與超幾何分布作一比較下面我們把二項分布與超幾何分布作一比較N件件M件次品件次品N-M件正品件正品23 如果每抽一件產(chǎn)品放回后，再抽下一件如果每抽一件產(chǎn)品放回后，再抽下一件XMpN 產(chǎn)品，如此有放回地隨機地抽取產(chǎn)品，如此有放回地隨機地抽取n件，這是件，這是n重重伯努利試驗，那么所抽的伯努利試驗，那么所抽的n件產(chǎn)品的次品數(shù)件產(chǎn)品的次品數(shù)其中其中表示次品率表示次品率. ,B n p

17、如果產(chǎn)品數(shù)量足夠多，不放回與放回抽如果產(chǎn)品數(shù)量足夠多，不放回與放回抽樣對下一次抽到次品還是正品影響甚微于樣對下一次抽到次品還是正品影響甚微于是，當很大，而是，當很大，而較小時，超幾何分布可用較小時，超幾何分布可用nN 1.kn kn kkkMNMnnNC CC ppC 二項分布去近似即二項分布去近似即24* *六、幾何分布六、幾何分布 11111.11kkkkppppp 在一個每次成功概率為在一個每次成功概率為p的伯努利試驗序列的伯努利試驗序列中，用中，用X X表示首次成功時的試驗次數(shù)，則表示首次成功時的試驗次數(shù)，則X X的所有的所有可能可能取值為取值為1 1，2 2，其分布列為，其分布列為

18、11,1,2,kP Xkpp k 稱稱X X服從服從參數(shù)為參數(shù)為的幾何分布的幾何分布，記作，記作p .XG p分布列正則性驗證：分布列正則性驗證： 25每個每個恰好是幾何級數(shù)恰好是幾何級數(shù) 11kkppp 中的各項，這就是中的各項，這就是“幾何分布幾何分布” 111kkpp 這這一名稱的由來一名稱的由來 某種產(chǎn)品的次品率為某種產(chǎn)品的次品率為0.010.01，則首次檢，則首次檢 某投籃手的命中率為某投籃手的命中率為0.80.8，則首次投中，則首次投中 0.8 .YG 0.01 ;XG幾何幾何分布分布大量大量存在存在查到次查到次品的檢查次數(shù)品的檢查次數(shù) 時的投時的投籃次數(shù)籃次數(shù)26例例2.152.15 某人獨立重復地做一個試驗，已