專題25 參變分離法解決導(dǎo)數(shù)問題(解析版)

1、專題25 參變分離法解決導(dǎo)數(shù)問題一、單選題 1已知函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，恒成立，則a的取值范圍為（ ）ABCD【答案】B【分析】由，可得，從而，從而當(dāng)時(shí)，恒成立，構(gòu)造函數(shù)，可得，結(jié)合時(shí)，取得最大值1，從而的最大值為，只需即可.【詳解】由題意，解得，則，則當(dāng)時(shí)，即恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，時(shí)，所以在上是減函數(shù)，在是增函數(shù)，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，取得最大值1，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查不等式恒成立問題，解題關(guān)鍵是將原不等式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出的最大值，令其小于即可.考查學(xué)生的邏輯推理能力，計(jì)算求解能力，屬于中檔題.2若函數(shù)沒有極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）ABCD【答案】C【分

2、析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合極值存在的條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)問題，分離參數(shù)后結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可求解.【詳解】由題意可得，沒有零點(diǎn)，或者有唯一解（但導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)的兩側(cè)符號(hào)相同），即沒有交點(diǎn)，或者只有一個(gè)交點(diǎn)但交點(diǎn)的兩側(cè)符號(hào)相同.令，則，令則在上單調(diào)遞減且，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，又時(shí)，時(shí)，結(jié)合圖象可知，即.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)沒有極值點(diǎn)，求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）分離參數(shù)法：先求導(dǎo)然后將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（2）數(shù)形結(jié)合法：先求導(dǎo)然后對(duì)導(dǎo)函數(shù)變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求

3、解.3若函數(shù)在上是減函數(shù)，則的取值范圍是（ ）ABCD【答案】A【分析】在上是減函數(shù)等價(jià)于在上恒成立，利用分離參數(shù)求解即可.【詳解】在上是減函數(shù)，所以在上恒成立，即，即，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查“分離參數(shù)”在解題中的應(yīng)用、函數(shù)的定義域及利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍，屬于中檔題. 利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍的常見方法： 視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)需注意若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的; 利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為不等式或恒成立問題求參數(shù)范圍.4已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若存在實(shí)數(shù)，使得，且，則實(shí)數(shù)的最大值為（ ）AB

4、CD1【答案】C【分析】根據(jù)可求得，利用得到，將問題轉(zhuǎn)化為，的最大值的求解問題，利用導(dǎo)數(shù)求得，從而求得結(jié)果.【詳解】，又且，由，即，整理得：，令，則，和在上均為減函數(shù)，在上單調(diào)遞減，即在上恒成立，在上單調(diào)遞減，即實(shí)數(shù)的最大值為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是能夠通過分離變量的方式將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問題，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)最值得到結(jié)果.5設(shè)函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（ ）ABCD【答案】D【分析】令，進(jìn)行參變分離得，設(shè)，將問題等價(jià)于y = a與在有兩個(gè)交點(diǎn).求導(dǎo)，分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得出函數(shù)的單調(diào)性，從而作出圖象和最值，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想可得選項(xiàng).

5、【詳解】令，即，解得，設(shè)，所以在有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于y = a與在有兩個(gè)交點(diǎn).因?yàn)椋?，所以?0，e)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.如圖所示，畫出的大致圖象。結(jié)合圖象可知，當(dāng)時(shí)， y = a與在有兩個(gè)交點(diǎn)，即此時(shí)在有兩個(gè)零點(diǎn).故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的范圍的問題，常采用參變分離的方法，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題.6已知關(guān)于x的方程在上有兩解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（ ）ABCD【答案】B【分析】利用參變量分離法可將問題轉(zhuǎn)化為在上有兩解，進(jìn)而可將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與在上有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用數(shù)形結(jié)合即可求出實(shí)數(shù)k的取值

6、范圍.【詳解】由已知可得在上有兩解，令，則問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與在上有兩個(gè)交點(diǎn)，令，則，因?yàn)?，所以恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，所以，實(shí)數(shù)k的取值范圍為.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想，關(guān)鍵是對(duì)參變量分離轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)使問題得以解決，屬于難題.7若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】A【分析】求導(dǎo)，由題意可得恒成立，即為，設(shè)，即，分，三種情況，分別求得范圍，可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由函數(shù)得，由題意可得恒成立，即為，設(shè)，即，當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立；當(dāng)時(shí)，由在上

7、單調(diào)遞減，可得時(shí)，取得最小值1，可得，當(dāng)時(shí)，由在上單調(diào)遞減，可得時(shí)，取得最小值，可得，綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍，利用參變分離的方法解決不等式的恒成立問題，屬于較難題.8若關(guān)于x的不等式（a+2）xx2+alnx在區(qū)間，e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的最大值是（ ）A1BCD【答案】D【分析】先對(duì)化簡，用導(dǎo)數(shù)判斷在的符號(hào)為正，可轉(zhuǎn)化為，在有解，設(shè) ，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值，則，即實(shí)數(shù)的最大值為.【詳解】由，得，令 ，則，則在遞減，在遞增，則，即由，得，有解，設(shè) ，則，令，則，故在遞減，在遞增，故，故在

8、遞減，在遞增，又，故，故，即實(shí)數(shù)的最大值為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式有解的問題，并多次利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求最值，考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，邏輯思維能力，運(yùn)算能力，難度較大.9已知函數(shù)，（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.若存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD【答案】C【分析】證明出當(dāng)時(shí)，由題意可得出使得，即，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最大值，結(jié)合可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由題意可知，使得，即，令，其中，則，令，得，列表如下：單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以，函數(shù)的最大值為，又，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式能成立問

9、題，考查了參變量分離法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.10已知函數(shù)，其中，若對(duì)于任意的，且，都有成立，則的取值范圍是（ ）ABCD【答案】C【分析】由已知將原不等式等價(jià)于恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)在上恒成立，運(yùn)用參變分離可得選項(xiàng)【詳解】對(duì)于任意的，且，都有成立，不等式等價(jià)為恒成立，令，則不等式等價(jià)為當(dāng)時(shí)，恒成立，即函數(shù)在上為增函數(shù)；，則在上恒成立；即恒成立，令，；在上為增函數(shù)；.的取值范圍是.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)解決不等式恒成立的問題，構(gòu)造合適的函數(shù)是關(guān)鍵，屬于較難題11已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD【答案】B【分析】求導(dǎo)，將問題轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不同

10、的零點(diǎn)，也即是關(guān)于x的方程有兩個(gè)不同的解，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，分析導(dǎo)函數(shù)取得正負(fù)的區(qū)間，從而得函數(shù)的單調(diào)性和最值，從而可得選項(xiàng).【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，故關(guān)于x的方程有兩個(gè)不同的解，令，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,+)上單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，且，故，即.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值，關(guān)鍵在于構(gòu)造合適的函數(shù)，參變分離的方法的運(yùn)用，屬于中檔題.12已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD【答案】B【分析】根據(jù)在上恒成立求解【詳解】，又函數(shù) 在上單調(diào)遞減，在上恒成立，即在上恒成立

11、當(dāng)時(shí)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：B【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及不等式的恒成立問題，注意當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；而當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減時(shí)，則有在區(qū)間上恒成立解題時(shí)要注意不等式是否含有等號(hào)，屬于中檔題13對(duì)于函數(shù)，把滿足的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).設(shè)，若有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】B【分析】根據(jù)定義分離出參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，討論單調(diào)性和最值，結(jié)合圖象可得答案.【詳解】由得，令，則，得在單調(diào)遞增，得在和單調(diào)遞減，所以的極小值為，圖象如圖所示，由圖可知，時(shí)，有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)新定義的應(yīng)用，由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查了分離

12、參數(shù)法與構(gòu)造函數(shù)法的應(yīng)用.14已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD【答案】D【分析】由題意得出，構(gòu)造函數(shù)，可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得出對(duì)任意的恒成立，利用參變量分離法可得出，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在區(qū)間上的最小值，由此可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，恒成立，即，構(gòu)造函數(shù)，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則對(duì)任意的恒成立，令，其中，則.，當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增.所以，函數(shù)的最小值為，.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)，根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造合適的函數(shù)是解題的關(guān)鍵，考查分析問題和解

13、決問題的能力，屬于中等題.二、多選題15對(duì)于函數(shù)，下列說法正確的是（ ）A在處取得極大值B有兩個(gè)不同的零點(diǎn)CD若在上恒成立，則【答案】ACD【分析】A.先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，判斷函數(shù)的極大值；B.根據(jù)函數(shù)的解析式，直接求函數(shù)的零點(diǎn)；C.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，直接比較大??；D.不等式轉(zhuǎn)化為在上恒成立，即求函數(shù)的最大值.【詳解】由已知，令得，令得，故在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以的極大值為，A正確；又令得，即，只有1個(gè)零點(diǎn)，B不正確；函數(shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，故C正確；若在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，令得，令得，故在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，故D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】本題考查

14、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，涉及到函數(shù)的極值、零點(diǎn)、不等式恒成立等問題，考查學(xué)生的邏輯推理能力，是一道中檔題.16關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（ ）A當(dāng)時(shí)，在處的切線方程為B若函數(shù)在上恰有一個(gè)極值，則C對(duì)任意，恒成立D當(dāng)時(shí)，在上恰有2個(gè)零點(diǎn)【答案】ABD【分析】直接逐一驗(yàn)證選項(xiàng)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，即可判斷A選項(xiàng)；利用分離參數(shù)法，構(gòu)造新函數(shù)和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、最值，即可判斷BC選項(xiàng)；通過構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來解決零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，即可判斷D選項(xiàng).【詳解】解：對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，所以，故切點(diǎn)為（0，0），則，所以，故切線斜率為1，所以在處的切線方程為：，即，故A正確；對(duì)于B

15、，則，若函數(shù)在上恰有一個(gè)極值，即在上恰有一個(gè)解，令，即在上恰有一個(gè)解，則在上恰有一個(gè)解，即與的圖象在上恰有一個(gè)交點(diǎn)，令，解得：，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以極大值為，極小值為，而，作出，的大致圖象，如下：由圖可知，當(dāng)時(shí)，與的圖象在上恰有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)在上恰有一個(gè)極值，則，故B正確；對(duì)于C，要使得恒成立，即在上，恒成立，即在上，恒成立，即，設(shè)，則，令，解得：，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以極大值為，所以在上的最大值為，所以時(shí)，在上，恒成立，即當(dāng)時(shí)，才恒成立，所以對(duì)任意，不恒成立，故C不正確； 對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，令，則，即，作出函數(shù)和的圖象，

16、可知在內(nèi)，兩個(gè)圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn)，則在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，考查分離參數(shù)法的應(yīng)用和構(gòu)造新函數(shù)，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值最值、零點(diǎn)等，考查化簡運(yùn)算能力和數(shù)形結(jié)合思想.三、解答題17已知函數(shù)，且恒成立（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）記，若，且當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的最大值【答案】（1）；（2）3【分析】（1）由條件可得是的極大值點(diǎn)，從而，可得答案.(2)由條件，根據(jù)條件可得對(duì)任意的恒成立，令，求出的導(dǎo)函數(shù)，得出單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)的隱零點(diǎn)，分析得出答案【詳解】（1）解：的定義域是，因?yàn)?，恒成?，所以是的極大值

17、點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，所以?）依題意得，因?yàn)?，所以?duì)任意的恒成立，令，則，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增因?yàn)椋苑匠淘谏洗嬖谖ㄒ坏膶?shí)數(shù)根，且，則，所以， 當(dāng)時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以，把代入得，所以，故整數(shù)的最大值是3【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)恒成立求參數(shù)的最大整數(shù)值，考查函數(shù)的隱零點(diǎn)的整體然換的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是由函數(shù)在上單調(diào)遞增，得出在上存在唯一的實(shí)數(shù)根，且，得出單調(diào)性，從而得出，然后將代入，得出，屬于難題.18已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且在P處的切線恰好與直線垂直（1）求的解析式；（2）若在上是減函數(shù)，求m的取值范圍【答案】（1）；（2）.【分析】（1）

18、求導(dǎo)得直線斜率，再利用已知條件建立方程組，求解即可函數(shù)的解析式；（2）由題得在上恒成立，法一：分和兩種情況討論，運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案. 法二：進(jìn)行參變分離，運(yùn)用不等式恒成立的思想可得答案.【詳解】解：（1），由題意可得，解得. 所以 （2）因?yàn)?，所?因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，所以在上恒成立，當(dāng)時(shí)，在上恒成立；當(dāng)時(shí)，設(shè)，由函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為可得，即，得.故m的取值范圍是. 法二：對(duì)成立，當(dāng)時(shí)；恒成立，當(dāng)時(shí)；，【點(diǎn)睛】不等式的恒成立問題，常常利用函數(shù)的最值得以解決，參數(shù)與函數(shù)的最值的大小關(guān)系19已知函數(shù)（）.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）

19、答案不唯一，見解析；（2）.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；（2原不等式化為：在上恒成立，設(shè)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可【詳解】（1），令，則或，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；（2）原不等式化為：在上恒成立，設(shè)，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性（含參），考查利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題，解決第（2）問的關(guān)鍵是將原不等式轉(zhuǎn)化為在上恒成立，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而得解，考

20、查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，考查轉(zhuǎn)化和劃歸思想，屬于常考題.20已知函數(shù)，.（1）若曲線在處的切線與直線垂直，求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)，若對(duì)任意兩個(gè)不等的正數(shù)，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若上存在一點(diǎn)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，即可得的值；（2）設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，則轉(zhuǎn)化為在上為增函數(shù)，即在上恒成立，參變分離得：，最后根據(jù)二次函數(shù)最值求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）先化簡不等式，并構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)，按導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)與定義區(qū)間的大小關(guān)系討論函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定函數(shù)的最小值，根據(jù)最小值小于即可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由，得.

21、由題意，所以.（2）.因?yàn)閷?duì)任意兩個(gè)不等的正數(shù)，都有恒成立，設(shè)，則即恒成立.問題等價(jià)于函數(shù)，即在上為增函數(shù)，所以在上恒成立.即在上恒成立.所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）不等式等價(jià)于，整理得.構(gòu)造函數(shù)，由題意知，在上存在一點(diǎn)，使得.因?yàn)?，所以，令，?當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增.只需，解得.當(dāng)即時(shí)，在處取最小值.令即，可得.令，即，不等式可化為.因?yàn)?，所以不等式左端大?，右端小于等于1，所以不等式不能成立.當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，只需，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值和最值的綜合問題，屬于中檔題.21已知函數(shù)，（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）若實(shí)

22、數(shù)為整數(shù)，且對(duì)任意的時(shí)，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值【答案】（1）；（2）1.【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)在處的切線方程；（2）等價(jià)于在上恒成立，設(shè)，利用二次求導(dǎo)求出函數(shù)的最大值，即得解.【詳解】（1），在處的切線方程為即（2），即在上恒成立，在上恒成立，設(shè)，則，顯然，設(shè)，則，故在上單調(diào)遞減，由，由零點(diǎn)定理得，使得，即，且時(shí)，則，時(shí)，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又由，則，由恒成立，且m為整數(shù)，可得m的最小值為1【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是二次求導(dǎo)，在一次求導(dǎo)之后，如果函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不易求出，此時(shí)一般要進(jìn)行二次求導(dǎo)，求出新函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出新函數(shù)在什么范圍內(nèi)大于零，什么范圍

23、內(nèi)小于零，再結(jié)合已知分析得解.22設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)于任意的，不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）.【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，分別令導(dǎo)函數(shù)大于零、小于零可得答案；（2）由已知得到，然后令，利用導(dǎo)數(shù)求的最小值可得答案.【詳解】（1），令，得，令，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）若對(duì)于任意的，不等式恒成立，即對(duì)于任意的恒成立，令，令，所以在單調(diào)遞增，即，在上恒有恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問考查的是常量分離求參數(shù)的取值范圍問題，解決的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)無法直接

24、判斷符號(hào)時(shí)，可根據(jù)導(dǎo)函數(shù)解析式的特點(diǎn)以及定義域嘗試再求一次求導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而通過單調(diào)性和關(guān)鍵點(diǎn)（邊界點(diǎn)，零點(diǎn)）等確定符號(hào).23已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.(本題可能用的數(shù)據(jù)：，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))（1）求函數(shù)的解析式；（2）若對(duì)任意，不等式恒成立，求整數(shù)t的最大值.【答案】（1）；（2）最大值為8.【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，然后求在處的切線方程與已知作比較可得答案；（2）令(，轉(zhuǎn)化為，然后求可得答案.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，所以有，解之得，故函?shù)的解析式為：；（2）當(dāng)時(shí)，則，令()，則由題意知對(duì)任意的，而，再令()，則，所以在上為增函數(shù)，又，所以存在唯一的，使得，即，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，又，所以，因?yàn)閠為整數(shù)，所以t的最大值為8.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：