2.3函數(shù)的奇偶性

1、2.3函數(shù)的奇偶性基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)要點(diǎn)梳理1. 函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定 義域內(nèi)任意一個(gè)X,都 有f(-x)=f(x)那么函 數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于幽對(duì)稱奇函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定 義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有 f(-x)=-f(x)那么函數(shù) f(x)是奇函數(shù)關(guān)于愿點(diǎn)對(duì)稱思考奇偶函數(shù)的定義域有何特點(diǎn)?提確于定義中對(duì)任意一個(gè)X都有f (x)二f(X)或 f(-x)=-f(x) #說明定義域中任意一個(gè)X都有一個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的汰在定義域中點(diǎn)卩說明奇偶函數(shù) 的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.2. 奇偶函數(shù)的性質(zhì)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性相J虱 偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間

2、上的單調(diào)性相反(填 相同”、相反”)(2)在公共定義域內(nèi) 兩個(gè)奇函數(shù)的和是奄函塹，兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶 函數(shù)； 兩個(gè)偶函數(shù)的和、積是僵函數(shù); 一個(gè)奇函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)的積是奇函數(shù).基礎(chǔ)自測(cè)1.對(duì)任意實(shí)數(shù)X,下列函數(shù)中是奇函數(shù)的是y=2x-3;y=-3x2；y=ln 5%；y=-|x|cos x.解析 非奇非偶，為偶函數(shù),為奇函數(shù)，y二f (-X)二一xln 5二f (x)2.已知知=G+D 是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值等 才+1于_1_解析函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,A f (0) =0, ： 2a-2=0,即 a二1.3. 設(shè)函數(shù)f (x) = (x+l) (x+a)為偶函數(shù)則a=l_ 解析 Vf (x

3、) = (x+1) (x+a) =x2+ (a+1) x+a, 又f (-x) =f (x), Aa+l=0, Aa=-1.4. 已知函數(shù) /(x)=lg，若f(a)=b，則f(-a)二b 1+x解析 方法一 要使函數(shù)/(勸=1仝有意義，1+X需0,得lxl1 + X函數(shù)的定義域?yàn)閄 |-1x1,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱函數(shù)f(x)為奇函數(shù),由 f(a)=b,得 f(-a)=-f(a)=-b.方法二 由 f(a)=b,Wlg1+a典型例題深度剖析【例1】判斷下列函數(shù)的奇偶性,并說明理由.(l)f(x)=x2-|x|+l,xG -1,4;分初斷函數(shù)的奇偶性,首先要檢驗(yàn)其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱若關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

4、再嚴(yán)格按照奇偶性的定義進(jìn)行推理判斷.解 由于f (x) =x2-1X | +1, x丘-1,4的定義域不 是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間，因此,f(X)是非奇非偶函數(shù).V已知f(x)的定義域?yàn)?-1,1),其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.即f (-x) =f (x), A f (x)是偶函數(shù).7(3) Vf (x)的定義域?yàn)閤|xR,且xH0, 其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,并且有即 f (-X)二-f (x), f(X)為奇函數(shù).跟蹤練習(xí)1判斷下列各函數(shù)的奇偶性:2 + x2 - x ；門小H);八I宀21-2x - 2(x 10 (I X 1 1).解由點(diǎn)不對(duì)稱，故f(x)為非奇非偶函數(shù)占 30,得定義域?yàn)?2, 2

5、),關(guān)于原由J1-2 a得定義域?yàn)?-1, o)u(o, i).x2-2-2a這時(shí)心f(x)為偶函數(shù)(3)xl,/. f (-x)二- (-x) +2=x+2 二 f (x).xl時(shí)，f (x) =-x+2,f (-x) =-x+2二f (x).TWxWl時(shí)，f (x)=0, TW-xWl, f (-x) =0=f (x). 對(duì)定義域內(nèi)的每個(gè)x都有f (-x)二f (x). 因此f(x)是偶函數(shù).【例2】已知函數(shù)f(x),當(dāng)x,ygRB,f(x+y) (x) +f(y).求證:f(x)是奇函數(shù)；如果X G R+, f (x) 0,并且f (1)二L ,試求f (x)在2區(qū)間-2,6上的最值.分

6、析 根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義進(jìn)行證明，只 需證 f(x)+f(x)=O;根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義進(jìn)行證明，并注意函數(shù)奇 偶性的應(yīng)用.證明函數(shù)定義域?yàn)镽,其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. I f (x+y) =f (x) +f (y),令y二-x,/. f (0) =f (x) +f (-x).令 x=y=0, f (0)二f (0)+f (0),得f (0) =0. f (x) +f (-x) =0,得f (-x) =-f (x),f(x)為奇函數(shù).(2)解方法一設(shè)x,ywR+, f (x+y)二 f (x) +f (y), f (x+y) -f (x) =f (y).xwR+, f(y)0,.f (x+y)

7、-f (x)0,f (x+y) x,f(x)在(0, +8)上是減函數(shù). 又f (x)為奇函數(shù)，f (0) =0, Af (X)在(-8,+8)上是減函數(shù).Af (-2)為最大值,f(6)為最小值.vf(1)=_F心)75二i,f(6)=2f(3)=2f (1) +f (2) =-3所求f(x)在區(qū)間-2, 6上的最大值為1,最小值方法二 設(shè)x?！鼻襒, x2 e R. WJf(x2-x1)=f x2+(-x1) =f(x2) +f(-Xj) 二f(X2)-f(xj./ x2-x10, f (XqxJ 0. /. f (x2) -f(X) Q1 wvBPf(x1)f(x2)函數(shù)f(x)在R上為

8、減函數(shù).(3)解方法一由(知由上式易知f(X)在(-8, +QO)上為減函數(shù).又因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，從而不等式f(t2-2t) +f(2t2-k) 0 等價(jià)于 f (t2-2t) -2t2+k.即對(duì)一切 t e R有 3t2-2t-k0.從而判別式4 =4+12k0.上式對(duì)一切tGR均成立,從而判別式4 =4+12k0, k0時(shí), f (x)l.求證:f(x)-l為奇函數(shù)；求證:f(x)是R上的增函數(shù)；(3)若f (4)=5,解不等式f(3m2-m-2)3.(1)證明 定義在R上的函數(shù)f(x)對(duì)任意的xpx2gR,都有f(X+X2)=f (xj+f 區(qū))-1 成立，令X=X2=0,則f (0

9、+0)二f (0)+f (0) -1 得f (0)=1,令X二x, x2=-x,貝!f (x-x) =f (x) +f (-x)-1,：f(x)l + f(x)T =0,f(x)T為奇函數(shù)證明 由知,f(x)-l為奇函數(shù)任取 xpx2eR,且 X0. Vf (x1+x2)二f(X1)+f (x2)-1, f(X?-xj =f (x2) +f (-xj-1(x2)- f(X)-l二f(X2)-f(X)+l.當(dāng) x0 時(shí),f(x)l. f(X2-xj =f (x2) -f(X) +11, f(Xi)f(X2), f(x)是R上的增函數(shù)解 Vf(X1+X2)=f(X1)+f (x2) T且f =5,

10、 f =f (2+2) =f (2) +f (2) -1=5,f =3.A不等式即為f (3m2-m-2) f.Tf(x)是R上的增函數(shù)于是有 3m2-m-22,解3不等式f (3m2-m-2)3的解集為(-1-).【例4】(14分)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且滿 足 f (x 二一f (x) (1)求證：f(x)是周期函數(shù);(2)若f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)0WxWl時(shí)，f(x)*, 求使f(x)二丄在0, 2 009上的所有x的入數(shù).分析(1)貝需證明f(x+T)=f(x),即f(x)是以T為周期的周期函數(shù);(2)由第(1)問可知只需求一個(gè)周 期中f(x)=-如X的個(gè)數(shù)便可知在02 009

11、的x 的個(gè)數(shù).(1)證明 V f (x+2) =-f (x),A f (x+4) =f (x+2) =一 f (x) =f (x),f(x)是以4為周期的周期函數(shù)4分(2)解當(dāng)0WxWl時(shí)，f(x)丄2 設(shè)TWxWO,貝0OWxWl,故f(x)二-X (TWxWl).8分f(x)是奇函數(shù),Af (-X)=-f (x),又設(shè)lx3,則-1X-21, Af(x-2)=- (x-2).又 f (x-2) =-f (2-x) =f (-x) +2) =-f (-X) =-f (x), -f (x) =- (x-2),1f10 分f (x) (x-2)(lx3)2丄乂(1-V1)-(x2)(lx3)I

12、2由f(x) = 解得x=l12 分Vf (x)是以4為周期的周期函數(shù),故f(x) = -：的所有x=4n-l (nez).L令0W4n1W2 009,則丄4_ _214 分XVneZ, lWnW502 (nez),在0, 2 009上共有502個(gè)x使f (x)h p跟蹤練習(xí)4己知函數(shù)訊幻=山丄（a、b、cez）是 bx + c奇函數(shù)，且f=2,f3,求a、b、c的值.解 Vf (x)為奇函數(shù)， f (-X)=-f (x) nn ax + 1+ 1即=，-bx + c bx + c.(ax 2 + l)(h + c - bx + c)(-bx + c)(bx + c)2c(ax 2 + 1)(

13、-bx + c)(bx + c)Vax2+10, Ac=O.Tf (1)=2, =2.a+l=2b又f(2)3,滋+1 a2b v 把2b二a+l代入得業(yè) 0,由f (x)為奇函數(shù)知f (x) =-f (x)二- (-x) 2-2 (-X) =-x2-2x.即 f (x) =x (| x | -2).3. (2010 浙江寧波檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=g(x)+2,xw-3, 3,且g(x)滿足g(-x)二-g(x),若f (x)的最大值、最小值分別為M、N,則M+N琨解析 因?yàn)間(x)是奇函數(shù)故f(x)關(guān)于(0,2)對(duì)稱, 所以M+N=4.4(2010 -泰州模擬)f(x). g(x)都是定義

14、在R上的 奇函數(shù)，且F (x) =3f (x) +5g (x) +2,若F (a)=b,則 F (-a)二b+4解析 令G (x)二F (x) -2=3f (x) +5g (x), 故G(x)是奇函數(shù)，解得 F (-a)二一 b+45. （2010 無錫模擬）已知函數(shù)y=f （x）是定義在R上的奇函數(shù)，則下列函數(shù)中是奇函數(shù)的是（填序號(hào)）y=f(|x|)；y二f(-x)；y=x f(x)；y=f(x) +x. 解析 Vf (x)的定義域?yàn)镽,Af(|-x|)=f(|x|), /.y=f(|x|)是偶函數(shù); 令 F(x)二 f(x),則 F (-x) =f (x)二-f (-x)二-F (x),A

15、 F (x)是奇函數(shù).是奇函數(shù);令 M (x)二x f (x),則 M (-x) = x f (-x) =x f (x) =M (x),/. M (x)是偶函數(shù)；令 N(x) =f (x) +x,則 N (-x)二 f (-x) -x=-f (x) -x=-f(x)+x =-N (x),N (x)是奇函數(shù),故、是奇函數(shù).答案6.（2。9重慶）若他）二扎+。是奇函數(shù),則3匚 解析 Vf （-X）二-f（X）, (-1)2X-a = -f(l)f(2)解析 If(x)是偶函數(shù)其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱， 又Ty二f (x-2)的圖象是由y二f(x)向右平移2個(gè)單位得到的，而y=f(x-2)在0,2上單調(diào)遞

16、增,；f(x)在-2, 0上單調(diào)遞增，在0,2上單調(diào)遞減,l)=f 且 f(0)f (l)f ,其大小關(guān)系為f(0)f(-l)f.二、解答題10. (2009 江蘇金陵中學(xué)三模)已知f(x)是實(shí)數(shù)集R 上的函數(shù)，且對(duì)任意xER, f(x)=f(x+l)+f(x-l)恒成立.(1) 求證:f(x)是周期函數(shù)；(2) 已知f =2,求f(2 004).(1) 證明 Vf (x)二 f (x+1) +f (x-1)/. f (x+l)=f (x) -f (x-1),貝！Jf (x+2) =f (x+1) +1 =f (x+1) f (x)=f (x) -f (x-1) -f (x) =-f (x-1

17、). f (x+3) =f (x+l)+2 =-f (x+l)-l=-f (x).:.f (x+6) =f (x+3) +3 =-f (x+3) =f (x).f(x)是周期函數(shù)且6是它的一個(gè)周期.(2) 解 f(2 004) =f (334 X 6) =f (0) =-f (3) =-2.11. (2009 廣東東莞模擬)已知函數(shù)f (x)p2 + 1 (XH0,常數(shù)aWR).(1)當(dāng) a=2 時(shí)，解不等式 f(x)-f(x-l) 2x-l;討論函數(shù)f(x)的奇偶性,并說明理由.解 (la = 2W,/(x) = x2 + -,X2/(x-l) = (x-l)2 +，X-1丄少292由x +(x 1) 2兀 _ 1，XX 12 2得 0,即兀(兀 一 1) 0，.0 x 1,x x 1原不等式的解集為x|0x0