物理光學(xué)第四章

1、1 / 88 * 2 / 88 * 衍射衍射：光在傳播中遇到障礙物時(shí)，偏離原：光在傳播中遇到障礙物時(shí)，偏離原 來(lái)傳播方向進(jìn)入障礙物的幾何陰影區(qū)的現(xiàn)來(lái)傳播方向進(jìn)入障礙物的幾何陰影區(qū)的現(xiàn) 象象. 衍射是光衍射是光波動(dòng)性波動(dòng)性的表現(xiàn)，是影響光學(xué)成像的表現(xiàn)，是影響光學(xué)成像 系統(tǒng)性能的主要因素之一系統(tǒng)性能的主要因素之一. 使光發(fā)生衍射的障礙物（小孔、狹縫），使光發(fā)生衍射的障礙物（小孔、狹縫）， 稱(chēng)為稱(chēng)為衍射屏衍射屏. 3 / 88 * 4 / 88 * 最早利用波動(dòng)原理解釋衍射現(xiàn)象的是最早利用波動(dòng)原理解釋衍射現(xiàn)象的是菲涅爾。菲涅爾。 本章采用基爾霍夫（本章采用基爾霍夫（G. Kirchhoff）的標(biāo)量衍

2、）的標(biāo)量衍 射理論。射理論。 衍射現(xiàn)象分為兩類(lèi)衍射現(xiàn)象分為兩類(lèi)： （1）菲涅爾衍射菲涅爾衍射，觀察屏距衍射屏不太遠(yuǎn)；，觀察屏距衍射屏不太遠(yuǎn)； （2）夫瑯禾費(fèi)（夫瑯禾費(fèi)（J. Fraunhofer）衍射）衍射，觀察屏，觀察屏 和光源距離衍射屏無(wú)限遠(yuǎn)。和光源距離衍射屏無(wú)限遠(yuǎn)。 5 / 88 * S 圖5-2 惠更斯惠更斯-菲涅爾原理菲涅爾原理 6 / 88 * 考察單色點(diǎn)源考察單色點(diǎn)源S對(duì)對(duì)P的作用的作用 用用 波前代替點(diǎn)光源波前代替點(diǎn)光源S 波前上波前上Q點(diǎn)的復(fù)振幅點(diǎn)的復(fù)振幅： Q點(diǎn)面元點(diǎn)面元d 對(duì)對(duì)P的作用的作用 C常數(shù)，常數(shù)，K( )傾斜因子傾斜因子 ， 衍射角衍射角 R r P S z z

3、 圖5-3 Q )exp( ikR R A EQ d r ikr ECKPEd Q )exp( )()( 7 / 88 * 菲涅爾假設(shè)：菲涅爾假設(shè)：K( ) ，K( =90)=0，故只有故只有 面上面上 的點(diǎn)對(duì)的點(diǎn)對(duì)P有貢獻(xiàn)有貢獻(xiàn) 所有所有 面上的點(diǎn)對(duì)面上的點(diǎn)對(duì)P點(diǎn)的貢獻(xiàn)和：點(diǎn)的貢獻(xiàn)和： 惠更斯惠更斯-菲涅爾原理的數(shù)學(xué)表達(dá)菲涅爾原理的數(shù)學(xué)表達(dá) 波前波前 可以是任意曲面，此時(shí)可以是任意曲面，此時(shí) 惠更斯惠更斯-菲涅爾原理的推廣菲涅爾原理的推廣 dK r ikr ECPE Q )( )exp( )( dK r ikr ECPE Q )( )exp( )( 8 / 88 * 惠更斯惠更斯-菲涅爾原理

4、不嚴(yán)格，例如菲涅爾原理不嚴(yán)格，例如K( )的引入缺乏理論的引入缺乏理論 依據(jù)，沒(méi)有具體形式依據(jù)，沒(méi)有具體形式. 基爾霍夫（基爾霍夫（1882）找到標(biāo)量波衍射的較嚴(yán)格數(shù)學(xué)表達(dá)）找到標(biāo)量波衍射的較嚴(yán)格數(shù)學(xué)表達(dá) 式，得出式，得出K( )的具體形式的具體形式: l 從微分波動(dòng)方程（亥姆霍茲方程）出發(fā)從微分波動(dòng)方程（亥姆霍茲方程）出發(fā) l 利用格林定理利用格林定理 基爾霍夫衍射理論基爾霍夫衍射理論* 詳細(xì)推導(dǎo)參看詳細(xì)推導(dǎo)參看“物理光學(xué)物理光學(xué)”-梁銓廷梁銓廷 P167-170 9 / 88 * 考察平面屏上一透光孔徑考察平面屏上一透光孔徑 S 單色點(diǎn)光源單色點(diǎn)光源 P 所考察場(chǎng)點(diǎn)所考察場(chǎng)點(diǎn) 數(shù)學(xué)依據(jù)：數(shù)

5、學(xué)依據(jù)：任一點(diǎn)光場(chǎng)任一點(diǎn)光場(chǎng)P點(diǎn)的擾動(dòng)可點(diǎn)的擾動(dòng)可 由包圍該點(diǎn)的閉曲面上各點(diǎn)的場(chǎng)值及由包圍該點(diǎn)的閉曲面上各點(diǎn)的場(chǎng)值及 其梯度值表示出來(lái)（疊加積分）其梯度值表示出來(lái)（疊加積分）. 21 作閉曲面 兩個(gè)假定兩個(gè)假定-基爾霍夫邊界條件基爾霍夫邊界條件 1. 開(kāi)孔（開(kāi)孔（）處光場(chǎng)及其梯度值與無(wú)屏?xí)r相同）處光場(chǎng)及其梯度值與無(wú)屏?xí)r相同忽略了屏對(duì)場(chǎng)的影響忽略了屏對(duì)場(chǎng)的影響; 2. 緊貼屏（緊貼屏（1）后無(wú)擾動(dòng)，光場(chǎng)及梯度值均為）后無(wú)擾動(dòng)，光場(chǎng)及梯度值均為0忽略了場(chǎng)在屏后的擴(kuò)展忽略了場(chǎng)在屏后的擴(kuò)展. 屏對(duì)場(chǎng)的影響只發(fā)生在孔徑邊緣波長(zhǎng)量級(jí)的極小范圍，屏對(duì)場(chǎng)的影響只發(fā)生在孔徑邊緣波長(zhǎng)量級(jí)的極小范圍， 所以只要所以

6、只要 的線度及的線度及S，P 與開(kāi)孔的距離遠(yuǎn)大于與開(kāi)孔的距離遠(yuǎn)大于，上述二假設(shè)成立，上述二假設(shè)成立. Q 10 / 88 * 21 閉曲面 21 . dddd 邊界條件邊界條件2 0 R 0 運(yùn)算結(jié)果運(yùn)算結(jié)果 d lnrn r ikr QE i PE 2 ),cos(),cos()exp( )( 1 )( 菲涅爾基爾霍夫衍射公式菲涅爾基爾霍夫衍射公式 Q 11 / 88 * )exp()( ikl l A QE d lnrn r ikr l ikl i A PE 2 ),cos(),cos()exp()exp( )( A: 離點(diǎn)光源S 單位距離處的振幅， l: S到Q的矢徑， r : 是P到Q

7、的矢徑, n: 是子波元的法線方向單位矢量 Q 12 / 88 * B區(qū)域（近場(chǎng)）：區(qū)域（近場(chǎng)）：菲涅耳菲涅耳 衍射衍射，光強(qiáng)分布的大小，光強(qiáng)分布的大小 和形式都發(fā)生變化；和形式都發(fā)生變化； C區(qū)域（遠(yuǎn)場(chǎng)）：區(qū)域（遠(yuǎn)場(chǎng)）：夫瑯和夫瑯和 費(fèi)衍射費(fèi)衍射，光強(qiáng)分布只有，光強(qiáng)分布只有 大小的變化。大小的變化。 13 / 88 * d lnrn r ikr l ikl i A PE 2 ),cos(),cos()exp()exp( )( 用用5.19式計(jì)算衍射，不易求出積分，式計(jì)算衍射，不易求出積分， 因此在實(shí)際的問(wèn)題中，需要近似處理。因此在實(shí)際的問(wèn)題中，需要近似處理。 傍軸近似傍軸近似以簡(jiǎn)化衍射公式：

8、 (1)取cos(n,r)=cos1， K()=(1+cos)/2 1 (2)球面波幅度因子1/r 1/z1 (3)相位因子須更高階近似 y1 x1 y x r z Q P 14 / 88 * 做出(1)(2)兩個(gè)近似后， E(P)= E(Q) exp(ikr) d/ (iz1) (5-21) 式中，E(Q)=Aexp(ik)/ y1 x1 y x r z Q P 下一步的近似要對(duì)下一步的近似要對(duì)r做出做出: 2/1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 )()(1)()( z yy z xx zyyxxzr 若忽略三次及以上各項(xiàng)， 取rz11+(x-x1)2+(y-y1)2/(

9、2z12)， 則為菲涅爾近似菲涅爾近似 15 / 88 * 11 2 1 2 1 1 11 1 1 dydxyyxx 2 ik exp)y,E(x i )exp(ikz y)E(x, zz 外E(x1,y1)=0，故積分可在整個(gè)x1y1平面進(jìn)行： 菲涅爾衍射公式菲涅爾衍射公式 11 2 1 2 1 1 11 1 1 dydxyyxx z2 ik exp)y,E(x zi )exp(ikz y)E(x, 16 / 88 * 夫瑯和費(fèi)近似夫瑯和費(fèi)近似 觀察屏距離衍射孔更遠(yuǎn)的地方，觀察屏距離衍射孔更遠(yuǎn)的地方， (x12+y12)/(2z1) ，r z1+(x2+y2)/(2z1)-(xx1+yy1)

10、/z1夫瑯和費(fèi)近似夫瑯和費(fèi)近似 此時(shí)的衍射公式為此時(shí)的衍射公式為夫瑯和費(fèi)衍射夫瑯和費(fèi)衍射： 11 1 1 1 1 11 22 11 1 dydx z yy z xx 2iexp)y,E(xyx z2 ik exp zi )exp(ikz y)E(x, 17 / 88 * 18 / 88 * (x1, y1)(x, y) 問(wèn)題：?jiǎn)栴}： 有沒(méi)有近距離就可以得到夫瑯和費(fèi)衍射的方法？有沒(méi)有近距離就可以得到夫瑯和費(fèi)衍射的方法？ 19 / 88 * 復(fù)振幅透過(guò)率函數(shù)復(fù)振幅透過(guò)率函數(shù)t(x1, y1) 對(duì)于薄透鏡：對(duì)于薄透鏡： f yxik yxtA yxtyxtAyxE l 2 )( exp),( ),(

11、),(),( 2 1 2 1 11 111111 這里用到了這里用到了菲涅爾近似條件：菲涅爾近似條件： f yx fr 2 22 E(x1, y1)E(x1, y1)= E (x1, y1)*t(x1, y1)* tl(x1, y1) 20 / 88 * 平面波照明孔徑平面波照明孔徑 (x1, y1) E(x1, y1) (x, y) f 利用利用菲涅爾衍射公式：菲涅爾衍射公式： 11 2 1 2 111 dydxyyxx 2 ik exp)y,(xE i )exp(ik y)E(x, f f f )( 2 exp )exp( dydx)(exp)y,(xy)E(x, 22 111111 yx

12、 f ik fi ikfA C yyxx f ik tC 代入代入E(x1, y1) 該式即為：該式即為： 21 / 88 * (x1, y1) E (x1, y1) (x, y) f 平面波斜入射照明孔徑平面波斜入射照明孔徑 設(shè)波矢設(shè)波矢k的方向角為的方向角為(，) E (x1, y1) )coscos(2 exp),( 11 11 yxi AyxE ),(),(),(),( 11111111 yxtyxtyxEyxE l 后焦面的場(chǎng)分布為：后焦面的場(chǎng)分布為： )( 2 exp )exp( dydx)cos()cos(exp)y,(xy)E(x, 22 111111 yx f ik fi i

13、kfA C yfyxfx f ik tC 22 / 88 * 球面波照明孔徑球面波照明孔徑 (x1, y1) E(x1, y1)E(x1, y1) (x, y) ll l yxik AyxE 2 )( exp),( 2 1 2 1 11 ),(),(),(),( 11111111 yxtyxtyxEyxE l 用到菲涅爾近似條件菲涅爾近似條件 代入代入菲涅爾衍射公式菲涅爾衍射公式 并利用：并利用：成像關(guān)系成像關(guān)系 觀察屏上的場(chǎng)分布為：觀察屏上的場(chǎng)分布為： )( 2 exp ) exp( dydx)( exp)y,(xy)E(x, 22 111111 yx l ik li iklA C yyxx

14、 l ik tC 4-4 23 / 88 * (x1, y1) E(x1, y1)E(x1, y1) (x, y) ll 24 / 88 * 夫瑯和費(fèi)衍射公式的意義夫瑯和費(fèi)衍射公式的意義 1111 22 dydxyyxxiexp) 2 yx (exp i y)E(x, f k f fik f A 孔徑面坐標(biāo)原點(diǎn)C 到P點(diǎn)的相位延遲 點(diǎn)Q與C的子波到 達(dá)P點(diǎn)的相位差 v參考圖5-10，設(shè)CH連線的單位矢量為 q，d0，CP連線的長(zhǎng)度為r vrf+(x2+y2)/(2f) ，即為(5-28)積分前的 指數(shù)冪項(xiàng) vQ點(diǎn)發(fā)出、方向?yàn)閝的光線，相對(duì)于 CH的光程差=(xx1+yy1)/f，即為(5-28

15、) 積分內(nèi)的指數(shù)冪項(xiàng) 25 / 88 * 111111 22 dydxyyxxiexp),() 2 yx (exp i y)E(x, f k yxt f fik f A 26 / 88 * 矩孔衍射矩孔衍射 a b x1 y1 x y x y )exp( C 2 kwb 2 kwb sin 2 kla 2 kla sin f2 yx ikexpC dydxwylxikexp f2 yx ikexpCE 22 1 2a/ 2a/ 2b/ 2b/ 11 22 1 ikf f CA 式中： 點(diǎn)的強(qiáng)度 00 2 2 0 * P: 2kwb/ 2,kla/ , sin sin IEEI I 27 / 8

16、8 * 28 / 88 * 29 / 88 * 30 / 88 * 31 / 88 * 單縫衍射單縫衍射 32 / 88 * 33 / 88 * x y x1 y1 Q r1 1 P r frddrrd ryrx ryrx /. sin,cos sin,cos 111 111111 令衍射角： 代入式5.28 111 a 0 2 0 11 ddrrosikrexpCE(P) c 上式省略了 expik(x2+y2)/(2f) 11 0 1011 0 10 2 0 0 d)(2d)(2)( diZcosexp 2 1 (Z)J rrkrJCrrkrJCPE aa 由于 34 / 88 * ka

17、kaJ2 CE(P) (Z)ZJ(Z)ZJ dZ d 1 2 01 a ， )d()()( )( 2 d)(2)( 11 0 101 2 11 0 10 krrkrJkr k C rrkrJCPE kaa Z=ka 35 / 88 * 強(qiáng)度分布討論強(qiáng)度分布討論 36 / 88 * 37 / 88 * 38 / 88 * 39 / 88 * 40 / 88 * 41 / 88 * 42 / 88 * (a) (b) Gran Telescopio CANARIAS: First Location: La Palma, Canary Islands, Spain; Aperture (meters

18、) : 10.4 m (c) twin Keck Telescopes: Second Location: Mauna Kea, Hawaii, USA; Aperture (meters) :10.0 m(d) Southern African Large Telescope: Third Location:South African Astronomical Observatory; Aperture (meters) : 10.0 m 43 / 88 * 44 / 88 * 45 / 88 * 46 / 88 * 47 / 88 * 波面越受限制，衍射效果越明顯； 波長(zhǎng)越長(zhǎng)，衍射效果越明

19、顯； 孔徑在原所在面內(nèi)移動(dòng)，衍射光強(qiáng)不變； 光源的傾斜引起衍射圖樣的移動(dòng)； 衍射屏的分解。 作業(yè)：作業(yè)：4.9、4.10、 4.12、4.13、4.18 48 / 88 * x1 y1 x y S a d b 雙縫衍射的強(qiáng)度分布？雙縫衍射的強(qiáng)度分布？ 49 / 88 * ikldexp1 2kwb 2kwbsin 2kla 2klasin abC dyikwyexpdxiklxexpC dyikwyexpdxiklxexpCE(P) 1 2b/ 2b/ 11 2a/d 2a/d 1 1 2b/ 2b/ 11 2a/ 2a/ 1 50 / 88 * ikldexp1 2kla 2klasin a

20、bCE(P) 上式說(shuō)明，兩個(gè)在上式說(shuō)明，兩個(gè)在P點(diǎn)產(chǎn)生的復(fù)振幅有一點(diǎn)產(chǎn)生的復(fù)振幅有一相位差相位差： sin 2 kldd a d x P dsin 圖5-32 令令kla/2= ，I0=(ab)2|C|2，由由 I(P)=E(P)E*(P)，得到得到P點(diǎn)光強(qiáng)點(diǎn)光強(qiáng) 2cossinI4I(P) 2 2 0 51 / 88 * v光強(qiáng)包含兩個(gè)因子： v（1）單縫衍射因子(sin/)2 v（2）雙縫干涉因子cos2(/2) v =kdsin是來(lái)自對(duì)應(yīng)兩光束的位相差，見(jiàn) 圖(4.6.3) 2cossinI4I(P) 2 2 0 討論討論 52 / 88 * 53 / 88 * 衍射因子和干涉衍射因子和

21、干涉 因子分解合成圖因子分解合成圖 54 / 88 * 單縫和雙縫衍射比較單縫和雙縫衍射比較 55 / 88 * 視頻展示：視頻展示： 56 / 88 * x1 x P S d G 圖5-37 利用上節(jié)雙縫衍射結(jié)論利用上節(jié)雙縫衍射結(jié)論 57 / 88 * 在在x1方向上兩個(gè)相距方向上兩個(gè)相距d的等寬的等寬 狹縫在狹縫在P點(diǎn)有一相位差：點(diǎn)有一相位差： x1 x P S d G 圖5-37 sin 2 kldd 單個(gè)縫在單個(gè)縫在P點(diǎn)產(chǎn)生的振幅：點(diǎn)產(chǎn)生的振幅： 點(diǎn)產(chǎn)生的振幅為單縫在 00 0 P sin )( E EPEs 令衍射屏第一個(gè)縫在令衍射屏第一個(gè)縫在P點(diǎn)的復(fù)振幅相點(diǎn)的復(fù)振幅相 位為位為0，

22、那么第，那么第1、2、3縫在縫在P點(diǎn)點(diǎn) 的復(fù)振幅分別為：的復(fù)振幅分別為： ).2exp( sin ),exp( sin , sin 000 iEiEE 58 / 88 * P點(diǎn)的復(fù)振幅之和為：點(diǎn)的復(fù)振幅之和為： 2 2 0 0 0 2 sin 2 sin sin 2 ) 1(exp 2 sin 2 sin sin ) 1(exp.)exp(1 sin )( N II Ni N E NiiEPE 59 / 88 * 2 2 0 2 sin 2 sin sin N II 討論討論 單縫衍射因子單縫衍射因子 多光束干涉因子極大值：多光束干涉因子極大值： 各主極大的強(qiáng)度為：各主極大的強(qiáng)度為： mdmd

23、sin2sin 2 多光束干涉因子多光束干涉因子 多光束干涉因子極小值：多光束干涉因子極小值： 1,.2 , 1.,2, 1, 0.) ( 2 Nmm N m m 兩個(gè)相鄰主極大之間有兩個(gè)相鄰主極大之間有N-1個(gè)個(gè)0值值 2 0 2 ) sin ( INIm 主極大與相鄰零值角距離：主極大與相鄰零值角距離： cosNd 60 / 88 * 圖圖(5-38)：4縫衍射的強(qiáng)度縫衍射的強(qiáng)度 分布曲線分布曲線 61 / 88 * 圖圖5-39：不同縫數(shù)的多縫：不同縫數(shù)的多縫 夫瑯和費(fèi)衍射圖樣夫瑯和費(fèi)衍射圖樣 62 / 88 * 視頻展示：視頻展示： Ronchi ruling: 朗奇刻線法 63 /

24、88 * 衍射光柵衍射光柵：由大量等寬等間距的狹縫構(gòu)成的光學(xué)元件。：由大量等寬等間距的狹縫構(gòu)成的光學(xué)元件。 光柵的定義光柵的定義 基本作用基本作用：按波長(zhǎng)進(jìn)行光束的空間分離：按波長(zhǎng)進(jìn)行光束的空間分離 基本用途基本用途：光譜儀中的分光元件：光譜儀中的分光元件 64 / 88 * 表明：亮線衍射角表明：亮線衍射角與波長(zhǎng)與波長(zhǎng)相關(guān)。相關(guān)。d稱(chēng)為稱(chēng)為光柵常數(shù)光柵常數(shù) 該式為該式為光柵方程光柵方程。 但它只適用于光垂直入射情況，對(duì)于斜入射情況：但它只適用于光垂直入射情況，對(duì)于斜入射情況： 兩支光兩支光R1、R2的光程差為：的光程差為： 65 / 88 * 66 / 88 * 角色散、線色散是光譜儀的重要

25、質(zhì)量指標(biāo)，角色散、線色散是光譜儀的重要質(zhì)量指標(biāo)， 色散越大，越容易將兩條靠近的譜線分開(kāi)。色散越大，越容易將兩條靠近的譜線分開(kāi)。 實(shí)用光柵通常每毫米上千條刻線。實(shí)用光柵通常每毫米上千條刻線。 67 / 88 * 如何計(jì)算如何計(jì)算？ 68 / 88 * 69 / 88 * )( d d mNNdm d cos cos 對(duì)于60mm，1200線/mm的光柵，600nm光，對(duì)應(yīng)1級(jí)，其分辨最小波長(zhǎng)差為0.008nm 70 / 88 * 概念：概念：相鄰級(jí)次的光譜相鄰級(jí)次的光譜 不發(fā)生重疊的波長(zhǎng)范圍。不發(fā)生重疊的波長(zhǎng)范圍。 m mm / ) 1()( 71 / 88 * 閃耀光柵可以解決問(wèn)題閃耀光柵可以解決問(wèn)題 72 / 88 * 閃耀角：閃耀角： 垂至于槽面入射，衍射的主極大就出現(xiàn)垂至于槽面入射，衍射的主極大就出現(xiàn) 在這個(gè)方向。對(duì)于光柵平面來(lái)說(shuō)，入射在這個(gè)方向。對(duì)于光柵平面來(lái)說(shuō)，入射 光以角度光以角度入射的，根據(jù)衍射方程：入射的，根據(jù)衍射方程： b md did sin2 sin2)sin(sin 如果： 如圖所示，點(diǎn)光源P發(fā)出的球面波中