北師大版高中數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和》

1、第3課時(shí)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和知能目標(biāo)解讀1.掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法-錯(cuò)位相減法，并能用其思想方法求某類特殊數(shù)列的前n項(xiàng)和.2.掌握等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式以及性質(zhì)，并能應(yīng)用公式解決有關(guān)等比數(shù)列前n項(xiàng)的問題.在應(yīng)用時(shí)，特別要注意q=1和q1這兩種情況.3.能夠利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題.重點(diǎn)難點(diǎn)點(diǎn)撥重點(diǎn)：掌握等比數(shù)列的求和公式，會(huì)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式解決有關(guān)問題.難點(diǎn)：研究等比數(shù)列的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式及公式的靈活運(yùn)用.學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)1.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（1）設(shè)等比數(shù)列an，其首項(xiàng)為a1，公比為q，則其前n項(xiàng)和公式為 na1(q=1)sn=

2、.(q1)也就是說，公比為q的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是q的分段函數(shù)的一系列函數(shù)值，分段的界限是在q=1處.因此，使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，必須要弄清公比q是可能等于1還是不等于1，如果q可能等于1，則需分q=1和q1進(jìn)行討論.（2）等比數(shù)列an中，當(dāng)已知a1,q(q1)，n時(shí)，用公式sn=，當(dāng)已知a1,q(q1)，an時(shí)，用公式sn=.2.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)除課本上用錯(cuò)位相減法推導(dǎo)求和公式外，還可以用下面的方法推導(dǎo).(1)合比定理法由等比數(shù)列的定義知：=q.當(dāng)q1時(shí)，=q,即=q.故sn=.當(dāng)q=1時(shí)，sn=na1.(2)拆項(xiàng)法sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1=a1+q(a

3、1+a1q+a1qn-2)=a1+qsn-1=a1+q(sn-an)當(dāng)q1時(shí)，sn=.當(dāng)q=1時(shí)，sn=na1.(3)利用關(guān)系式sn-sn-1=an(n2)當(dāng)n2時(shí)，sn=a1+a2+a3+an=a1+q(a1+a2+an-1)=a1+qsn-1sn=a1+q(sn-an)即(1-q)sn=a1(1-qn)當(dāng)q1時(shí)，有sn=,當(dāng)q=1時(shí)，sn=na1.注意：(1)錯(cuò)位相減法，合比定理法，拆項(xiàng)法及an與sn的關(guān)系的應(yīng)用，在今后解題中要時(shí)常用到，要領(lǐng)會(huì)這些技巧.(2)錯(cuò)位相減法適用于an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，求anbn的前n項(xiàng)和.3.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用（1）衡量等比數(shù)列的量共有五個(gè)：

4、a1,q,n,an,sn.由方程組知識可知，解決等比數(shù)列問題時(shí)，這五個(gè)量中只要已知其中的任何三個(gè)，就可以求出其他兩個(gè)量.（2）公比q是否為1是考慮等比數(shù)列問題的重要因素，在求和時(shí)，注意分q=1和q1的討論.4.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系(1)當(dāng)公比q1時(shí)，令a=，則等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可寫成sn=-aqn+a的形式.由此可見，非常數(shù)列的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和sn是由關(guān)于n的一個(gè)指數(shù)式與一個(gè)常數(shù)的和構(gòu)成的，而指數(shù)式的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)互為相反數(shù).當(dāng)公比q=1時(shí)，因?yàn)閍10，所以sn=na1是n的正比例函數(shù)（常數(shù)項(xiàng)為0的一次函數(shù)）.(2)當(dāng)q1時(shí)，數(shù)列s1,s2,s3,sn,的圖像是函數(shù)y=-aqx

5、+a圖像上的一群孤立的點(diǎn).當(dāng)q=1時(shí)，數(shù)列s1,s2,s3,sn,的圖像是正比例函數(shù)y=a1x圖像上的一群孤立的點(diǎn).知能自主梳理1.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式（1）等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,當(dāng)公比q1時(shí)，sn=;當(dāng)q=1時(shí)，sn=.(2)推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法是.2.公式特點(diǎn)（1）若數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn=p(1-qn)(p為常數(shù))，且q0,q1，則數(shù)列an為.（2）在等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式中共有a1,an,n,q,sn五個(gè)量，在這五個(gè)量中知求.答案1.（1）na1(2)錯(cuò)位相減法2.（1）等比數(shù)列（2）三二思路方法技巧命題方向等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用例1設(shè)數(shù)列an是等比數(shù)列，其前n項(xiàng)

6、和為sn,且s3=3a3,求此數(shù)列的公比q.分析應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，注意對公比q的討論.解析當(dāng)q=1時(shí)，s3=3a1=3a3,符合題目條件；當(dāng)q1時(shí)，=3a1q2,因?yàn)閍10,所以1q3=3q2(1-q),2q3-3q2+1=0,(q-1) 2(2q+1)=0,解得q=-.綜上所述，公比q的值是1或.說明（1）在等比數(shù)列中，對于a1,an,q,n,sn五個(gè)量，已知其中三個(gè)量，可以求得其余兩個(gè)量.（2）等比數(shù)列前n項(xiàng)和問題，必須注意q是否等于1，如果不確定，應(yīng)分q=1或q1兩種情況討論.（3）等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式中，當(dāng)q1時(shí)，若已知a1,q,n利用sn=來求；若已知a1,an,q,利用s

7、n=來求.變式應(yīng)用1在等比數(shù)列an中,已知s3=,s6=,求an.解析s6=,s3=,s62s3，q1. = 得1+q3=9,q=2.將q=2代入，得a1=,an=a1qn-1=2n-2.命題方向等比數(shù)列前n項(xiàng)的性質(zhì)例2在等比數(shù)列an中，已知sn=48,s2n=60,求s3n.分析利用等比數(shù)列前n項(xiàng)的性質(zhì)求解.解析an為等比數(shù)列，sn,s2n-sn,s3n-s2n也成等比數(shù)列，(s2n-sn) 2=sn(s3n-s2n)s3n=+s2n=+60=63.說明等比數(shù)列連續(xù)等段的和若不為零時(shí)，則連續(xù)等段的和仍成等比數(shù)列.變式應(yīng)用2等比數(shù)列an中，s2=7，s6=91,求s4.解析解法一：an為等比數(shù)

8、列，s2，s4-s2，s6-s4也為等比數(shù)列，（s4-7）2=7（91-s4），解得s4=28或-21.s4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=s2+s2q2=s2(1+q2)0,s4=28.解法二：s2=7,s6=91,q1.=7 =91 得q4+q2-12=0,q2=3,q=.當(dāng)q=時(shí)，a1=,s4=28.當(dāng)q=-時(shí)，a1=-,s4=28.探索延拓創(chuàng)新命題方向等比數(shù)列前n項(xiàng)和在實(shí)際問題中的應(yīng)用例3某公司實(shí)行股份制，一投資人年初入股a萬元，年利率為25%，由于某種需要，從第二年起此投資人每年年初要從公司取出x萬元.（1）分別寫出第一年年底，第二年年底，第三年年底此投資人

9、在該公司中的資產(chǎn)本利和；（2）寫出第n年年底，此投資人的本利之和bn與n的關(guān)系式（不必證明）；（3）為實(shí)現(xiàn)第20年年底此投資人的本利和對于原始投資a萬元恰好翻兩番的目標(biāo)，若a=395,則x的值應(yīng)為多少?(在計(jì)算中可使用lg20.3)解析(1)第一年年底本利和為a+a25%=1.25a,第二年年底本利和為（1.25a-x）+(1.25a-x)25%=1.252a-1.25x,第三年年底本利和為（1.252a-1.25x-x）+(1.252a-1.25x-x)25%=1.253a-(1.252+1.25)x.(2)第n年年底本利和為bn=1.25na-(1.25n-1+1.25n-2+1.25)x

10、.(3)依題意，有3951.2520-(1.2519+1.2518+1.25)x=4395,x=.設(shè)1.2520=t,lgt=20lg（）=20(1-3lg2)=2.t=100,代入解得x=96.變式應(yīng)用3某大學(xué)張教授年初向銀行貸款2萬元用于購房，銀行貨款的年利息為10，按復(fù)利計(jì)算（即本年的利息計(jì)入次年的本金生息）.若這筆款要分10年等額還清，每年年初還一次，并且以貸款后次年年初開始?xì)w還，問每年應(yīng)還多少元？解析第1次還款x元之后到第2次還款之日欠銀行20000（110）x=200001.1x,第2次還款x元后到第3次還款之日欠銀行20000(1+10%)-x(1+10%)-x=200001.1

11、2-1.1x-x,第10次還款x元后，還欠銀行200001.1101.19x-1.18x-x,依題意得，第10次還款后，欠款全部還清，故可得200001.110（1.191.181）x=0,解得x=3255(元).名師辨誤做答例4求數(shù)列1，a+a2,a3+a4+a5,a6+a7+a8+a9,的前n項(xiàng)和.誤解所求數(shù)列的前n項(xiàng)和sn=1+a+a2+a3+a=.辨析所給數(shù)列除首項(xiàng)外，每一項(xiàng)都與a有關(guān)，而條件中沒有a的范圍，故應(yīng)對a進(jìn)行討論.正解由于所給數(shù)列是在數(shù)列1,a,a2,a3,中依次取出1項(xiàng)，2項(xiàng)，3項(xiàng)，4項(xiàng)，的和所組成的數(shù)列.因而所求數(shù)列的前n項(xiàng)和中共含有原數(shù)列的前（1+2+n）項(xiàng).所以sn

12、=1+a+a2+a.當(dāng)a=0時(shí)，sn=1.當(dāng)a=1時(shí)，sn=.當(dāng)a0且a1時(shí)，sn=.課堂鞏固訓(xùn)練一、選擇題1.等比數(shù)列an的公比q=2，前n項(xiàng)和為sn，則=（）a.2 b.4c. d. 答案c解析由題意得=.故選c.2.等比數(shù)列an的前3項(xiàng)和等于首項(xiàng)的3倍，則該等比數(shù)列的公比為（）a.-2b.1c.-2或1d.2或-1答案c解析由題意可得，a1+a1q+a1q2=3a1,q2+q-2=0,q=1或q=-2.3.等比數(shù)列2n的前n項(xiàng)和sn=（）a.2n-1b.2n-2c.2n+1-1d.2n+1-2答案d解析等比數(shù)列2n的首項(xiàng)為2，公比為2.sn=2n+1-2,故選d.二、填空題4.若數(shù)列an

13、滿足：a1=1,an+1=2an（nn+），則a5=;前8項(xiàng)的和s8=.（用數(shù)字作答）答案16255解析考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式.q=2,a5=a1q4=16,s8=28-1=255.5.在等比數(shù)列an中，sn表示前n項(xiàng)和，若a3=2s2+1,a4=2s3+1,則公比q=.答案3解析a3=2s2+1,a4=2s3+1,兩式相減，得a3-a4=-2a3,a4=3a3,q=3.三、解答題6.在等比數(shù)列an中，已知a6-a4=24，a3a5=64，求數(shù)列an的前8項(xiàng)和.解析解法一：設(shè)數(shù)列an的公比為q，根據(jù)通項(xiàng)公式an=a1qn-1，由已知條件得a6-a4=a1q3(q2-1)=24,a

14、3a5=(a1q3) 2=64,a1q3=8.將a1q3=-8代入式，得q2=-2,沒有實(shí)數(shù)q滿足此式，故舍去.將a1q3=8代入式，得q2=4,q=2.當(dāng)q=2時(shí)，得a1=1,所以s8=255;當(dāng)q=-2時(shí)，得a1=-1，所以s8=85.解法二：因?yàn)閍n是等比數(shù)列，所以依題意得a24=a3a5=64,a4=8,a6=24+a4=248.因?yàn)閍n是實(shí)數(shù)列，所以0,故舍去a4=-8,而a4=8，a6=32，從而a5=16.公比q的值為q=2,當(dāng)q=2時(shí)，a1=1,a9=a6q3=256,s8=255;當(dāng)q=-2時(shí)，a1=-1，a9=a6q3=-256,s8=85.課后強(qiáng)化作業(yè)一、選擇題1.等比數(shù)

15、列an中，a2=9,a5=243,則an的前4項(xiàng)和為（）a.81b.120c.168d.192答案b解析公式q3=27,q=3,a1=3,s4=120.2.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和sn=4n+a，則a=（）a.-4b.-1c.0d.1答案b解析設(shè)等比數(shù)列為an，由已知得a1=s1=4+a,a2=s2-s1=12,a3=s3-s2=48,a22=a1a3,即144=(4+a)48，a=-1.3.已知等比數(shù)列的公比為2，且前5項(xiàng)和為1，那么前10項(xiàng)和等于（）a.31b.33c.35d.37答案b解析解法一：s5=1a1=s10=33,故選b.解法二：a1+a2+a3+a4+a5=1a6+a7+a8+

16、a9+a10=(a1+a2+a3+a4+a5)q5=12532s10a1+a2+a9+a10=1+32=33.4.已知等比數(shù)列an中，公比q是整數(shù)，a1+a4=18,a2+a3=12,則此數(shù)列的前8項(xiàng)和為（）a.514b.513c.512d.510答案d a1+a1q3=18解析由已知得 ，a1q+a1q2=12解得q=2或.q為整數(shù)，q=2.a1=2.s8=29-2=510.5.設(shè)an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，sn為其前n項(xiàng)和，已知a2a4=1,s3=7，則s5=（）a. b. c. d. 答案b解析設(shè)公比為q,則q0,且a23=1,即a3=1.s3=7,a1+a2+a3=+1=7,即6q2-

17、q-1=0,q=或q=- (舍去)，a1=4.s5=8（1-）=.6.在等比數(shù)列an（nn+）中，若a1=1,a4=,則該數(shù)列的前10項(xiàng)和為（）a.2 b.2 c.2d.2答案b解析a1=1,a4=,q3=,q=.s10=21-（）10=2-,故選b.7.已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,s3=3,s6=27,則此等比數(shù)列的公比q等于（）a.2b.-2c. d.- 答案a s3=3,解析s6=27,得=9,解得q3=8.q=2,故選a.8.正項(xiàng)等比數(shù)列an滿足a2a4=1,s3=13,bn=log3an,則數(shù)列bn的前10項(xiàng)和是（）a.65b.-65c.25d.-25答案d解析an為正項(xiàng)等比數(shù)

18、列，a2a4=1,a3=1,又s3=13,公比q1.又s3=13,a3=a1q2,解得q=.an=a3qn-3=()n-3=33-n,bn=log3an=3-n.b1=2,b10=-7.s10=25.二、填空題9.等比數(shù)列，-1，3，的前10項(xiàng)和為.答案-解析s10=-.10.（2011北京文，12）在等比數(shù)列an中，若a1=,a4=4,則公比q=;a1+a2+an=.答案2,2n-1-解析本題主要考查等比數(shù)列的基本知識，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可解得.=q3=8，所以q=2，所以 a1+a2+an=2n-1-. 2n-1(n為正奇數(shù))11.已知數(shù)列an中，an= ，則a9=.2n-1（n為

19、正偶數(shù)）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，則s9=.答案256377解析a9=28=256，s9=20+22+24+26+28+3+7+11+15=377.12.在等比數(shù)列an中，已知對于任意nn+,有a1+a2+an=2n-1,則a21+a22+a2n=.答案4n-解析a1+a2+an=2n-1,a1+a2+an-1=2n-1-1(n2),兩式相減，得an=2n-1-2n-1+1=2n-2n-1=2n-1,a2n=(2n-1) 2=22n-2=4n-1,a21+a22+a2n=4n-.三、解答題13.在等比數(shù)列an中，已知a3=1，s3=4，求a1與q. s3=4解析（1）若q1,則 ，a3=a1q2=1 從而解得q=1或q=-. q=-q1, .a1=6 s3=3a1=4 q