CH8 第八章 假設檢驗

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一節(jié)第一節(jié) 假設檢驗假設檢驗二、假設檢驗的相關概念二、假設檢驗的相關概念三、假設檢驗的一般步驟三、假設檢驗的一般步驟一、假設檢驗的基本原理一、假設檢驗的基本原理四、典型例題四、典型例題五、小結五、小結2 在總體的分布函數(shù)完全未知或只知其形式、在總體的分布函數(shù)完全未知或只知其形式、但不知其參數(shù)的情況下但不知其參數(shù)的情況下, 為了推斷總體的某些性為了推斷總體的某些性質(zhì)質(zhì), 提出某些關于總體的假設提出某些關于總體的假設. 假設檢驗就是根據(jù)得到樣本對所提出的假假設檢驗就是根據(jù)得到樣本對所提出的假設作出判斷設作出判斷: 是接受是接受, 還是拒絕還是拒絕. 例如例如, 提

2、出總體服從泊松分布的假設提出總體服從泊松分布的假設; . ,0假設等假設等的的期望等于期望等于對于正態(tài)總體提出數(shù)學對于正態(tài)總體提出數(shù)學又如又如 一、假設檢驗的基本原理一、假設檢驗的基本原理3如何利用樣本值對一個具體的假設進行檢驗如何利用樣本值對一個具體的假設進行檢驗? 通常借助于直觀分析和理通常借助于直觀分析和理論分析相結合的做法論分析相結合的做法,其基本原其基本原理就是人們在實際問題中經(jīng)常理就是人們在實際問題中經(jīng)常采用的所謂實際推斷原理采用的所謂實際推斷原理:“一個一個小概率事件在一次試驗中幾乎小概率事件在一次試驗中幾乎是不可能發(fā)生的是不可能發(fā)生的”.下面結合實例來說明假設檢驗的基本思想下面

3、結合實例來說明假設檢驗的基本思想.假設檢驗問題是統(tǒng)計推斷的另一類重要問題假設檢驗問題是統(tǒng)計推斷的另一類重要問題.4 實例實例 某車間用一臺包裝機包裝葡萄糖某車間用一臺包裝機包裝葡萄糖, 包包得的袋裝糖重是一個隨機變量得的袋裝糖重是一個隨機變量, 它服從正態(tài)分布它服從正態(tài)分布.當機器正常時當機器正常時, 其均值為其均值為0.5千克千克, 標準差為標準差為0.015千克千克.某日開工后為檢驗包裝機是否正常某日開工后為檢驗包裝機是否正常, 隨機地隨機地抽取它所包裝的糖抽取它所包裝的糖9袋袋, 稱得凈重為稱得凈重為(千克千克):0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0

4、.520 0.515 0.512, 問機器是否正常問機器是否正常? ,的均值和標準差的均值和標準差裝糖重總體裝糖重總體分別表示這一天袋分別表示這一天袋和和用用X 分析分析:5由長期實踐可知由長期實踐可知, 標準差較穩(wěn)定標準差較穩(wěn)定, ,015. 0 設設),015. 0,( 2 NX則則 .未知未知其中其中 問題問題: 根據(jù)樣本值判斷根據(jù)樣本值判斷 . 0.5 0.5 還是還是提出兩個對立假設提出兩個對立假設. : 5 . 0:0100 HH和和 再利用已知樣本作出判斷是接受假設再利用已知樣本作出判斷是接受假設 H0 ( 拒拒絕假設絕假設 H1 ) , 還是拒絕假設還是拒絕假設 H0 (接受假

5、設接受假設 H1 ). 如果作出的判斷是接受如果作出的判斷是接受 H0, 即認為機器工作是正常的即認為機器工作是正常的, 否則否則, 認為是不正常的認為是不正常的., 0 則則6 由于要檢驗的由于要檢驗的假設涉及總體均值假設涉及總體均值, 故可借助故可借助于樣本均值來判斷于樣本均值來判斷. , 的的無無偏偏估估計計量量是是因因為為 X , | , 00不不應應太太大大則則為為真真所所以以若若 xH),1 , 0(/,00NnXH 為真時為真時當當 , /|00的大小的大小的大小可歸結為衡量的大小可歸結為衡量衡量衡量nxx 于是可以選定一個適當?shù)恼龜?shù)于是可以選定一個適當?shù)恼龜?shù)k,7 ,/ 00H

6、knxx拒絕假設拒絕假設時時滿足滿足當觀察值當觀察值 .,/ ,00Hknxx接受假設接受假設時時滿足滿足當觀察值當觀察值反之反之 ),1 , 0(/00NnXZH 為真時為真時因為當因為當由標準正態(tài)分布分位點的定義得由標準正態(tài)分布分位點的定義得,2/ zk . ,/ ,/02/002/0HznxHznx接受接受時時拒絕拒絕時時當當 如何確定常數(shù)如何確定常數(shù)k呢？呢？8 0.05, 在實例中若取定在實例中若取定,96. 1 025. 02/ zzk 則則 0.015, , 9 n又已知又已知 0.511, x由樣本算得由樣本算得 1.96,2.2/ 0 nx 即有即有于是拒絕假設于是拒絕假設H

7、0, 認為包裝機工作不正常認為包裝機工作不正常.假設檢驗過程如下假設檢驗過程如下:9以上所采取的檢驗法是符合實際推斷原理的以上所采取的檢驗法是符合實際推斷原理的. 0.05, 0.01, , 一一般般取取總總是是取取得得很很小小由由于于通通常常. ,/ , , ,/ , ,2/002/000幾幾乎乎是是不不會會發(fā)發(fā)生生的的的的觀觀察察值值等等式式由由一一次次試試驗驗得得到到滿滿足足不不為為真真就就可可以以認認為為如如果果根根據(jù)據(jù)實實際際推推斷斷原原理理小小概概率率事事件件是是一一個個時時即即為為真真因因而而當當xznxHznXH 10. , ,/ 002/0HHznxx因因而而只只能能接接受受

8、沒沒有有理理由由拒拒絕絕假假設設則則滿滿足足不不等等式式若若出出現(xiàn)現(xiàn)觀觀察察值值 . ,/ ,002/0HHxznx因因而而拒拒絕絕正正確確性性的的的的假假設設則則我我們們有有理理由由懷懷疑疑原原來來的的觀觀察察值值得得到到了了滿滿足足不不等等式式在在一一次次試試驗驗中中 111. 顯著性水平顯著性水平 . / , , ,0來來作作決決定定還還是是小小于于值值大大于于等等于于的的觀觀察察值值的的絕絕對對然然后后按按照照統(tǒng)統(tǒng)計計量量定定就就可可以以確確數(shù)數(shù)后后選選定定當當樣樣本本容容量量固固定定時時kknxZk 000, ,/, xzknxH如如果果則則稱稱 與與的的差差異異是是的的則則我我們們

9、拒拒絕絕顯顯著著二、假設檢驗的相關概念二、假設檢驗的相關概念12 , , ,/ ,000Hxknxz則我們接受則我們接受不顯著的不顯著的的差異是的差異是與與則稱則稱如果如果反之反之 .0之下作出的之下作出的著性水平著性水平在顯在顯有無顯著差異的判斷是有無顯著差異的判斷是與與上述關于上述關于 x.稱為顯著性水平稱為顯著性水平數(shù)數(shù) 132. 檢驗統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量. /0稱為檢驗統(tǒng)計量稱為檢驗統(tǒng)計量統(tǒng)計量統(tǒng)計量nXZ 3. 原假設與備擇假設原假設與備擇假設假設檢驗問題通常敘述為假設檢驗問題通常敘述為: ,下下在顯著性水平在顯著性水平 . ,01”檢檢驗驗針針對對下下或或稱稱為為“在在顯顯著著性性水水

10、平平HH . , 10稱為備擇假設稱為備擇假設稱為原假設或零假設稱為原假設或零假設 HH . : , : 0100 HH檢驗假設檢驗假設144. 拒絕域與臨界點拒絕域與臨界點 當檢驗統(tǒng)計量取某個區(qū)域當檢驗統(tǒng)計量取某個區(qū)域C中的值時中的值時, 我們我們拒絕原假設拒絕原假設H0, 則稱區(qū)域則稱區(qū)域C為為拒絕域拒絕域, 拒絕域的邊拒絕域的邊界點稱為界點稱為臨界點臨界點.如在前面實例中如在前面實例中, ,|2/ zz 拒絕域為拒絕域為. ,2/2/ zzzz 臨界點為臨界點為155. 兩類錯誤及記號兩類錯誤及記號 假設檢驗的依據(jù)是假設檢驗的依據(jù)是: 小概率事件在一次試驗小概率事件在一次試驗中很難發(fā)生中

11、很難發(fā)生, 但很難發(fā)生不等于不發(fā)生但很難發(fā)生不等于不發(fā)生, 因而假因而假設檢驗所作出的結論有可能是錯誤的設檢驗所作出的結論有可能是錯誤的. 這種錯誤這種錯誤有兩類有兩類: (1) 當原假設當原假設H0為真為真, 統(tǒng)計量的觀察值卻落統(tǒng)計量的觀察值卻落入拒絕域入拒絕域, 而作出了拒絕而作出了拒絕H0的判斷的判斷, 稱做稱做第一類第一類錯誤錯誤, 又叫又叫棄真錯誤棄真錯誤, 這類錯誤是這類錯誤是“以真為假以真為假”. 犯第一類錯誤的概率不超過顯著性水平犯第一類錯誤的概率不超過顯著性水平. 16 (2) 當原假設當原假設 H0 不真不真, 而觀察值卻落入接而觀察值卻落入接受域受域, 而作出了接受而作出

12、了接受 H0 的判斷的判斷, 稱做稱做第二類錯誤第二類錯誤, 又叫又叫取偽錯誤取偽錯誤, 這類錯誤是這類錯誤是“以假為真以假為真”. . 0001HPHHPH接受接受或或不真接受不真接受當當 當樣本容量當樣本容量 n 一定時一定時, 若若減少減少犯第犯第一類錯誤一類錯誤的概率的概率, 則犯則犯第二類錯誤第二類錯誤的概率往往的概率往往增大增大.犯第二類錯誤的概率記為犯第二類錯誤的概率記為 若要使犯兩類錯誤的概率都減小若要使犯兩類錯誤的概率都減小, 除非增加除非增加樣本容量樣本容量.176. 顯著性檢驗顯著性檢驗. : , : , , , , : : 01000010100為雙邊假設檢驗為雙邊假設

13、檢驗的假設檢驗稱的假設檢驗稱形如形如假設假設稱為雙邊備擇稱為雙邊備擇也可能小于也可能小于可能大于可能大于表示表示備擇假設備擇假設中中和和在在 HHHHH7. 雙邊備擇假設與雙邊假設檢驗雙邊備擇假設與雙邊假設檢驗 只對只對犯第一類錯誤的概率加以控制犯第一類錯誤的概率加以控制, 而不考而不考慮犯第二類錯誤的概率的檢驗慮犯第二類錯誤的概率的檢驗, 稱為稱為顯著性檢驗顯著性檢驗.188. 右邊檢驗與左邊檢驗右邊檢驗與左邊檢驗0010 : , : . HH形如的假設檢驗稱右邊檢驗為0010 : , : . HH形如的假設檢驗稱左邊檢驗為右邊檢驗與左邊檢驗統(tǒng)稱為右邊檢驗與左邊檢驗統(tǒng)稱為單邊檢驗單邊檢驗.1

14、99. 單邊檢驗的拒絕域單邊檢驗的拒絕域 , ,),(212 給給定定顯顯著著性性水水平平的的樣樣本本是是來來自自總總體體為為已已知知設設總總體體XXXXNXn./ ,/00 znxzznxz 左邊檢驗的拒絕域為左邊檢驗的拒絕域為右邊檢驗的拒絕域為右邊檢驗的拒絕域為則則20 ; ,. 110HH假設假設及備擇及備擇提出原假設提出原假設根據(jù)實際問題的要求根據(jù)實際問題的要求 ; . 2n以及樣本容量以及樣本容量給定顯著性水平給定顯著性水平 3. 確定檢驗統(tǒng)計量以及拒絕域形式確定檢驗統(tǒng)計量以及拒絕域形式; ;. 400求求出出拒拒絕絕域域為為真真拒拒絕絕按按 HHP05., . H取取樣樣 根根據(jù)據(jù)

15、樣樣本本觀觀察察值值確確定定接接受受還還是是拒拒絕絕三、假設檢驗的一般步驟三、假設檢驗的一般步驟21.05. 0 ? s,/cm2 s./cm25.41 ,25,. s/cm2, s/cm40),(2 取取顯顯著著水水平平燒燒率率有有顯顯著著的的提提高高以以往往生生產(chǎn)產(chǎn)的的推推進進器器的的燃燃推推進進器器的的燃燃燒燒率率是是否否較較問問用用新新方方法法生生產(chǎn)產(chǎn)的的法法下下總總體體均均方方差差仍仍為為設設在在新新方方得得燃燃燒燒率率的的樣樣本本均均值值為為測測只只隨隨機機取取進進器器用用新新方方法法生生產(chǎn)產(chǎn)了了一一批批推推現(xiàn)現(xiàn)從從正正態(tài)態(tài)分分布布推推進進器器的的燃燃燒燒率率服服某某工工廠廠生生產(chǎn)

16、產(chǎn)的的固固體體燃燃料料xnN例例1四、典型例題四、典型例題22 , )( : 01燒率燒率即假設新方法提高了燃即假設新方法提高了燃 H這是這是右邊檢驗右邊檢驗問題問題, .645. 1/05. 00 znxz 拒絕域為拒絕域為 ,645. 13.125/0 nxz 因為因為 ,值落在拒絕域中值落在拒絕域中z . 0.05 0H下拒絕下拒絕故在顯著性水平故在顯著性水平 即認為這批推進器的燃燒率較以往有顯著提高即認為這批推進器的燃燒率較以往有顯著提高.解解根據(jù)題意需要檢驗假設根據(jù)題意需要檢驗假設 , )( 40: 00燃燒率燃燒率即假設新方法沒有提高即假設新方法沒有提高 H23五、小結假設檢驗的基

17、本原理、相關概念和一般步驟假設檢驗的基本原理、相關概念和一般步驟.真實情況真實情況(未知未知)所所 作作 決決 策策接受接受 H0拒絕拒絕 H0H0 為真為真正確正確犯第犯第I類錯誤類錯誤H0 不真不真犯第犯第II類錯誤類錯誤正確正確假設檢驗的兩類錯誤假設檢驗的兩類錯誤24單個正態(tài)總體單個正態(tài)總體 均值的檢驗均值的檢驗兩個正態(tài)總體均值差的檢驗兩個正態(tài)總體均值差的檢驗小結小結第二節(jié)第二節(jié) 正態(tài)總體均值的假設檢驗正態(tài)總體均值的假設檢驗25 1. 已知，關于已知，關于 的檢驗（的檢驗（Z檢驗）檢驗） 在上一小節(jié)中已討論過正態(tài)總體在上一小節(jié)中已討論過正態(tài)總體 , 當當 已知時關于已知時關于 的檢驗問題

18、的檢驗問題.在這些檢驗在這些檢驗問題中，我們都是利用在問題中，我們都是利用在 為真時服從為真時服從 分布的統(tǒng)計量分布的統(tǒng)計量 來確定拒絕域。這種檢驗法來確定拒絕域。這種檢驗法常稱為常稱為 Z檢驗法檢驗法。0Xn(0,1)N0H2(,)N 2022(,)N 一、單個總體 均值 的檢驗26),(2 N)( ,. 12檢驗檢驗的檢驗的檢驗關于關于為已知為已知Z ),( 2 N體體在上節(jié)中討論過正態(tài)總在上節(jié)中討論過正態(tài)總: ,02的檢驗問題的檢驗問題關于關于為已知時為已知時當當 . : , : )3( ; : , : )2( ; : , : )1(010001000100 HHHHHH假設檢驗假設檢驗

19、假設檢驗假設檢驗假設檢驗假設檢驗 一、單個總體一、單個總體 均值均值 的檢驗的檢驗2700 (0,1) , /. HNXZnZ討論中都是利用為真時服從分布的統(tǒng)計量來確定拒絕域的這種檢驗法稱為檢驗法28 例例1 某切割機在正常工作時某切割機在正常工作時, 切割每段金屬切割每段金屬棒的平均長度為棒的平均長度為10.5cm, 標準差是標準差是0.15cm, 今從一今從一批產(chǎn)品中隨機的抽取批產(chǎn)品中隨機的抽取15段進行測量段進行測量, 其結果如下其結果如下:7 .102 .107 .105 .108 .106 .109 .102 .103 .103 .105 .104 .101 .106 .104 .1

20、0 假定切割的長度服從正態(tài)分布假定切割的長度服從正態(tài)分布, 且標準差沒且標準差沒有變化有變化, 試問該機工作是否正常試問該機工作是否正常?)05. 0( 解解 0.15, , ),( 2 NX因為因為 , 5 .10:, 5 .10: 10 HH要檢驗假設要檢驗假設29 15/15. 05 .1048.10/ 0 nx 則則,516. 0 查表得查表得0.05 21.96,z00.025 0.5161.96, /xzn而 . , 0認為該機工作正常認為該機工作正常故接受故接受 H,15 n,48.10 x,05. 0 拒絕區(qū)域為拒絕區(qū)域為00.05 2=1.96, /xzn30)( ,. 22

21、檢驗檢驗的檢驗的檢驗關于關于為未知為未知t . , , ),(22 顯著性水平為顯著性水平為未知未知其中其中設總體設總體NX . : , : 0100的拒絕域的拒絕域求檢驗問題求檢驗問題 HH , , 21的樣本的樣本為來自總體為來自總體設設XXXXn , 2未知未知因為因為 . / 0來確定拒絕域來確定拒絕域不能利用不能利用nX , 22的無偏估計的無偏估計是是因為因為 S, 來取代來取代故用故用 S . / 0來作為檢驗統(tǒng)計量來作為檢驗統(tǒng)計量即采用即采用nSXt 31 ,/ 00Hnsxt過分大時就拒絕過分大時就拒絕當觀察值當觀察值 ./ 0knsxt 拒絕域的形式為拒絕域的形式為),1(

22、/ ,00 ntnSXH 為真時為真時當當00PH H拒絕為真 , /00 knSXP根據(jù)根據(jù)第六章第六章3定理定理三三知知,32 , )1( 2/ ntk 得得 . )1(/ 2/0 ntnsxt 拒絕域為拒絕域為22( ,), , .N 類似可以給出正態(tài)總體當未知時關于 的單邊檢驗的拒絕域 在實際中在實際中, 正態(tài)總體的方差常為未知正態(tài)總體的方差常為未知, 所以所以我們常用我們常用 t 檢驗法來檢驗關于正態(tài)總體均值的檢檢驗法來檢驗關于正態(tài)總體均值的檢驗問題驗問題.上述利用上述利用 t 統(tǒng)計量得出的檢驗法稱為統(tǒng)計量得出的檢驗法稱為t 檢驗法檢驗法.33 某種電子元件的壽命某種電子元件的壽命X

23、(以小時計以小時計)服服從正態(tài)分布從正態(tài)分布, 均為未知均為未知. 現(xiàn)現(xiàn)測得測得16只元件的只元件的壽命如下壽命如下:170485260149250168362222264179379224212101280159問是否有理由認為元件的平均壽命大于問是否有理由認為元件的平均壽命大于225(小時小時)?2, 例例2解解 ,225:,225:100 HH依題意需檢驗假設依題意需檢驗假設 ,05. 0 取取,16 n, 5 .241 x,7259.98 s34查表得查表得7531. 1)15(05. 0 t 6685. 0/0 nsxt .225 , 0小小時時大大于于認認為為元元件件的的平平均均壽

24、壽命命不不故故接接受受 H35二、兩個總體二、兩個總體 的情況的情況),(),(222211 NN.注意兩總體的方差相等 .且設兩樣本獨立 ,樣本的),(為來自正態(tài)總體,的樣本),(為來自正態(tài)總體 , 設2221212121NYYYNXXXnn 利用利用t檢驗法可以檢驗檢驗法可以檢驗具有相同方差具有相同方差的兩正的兩正態(tài)總體態(tài)總體均值差均值差的假設的假設. , , , 2212221均為未知均為未知方差方差是樣本是樣本分別是總體的樣本均值分別是總體的樣本均值又設又設 SSYX36011122 : , : (). HH求求檢檢驗驗問問題題為為已已知知常常數(shù)數(shù) 的的拒拒絕絕域域 . 取顯著性水平為

25、取顯著性水平為 : 統(tǒng)計量作為檢驗統(tǒng)計量統(tǒng)計量作為檢驗統(tǒng)計量引入引入 t,11)(21nnSYXtw .2)1()1( 212222112 nnSnSnSw其中其中 ,0為真時為真時當當H).2(21 nntt根據(jù)根據(jù)第六章第六章3定理定理四四知知,37其拒絕域的形式為其拒絕域的形式為,11)(21knnsyxw , 00HHP拒絕拒絕為真為真 knnSYXPw2111)(21).2( 212/ nntk 得得38故拒絕域為故拒絕域為 2111)(nnsyxtw ).2(212/ nnt 關于均值差的單邊檢驗問題的拒絕域見表關于均值差的單邊檢驗問題的拒絕域見表8.1, 當兩個正態(tài)總體的方差均為

26、已知當兩個正態(tài)總體的方差均為已知(不一定相不一定相等等)時時,我們可用我們可用 Z 檢驗法來檢驗兩正態(tài)總體均值檢驗法來檢驗兩正態(tài)總體均值差的假設問題差的假設問題, 見表見表8.1 . 0 的情況的情況常用常用 39 例例3 在平爐進行一項試驗以確定改變操作方在平爐進行一項試驗以確定改變操作方法法的建議的建議是否會增加鋼的得率，試驗是在同一只平是否會增加鋼的得率，試驗是在同一只平爐上進行的。每煉一爐鋼時除操作方法外，其它條爐上進行的。每煉一爐鋼時除操作方法外，其它條件都盡可能做到相同。先用標準方法煉一爐，然后件都盡可能做到相同。先用標準方法煉一爐，然后用建議的新方法煉一爐，以后交替進行，各煉了用

27、建議的新方法煉一爐，以后交替進行，各煉了10爐，其得率分別為爐，其得率分別為 標準方法標準方法 78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.5 76.7 77.3 新方法新方法 79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.1400.0521(,)N 22(,)N 212, 設這兩個樣本相互獨立，且分別來自正態(tài)總設這兩個樣本相互獨立，且分別來自正態(tài)總體體 和和 , 均未均未知。問建議的新操作方法能否提高得率？知。問建議的新操作方法能否提高得率？（?。ㄈ?）41解解012112 : 0, : 0. HH需要檢驗假設

28、分別求出標準方法和新方法下的樣本均值和樣本分別求出標準方法和新方法下的樣本均值和樣本方差方差:,101 n,23.76 x,325. 321 s,102 n,43.79 y,225. 222 s,775. 221010)110()110( 22212 sssw且且,7341. 1)18( 05. 0 t查表可知查表可知42101101 wsyxt因為因為,295. 4 , 0H所以拒絕所以拒絕即認為建議的新操作方法較原來的方法為優(yōu)即認為建議的新操作方法較原來的方法為優(yōu).).2(21 nntt ,7341. 1)18(05. 0 t查表查表8.1知其拒絕域為知其拒絕域為4344(三)基于成對數(shù)據(jù)

29、的檢驗(t檢驗)有時為了比較兩種產(chǎn)品, 或兩種儀器, 兩種方法等的差異, 常在相同的條件下作對比試驗,得到一批成對的觀察值. 然后分析觀察數(shù)據(jù)作出推斷. 這種方法常稱為逐對比較法.45例例 有兩臺光譜儀有兩臺光譜儀Ix,Iy, 用來測量材料中某種金屬的用來測量材料中某種金屬的含量含量, 為鑒定它們的測量結果有無顯著的差異為鑒定它們的測量結果有無顯著的差異, 制制備了備了9件試塊件試塊(成份成份, 金屬含量金屬含量, 均勻性等均各不相同均勻性等均各不相同, 現(xiàn)在分別用這兩臺儀器對每一試塊測量一次現(xiàn)在分別用這兩臺儀器對每一試塊測量一次, 得到得到9對觀察值如下對觀察值如下:x(%)0.200.30

30、0.400.500.600.700.800.901.00y(%)0.100.210.520.320.780.590.680.770.89d=x y(%)0.100.09-0.120.18-0.180.110.120.130.11問能否認為這兩臺儀器的測量結果有顯著差問能否認為這兩臺儀器的測量結果有顯著差異異(取取 =0.01)?46解解 本題中的數(shù)據(jù)是成對的本題中的數(shù)據(jù)是成對的, 而對于同一而對于同一試塊測出一對數(shù)據(jù)試塊測出一對數(shù)據(jù). 由于各試塊的特性有由于各試塊的特性有廣泛的差異廣泛的差異, 不能將儀器不能將儀器Ix對對9個試塊的個試塊的測量結果看成是同分布隨機變量的觀察測量結果看成是同分布

31、隨機變量的觀察值值. 即不能將表的第一行和第二行的數(shù)據(jù)即不能將表的第一行和第二行的數(shù)據(jù)看作是一個樣本的樣本值看作是一個樣本的樣本值. 但是這兩行數(shù)但是這兩行數(shù)據(jù)之差可以認為是由這兩個儀器的性能據(jù)之差可以認為是由這兩個儀器的性能之差引起的之差引起的, 因此可以將第因此可以將第3行看作是來行看作是來自于一個正態(tài)總體的樣本自于一個正態(tài)總體的樣本.47一般一般, 設有設有n對相互獨立的觀察結果對相互獨立的觀察結果:(X1,Y1), (X2,Y2), ., (Xn,Yn), 令令D1=X1 Y1, D2=X2 Y2, ., Dn=Xn Yn, 則則D1,D2,.,Dn相互獨立相互獨立, 并可認為并可認為

32、它們來自同一總體它們來自同一總體, 假設假設DiN( D, D2), i=1,2,.,n, 其中其中 D, D2未知未知. 我們需要基于這我們需要基于這一樣本假設一樣本假設:(1)H0: D=0, H1: D 0;(2)H0: D 0, H1: D0;(3)H0: D 0, H1: D0.48分別記分別記D1,D2,.,Dn的樣本均值和樣本方差的觀察值的樣本均值和樣本方差的觀察值為為 d, sD2, 按表按表8.1中單個正態(tài)總體均值的中單個正態(tài)總體均值的 t 檢驗檢驗. 知知檢驗問題檢驗問題(1),(2),(3),的拒絕域分別為的拒絕域分別為(檢驗水平為檢驗水平為 ):).1(),1(),1(

33、|2/ ntnsdtntnsdtntnsdtDDD 49現(xiàn)考慮本例問題現(xiàn)考慮本例問題, 將每一對數(shù)據(jù)之差算出將每一對數(shù)據(jù)之差算出. 按題意按題意需檢驗假設需檢驗假設H0: D=0, H1: D 0.現(xiàn)在現(xiàn)在n=9, t /2(8)=t0.005(8)=3.3554即知拒絕域為即知拒絕域為.3554. 3| nsdtD由觀察值得由觀察值得 d=0.06, sD=0.1227, |t|=1.4673.3554. 現(xiàn)現(xiàn)|t|的值不落在拒絕域內(nèi)的值不落在拒絕域內(nèi), 故接受故接受H0, 認為兩臺儀器的認為兩臺儀器的測量結果并無顯著差異測量結果并無顯著差異.三、小結三、小結本節(jié)學習的正態(tài)總體均值的假設檢驗

34、有本節(jié)學習的正態(tài)總體均值的假設檢驗有:; . 1檢驗檢驗的檢驗的檢驗單個總體均值單個總體均值Z ; . 221檢驗檢驗的檢驗的檢驗兩個總體均值差兩個總體均值差t 正正態(tài)總體均值、方差的檢驗法見下表態(tài)總體均值、方差的檢驗法見下表 ) ( 顯著性水平為顯著性水平為503. 基于基于成對數(shù)據(jù)的成對數(shù)據(jù)的檢驗檢驗t檢驗；檢驗； 4)(22221212121未知000) 1()2()2(212/2121nnttnnttnntt2)2() 1(1121222211221nnSnSnSnnSYXtww0H原假設檢驗統(tǒng)計量1H備擇假設拒絕域)(2000已知)(2000未知),(2221212121已知nXZ/

35、0nSXt/0222121nnYXZ0000000002/zzzzzz) 1() 1() 1(2/nttnttntt2/zzzzzz32 1517),(21222122212221未知)(000成對數(shù)據(jù)DDDnSDtD/0000DDD) 1() 1() 1(2/nttnttntt0H原假設檢驗統(tǒng)計量1H備擇假設拒絕域)(202202202未知2022) 1(Sn2221SSF 202202202222122212221) 1() 1() 1() 1(22/1222/221222nnnn或) 1, 1() 1, 1() 1, 1() 1, 1(212/1212/21121nnFFnnFFnnFF

36、nnFF或6552單個總體的情況單個總體的情況兩個總體的情況兩個總體的情況課堂練習課堂練習小結小結第三節(jié)第三節(jié) 正態(tài)總體方差的假設檢驗正態(tài)總體方差的假設檢驗53一、單個總體的情況 是是來自來自X的樣本，要求檢驗假的樣本，要求檢驗假 設（顯著性水平為設（顯著性水平為 ）：）： 為已知常數(shù)。為已知常數(shù)。2022220010:,:.HH12,nXXX22( ,), ,XN 設總體設總體 均屬未知，均屬未知，542s20H220s0H2220(1)ns2220(1)(1).nsn由于由于 是是 的無偏估計，當?shù)臒o偏估計，當 為真時為真時 ，比值，比值 一般來說應在一般來說應在1附近擺動，而不應過分大于

37、附近擺動，而不應過分大于1或過分小于或過分小于1。由于當。由于當 為真時為真時, 我們?nèi)∥覀內(nèi)?作為檢驗統(tǒng)計量，如上所說作為檢驗統(tǒng)計量，如上所說知道上述檢驗問題的拒絕域具有以下的形式：知道上述檢驗問題的拒絕域具有以下的形式：22220(1)nsk22120(1)nsk或或5522220(1)nsk22120(1)nsk或或2212122(1),(1)knkn220022122200(1)(1)(),(22nsnsPkPk00H H12,k k2022122200(1)(1)()(nsnsPkk此處的此處的 值由下式確定：值由下式確定： P拒絕拒絕 為真為真 為計算方便起見，習慣上取為計算方便起

38、見，習慣上取 （3.1） 故得故得 562222220(1)(1)nsn222120(1)(1)nsn于是得拒絕域為于是得拒絕域為 或或上述檢驗法為上述檢驗法為 檢驗法。關于方差檢驗法。關于方差 的單邊檢的單邊檢驗法得拒絕域已在附表中給出。驗法得拒絕域已在附表中給出。57解解 ,5000:,5000: 2120 HH要檢驗假設要檢驗假設,26 n,02. 0 ,500020 2220 0112544 313/.()().,n)02. 0( 例例1 某廠生產(chǎn)的某種型號的電池某廠生產(chǎn)的某種型號的電池, 其壽命長期以其壽命長期以來服從方差來服從方差 =5000 (小時小時2) 的正態(tài)分布的正態(tài)分布,

39、 現(xiàn)有一現(xiàn)有一批這種電池批這種電池, 從它生產(chǎn)情況來看從它生產(chǎn)情況來看, 壽命的波動性有壽命的波動性有所變化所變化. 現(xiàn)隨機的取現(xiàn)隨機的取26只電池只電池, 測出其壽命的樣本測出其壽命的樣本方差方差 =9200(小時小時2). 問根據(jù)這一數(shù)據(jù)能否推斷問根據(jù)這一數(shù)據(jù)能否推斷這批電池的壽命的波動性較以往的有顯著的變化這批電池的壽命的波動性較以往的有顯著的變化?2 2s5822120 9912511 523/.()().,n )1( 202 sn,524.11拒絕域為拒絕域為: )1( 202 sn或或. 4.3144 465000920025)1( 202 sn因為因為 , 4.3144 , 0H

40、所以拒絕所以拒絕 認為這批電池的壽命的波動性較以往的有認為這批電池的壽命的波動性較以往的有顯著的變化顯著的變化.59解解 , 1 . 0:, 1 . 0: 2120 HH要檢驗假設要檢驗假設,25 n,415.36)24(205. 0 4 .471 . 01975. 024)1( 202 sn因為因為,415.36 ,0H所以拒絕所以拒絕認為該車床生產(chǎn)的產(chǎn)品沒有達到所要求的精度認為該車床生產(chǎn)的產(chǎn)品沒有達到所要求的精度. 例例2 某自動車床生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸服從某自動車床生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸服從正態(tài)分布正態(tài)分布,按規(guī)定產(chǎn)品尺寸的按規(guī)定產(chǎn)品尺寸的方差方差 不得超過不得超過0.1, 為檢驗該為檢驗該自動車床的

41、工作精度自動車床的工作精度, 隨機的取隨機的取25件產(chǎn)品件產(chǎn)品, 測得樣測得樣本方差本方差 s2=0.1975, . 問該車床生產(chǎn)的產(chǎn)品問該車床生產(chǎn)的產(chǎn)品是否達到所要求的精度是否達到所要求的精度?2 86. 3 x)05. 0( 60例例3 (續(xù)第八章第二節(jié)例續(xù)第八章第二節(jié)例1)如果只假設切割長度如果只假設切割長度服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布, 問該機切割的金屬棒長度的標準問該機切割的金屬棒長度的標準差有無顯著變化差有無顯著變化?)05. 0( 解解 , , ),( 22均為未知均為未知因為總體因為總體 NX ,15. 0:,15. 0: 10 HH要檢驗假設要檢驗假設,15 n,48.10 x,

42、05. 0 ,0225. 0:,0225. 0: 2120 HH即即,056. 02 s )1( 202 sn 因為因為 ,844. 430225. 0056. 014 61查表得查表得,629. 5)14()1(2975. 022/1 n,119.26)14()1(2025. 022/ n0225. 0056. 014)1( 202 sn于是于是 ,0H所以拒絕所以拒絕認為該機切割的金屬棒長度的標準差有顯著變化認為該機切割的金屬棒長度的標準差有顯著變化. ,119.26844. 43 62二、兩個總體二、兩個總體 的情況的情況),(),(222211 NN,的樣本),(為來自正態(tài)總體 , 設

43、211211NXXXn , 222121均為未知均為未知又設又設 , : , : 2221122210 HH需要檢驗假設需要檢驗假設: ,的樣本),(為來自正態(tài)總體,222212NYYYn ., ,2221SS其樣本方差為其樣本方差為且設兩樣本獨立且設兩樣本獨立63 , 0為真時為真時當當H),()(22222121SESE , 1為真時為真時當當H),()(22222121SESE , 1為真時為真時當當H , 2221有偏大的趨勢有偏大的趨勢觀察值觀察值SS, 2221kss 故拒絕域的形式為故拒絕域的形式為 :的值由下式確定的值由下式確定此處此處 k , 00HHP拒絕拒絕為真為真 kS

44、SP22212221 64)1 (,2221222122212221 因為因為kSSP, , 00 HHP拒絕拒絕為真為真要使要使. 222122212221 kSSP只需令只需令).1, 1(2122212221 nnFSS 根據(jù)根據(jù)第六章第六章3定理定理四四知知65).1, 1(212221 nnFssF 檢驗問題的拒絕域為檢驗問題的拒絕域為上述檢驗法稱為上述檢驗法稱為 F 檢驗法檢驗法.).1, 1( 21 nnFk即即66例例4 兩臺車床加工同一零件兩臺車床加工同一零件, 分別取分別取6件和件和9件測件測量直徑量直徑, 得得: 假定零件直徑假定零件直徑服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布, 能否據(jù)

45、此斷定能否據(jù)此斷定 0.357.0.345,22 yxss.22yx )05. 0( 解解本題為方差齊性檢驗本題為方差齊性檢驗:.:,:221220yxyxHH 22yxssF 取統(tǒng)計量取統(tǒng)計量,82. 4)8, 5(025. 0 F,9644. 0357. 0345. 0 0 9750 02515 80 1488 5.( ,).,( ,)FF,82. 4148. 0 F , 0H故接受故接受.22yx 認為認為67例例5 分別用兩個不同的計算機系統(tǒng)檢索分別用兩個不同的計算機系統(tǒng)檢索10個資料個資料, 測得平均檢索時間及方差測得平均檢索時間及方差(單位單位:秒秒)如下如下:解解,21. 1,6

46、7. 2,179. 3,097. 322 yxssyx假定假定檢索時間服從正態(tài)分布檢索時間服從正態(tài)分布, 問這兩系統(tǒng)檢索資問這兩系統(tǒng)檢索資料有無明顯差別料有無明顯差別? 根據(jù)題中條件根據(jù)題中條件, 首先應檢驗方差的齊性首先應檢驗方差的齊性.:,: 221220yxyxHH 假設假設,03. 4)9, 9(025. 0 F,248. 0)9, 9(975. 0 F 22yxssF 取統(tǒng)計量取統(tǒng)計量,12. 221. 167. 2 )05. 0( 68,03. 412. 2248. 0 F , 0H故接受故接受.22yx 認為認為 , yx 再驗證再驗證.:,: 10yxyxHH 假設假設,11

47、21nnSYXtw 取統(tǒng)計量取統(tǒng)計量.2)1()1( 212222112 nnSnSnSw其中其中690.025(18)2.1009t0 ,H故接受.xy認為123.0973.197| | | |11111.3928*10100.32112.1009wXYtSnn222112212(1)(1)29*2.679*1.211.9418wnSnSSnn702222012112:,:.HH0.12,(1,2)iii 211(,)N 222(,)N 2210.34()smm2220.29()smm 例例6 研究機器研究機器A和機器和機器B生產(chǎn)的鋼管的內(nèi)徑生產(chǎn)的鋼管的內(nèi)徑 ，隨機抽取機器隨機抽取機器 A

48、生產(chǎn)的管子生產(chǎn)的管子16 只，測得樣本方差只，測得樣本方差 ；抽取機器；抽取機器B生產(chǎn)的管子生產(chǎn)的管子13只，只， 測得樣本方差測得樣本方差 。設兩樣本相互獨。設兩樣本相互獨立，且設由機器立，且設由機器A,機器機器B生產(chǎn)的管子的內(nèi)徑分別服生產(chǎn)的管子的內(nèi)徑分別服從正態(tài)分布從正態(tài)分布 , ，這里，這里 均未知。作假設檢驗均未知。作假設檢驗:(取取 )71120.116,13,(16 1,13 1)(15,12) 2.1nnFF 21222.1.ss222212120.34,0.29,1.172.1ssss0H解：解： 此處此處 拒絕域為拒絕域為 現(xiàn)在現(xiàn)在故接受故接受.7273第4節(jié) 置信區(qū)間與假設

49、檢驗之間的關系74拒絕域拒絕域置信區(qū)間置信區(qū)間1假假設設檢檢驗驗區(qū)區(qū)間間估估計計統(tǒng)計量統(tǒng)計量 樞軸量樞軸量對偶關系對偶關系同一函數(shù)同一函數(shù)假設檢驗與區(qū)間估計的聯(lián)系假設檢驗與區(qū)間估計的聯(lián)系75置信區(qū)間與假設檢驗之間有明顯的聯(lián)系置信區(qū)間與假設檢驗之間有明顯的聯(lián)系, 先考先考察置信區(qū)間與雙邊檢驗之間的對應關系察置信區(qū)間與雙邊檢驗之間的對應關系. 設設X1,.,Xn是一個來自總體的樣本是一個來自總體的樣本, x1,.,xn是相是相應的樣本值應的樣本值. Q Q是參數(shù)是參數(shù)q q的可能取值范圍的可能取值范圍.設設(q q(X1,.,Xn), qq(X1,.,Xn)是參數(shù)是參數(shù)q q的一個置的一個置信水平

50、為信水平為1 的置信區(qū)間的置信區(qū)間, 則對于任意則對于任意q q Q Q, 有有 Pq qq q(X1,.,Xn) q q qq(X1,.,Xn) 1 , (4.1)考慮顯著性水平為考慮顯著性水平為 的雙邊檢驗的雙邊檢驗H0:q q=q q0, H1:q q q q0.(4.2)76 Pq qq q(X1,.,Xn) q q qq(X1,.,Xn) 1 , (4.1)H0:q q=q q0, H1:q q q q0.(4.2)由由(4.1), 當當H0為真時為真時0010100 (,)(,)1,()().nnPXXXXPqqqqqqqqq 即按顯著性水平為按顯著性水平為 的假設檢驗的拒絕域的定義的假設檢驗的拒絕域的定義, 檢檢驗驗(4.2)的拒絕域為的拒絕域為 q q0 q q(x1,.,xn)