最新852曲面的切平面與法線匯總

1、精品資料852曲面的切平面與法線8.5.2曲面的切平面與法線過曲面e上一點(diǎn)m,在曲面e上的曲線有無數(shù)多條，每一條曲線點(diǎn)m處都有一 條切線，在下面的討論中將會發(fā)現(xiàn)，在一 定的條件下，這些切線位于同一平面，我 們稱這個平面為曲面z在點(diǎn)m處的切平b o設(shè)曲面e的方程為f（x, y, z） = 0,m（x0, yo, z（）是曲面上一點(diǎn)，函數(shù)f（x, y, z）在點(diǎn)m處有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且三個偏 導(dǎo)數(shù)不全為零，另設(shè)曲線是過點(diǎn)m且在 曲面e上的任意一條曲線，它的方程為t = to是點(diǎn)mo所對應(yīng)的參數(shù)，p也）4）不全為零o由于曲線r在曲面工上，于是曲線r上任意一點(diǎn)（歹，叩），儀功的坐標(biāo)滿足曲面e 的方程.即

2、有恒等式又由于函數(shù)f（x, y, z）在點(diǎn)m處有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)妖力丁=孤立z =在t = to處可導(dǎo)，所以復(fù)合函數(shù)凡夕g甲血期在t = to處可導(dǎo)，且全導(dǎo)數(shù)為. .=f式殉，汽i，町川血）+ % （町,% , 先 ）材%） + （布，即於研勺）恒等式巴夕，四弟 = 0兩邊在to處對t求全導(dǎo)數(shù)，有fx （對，汽，zu 仇）十 fy（m,加，2口 ）1（玷）+ 為（噸,%, 20）加（如）二 0上式說明向量t 二（犬0,加，zo）,4oo，m，z0）,丹（町，0，4） 與向量 7 =（一%）,格（為），田（%）垂直。向量？是曲線在點(diǎn)m處的切向量，故曲線在點(diǎn)m處 的切線與向量1垂直，由曲線的任意

3、性知，所有過點(diǎn)m,且在曲 面e上的曲線在m處的切線都與向量二垂直，也就是這些切線都在 以向量二為法向量，并通過點(diǎn)m的平面上。所以，曲面e在點(diǎn)m處 的切平面方程為（穴口，兒，句）（了 一孫）十尸丁（而，四，2口）8汽）+今（勺，比，20）（2-20）=0過點(diǎn)m（xo, yo, z0）且垂直于該點(diǎn)處的切平面的直線稱為曲面z 在點(diǎn)m處的法線，顯然，切平面的法向量就是法線的方向向量，所 以曲面e在點(diǎn)m處的法線方程為_ y-y z zp苒（河，回,可）斗（而，用，到）（醺，川,如）如果曲面工的方程為z = f （x, y）,則只需設(shè)尸&，月z） =（月-2那么曲面e的方程就可化成f（x, yf z） = 0的形式，而且為二 人,=% % = -1此時(shí)曲面z在點(diǎn)mo（xo, yo, z0）處的切平面方程為7x（0，加）0一久十辦（犬0，少。）8 一少u ） 一 （z -z。）二。法線方程為斗（河，加,句） %（殉，加，句）-1僅 求曲面3了+-/=27在點(diǎn)m（3, 1, 1）處的切平面方程 和法線方程。解：求圓錐面z=在點(diǎn)m（, 0, 1）處的切平面方程和 法線方程。解：2 = x +v -1在橢圓拋物面 4 上求一點(diǎn)，使它的切平