2011屆高考數(shù)學考點知識專題總復(fù)習導數(shù)的概念及應(yīng)用

1、2011屆高考數(shù)學考點知識專題總復(fù)習導數(shù)的概念及應(yīng)用時考點2導數(shù)的概念及應(yīng)用高考考綱透析：（理科）（1） 了解導數(shù)概念的某些實際背景（如瞬時速度、加速度、光滑曲線切 線的斜率等）；掌握函數(shù)在一點處的導數(shù)的定義和導數(shù)的幾何意義； 理解導函數(shù)的概念。（2）熟記基本導數(shù)公式；掌握兩個函數(shù)和、差、 積、商的求導法則了解復(fù)合函數(shù)的求導法則會求某些簡單函數(shù)的導 數(shù)。（3）理解可導函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的關(guān)系；了解可導函數(shù)在某 點取得極值的必要條和充分條（導數(shù)在極值點兩側(cè)異號）；會求一些實 際問題（一般指單峰函數(shù)）的最大值和最小值。（科）（1） 了解導數(shù)概念的某些實際背景。（2）理解導數(shù)的幾何意義。 掌握 函

2、數(shù)，=（為常數(shù)）、=xn（n N+）的導數(shù)公式，會求多項式函數(shù)的導數(shù)。（4）理解極大值、極小值、最大值、最小值的概念并會用導數(shù)求多項 式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極大值、極小值及閉區(qū)間上的最大值和最小值。（）會利用導數(shù)求某些簡單實際問題的最大值和最小值。高考風向標：導數(shù)的概念及運算，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值， 函數(shù)的最大值和最小值，尤其是利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值， 復(fù)現(xiàn)率較高。高考試題選：1設(shè) 是函數(shù) 的導函數(shù), 的圖象如圖所示，貝y的圖象最有可能 的是()2設(shè)曲線0在點(t,e-t)處的切線與x軸軸所圍成的三角形面積 為 S (t)(I)求切線的方程；(H)求S (t )的最大值3已知a為

3、實數(shù)，(I)求導數(shù)；(H) 若，求 在卜-2 , 2上的最大值和最小值；(皿)若在(一汽 一2)和2, +乂1上都是遞增的，求a的取值范圍熱點題型1:函數(shù)的最值已知函數(shù) f(x)二x3 + 3x2 + 9x + a,(I) 求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(II )若f(x)在區(qū)間2, 2上的最大值為20,求它在該區(qū)間上的最 小值.解：(I) f (x) = -3x2 + 6x + 9.令 f (x)<O，解得 x&It; 1 或 x>3 ,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一g, 1), (3,+*).(II)因為 f( 2)= 8+ 1218+ a=2 + a, f(2) = 8+1

4、2+18+ a= 22 + a,所以 f(2)>f( 2).因為在(1, 3) 上 f (x)>O，所以 f(x) 在1, 2上單調(diào)遞增，又由于f(x)在 2, 1上單調(diào)遞減，因此f(2) 和f( 1)分別是f(x)在區(qū)間2, 2上的最大值和最小值，于是有 22 + a= 20,解得 a= 2.故 f(x)= x3+ 3x2 + 9x 2,因此 f( 1)= 1+ 3 9 2= 7,即函數(shù)f(x)在區(qū)間2, 2上的最小值為一7.變式新題型1:已知的最大值為3,最小值為，求的值。解題分析：對 的符號進行分類討論，比較區(qū)間端點函數(shù)值及極值點的大小。熱點題型2:函數(shù)的極值已知函數(shù)在處取得

5、極值(1)討論和 是函數(shù) 的極大值還是極小值；（2）過點作曲線的切線，求此切線方程（1）解：，依題意，即解得二令，得若，則，故在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)若，則，故在上是減函數(shù)所以，是極大值；是極小值（2）解：曲線方程為，點不在曲線上 設(shè)切點為，則點的坐標滿足因，故切線的方程為注意到點A（0，16）在切線上，有化簡得，解得所以，切點為，切線方程為變式新題型2：已知 和 若 在點 處有極值，且曲線 和 在交點（0,2）處有公切線（1）求 的值，（2）求 在R上的極大值和極小值。解題分析：關(guān)健點是：曲線 和 在交點（0,2）處有公切線構(gòu)造兩個 方程。熱點題型3:函數(shù)的單調(diào)性（理科）已知函數(shù) 的圖象在

6、點（一1, f（x）處的切線方程為x+2+=0（I）求函數(shù)=f（x）的解析式；（H）求函數(shù)=f（x）的單調(diào)區(qū)間簡明答案：（I）；（n）在和上是減函數(shù)，在 上是增函數(shù)。（科）已知函數(shù)的圖象過點P （0, 2）,且在點（一1, f （- 1）處 的切線方程為 （I）求函數(shù)的解析式；（H）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 簡解：（I）,（H） 在和上是增函數(shù)，在 上是減函數(shù)。變式新題型3：已知函數(shù) 的圖象經(jīng)過點（0,1）,且在 處的切線方程是，（1）求 的 解析式；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間。解題分析：關(guān)健點是：在 處的切線方程是 構(gòu)造兩個方程。熱點題型4:分類討論在導數(shù)中應(yīng)用已知，函數(shù)。（1）當時，求使成立的的集合；

7、（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值。解：（1）由題意，當時，解得或；當時，解得綜上，所求解集為；（2）設(shè)此最小值為 當時，在區(qū)間上，因為則是區(qū)間上的增函數(shù)，所以； 當時，在區(qū)間上，則知 當時，在區(qū)間上，若，在區(qū)間 內(nèi)，從而 為區(qū)間 上的增函數(shù)，由此得:若，貝y當時，從而為區(qū)間上的增函數(shù)；當時，從而為區(qū)間上的減函數(shù)因此，當時，或；當時，故當時，故綜上所述，所求函數(shù)的最小值變式新題型4：已知，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。備選題：已知 a > 0,函數(shù) f (x) = x3 -a, x 0, + .設(shè) x1 > 0 ,記曲線 二 f (x)在點(x1, f (x1)處的切線為l. (I)求I的方程；(H)設(shè)I與x 軸交點為(x2, 0).證明：(i) x2 ; (ii)若 x1>，貝卩 &It; x2 &It; x1 .(I)解：求f (x)的導數(shù)：(x) = 3x2，由此得切線I的方程：