物理學(xué)畢業(yè)論文設(shè)計(jì)運(yùn)用MATLAB分析機(jī)械振動(dòng)

1、本科畢業(yè)論文題目: 運(yùn)用matlab分析機(jī)械振動(dòng) 學(xué)院： 物理與電子科學(xué)學(xué)院 班級(jí)： 2008級(jí)物理二班 姓名： 指導(dǎo)教師： 職稱： 實(shí)驗(yàn)師 完成日期： 2012 年 5 月 18 日運(yùn)用matlab分析機(jī)械振動(dòng)作者：李釗 指導(dǎo)老師：陳翠萍（山西大同大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院，山西大同037009）摘要: 日常生活中所說(shuō)的振動(dòng)是一種周期性的運(yùn)動(dòng)。所謂周期性運(yùn)動(dòng)是指在時(shí)間上具有重復(fù)性或往復(fù)性的一種運(yùn)動(dòng)，是遍及自然界及社會(huì)科學(xué)界的一種運(yùn)動(dòng)方式。在物理學(xué)中，廣義地說(shuō)凡是描述物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的物理量，在某一數(shù)值附近做周期性的變化，都叫做振動(dòng).本文主要是例舉了關(guān)于振動(dòng)的典型實(shí)例，用matlab語(yǔ)言編制計(jì)算機(jī)程序進(jìn)行

2、仿真以達(dá)到研究簡(jiǎn)諧振動(dòng)以及振動(dòng)的合成，振動(dòng)的能量等目的，并在文章的最后簡(jiǎn)要地介紹了共振的危害與應(yīng)用。關(guān)鍵字: matlab語(yǔ)言 演示 振動(dòng) 周期性 頻率 合成 能量 共振 混沌現(xiàn)象 目 錄一振動(dòng)的概念與分類11.1狹義的振動(dòng)11.1.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)的概念11.1.2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征11.2廣義的振動(dòng)及振動(dòng)的分類2二不同類型的振動(dòng)合成及運(yùn)用matlab模擬演示32.1振動(dòng)方向相同，頻率相同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成32.2 matlab模擬振動(dòng)方向相同，頻率略有差異振動(dòng)合成的“拍”現(xiàn)象42.3二個(gè)振動(dòng)方向互相垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成7三運(yùn)用matlab演示典型實(shí)例分析簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量轉(zhuǎn)換73.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)的系統(tǒng)機(jī)

3、械能73.2 小球單擺的能量分析及matlab演示：73.3matlab演示彈簧振子：83.4簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量曲線12四阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)及位移共振154.1阻尼振動(dòng)154.2受迫振動(dòng)184.3位移共振21五、“不守規(guī)矩”的擺混沌行為：225.1什么是“混沌”現(xiàn)象225.2依賴初值的兩種情況22六、振動(dòng)的危害226.1生產(chǎn)中接觸到的振動(dòng)源226.2振動(dòng)引起的共振在歷史事件中引起的危害226.3振動(dòng)對(duì)人體器官的影響23七、共振創(chuàng)造了世界24致謝26一振動(dòng)的概念與分類1.1狹義的振動(dòng)1.1.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)的概念狹義的振動(dòng)指的是機(jī)械振動(dòng)，即力學(xué)系統(tǒng)中的振動(dòng)。 振動(dòng)(或機(jī)械振動(dòng))指的是物體在平衡位置附近往復(fù)

4、運(yùn)動(dòng)。（琴弦、鐘鼓、機(jī)械鐘表的擺輪、發(fā)動(dòng)機(jī)座、高聳的煙囪和固體晶格點(diǎn)陣的分子和原子都在振動(dòng)） 振動(dòng)是以波的形式傳播的，機(jī)械振動(dòng)的傳播即機(jī)械波。 簡(jiǎn)諧振動(dòng)是指質(zhì)點(diǎn)在線性回復(fù)力作用下圍繞平衡位置的運(yùn)動(dòng)。 1.1.2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征（1）簡(jiǎn)諧振動(dòng)過(guò)程中應(yīng)該掌握的一些基本概念：振幅a：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)物體離開(kāi)平衡位置最大位移的絕對(duì)值a。振動(dòng)的周期t：物體做一次完全振動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間。頻率f：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)物體所作的完全振動(dòng)的次數(shù)。圓頻率:一秒鐘對(duì)應(yīng)的圓心角。一次全振動(dòng)對(duì)應(yīng)的圓心角就是2（即360度）。相位：當(dāng)振幅和頻率一定時(shí)決定振動(dòng)物體在任意時(shí)刻相對(duì)平衡位置的位移和速度的物理量。相位概念的重要性還在于比較兩個(gè)簡(jiǎn)

5、諧振動(dòng)之間在“步調(diào)”上的差異。設(shè)有兩個(gè)同頻率的諧振動(dòng)，它們的振動(dòng)表達(dá)式為： 它們的相位差為： （2）以彈簧振子為例描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特點(diǎn)：彈簧自由伸展時(shí)，滑塊的位置為原點(diǎn)o（即平衡位置）， 表示位移： 平衡位置o點(diǎn)線xxxxv圖1-1-2 彈簧陣子由牛頓第二定律知： 由上式易知簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程 : 其解的形式為: 1.2廣義的振動(dòng)及振動(dòng)的分類 從廣義上說(shuō)振動(dòng)是指描述系統(tǒng)狀態(tài)的參量（如位移、電壓）在其基準(zhǔn)值上下交替變化的過(guò)程。電磁振動(dòng)習(xí)慣上稱為振蕩。力學(xué)系統(tǒng)能維持振動(dòng)，必須具有彈性和慣性：由于彈性，系統(tǒng)偏離其平衡位置時(shí)，會(huì)產(chǎn)生回復(fù)力，促使系統(tǒng)返回來(lái)位置； 由于慣性，系統(tǒng)在返回平衡位置的過(guò)程中積累

6、了動(dòng)能，從而使系統(tǒng)越過(guò)平衡位置向另一側(cè)運(yùn)動(dòng)。正是由于彈性和慣性的相互影響，才造成系統(tǒng)的振動(dòng)。（1）按系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)自由度分，有單自由度系統(tǒng)振動(dòng)（如鐘擺的振動(dòng)）和多自由度系統(tǒng)振動(dòng)。有限多自由度系統(tǒng)與離散系統(tǒng)相對(duì)應(yīng)，其振動(dòng)由常微分方程描述；無(wú)限多自由度系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)（如桿、梁、板、殼等）相對(duì)應(yīng)，其振動(dòng)由偏微分方程描述。（2）方程中不顯含時(shí)間的系統(tǒng)稱自治系統(tǒng)；顯含時(shí)間的稱非自治系統(tǒng)。（3）按系統(tǒng)受力情況分，有自由振動(dòng)、衰減振動(dòng)和受迫振動(dòng)。（4）按彈性力和阻尼力性質(zhì)分，有線性振動(dòng)和非線性振動(dòng)。（5）振動(dòng)還可分為確定性振動(dòng)和隨機(jī)振動(dòng)，后者無(wú)確定性規(guī)律。（如車輛行進(jìn)中的顛簸）二不同類型的振動(dòng)合成及運(yùn)用matla

7、b模擬演示2.1振動(dòng)方向相同，頻率相同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成合簡(jiǎn)諧振動(dòng)的分振動(dòng)方程為： 振動(dòng)矢量合成如圖示：圖2-1振動(dòng)矢量合成 用旋轉(zhuǎn)矢量合成 合振幅矢量 合振動(dòng)保持原振動(dòng)方向不變。 合振動(dòng)方程 由此易知：一個(gè)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)振動(dòng)方向相同、頻率相同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，合振動(dòng)仍為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。matlab模擬編程如下：%兩個(gè)同方向同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成clear %清除變量a1=input(請(qǐng)輸入第一個(gè)振動(dòng)的振幅:); %第一個(gè)振動(dòng)的振幅%a1=0.03; %參考值phi1=input(請(qǐng)輸入第一個(gè)振動(dòng)的初相的度數(shù):);%第一個(gè)振動(dòng)的初相%phi1=0; %參考值phi1=phi1*pi/180; %化為弧度a

8、2=input(請(qǐng)輸入第二個(gè)振動(dòng)的振幅:); %第二個(gè)振動(dòng)的振幅%a2=0.04; %參考值phi2=input(請(qǐng)輸入第二個(gè)振動(dòng)的初相的度數(shù):); %phi1=0;90; phi2=phi2*pi/180; wt=linspace(0,4*pi); x1=a1*cos(wt+phi1); x2=a2*cos(wt+phi2); x=x1+x2; figure plot(wt,x1,-.,wt,x2,-,wt,x,linewidth,2)%畫(huà)振動(dòng)曲線set(gca,xtick,(0:8)*pi/2) %設(shè)置橫坐標(biāo)刻度grid on %加網(wǎng)格fs=16; %字體大小title(同一直線上簡(jiǎn)諧振動(dòng)

9、的合成,fontsize,fs)%顯示標(biāo)題 2.2 matlab模擬振動(dòng)方向相同，頻率略有差異振動(dòng)合成的“拍”現(xiàn)象二個(gè)振動(dòng)方向相同、頻率略有差異的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其合振動(dòng)不為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，產(chǎn)生“拍”現(xiàn)象拍頻為（為兩分振動(dòng)頻率）“拍”現(xiàn)象合振動(dòng)圖像如下所示：x1tx2tx3t圖2-2“拍”現(xiàn)象振動(dòng)合成 matlab演示“拍”現(xiàn)象：%拍的形成clear %清除變量d=10; %分母%d=15; %分母t=0:0.01:60; %時(shí)間向量w1=pi/2; %第一個(gè)角頻率dw=pi/d; %角頻率之差w2=w1+dw; %第二個(gè)角頻率x1=cos(w1*t); %第一個(gè)位移x2=cos(w2*t); %第二個(gè)位

10、移x=x1+x2; %合位移figure %創(chuàng)建圖形窗口subplot(3,1,1) %選擇子圖plot(t,x1,t,x2,-,linewidth,2) %畫(huà)位移曲線grid on %加網(wǎng)格leg1=itxrm_1/itarm=cositomegarm_1itt;%第一個(gè)圖例字符串leg2=itxrm_2/itarm=cositomegarm_2itt;%第二個(gè)圖例字符串legend(leg1,leg2) %圖例tit=(itomegarm_1=pi/2,deltaitomegarm=pi/,num2str(d),);%標(biāo)題一部分fs=16; %字體大小title(拍的形成 tit,font

11、size,fs) %加標(biāo)題%xx1=cos(dw*t/2); %調(diào)幅線xx1=cos(w2-w1)*t/2); %調(diào)幅線(同上)%xx2=cos(w1+dw/2)*t); %無(wú)調(diào)幅的振動(dòng)線xx2=cos(w2+w1)*t/2); %無(wú)調(diào)幅的振動(dòng)線(同上)subplot(3,1,2) %選擇子圖plot(t,xx2,t,xx1,r-,linewidth,2) %畫(huà)曲線grid on %加網(wǎng)格leg1=cos(itomegarm_2; %圖例字符串的第一部分leg2=itomegarm_1)ittrm/2; %圖例字符串的第二部分legend(leg1,+,leg2,leg1,-,leg2)%圖例

12、subplot(3,1,3) %選擇子圖plot(t,x1+x2,t,2*xx1,r-,t,-2*xx1,m-,linewidth,2)%畫(huà)曲線grid on %加網(wǎng)格xlabel(ittrm/s,fontsize,fs) %標(biāo)記橫坐標(biāo)ylabel(itx/arm=itxrm_1/itait+itxrm_2/ita,fontsize,fs)%標(biāo)記縱坐標(biāo)2.3二個(gè)振動(dòng)方向互相垂直的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成（1）若二振動(dòng)頻率相同，合振動(dòng)軌跡一般為一橢圓. （2）若二振動(dòng)頻率成整數(shù)比，合振動(dòng)軌跡為規(guī)則的穩(wěn)定的閉合曲線，稱利薩如圖但若不成整數(shù)比，軌跡為不閉合的復(fù)雜曲線.三運(yùn)用matlab演示典型實(shí)例分析簡(jiǎn)諧振動(dòng)

13、的能量轉(zhuǎn)換3.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)的系統(tǒng)機(jī)械能彈簧振子或扭擺振動(dòng)系統(tǒng)中線性回復(fù)力為彈性力（或力矩），它們是保守力（或力矩），所以簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)的總機(jī)械能守恒。簡(jiǎn)諧振動(dòng)的總機(jī)械能是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)能與勢(shì)能之和現(xiàn)以單擺、彈簧振子為例討論振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能的變化。3.2 小球單擺的能量分析及matlab演示： 單擺的周期： 最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的高度差：最高點(diǎn)時(shí)動(dòng)能為0，最低點(diǎn)時(shí)勢(shì)能為0所以振動(dòng)的能量為： 抽象的問(wèn)題具體化，運(yùn)用matlab演示單擺如下：%制作動(dòng)畫(huà)%掛擺橫梁plot(-0.2;0.2,0;0,color,y,linestyle,-,.linewidth,10);%畫(huà)初始位置的單擺g=0.98; %重力加

14、速度,可以調(diào)節(jié)擺的擺速l=1;theta0=pi/4;x0=l*sin(theta0);y0=(-1)*l*cos(theta0);axis(-0.75,0.75,-1.25,0);axis(off); %不顯示坐標(biāo)軸%創(chuàng)建擺錘head=line(x0,y0,color,r,linestyle,.,.erasemode,xor,markersize,40);%創(chuàng)建擺桿body=line(0;x0,0;y0,color,b,linestyle,-,.erasemode,xor);%擺的運(yùn)動(dòng)t=0;dt=0.01;while 1t=t+dt;theta=theta0*cos(sqrt(g/l)*t

15、);x=l*sin(theta);y=(-1)*l*cos(theta);set(head,xdata,x,ydata,y);set(body,xdata,0;x,ydata,0;y);drawnow;end3.3matlab演示彈簧振子：彈簧振子的彈性勢(shì)能： 彈簧振子的動(dòng)能： 彈簧振子的總機(jī)械能： 因?yàn)?,均較易進(jìn)行計(jì)算，所以計(jì)算動(dòng)能時(shí)常用綜上所述易知：任何簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械能均可用下式計(jì)算簡(jiǎn)諧振動(dòng)過(guò)程中，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，但動(dòng)能和彈性勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化。簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅與機(jī)械能的關(guān)系。 理想彈簧振子的簡(jiǎn)諧振動(dòng)matlab編程如下:%理想彈簧陣子簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)%clearrectangle(position

16、,12,8.5,2,0.3,facecolor,0.5,0.3,0.4);axis(0,15,-1,10);%畫(huà)頂板hold onplot(13,13,7,8.5,r,linewidth,2);%畫(huà)直線y=2:.2:7;m=length(y);x=12+mod(1:m,2)*2;x(1)=13;x(end-3:end)=13;d=plot(x,y); %彈簧c=0:.1:2*pi;r=0.35;t1=r*sin(c); f1=fill(13+r*cos(c),2+t1,r);% 球set(gca,ytick,0:2:9);set(gca,yticklabels,num2str(-1:3);pl

17、ot(0,15,3.3,3.3,black);h1=plot(0,13,3.3,3.3,y);% 句柄黃線q=plot(0,3.8,color,r);% 運(yùn)動(dòng)曲線;td=;yd=;t=0;text(2,9,理想中的彈簧振子簡(jiǎn)諧振動(dòng),fontsize,16);set(gcf,doublebuffer,on);while t12;pause(0.2);dy=(3/2-1/2*sin(pi*t)*1/2;y=-(y-2)*dy+7;yf=y(end)+t1;td=td,t;yd=yd,y(end);set(d,ydata,y);set(f1,ydata,yf,facecolor,rand(1,3);

18、set(h1,xdata,t,13,ydata,y(end),y(end);set(q,xdata,td,ydata,yd) ;t=t+0.1;end3.4簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量曲線 能量曲線： 總機(jī)械能： 彈性勢(shì)能能： 動(dòng)能： 能量曲線如下圖所示： ex 圖3-4簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量曲線彈性勢(shì)能與動(dòng)能的平均值： 簡(jiǎn)諧振動(dòng)中勢(shì)能與動(dòng)能的平均值相等且等于總機(jī)械能的一半。以彈簧振子為例運(yùn)用matlab模擬能量曲線：%彈簧振子的動(dòng)能,勢(shì)能和機(jī)械能曲線clear %清除變量n=4; %周期的個(gè)數(shù)t=linspace(0,2*pi)*n; %時(shí)間向量x=cos(t); %振子位置v=-sin(t); %速度ek=v.

19、2; %動(dòng)能ep=x.2; %勢(shì)能figure %建立圖形窗口subplot(2,1,1) %子圖plot(t,x,t,v,-,linewidth,2) %畫(huà)位移和速度曲線grid on %加網(wǎng)格axis tight %緊貼坐標(biāo)軸fs=16; %字體大小title(簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移和速度,fontsize,fs)%顯示標(biāo)題xlabel(itomegat,fontsize,fs) %標(biāo)記橫軸legend(位移itx/a,速度itv/omegaa)%圖例set(gca,xtick,(0:2*n)*pi) %設(shè)置橫坐標(biāo)刻度線text(0,0,itomegarm=(itk/mrm)1/2,fontsiz

20、e,fs)%顯示角頻率subplot(2,1,2) %子圖plot(t,ek,-,t,ep,-.,t,ek+ep,linewidth,2)%畫(huà)能量曲線grid on %加網(wǎng)格axis tight %緊貼坐標(biāo)軸title(簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量,fontsize,fs) %顯示標(biāo)題xlabel(itomegat,fontsize,fs) %標(biāo)記橫軸legend(動(dòng)能itt/erm_0,勢(shì)能itv/erm_0,機(jī)械能ite/erm_0)%圖例text(0,0.5,iterm_0=itkarm2/2,fontsize,fs)%顯示能量單位set(gca,xtick,(0:2*n)*pi) %設(shè)置橫坐標(biāo)刻度線

21、四阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)及位移共振4.1阻尼振動(dòng)以上討論均假設(shè)質(zhì)點(diǎn)或剛體的振動(dòng)不受任何阻力，由于能量守恒，它們將永遠(yuǎn)振動(dòng)下去。然后事實(shí)上，振動(dòng)系統(tǒng)都受阻力作用，如無(wú)外界能量補(bǔ)償，振動(dòng)幅將不斷減小而歸于靜止。振動(dòng)系統(tǒng)因受阻力作振幅減小的運(yùn)動(dòng)，叫做阻尼振動(dòng)。設(shè) 阻力 由牛頓第二定律得 令 由此可得其動(dòng)力學(xué)方程 根據(jù)阻尼因數(shù)之不同，可將此方程解出三種可能的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)： x（1）欠阻尼狀態(tài) t 得質(zhì)點(diǎn)的解 圖4-1-1欠阻尼狀態(tài)x（2）臨界阻尼 t得質(zhì)點(diǎn)的解 圖4-1-2臨界阻尼狀態(tài)xt（3）過(guò)阻尼狀態(tài) 得質(zhì)點(diǎn)的解 圖4-1-3過(guò)阻尼狀態(tài)運(yùn)用matlab語(yǔ)言模擬阻尼運(yùn)動(dòng)：%阻尼運(yùn)動(dòng)的類型clear %清除變

22、量t=0:0.25:20; %固有角頻率與時(shí)間的乘積w0t向量(約化時(shí)間向量)%b=0:0.5:1.5; %阻尼因子與固有角頻率的倍數(shù)向量(約化阻尼因子向量)b=0:0.25:1.25; %阻尼因子與固有角頻率的倍數(shù)向量(約化阻尼因子向量)n=length(b); %曲線條數(shù)b(b=1)=1+eps; %將1值改為1加小量b,t=meshgrid(b,t); %約化阻尼因子和約化時(shí)間矩陣w=sqrt(1-b.2); %準(zhǔn)角頻率矩陣x=exp(-b.*t).*(cos(w.*t)+b./w.*sin(w.*t);%位移函數(shù)矩陣v=-exp(-b.*t).*sin(w.*t)./w; %速度函數(shù)矩

23、陣%a=sqrt(b.2-1); %參數(shù)矩陣%x=exp(-b.*t).*(a+b).*exp(a.*t)+(a-b).*exp(-a.*t)/2./a;%位移函數(shù)矩陣(效果相同)%x=exp(-b.*t).*(cosh(a.*t)+b./a.*sinh(a.*t);%位移函數(shù)矩陣(效果相同)%v=-exp(-b.*t).*sinh(a.*t)./a; %速度函數(shù)矩陣(效果相同)f1=figure; %創(chuàng)建圖形窗口%plot(t,x,linewidth,2) %畫(huà)位移曲線族plot(t,x(:,1),o-,t,x(:,2),d-,t,x(:,3),s-,t,x(:,4),p-,. t,x(:,

24、5),h-,t,x(:,6),-) %畫(huà)位移曲線族fs=16; %字體大小xlabel(itomegarm_0itt,fontsize,fs)%標(biāo)記橫坐標(biāo)ylabel(itx/a,fontsize,fs) %標(biāo)記縱坐標(biāo)title(質(zhì)點(diǎn)在不同阻尼下的運(yùn)動(dòng)曲線,fontsize,fs)%標(biāo)題legend(repmat(itbeta/omegarm_0:,n,1),num2str(b)%加圖例txt=itbeta/omegarm_0 小于1為欠阻尼,等于1為臨界阻尼,大于1為過(guò)阻尼;%文本text(0,-0.7,txt,fontsize,fs) %顯示文本grid on %加網(wǎng)格f2=figure;

25、 %創(chuàng)建圖形窗口%plot(t,v,linewidth,2) %畫(huà)速度曲線族plot(t,v(:,1),o-,t,v(:,2),d-,t,v(:,3),s-,t,v(:,4),p-,. t,v(:,5),h-,t,v(:,6),-) %畫(huà)位移曲線族xlabel(itomegarm_0itt,fontsize,fs)%標(biāo)記橫坐標(biāo)ylabel(itv/omegarm_0ita,fontsize,fs)%標(biāo)記縱坐標(biāo)title(質(zhì)點(diǎn)在不同阻尼下的速度曲線,fontsize,fs)%標(biāo)題grid on %加網(wǎng)格legend(repmat(itbeta/omegarm_0:,n,1),num2str(b)

26、%加圖例pause %暫停,可取圖x1=; %位移矩陣清空v1=; %速度矩陣清空x2=; %位移矩陣清空v2=; %速度矩陣清空f(shuō)or i=1:n %按曲線循環(huán) tm,xv=ode45(p5_7fun,t,1;0,b(i);%計(jì)算位移和速度 x1=x1,xv(:,1); %連接位移矩陣 v1=v1,xv(:,2); %連接速度矩陣 s=d2x+,num2str(2*b(i),*dx+x;%微分方程字符串sx=dsolve(s,x(0)=1,dx(0)=0); %微分方程的符號(hào)解sv=diff(sx); %求速度的符號(hào)解x=subs(sx,t,t); %位移v=subs(sv,t,t); %速

27、度 x2=x2,x; %連接位移矩陣 v2=v2,v; %連接速度矩陣end %結(jié)束循環(huán)figure(f1) %重開(kāi)圖形窗口hold on %保持圖像plot(t,x1,.,t,x2,*) %畫(huà)位移曲線figure(f2) %重開(kāi)圖形窗口hold on %保持圖像plot(t,v1,.,t,v2,*) %畫(huà)速度曲線%阻尼運(yùn)動(dòng)的二階微分方程的函數(shù)function f=fun(t,x,flag,b)f= x(2); %速度 -2*b*x(2)-x(1); %加速度4.2受迫振動(dòng)設(shè)質(zhì)點(diǎn)受到三種力：彈性力-kx，阻尼力，周期性外力，亦稱驅(qū)動(dòng)力根據(jù)牛頓第二定律得，受迫振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程： 令 ，得 解方程

28、得： 開(kāi)始時(shí)，受迫振動(dòng)的振幅較小，經(jīng)過(guò)一定時(shí)間后，阻尼振動(dòng)即可忽略不計(jì)，質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行由上式第二項(xiàng)所決定的與驅(qū)動(dòng)力同頻率的振動(dòng)，稱受迫振動(dòng)的穩(wěn)定振動(dòng)狀態(tài)，可表示如下：將此式帶入方程得 ，xot圖4-2 受迫振動(dòng)自暫態(tài)發(fā)展為穩(wěn)定振動(dòng).本圖所示初始條件為t=0,初始條件影響暫態(tài)過(guò)程，不影響穩(wěn)態(tài)振動(dòng)matlab編程演示受迫振動(dòng)如下：%物體在平衡點(diǎn)從靜止開(kāi)始的受迫振動(dòng)曲線(用解析式)clear %清除變量b=input(請(qǐng)輸入約化阻尼因子(01):); %鍵盤(pán)輸入約化阻尼因子%b=0.1; %參考值if b=1 return,end %不符合條件則不向下執(zhí)行程序w=sqrt(1-b2); %約化阻尼圓頻率s

29、=請(qǐng)輸入約化驅(qū)動(dòng)力圓頻率(約化阻尼圓頻率為,num2str(w),):;%提示字符串w=input(s); %鍵盤(pán)輸入約化驅(qū)動(dòng)力圓頻率%w=2;6;1;0.6; %參考值if w=1 w=1-eps;end %如果為1則改小一點(diǎn)tm=30; %最大時(shí)間t=0:0.001:tm; %時(shí)間向量a1=sqrt(w2*(w2-1)2+b2*(w2+1)2)/w/(w2-1)2+4*b2*w2);%阻尼振幅phi=atan2(b*(w2+1),w*(w2-1); %阻尼振動(dòng)初相a2=1/sqrt(w2-1)2+4*b2*w2); %等幅振動(dòng)振幅phi=atan2(-2*b*w,1-w2); %等幅振動(dòng)初

30、相x1=a1*exp(-b*t).*cos(w*t+phi); %阻尼振動(dòng)函數(shù)x2=a2*cos(w*t+phi); %等幅振動(dòng)函數(shù)x=x1+x2; %合成振動(dòng)xm=max(abs(x); %最大值%-figure %創(chuàng)建圖形窗口subplot(3,1,1) %選子圖plot(t,x1,linewidth,2) %畫(huà)曲線grid on %加網(wǎng)格axis(0,tm,-xm,xm) %設(shè)置曲線范圍fs=12; %字體大小title(減幅振動(dòng)的位移時(shí)間曲線,fontsize,fs)%標(biāo)題ylabel(itxrm_1/itarm_0,fontsize,fs)%標(biāo)記縱坐標(biāo)txt=itbeta/omega

31、rm_0=,num2str(b);%阻尼因子字符串txt=txt,itomega/omegarm_0=,num2str(w);%連接阻尼圓頻率text(0,xm,txt,fontsize,fs) %標(biāo)記阻尼因子和阻尼圓頻率subplot(3,1,2) %選子圖plot(t,x2,linewidth,2) %畫(huà)曲線grid on %加網(wǎng)格axis(0,tm,-xm,xm) %設(shè)置曲線范圍title(等幅振動(dòng)的位移時(shí)間曲線,fontsize,fs)%標(biāo)題ylabel(itxrm_2/itarm_0,fontsize,fs)%標(biāo)記縱坐標(biāo)txt=itomega/omegarm_0=,num2str(w

32、);%驅(qū)動(dòng)力圓頻率字符串text(0,xm,txt,fontsize,fs) %標(biāo)記驅(qū)動(dòng)力圓頻率subplot(3,1,3) %選子圖plot(t,x,linewidth,2) %畫(huà)曲線grid on %加網(wǎng)格axis(0,tm,-xm,xm) %設(shè)置曲線范圍txt=itarm_0=itfrm_0/itmomegarm_02;%振幅文本text(0,xm,txt,fontsize,fs) %標(biāo)記振幅文本title(受迫振動(dòng)的位移時(shí)間曲線,fontsize,fs)%標(biāo)題xlabel(itomegarm_0itt,fontsize,fs)%標(biāo)記橫坐標(biāo)ylabel(itx/arm_0,fontsiz

33、e,fs) %標(biāo)記縱坐標(biāo)4.3位移共振任何物體產(chǎn)生振動(dòng)后，由于其身的構(gòu)成、大小、形狀等物理特性，原先以多種頻率開(kāi)始的振動(dòng)，漸漸會(huì)固定在某一頻率上振動(dòng)，這個(gè)頻率叫做該物體的固有頻率，因?yàn)樗c該物體的物理特性有關(guān)。所以當(dāng)人們從外界再給這個(gè)物體加上一個(gè)振動(dòng)（稱為策動(dòng)）時(shí)，如果策動(dòng)力的頻率與該物體的固有頻率正好相同，物體振動(dòng)的振幅達(dá)到最大，這種現(xiàn)象叫做共振。 任何物體自身存在振動(dòng)，當(dāng)一個(gè)物體接受到另一個(gè)物體的振蕩頻率時(shí)，又巧好與這個(gè)物體的振蕩頻率相同時(shí)會(huì)產(chǎn)生共振。共振危害極大可以使大橋、房屋以及其它的建筑物瞬間倒塌，甚至還危及到人類的心臟使血管破裂而亡。下面簡(jiǎn)要介紹一下位移共振：當(dāng)驅(qū)動(dòng)力頻率取某值時(shí)，

34、振幅獲得極大值。振動(dòng)系統(tǒng)受迫振動(dòng)時(shí)，其振幅達(dá)到極大值的現(xiàn)象叫做位移共振。將式用微分法關(guān)于極大值的判據(jù)，可求出共振驅(qū)動(dòng)力的圓頻率為：亦稱位移共振條件。ao圖4-3由于阻尼存在，位移共振時(shí)受迫振動(dòng)的頻率不等于驅(qū)動(dòng)力頻率，僅當(dāng)阻尼無(wú)限小時(shí)，共振頻率無(wú)限接近固有頻率，產(chǎn)生極激烈的共振五、“不守規(guī)矩”的擺混沌行為：5.1什么是“混沌”現(xiàn)象動(dòng)力學(xué)方程形如：的擺動(dòng)現(xiàn)象稱為混沌擺。與受迫振動(dòng)有所區(qū)別的是出現(xiàn)了非線性項(xiàng)，因此這扭擺稱為受周期驅(qū)動(dòng)的非線性振子。非線性系統(tǒng)的混沌行為是自然界普遍和重要的物理現(xiàn)象 振子的運(yùn)動(dòng)是“循規(guī)蹈矩”的，但與之相對(duì)比的是，這里的扭擺當(dāng)參量取某些值時(shí)，卻表現(xiàn)出“不守規(guī)矩”的行為。長(zhǎng)期

35、行為不可預(yù)測(cè)，呈現(xiàn)隨機(jī)性。扭擺的這種行為稱為混沌行為或混沌運(yùn)動(dòng)，也稱作混沌。5.2依賴初值的兩種情況依賴初值的兩種情況：牛頓力學(xué)研究的運(yùn)動(dòng)是依賴初值的。當(dāng)今。混沌研究表明，運(yùn)動(dòng)對(duì)初值的依賴本應(yīng)該分為兩類：一類是一般的依賴初值；這類運(yùn)動(dòng)，給定初值，之前和之后的運(yùn)動(dòng)是完全確定的，這類運(yùn)動(dòng)是可“重現(xiàn)”，可“預(yù)報(bào)”的。另一類是敏感地依賴初值；“運(yùn)動(dòng)依賴敏感初值”意味著初值有預(yù)測(cè)不出的微小微差，隨著時(shí)間演化，兩次運(yùn)動(dòng)間的偏離卻可以觀測(cè)得到，并且還變化不定，也就是說(shuō)對(duì)于敏感依賴初值的運(yùn)動(dòng)。即便在實(shí)驗(yàn)中給予“相同的”初值（注意： “相同的”表示兩次初值相差如此之小，以致測(cè)量不出兩次初值的不同）兩次運(yùn)動(dòng)也并不

36、重復(fù)，即敏感依賴初值的運(yùn)動(dòng)是不可重復(fù)出現(xiàn)的，不可預(yù)報(bào)的。六、振動(dòng)的危害6.1生產(chǎn)中接觸到的振動(dòng)源 （1）鑿巖機(jī)、鉚釘機(jī)、風(fēng)鏟等風(fēng)動(dòng)工具； ( 2 ) 砂輪機(jī)、拋光機(jī)、研磨機(jī)、電鉆、電鋸、林業(yè)用油鋸等電動(dòng)工具； （3）摩托車、內(nèi)燃機(jī)車、船舶等運(yùn)輸工具； （4）收割機(jī)、拖拉機(jī)、脫粒機(jī)等農(nóng)業(yè)機(jī)械。 6.2振動(dòng)引起的共振在歷史事件中引起的危害 1831年，一隊(duì)騎兵通過(guò)英國(guó)曼徹斯特附近的一座吊橋。突然，隨著一聲巨響，大橋斷裂崩塌了，人與馬紛紛墜入河中，導(dǎo)致死傷慘重。無(wú)獨(dú)有偶，過(guò)了半個(gè)多世紀(jì)，1906年，俄國(guó)首都彼得格勒也有一支全副武裝的沙皇軍隊(duì)，步伐整齊的通過(guò)愛(ài)記華特大橋時(shí)，大橋莫名其妙的倒塌了，當(dāng)時(shí)情

37、景狼狽不堪。 兩件事情發(fā)生的方式大同小異，人們對(duì)此覺(jué)得特別震驚，并隨即對(duì)此進(jìn)行了調(diào)查。通過(guò)當(dāng)時(shí)一大批頂尖物理學(xué)家的研究發(fā)現(xiàn)，在沒(méi)有敵人破壞，又不是橋的質(zhì)量問(wèn)題時(shí)，肇事者正是這些受害者自己。由于他們步伐整齊產(chǎn)生的周期頻率碰巧接近橋的固有頻率，激起了大橋的共振，結(jié)果造成了橋斷人亡的大事故！6.3振動(dòng)對(duì)人體器官的影響 ( 1) 條件反射潛伏期改變；交感神經(jīng)功能亢進(jìn)；血壓不穩(wěn)、心律不齊等； 如觸覺(jué)、溫?zé)嵊X(jué)、痛覺(jué)等皮膚感覺(jué)功能下降，特別是振動(dòng)感覺(jué)，最早出現(xiàn)遲鈍。 （2）40300hz的振動(dòng)能引起周圍毛細(xì)血管張力和形態(tài)的變化，癥狀表現(xiàn)為末梢血管痙攣、腦血流圖異常等；心臟方面會(huì)出現(xiàn)心律不齊、心動(dòng)過(guò)緩等病癥。

38、( 3) 振動(dòng)會(huì)引起肌電圖異常、握力下降、肌肉萎縮、肌纖維顫動(dòng)和疼痛等病癥。 （4）小于40hz的大振幅振動(dòng)容易引起骨關(guān)節(jié)的變動(dòng)，通過(guò)x光，可清晰的觀察到骨貿(mào)形成、骨質(zhì)疏松、骨關(guān)節(jié)變形和骨關(guān)節(jié)壞死等癥狀。 ( 5)振動(dòng)引起的聽(tīng)力變化，則以125250hz頻段的聽(tīng)力下降最為明顯，然而在初期仍以高頻段聽(tīng)力損失為主，隨后才會(huì)出現(xiàn)低頻段聽(tīng)力下降。振動(dòng)和噪聲有聯(lián)合作用。 （6）長(zhǎng)期處于振動(dòng)工作環(huán)境的人可會(huì)患發(fā)局部振動(dòng)病。局部振動(dòng)病是以末梢循環(huán)障礙為主的疾病，也會(huì)影響肢體神經(jīng)及運(yùn)動(dòng)功能。發(fā)病部位多表現(xiàn)于上肢末端，典型性為發(fā)作性手指變白（亦稱白指）。我國(guó)1957年就將局部振動(dòng)病定為職業(yè)病。 ( 7 )眾所周

39、知，振動(dòng)頻率、加速度與振幅才是影響振動(dòng)作用的因素。然而人體只會(huì)對(duì)頻率在11000hz范圍的振動(dòng)產(chǎn)生振動(dòng)感覺(jué)。振動(dòng)頻率在發(fā)病過(guò)程中起重要作用。頻率在30300hz范圍內(nèi)的振動(dòng)主要是引起末梢血管痙攣，白指。頻率相同時(shí)，危害隨著加速度的增大而增大。而振幅大，頻率低的振動(dòng)主要作用于前庭器官，且會(huì)使內(nèi)臟發(fā)生移位。頻率一定時(shí)，振幅越大對(duì)機(jī)體影響越大。這是寒冷振動(dòng)病發(fā)病的重要外部病因之一，寒冷會(huì)導(dǎo)致血流量減少，血液循環(huán)發(fā)生改變，造成局部供血不足，促進(jìn)振動(dòng)病發(fā)生。接觸振動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)，振動(dòng)病發(fā)病率越高。增長(zhǎng)工間休息時(shí)間對(duì)預(yù)防振動(dòng)病具有積極意義。 人對(duì)振動(dòng)的敏感程度與身體部位有關(guān)。人體站立時(shí)對(duì)垂直振動(dòng)敏感；躺臥時(shí)對(duì)

40、水平振動(dòng)敏感。有的作業(yè)要采取強(qiáng)制體位，甚至胸腹部或下肢部位貼振動(dòng)體，這樣造成的振動(dòng)危害就更大了。加工部件硬度大時(shí)，人體所受危害大也會(huì)相應(yīng)增大，沖擊力大的振動(dòng)容易導(dǎo)致骨關(guān)節(jié)發(fā)生病變。 七、共振創(chuàng)造了世界有利必有弊，世界上的任何事物都逃不過(guò)自然規(guī)律，振動(dòng)不只是能給人們帶來(lái)危害，而且只要人們運(yùn)用得當(dāng)，振動(dòng)還能給人們帶來(lái)莫大的好處。共振篩和垂直輸送器就是利用振動(dòng)的共振原理最典型的例子。 振動(dòng)中的共振是物理學(xué)上的一個(gè)運(yùn)用頻率非常高的專業(yè)術(shù)語(yǔ)。共振在聲學(xué)中稱為“共鳴”，它是指物體因共振而發(fā)聲的現(xiàn)象；共振在電學(xué)中稱為“諧振”。產(chǎn)生共振的重要的條件之一是要有彈性，而且一件物體受外來(lái)的頻率作用時(shí)，它的頻率要與后者的頻率相同或相接近。從總體來(lái)說(shuō)，宇宙上大多數(shù)物質(zhì)是具有彈性的，大到行星小到原子，幾乎都能以一個(gè)或多個(gè)固有頻率來(lái)振動(dòng)。因此也可以這么說(shuō)，共振現(xiàn)象是宇宙間最普遍和最頻繁的現(xiàn)象之一。大家都知道宇宙是在一次劇烈的大爆炸后產(chǎn)生的，而促使這次大爆炸的根本原因之一就是共振。因而從某種程度來(lái)說(shuō)，是共振產(chǎn)生了宇宙