第四章彎曲應力(下)

1、1、純彎曲、純彎曲一般情況下，梁的橫截面上既有剪力，又有彎矩。剪力是相切于橫截面的內(nèi)力系的合力；彎矩是垂直于橫截面的內(nèi)力系的合力。因此，剪力只與橫截面上的切應力 有關(guān)；彎矩只與橫截面上的正應力有關(guān)。4 44 4梁橫截面上的正應力梁橫截面上的正應力梁的正應力強度條件梁的正應力強度條件fs(-)(+)(+)mfffafa2 2 純彎曲時橫截面上的正應力純彎曲時橫截面上的正應力考慮一段純彎曲梁，若只用靜力平衡條件，不能找出應力分布規(guī)律，因此先來做一個實驗。2 純彎曲時橫截面上的正應力純彎曲時橫截面上的正應力2 純彎曲時橫截面上的正應力純彎曲時橫截面上的正應力2 純彎曲時橫截面上的正應力純彎曲時橫截面

2、上的正應力dd xmmd)(ymmyyyddd)()(eyy )(yey )(aayfd)(n( )dyamzyaz( )damyyayey )()(00n彎矩mmmfzyaaayeayf0dd)(n0eazsay0d( )dyamzyaz( )d()amyyam彎矩amayemd2zaziay d2miezzeim1yey )(zimyy )(zimyy )(zimyy )(maxmaxyimzmaxyiwzzzwmmaxzwmmaxmaxyiwzz2123hbh62bhmaxyiwzz2644dd323ddddda)1 (32 43maxadyiwzz圓環(huán)bbhh)1 (6 332maxb

3、hbhbhyiwzz回字框zimyy )(zwmmaxmaxmaxzimy例例1 受均布載荷作用的簡支梁如圖所示，試求：（1）1-1截面上1、2兩點的正應力；（2）此截面上的最大正應力；（3）全梁的最大正應力；（4）已知e=200gpa，求1-1截面的曲率半徑。q=60kn/mab1m2m11xm+82qlm1mmax12120180zy解：畫m圖求截面彎矩knm60)22(121xqxqlxm30q=60kn/mab1m2m11xm+82qlm1mmax12120zyknm5 .678/3608/22max qlm451233m10832. 5101218012012bhiz34m1048.

4、 62/ hiwzz11233560 1060 10 61.7mpa5.832 10zm yi 求應力18030( (壓應力壓應力) )311max460 1092.6mpa6.48 10zmwm 4 .194106010832. 51020035911meiz3maxmax467.5 10104.2mpa6.48 10zmw求曲率半徑q=60kn/mab1m2m11xm+82qlm1mmax1212018030max max zmwmax/ zzzm wmwmw強度校核：選擇截面：確定許可荷載：4 45 5 梁橫截面上的切應力梁橫截面上的切應力梁的切應力強度條件梁的切應力強度條件 1dn2a

5、afaiymmazd)d(11ayimmazd)d(11aysazd11*n2)d(zzsimmf*n1zzsimf*n2)d(zzsimmf*n1zzsimfxbxbfddd 0 xf0dn1n2fffxbsimsimmzzzzd)d(*xbimszzdd*sddmfx*szzf si b*szzf si bsfzi*zsb*szzf si bddba 11)4(2dd22*zaayhbabas22s( )()24zfhyyi022ssmax33122482szff hfhibhbh2222s( )()()824zfbb hyhhyi bsmax43fasmax2fa*s,maxmaxzzf

6、 si b*,maxzsb*szzf si b20b3*mm2100091020244020zsmm240mm400m3kn85bhlfmm240mm400m3kn85bhlfmaxsmax127.5kn m 85knmf4933mm1028. 11240024012bhizfs (kn)zabaiym92mpa.191028. 1200105 .1279649mm1028. 1zimpa96. 9zcbciymmpa0dmpa96. 9e92mpa.19ffs (kn)fa49mm1028. 1zi*szcezf si b2401028. 1150)240100(1085930996mpa.

7、 0maxd32sfa33mpa. 14002402108533fs (kn) 對于橫力彎曲下的等直梁，其橫截面上一般既有剪力，又對于橫力彎曲下的等直梁，其橫截面上一般既有剪力，又有彎矩有彎矩。梁除滿足正應力強度條件外，還要滿足切應力強。梁除滿足正應力強度條件外，還要滿足切應力強度條件。度條件。2 切應力強度條件切應力強度條件 等直梁的最大切應力一般發(fā)生在最大剪力所在的截面的中等直梁的最大切應力一般發(fā)生在最大剪力所在的截面的中性軸上各點處，這些點處的正應力為性軸上各點處，這些點處的正應力為0 0，在略去縱截面間，在略去縱截面間的擠壓應力后，最大切應力所在點處于純剪切應力狀態(tài)的擠壓應力后，最大切

8、應力所在點處于純剪切應力狀態(tài)。于是，可按照純剪切應力狀態(tài)下的強度條件來建立梁的切于是，可按照純剪切應力狀態(tài)下的強度條件來建立梁的切應力強度條件：應力強度條件：*max szzf si b鉚接或焊接的組合截面，其腹板的厚度與高度比小于型鋼的鉚接或焊接的組合截面，其腹板的厚度與高度比小于型鋼的相應比值時，要校核切應力。相應比值時，要校核切應力。梁的跨度較短，梁的跨度較短，m 較小，而較小，而fs較大時，要校核切應力較大時，要校核切應力。各向異性材料（如木材）的抗剪能力較差，各向異性材料（如木材）的抗剪能力較差，要校核切應力要校核切應力。 在選擇梁的截面時，必須同時滿足正應力和切應力強度條在選擇梁的

9、截面時，必須同時滿足正應力和切應力強度條件。在選擇危險截面時，通常先按正應力強度選擇截面，件。在選擇危險截面時，通常先按正應力強度選擇截面，再按切應力進行強度校核。梁的強度大多由正應力控制，再按切應力進行強度校核。梁的強度大多由正應力控制，按正應力強度條件選好截面后，一般并不需要再進行切應按正應力強度條件選好截面后，一般并不需要再進行切應力校核。除非碰到以下特殊情況力校核。除非碰到以下特殊情況：解：畫內(nèi)力圖求危面內(nèi)力例例2 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如圖，=7mpa，=0. 9 m pa，試求最大正應力和最大切應力之比,并校核梁的強度。smax3600 35400n22qlfn

10、m4050833600822maxqlmq=3.6kn/mxm+82qlabl=3mfs2ql2ql+x求最大應力并校核強度應力之比maxmaxmaxs216.73zmalwfhq=3.6kn/mxm+82qlfs2ql2ql+x7mpa6.25mpa 18. 012. 040506622maxmaxmaxbhmwmzsmaxmax1.5 54001.50.12 0.18 0.375mpa0.9mpa fay1y2ga1a2a3a4解：畫彎矩圖并求危面內(nèi)力例例3 3 t 字形截面的鑄鐵梁受力如圖，鑄鐵的l=30mpa，y=60 mpa，其截面形心位于c點，y1=52mm， y2=88mm，iz

11、=763cm4 ，試校核此梁的強度。并說明t字梁怎樣放置更合理？kn5 .10;kn5 . 2barr)(knm5 . 2下拉、上壓cm（上拉、下壓）knm4bm畫危面應力分布圖，找危險點p1=9kn1m1m1mp2=4knabcdx2.5knm-4knmm校核強度mpa2 .2810763885 . 2822zclaiymmpa2 .2710763524813zblaiymmpa2 .4610763884824zbyaiymll2 .28maxyy2 .46maxt字頭在上面合理，反之失效。y1y2ga1a2a3a4x2.5knm-4knmmy1y2ga3a4mpa0 .1710763525

12、 . 2811zcyaiym 46 梁的合理設(shè)計梁的合理設(shè)計一、合理配置梁的荷載和支座一、合理配置梁的荷載和支座二、合理選擇截面形狀二、合理選擇截面形狀三、合理設(shè)計梁的外形三、合理設(shè)計梁的外形maxmaxwm按強度條件設(shè)計梁時，主要是依據(jù)正應力強度條件按強度條件設(shè)計梁時，主要是依據(jù)正應力強度條件。可見，降低最大彎矩，提高彎曲截面系數(shù)，或局部加強彎矩可見，降低最大彎矩，提高彎曲截面系數(shù)，或局部加強彎矩較大的梁段，都能有效降低梁的最大正應力，從而提高梁的較大的梁段，都能有效降低梁的最大正應力，從而提高梁的承載能力，使梁的設(shè)計更加合理，工程中經(jīng)常采用的措施有：承載能力，使梁的設(shè)計更加合理，工程中經(jīng)常

13、采用的措施有：一、合理配置梁的荷載和支座一、合理配置梁的荷載和支座 合理布置載荷合理布置載荷 降低maxm2/ l2/ l4pl （）（） 65l6l（）（） pl3652/ l2/ l4pl（）（） qp/l（）（） 8pl4l4l4l4l（）（） 8pl2p2p合理布置支座位置合理布置支座位置 （）（） 82qlqql 2 . 0l 2 . 0l 6 . 0（+） （-） （-） 402ql 502ql502ql二、合理選擇截面形狀二、合理選擇截面形狀maxmaxwmwmax合理截面：合理截面：aw 矩形截面bhz 62hbw 62bhw hbz 空心圓截面比實心圓截面合理空心圓截面比實心

14、圓截面合理32d3zwdz dddda)1 (32 43adwz0)(m 工字形截面是由矩形演變而成工字形截面是由矩形演變而成 ct 的材料（例鑄鐵），宜采用截面不對稱于中性軸。的材料（例鑄鐵），宜采用截面不對稱于中性軸。zzmaxtmaxc21maxmaxctctyy1y2y北宋李誡于北宋李誡于1100年著年著 營造法式營造法式 一書中指出一書中指出: :矩形木梁的合理高寬比矩形木梁的合理高寬比 h/ /b = = 1.5。英英( (t.young) )于于1807年著年著 自然哲學與機械自然哲學與機械技術(shù)講義技術(shù)講義 一書中指出一書中指出: :矩形木梁的合理高矩形木梁的合理高寬比為時，強度

15、最大。寬比為時，強度最大。 2bhbhd 例例4 試用彎曲正應力強度證明：從圓木（設(shè)試用彎曲正應力強度證明：從圓木（設(shè)d已知）已知）鋸出的矩形截面梁合理高寬比為時，強度最大。鋸出的矩形截面梁合理高寬比為時，強度最大。 解：要求鋸出的矩形截面梁的彎解：要求鋸出的矩形截面梁的彎曲曲 強度最大，則截面的強度最大，則截面的w應最大。應最大。 2bhbhd222bdh ) 1 (6)(6w222bdbbh0)3(61ddw22bdb 3db )2( dh32將式（將式（2）代入式（）代入式（1）得：）得： 2bh等強度梁等強度梁等截面梁：等截面梁：w = 常數(shù)，常數(shù)， maxmaxwm等強度梁是變截面梁

16、，且各截面上的最大正應力都等于等強度梁是變截面梁，且各截面上的最大正應力都等于許用應力：許用應力：)()(maxxwxm)()(xmxw 三、合理設(shè)計梁的外形三、合理設(shè)計梁的外形例例5 圖示懸臂梁為等強度梁，截面為矩形，寬度圖示懸臂梁為等強度梁，截面為矩形，寬度b = 常數(shù)，常數(shù)，求高度求高度 。)(xhfxlb)(xh解：解： ( )m xfx（絕對值）（絕對值） )()(maxxwxm( )( ) m xfxw x6)()(2pxxhbxw6()f xhxb彎曲應力小結(jié)彎曲應力小結(jié)習題討論習題討論 本章主要討論了直梁彎曲時橫截面上的正應力和切應力，本章主要討論了直梁彎曲時橫截面上的正應力和切應力，以及相應的強度條件。以及相應的強度條件。 （1）彎曲正應力及其強度條件：）彎曲正應力及其強度條件：zmyiziymmaxmaxmaxmaxmaxwmzzsbisf zzsibsfmaxmaxmax（2）彎曲切應力及其強度條件）彎曲