構造法證明不等式

1、編號：本科畢業(yè)設計（論文）題 目 :構 造 法 證 明 不 等 式Constructing method to prove inequality摘要【摘要 】1978 年，參考消息 第四版刊載了當年在布加勒斯特舉行的第二十屆國際數(shù)學奧林匹克競賽題。由此，國內(nèi)數(shù)學教育界才第一次知道，世界上有“國際奧林匹克競賽” （陳計、葉中豪初等數(shù)學前沿 ）。加之時代因素，由這 則小消息作為發(fā)端，國內(nèi)數(shù)學界形成了一波研究數(shù)學競賽，研究初等數(shù)學的高潮。四十多年來，對這兩者的研究延續(xù) 不斷，可謂方興未艾。作為一種極富創(chuàng)新精神的方法，構造法被廣泛的運用于中學數(shù)學競賽的各個部分。而構造法在 證明不等式方面，其獨創(chuàng)性和巧

2、妙性往往讓人嘆為觀止。僅僅在國內(nèi)，每年都有數(shù)以百計的關于構造法解題的論文涌 現(xiàn)，可見這一方法的吸引力之大。本文一共分為四章章。第一章對構造法進行概述，即講述了構造思想及構造法的歷史和目前國內(nèi)外對這一思想 與方法的研究現(xiàn)狀，指出構造法解題所應遵循的規(guī)則。第二章則是構造法解題的模型概述，比較全面的總結(jié)了構造法 證明不等式的基本數(shù)學模型，對模型產(chǎn)生的思維過程進行剖析。第三章結(jié)合數(shù)學競賽、高考的眾多實例對各個模型進 行說明，對一些問題給出新的解答，從中體會構造法的迷人之處，窺見數(shù)學之美。第三章四章是結(jié)語。對比近三十年 的文獻，本文的創(chuàng)新之處在于將加強命題證明不等式作為構造法證明不等式的一種新模型作了一

3、些探索，對思維構造 過程作了相應論述，對某些模型的構造思維生發(fā)過程給予比較細致的剖析。關鍵詞 】 構造法 ；構造思想；模型英文題目 Constructing method to prove inequalityAbstract【ABSTRAC】In 1978, the fourth edition of the references published in those days the twentieth international mathematical Olympiad in Bucharest con test questi on s.thus,Domestic mathematic

4、s educati on to know for the first time, there are of the international Olympic competition in the world (Chen meter, Ye Zhonghao the frontiers of elementary mathematics). Combined with the age factor, by the small message as a start, formed a wave study maths at home, the climax of eleme ntary math

5、ematics research. For more tha n forty years, the study of the two proIon ged, just. As a kind of inno vative method, structure method is widely used differe nt parts of the sec on dary school mathematics competiti on. And con struct ing method to prove in equality in terms of its origi nality and c

6、lever tend to surprise. Just at home, every year hun dreds of papers about con struct ion method of problem solvi ng, visible appeal of this method.This article altogether is divided into three chapters. First chapter is to outl ine of con struct ion method, which tells the structure thought and met

7、hod of history and the study of the thought and method at home and abroad present situation, points out that the construction should follow the rules to solve problems. The sec ond chapter is the key, of con struct ing method to prove in equality of basic mathematical model, and combining the math c

8、ompetition, the university entrance exam of many examples, to experienee the en cha ntme nt of the con struct ion method from them to see the beauty of math. The third chapter is epilogue. Contrast to nearly three decades of literature, the innovation of this paper lies in that will strengthen the p

9、ropositi on to prove in equality as a new model of con struct ing method to prove in equality made some explorati on, discussed the tect onic process made the corresp onding thinking, the germ inal tect onic thi nking process of certa in models to give more detailed an alysis.【KEYWORDSConstructing m

10、ethod ； Structural thought ； model .目錄1 構造法概述 11.1 構造法的含義 101.2 研究歷史及現(xiàn)狀 21.3 構造法解題應遵循的原則 22 模型概述 32.1 模型歸納 32.2 如何構造模型 43 用構造法證明不等式 43.1 構造函數(shù) 43.1.1 數(shù)列型不等式的四個命題 63.1.2 代數(shù)不等式 83.2 構造方程 83.3 構造數(shù)列 103.4 構造圖形3.5 構造對偶式3.6 構造復數(shù)3.7 加強命題證明不不等式3.8 構造不等式4 結(jié)語 204.1 總結(jié)與回顧 20參考文獻 21致謝 211構造法概述1.1 構造法的含義如何界定構造法？關

11、于構造法，目前主要是從兩個方面來理解。從宏觀方面來說數(shù)學構造法就是數(shù)學中的概念和方法按固定的方式經(jīng)有限個步驟能夠定義的概念和能夠?qū)崿F(xiàn)的方法。從這個定義出發(fā)，構造法就有了有限性、能行性的規(guī)定。數(shù)學分析中，諸如有界數(shù)列必有收斂子列，連續(xù)函數(shù) 介值定理的證明所用的方法都不能算作構造法，因為它們都違背了構造法的有限性的原則。從微觀 方面來說，構造法是根據(jù)所要解決的具體問題，展開聯(lián)想，有針對性的構造某種切合數(shù)學問題的模 型，進而尋找到問題解決的途徑。綜上所述，我比較傾向于以下的理解，無論是數(shù)學體系的構建， 如現(xiàn)在盛行的公理化方法，還是具體問題，構造法就是根據(jù)問題的典型特征，或選擇具有相容性的，不言自明的

12、公設，推導出一整套數(shù)學；或是以問題所給條件，結(jié)論為元件，發(fā)現(xiàn)問題各個環(huán)節(jié)的聯(lián) 系，從而形成數(shù)學模型，達到解決問題的目的。1.2 構造法歷史可以說，構造思想伴隨著數(shù)學產(chǎn)生。古代中國，曾在數(shù)學上取得輝煌的成就。而取得這些成就的方法，多是構造性方法。我國因研究機械證明而享譽國際的數(shù)學家吳文俊院士指出，中國古代數(shù)學是構造性數(shù)學，在每一個問題中都力圖給出構造性解答（張景中數(shù)學與哲學）。在西方，畢達哥拉斯學派的一名成員帕索斯根據(jù)該數(shù)學學派所發(fā)現(xiàn)的畢達哥拉斯定理，構造出一個直角邊長都是 自然數(shù)“1”的等腰直角三角形，從而發(fā)現(xiàn)了不可公度量.2。這直接導致該學派“萬物皆為數(shù)”這一信條的破滅，使人們對數(shù)的認識得到

13、第一次深化。這即是第一次數(shù)學危機。隨后，在希臘數(shù)學 家歐幾里得之前，人們并不知道素數(shù)是否有無窮多個。歐幾里得對這個問題給出肯定的回答。他的 證明是這樣的。假設素數(shù)只有有限個：p1, p2,., pn。接著他構造了一個數(shù) Pn 1二卩小2 -Pn 1如果Pn 1是素數(shù)，很明顯，這個素數(shù)不同于已知的n個素數(shù)中的任何一個，而5，卩2,., Pn將所有的素數(shù)囊括盡凈，這說明我們假設是錯誤的；如果pn 是合數(shù)，則它可以被小于它自身的素數(shù)整除，由假設可知，這樣的素數(shù)必然是p1, p2,., pn中的某一個口。但是1 = PnP1P2 . Pn，這表明，自然數(shù)1可以被大于1自身的某個素數(shù)整除，這同樣是荒謬的

14、。這樣就證明了素數(shù)有無窮多 個。從歐幾里得的證法我們不難看出構造法在其中的運用。據(jù)說，在西方，除了圣經(jīng)之外，出版次數(shù)最多，流傳最廣的書就是歐幾里得的幾何原本，這是體現(xiàn)公理化思想的典范。原本是一部精致的借助演繹推理的系統(tǒng)。從它最初的定義、公設、公理出發(fā)，一步步推出了大量的，很不顯然的幾何定理（張景中數(shù)學與哲學）。對歐幾里得第五公社的研究使數(shù)學家們認識到，作為公理化方法最原初的公設，可以是構造的，甚至不必是“真理”，只要不違反公理選擇的獨立性原則、相容性原則、協(xié)調(diào)性原則，就可以建立一整套數(shù)學。換言之，公設在上述前提下是可自由選擇的，即存在很大的構造性。 這種認識在歐幾里得之前是不可思議的。這是個巨

15、大的進步這大大解放了數(shù)學家的思想。此后，數(shù)學得到了長足的發(fā)展一一非歐幾何的建立、康托集合的誕生。19世紀末，20世紀早期，人們竟然發(fā)現(xiàn)可以從被數(shù)學家廣泛接受的，作為數(shù)學基礎的康托集合論推出矛盾。1919年，著名哲學家兼數(shù)學家羅素以通俗化的語言描述了這一悖論，即為羅素悖論。這引起了一大批富于才華的數(shù) 學家對數(shù)學基礎的研究。并形成了三大數(shù)學學派。即以羅素為代表的邏輯主義學派，以德國數(shù)學家 希爾伯特為代表的形式主義派和以荷蘭數(shù)學家兼哲學家布勞威爾為代表的直覺主義派。羅素本人在數(shù)學原理中用構造層次論建立起宏大的數(shù)學基礎，避開了邏輯上的缺陷。但是這個系統(tǒng)太復雜，數(shù)學們希望找到更簡明的數(shù)學理論作為數(shù)學基礎

16、。將構造思想發(fā)展到極致的是布勞威爾，他否認排 中律，主張一切數(shù)學對象必須能像自然數(shù)那樣能被在有限步驟內(nèi)構造出來才可以認為是存在的，這 就是著名的“存在必須被構造”。布勞威爾在自己觀點的指導下建立了構造性數(shù)學，構造性，構造性實數(shù)，構造性集合，構造性微積分。但是由于直覺主義學派否認排中律，即否認反證法，大部分已 知的數(shù)學必須被拋棄，數(shù)學家并不接受。直到1967年，數(shù)學家比肖泊的書出版，宣告從此構造法進入“現(xiàn)代構造數(shù)學”階段隨著計算機的出現(xiàn)，構造數(shù)學派上了大用場。吳文俊院士說，由于計算機的發(fā)展，構造性數(shù)學在不遠的將來 獲得大的發(fā)展，甚至成為數(shù)學的主流。1.3構造法解題遵循的原則構造法具有簡明、精巧、

17、新穎等特點，使思維突破常規(guī)，獲得發(fā)展，富有創(chuàng)造性。中學幾何中，作輔助線、因式分解中加項減項就是最生動的體現(xiàn)。一個問題，如能找到合適的數(shù)學模型，常?？梢钥s短思維過程。但是應當看到，任何事物都有兩面性。構造法并不是萬能的。由于構造法具有極強的針對性，往往是一題一構造，適用性并不強。其次不必過分追求高技巧，為構造而構造。題目該怎么解就怎么解，以自然為上，要像“呼吸一樣自然”。運用構造法證明不等式， 主要有以下步驟:（1）仔細審題。單遵教授說拿到題目的第一步就是仔細閱讀題，理解題意。能在短時間內(nèi)通過 自己的理解強記題目（解題研究）（2）仔細分析題目各個環(huán)節(jié)之間的聯(lián)系，展開聯(lián)想，轉(zhuǎn)化為熟知的問題。（3）

18、根據(jù)已知條件和已知知識，準確構造相關數(shù)學模型。（ 4）求解。2 模型概述2.1 模型歸納和中學數(shù)學其他知識點相比，不等式證明手段千變?nèi)f化，充滿奇思妙想，極富數(shù)學美，構造法集 中體現(xiàn)了這一點。而對數(shù)學美的追求又常常反過來幫助我們發(fā)現(xiàn)更美的解法。運用這一方法需要構 造一些數(shù)學模型。常見有構造函數(shù)、方程、數(shù)列、不等式、對偶式、幾何圖形、復數(shù)、向量、二項 式。參照以往文獻，我認為，加強命題是一種強有力的模型，加強命題就是把命題轉(zhuǎn)化為更強的命 題，使得問題明朗化。2.2 如何構造模型適當?shù)臄?shù)學模型很重要，而 促使我們構造出這些模型的思維過程則更為重要。如何思考比得出結(jié) 果具有更大的意義。 清晰地給出數(shù)學

19、模型在我們頭腦中產(chǎn)生的過程， 是非常困難的。 但是大致來說， 我們頭腦中的某些觀念總是在不知不覺的影響著我們的行為。以下總結(jié)的是一些思維方法和思維觀 念。我認為，它們在很大程度上決定了我們在用構造法證明不等式時是否能夠成功。首先是背景構 造，所為背景構造，就是當所面臨的問題比較孤立，無從下手時，我們往往把問題放在一個更大的 或熟知的背景上，逼近問題的實質(zhì)，使問題或的解決；最常用的構造過程應該是相似構造了，數(shù)學 解題時，我們大多時候是用已知知識去解決未知問題，所以我們面對一個不等式時，通常會“比比 看看”，和我們已知的公式， 定理聯(lián)系起來察覺出問題與已知之間形式、 結(jié)構的相似性， 很可能問題 獲

20、解。除此而外，重要的構造思想還有審美構造、聯(lián)想構造、直覺構造、類比構造、歸納構造、逆 向構造、賦義構造、調(diào)頻構造。對數(shù)學美，簡潔性的追求是一種原動力?；谶@樣一種追求，我們 常能發(fā)現(xiàn)巧妙的方法。歷史上，羅素的層次論就因為過于復雜，龐大，與數(shù)學基礎的簡明性不符， 不能為數(shù)學家們所接受， 只好遺憾地 “束之高閣， 并不實行”。人們對簡單美好的事物的追求總會對 人的行為產(chǎn)生潛意識的影響，指導著人的判斷和抉擇。在數(shù)學概念構造中，特別是在解題中，更是 如此。站在審美的角度構造數(shù)學模型，稱之為審美構造。逆向構造，不按常理出牌，向著原命題的 相反方向思考， 通過構造對立的數(shù)學形式解決問題。 雖然表面上顯得更

21、加 “繁”，但因為增加了反面 這一條件，有時反而利于問題的解決，總體的看，這是一種由繁到簡的思維過程。調(diào)頻構造就是波 利亞說的“從各個不同方向攻擊堡壘” ，思路受阻時，改變思路，就像看電視一樣，電視不好看，調(diào) 換頻道。這些思想超越了方法，更加具有一般性，和普遍性。下面讓我們通過實例來領略構造法在證明不等式中的運用，體會巧妙之處，增強創(chuàng)新能力。3用構造法證明不等式3.1構造函數(shù)3.1.1數(shù)列型不等式的四個命題針對一個具體的不等式，如何準確的尋找到一個合適的函數(shù)呢？有實踐經(jīng)驗的人都知道，尋找過程往往充滿艱辛和反復，要經(jīng)過長時間的摸索，需要積累一些經(jīng)驗。不等式類型千差萬別，變幻 莫測，要找到一種適用

22、于所有不等式的思維模式，似乎不大可能。就如同在因式分解里面，我們可 以根據(jù)代數(shù)基本定理知道每一個代數(shù)式都可一再復數(shù)范圍類分解，但是卻找不到通法一樣。但是在 一個較小的范圍之內(nèi)，這是有希望的。通過研究，我發(fā)現(xiàn)，對一類“數(shù)列型不等式”，這樣的“通法”是存在的。而數(shù)列型不等式是高考的一個重點和難點，讓許多考生望題興嘆。首先，看一看什么是 數(shù)列型不等式。通常，我們把形如n“ an 0ak : ( , -)f (n), n N ”k n“ an _0,i【ak : ( )f (n), nN ”稱為為數(shù)列不等式。關于數(shù)列不等式有幾個命題，這兩k壬個命題可以幫助我們尋找所需要的函數(shù)。an -0(n =1,2

23、,3.)，f(x)是定義在0,上的函數(shù)。n命題 1 若 an _ 0, ak ： f (n), n N，f (0) = 0 成立，則 an ： f (n) - f (n - 1)；f(n)f(n -1)k=1n命題 2 若 an -0,1】 ak ： f(n),n N, f (0) =1, f (xp0成立,則 a.：k =1反過來有n命題 3 若 an ： f (n) - f (n -1),nN， an - 0, f (0) = 0，則 ak ： f (n)f( n)f(n -1)kmnan - 0, f (0) = 1，則丨丨 a： f (n), n N前兩個命題的證明很簡單， 命題1用反

24、證法，命題2在一直不等式兩邊取對數(shù)即化歸為命題1,。這兩個命題是對偶的。命題 3和命題4是對偶的。F面看兩個實例:例1證明對任意的m,N*,不等式1 1+ln( m 1) ln( m 2)1 nln( m n) m(m n)恒成分析：當把m固定時，就是關于 n的不等式，符合命題 1的條件。1 nn -1證明：由命題，我們只需證明|n(m n) m(m n) m(m n _1)(2)=ln( m n) : (m n)(m n _ 1)由此可構造函數(shù)2f(x) = ln x-x x 2x2 x -1x1貝V f (x) 2x-1x1 1顯然當 0 ： x , f (x) -0; x , f (x)

25、乞 0.2 21f (x)在x時取極大值。即21 1f(x)乞 f()ln 2 : 02 4在區(qū)間(0,二)上恒成立。f (m n) = ln(m n) _(m n)(m n _ 1) ： 01 nn Tln( m n) m(m n) m(m n -1) 成立1+ln(m n)nm(m n)n 1m(m n _1)n 1m(m n _ 1)口 .1m(m n -2)m(m 1)1 1+ +ln( m 1) ln( m 2)nm(m n)1例2.求證：3，6，9 . 衛(wèi)J A 3n +2 ，對任意的正整數(shù)恒成立。2 5 8 3n -1 I 2 丿分析：對許多和正整數(shù)有關的命題，可以考慮數(shù)學歸納法

26、。但數(shù)學歸納法比較繁瑣，而且容易 掩蓋問題的數(shù)學本質(zhì)。對于一個較難的問題，可能我們使用數(shù)學歸納法不需要觸及到問題的本質(zhì),只需要按部就班的運用就可以使問題獲解，但即使我們給出了解答，也很是迷茫。于是我們將變形3n 33n -13n 22證明：先證明王l 13n -1. 3n -13n 2_ 3n 2 3n -1 - 3n _1= 11-3n -1為此，構造函數(shù)f (x) =(1 x)n _nx -1只需證明f (x) = (1 x)n -nx -1 一 0在1,：)成立即可。這幾乎是顯然的，就是伯努利不等式。3n -13n 2一 3n -1成立3n 33n 1no5 8 11 3n 2 3n 2

27、 仝 一2 5 8 3n -121Bn 3 6 9 3n 3n 2 3 即2 5 8 3 n -12證畢從總體上看，數(shù)列型不等式是相當廣泛的。而上面的方法好處在于能夠讓我們較快的發(fā)現(xiàn)需要 構造的函數(shù)，觸及問題的核心，使問題獲解。3.1.2其他例子如果不是這種類型的不等式呢？我們看下兩例例3證明：對任意的實數(shù)X，均有一 2 一12X -1X212一1。2證明：構造函數(shù) f(x)二X21X -1X _1則 f(XF (X_1 1廠1X -1(x-1)22(X -1) 2(x-1) 22令g(t)t，就是對勾函數(shù)。利用對勾函數(shù)的單調(diào)性知道X =1 時,1 1 .2-1 g2) (X)爲(、2)即一丁

28、遼X-1-1V1X21x =1 時，f=02 -1 x -12 -1綜上所述2 x+12下面的這道例題選自代數(shù)不等式：例 4 對于正數(shù) x,y， L(x,y)= X-y x = y In x-lnyL(x,x)=x x=y叫做x,y的對數(shù)平均數(shù),M (x,y)=學叫做算術平均數(shù),G(x,y)= xy叫做幾何平均數(shù)。本文將證明下列不等式:G(x,y) 一 L(x,y) M (x,y)。證明：首先證明前一個不等式：G(x,y)空 L(x,y)。證明：不妨設x 一 y，1，當xy時欲證x-yIn x-ln y只需證明xy(i)在上式中，令X,t1，即得:t2-12ln t(二)作函數(shù) g(t)=t2

29、-2tInt-1 o 則g(t)=2(t-1-l nt)作函數(shù) h(t)=t-1-Int ,則1 t-1h(t)=1-$ = 7，由此可以看出t=1是h(t)的極小值點，因此有h t _h(1)=0所以g t -0 og(t)是單調(diào)遞增函數(shù)。當 t1 時，有 g t g 1 =0即()成立o2，當 x=y 時，按照定義，L(x,y)=L(x,x)=xG(x,y)=G(x,x)=x顯然有 G(x,y)二L(x,y).綜上所述G(x,y) _ L(x,y)成立。接下來證明L(x,y) EM (x,y)即當x = y時，有x-yIn x-ln y.二 x+y-2(1)當x=y時,x=x+x不妨設xy

30、欲證不等式(1)成立只需證明-1 仝+1y 1，即yt-1t+1時，顯然有,二0即 當 t1時，(t)時減函數(shù)。所以(t)2n 1 2n 1一種方法是把上式化為多項式不等式，思路是簡單的，計算也不復雜。另一種方法是將上式變形為12n 1122n 1由伯努利不等式21 x 1 2x立即得到。1-24屆an 1 - an - ai :152n -1)2n1211(1 -)(1 -).(13 5證畢。3.3構造圖形不等式證明中，我們通常習慣與從代數(shù)的角度考慮問題。但某些不等式具有較為明顯的幾何背 景，這時若能適當聯(lián)想，則問題很可能順利得到解決。常利用勾股定理、面積關系、邊長關系、周 長關系、正弦定理

31、、余弦定理。例8 已知a, b, C R 求證：、 a2 b2 ab ：、, 3aeyeeye分析：通過觀察我們可以發(fā)現(xiàn)，不等式左邊每一項根號下都據(jù)有余弦定理的形式，因此考慮構 造三角形。由于不等式是輪換對稱的，故而只需要取一個來構造就可以了。22222 兀證明：a b ab=a b -2cos ab3作如下圖的三角形2兀BAD =3AC為 BAD 的角平分線。設 AB = a, AD 二 b ACB則 b a2 b2 ab由正弦定理得BCitsin 3DCitsin3 一氣呵成，體現(xiàn)了數(shù)學的變化之美。都給人以美的享受。BD =BC DC(a b)(a b)即、& ab( b)同理a2 c2a

32、c - (a c)2, b2c2ac -(b c)2各式相加即得、a2 b2ab ： 、 .-acyccyc實際上此題也可構造基本不等式，有以下解法證法a2 b2 ab 二 a b ? _ab ：；a b ? b)2同理有a2 c2 ac2a c4(a c)b2 c2 ac-ac各式相加即得證。上面兩種證法各有千秋第一種方法充滿奇思妙想,讓人耳目一新；第二種方法簡潔明了,再看一例例 9 求證：、，x2 y2 . x2 (1 一 y)2、(1 x)2 y2. (1 _x)2 (1 一 y)2 _ 2.2分析：此題可以可以構造圖形來解決，一直不等式左邊每一項均可看作點(x, y)到某些定點的距離，

33、這些點是A(0,0), B(0,1),D(1,0),C(1,1),這四個點是邊長為1的正方形的頂點。證明：如圖A(0,0), B(0,1),C(1,1),D(0,1)是正方形的四個頂點，E(x, y)是平面上任意一點。AE 二.、x2 y2,DE = X2 (1 - y)2BE -,.(1=x)2y2,CE 二.(x)-(y)2略加分析，容易看出AE CE _ AC,DE BE _ BDAE BE CE DE - AC B2 2即，x2 y2x2 (1 y)2.(1 x)2 y2，.(1 x)2 (1 - y)2 2.211當且僅當x =丄=丄取“=”22證畢評注：此題也可以構造復數(shù)獲證。3.

34、4構造對偶式在證明某些不等式時，可以根據(jù)不等式的結(jié)構特征，構造一些和它有內(nèi)在聯(lián)系的輔助對偶式或構造對偶不等式，然后經(jīng)過運算，完成對難點的突破，促使問題的轉(zhuǎn)化和解決。對偶式的選擇， 需要直覺和經(jīng)驗，要求解題者有較強的思維發(fā)散能力。下面通過具體例子加以說明n例10已知ai,i =1,2., n均是正數(shù)，且 7 ak =1，求證:k2a12a22-aa2a2a3證明：方法1構造對偶式2設卩=旦2an+a1 - an2a22a3,Q=23 q + a? a? + a2a1 - anQ為P的對偶式。下面證明P=Q為此，我們作如下變形:2 2 2 2p = q _a2. a2_a3.a1 + a?a? +

35、 a3=&1 - a? a? -. an二Q2 2a“1-Q a1ana1Qa/a?2aa1a22a?a2a322an a1a1 an根據(jù)基本不等式a，b R,a2b彳寧變形為a2b2a ba b-王丄，我們有2p + Q Z 31 +a2 + 比 *a3 + 印 +可=12 2 21由上面的結(jié)論有 P=2P _1= P _ .這樣就證明了這個不等式。a，b都大于零,2實際上，此題也可用放縮法加以證明，用到的是另外一個基本不等式a b、ab。這就是下面的證法。2證法二P如前所述，設.0,為待定常數(shù)。則2 2 2：魚（aia?）生 a?）. anaja *a2a2 +a3ai +an_2 （a1

36、 a2 . an）2 2 2色 生 . 玉 （2、 - 2 ）（a a2 . an）a + a： a2 + a3a +an=2 ，- 2 1因此只需讓2 -2即可。通過極其簡單的計算，可以發(fā)現(xiàn)，只有一個值滿足條件，2就是1。證畢。4評注：方法二是待定系數(shù)法。對于某些數(shù)學問題，如果已知所求結(jié)果具有某種確定的形式，則 可引進一些尚待確定的系數(shù)來表示這種結(jié)果，通過已知條件建立起給定的算式和結(jié)果之間的恒等式，得到以待定系數(shù)為元的方程或方程組，解之即得待定的系數(shù) 。較之其他方法，這種方法顯得“不那么花哨”，但技巧有高低，方法無好壞。待定系數(shù)法似拙實巧，實際上是一種極高妙的解法。就像太 極拳，使得妙便有四

37、兩撥千斤之效。3.5構造復數(shù)復數(shù)因為其較強的幾何背景而具有明顯的直觀性，而且與其他知識聯(lián)系密切。中學階段，涉及到的關于復數(shù)的重要不等式為三角不等式Zi + Z2糾Zi z2Zi - z2，恰當運用，事半功倍。例 ii 已知 V乏J2, J2,求證：（U V）2 （廠孑-9）2 8v分析：將不等式變形為J(u v)2 +&2u2 9)2 z22則不等式左邊可看作是復數(shù)z 二（uV）（. 2 -u2 _練的模長。證明：構造兩個復數(shù)29乙=u i、2 - u , z2 = v iv可知z = z - Z2將三角不等式 z -Z2蘭z -Z2應用于此題得到(u_v, +&2 u2 _9)2_ ,18

38、- 2=22等號成立的條件是u9 二v .2 - u2v2 81 v3.6構造向量常模仿向量不等式m n來構造。例12已知二（0,），求證:21丄1丄5 V sin日人 cos。丿分析由向量不等式有1、sin 二 cos-)(11cos-整理得(1 )(1sin.J _(1 -=(1 2)2cossin vcossin2 v二 e (0,2)(1 )(1si n日Z0b)-(1sin；丿-(12 5還可以考慮柯西不等式。3.7構造不等式亠 .22例7證明：對任意的x, y三R ；很三R , x y - xsin -ycos 證明：對任意的x, y = R；：；三R，有下列不等式成立2 2 2

39、2(xsin : - ysin ：)(xcos： - ycos -) - 0展開即得斗 sin2 u cos2 & 丄 cos2 u sin2(/x y_x y x - y -7 x, y R* sin2 a cos2 a 丄 cos2 a sin2 asin2 a cos2 qx y_x y x y-八 x y -除了以上舉例說明的六種模型之外，比較重要的還有解析幾何模型，二項式模型，限于篇幅， 不能再一一舉例論證。3.7加強命題證明不等式在和正整數(shù)有關的命題中，有形如a1 a2 .a c ( c是常數(shù))，an - 0”的不等式。證明這一類不等式，如果用數(shù)學歸納法，當我們從n二k向n =k

40、1過渡時，我們常常會發(fā)現(xiàn)，從n = k的假設推不出或不容易推出n =k 1的結(jié)論！假設和結(jié)論之間的傳遞性消失或者隱藏起來了！這導致思路受阻，解題失敗。其實，數(shù)學歸納法加強命題的方法對這類不等式常常是有效的！這種方法具有明顯的構造性!般的思路是設法找到一個函數(shù)f (n) 0 ,這個函數(shù)稱之為調(diào)控函數(shù)。若能轉(zhuǎn)而證明a1 a2 a.乞c - f (n)成立，則原命題顯然成立。 如何尋找滿足條件的調(diào)控函數(shù) 呢？用數(shù)學歸納法！讓我們通過一個例子來一探究竟！例13求證:的形式,f(n) . 0。證明：根據(jù)題目的特點，方便起見，我們把調(diào)控函數(shù)設設成假設：3現(xiàn)在我們就通過數(shù)學歸納法確定f (n)1 31 = f(1) _丄(i)f (1)21(k 1)1f(k)3-1f (k 1)1 1*1f (k) f (k +1) (k +1)Jk +1也就是說f (n)滿足1 f-才(i)2(ii)1 _ 1 f(k) f(k