09數(shù)學一考研真題

1、2004年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學（一）試卷答案和評分參考一、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填寫在題中橫線上.）（1）曲線上與直線垂直的切線方程為 y = x1 .（2）已知，且，則.（3）設為正向圓周在第一象限的部分，則曲線積分的值為.（4）歐拉方程的通解為 .（5）設矩陣，矩陣滿足，其中為的伴隨矩陣，是單位矩陣，則 .（6）設隨機變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則 .二、選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分，在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的，把所選項前的字母填在題后面的括號內(nèi).）（7）把的無窮小量排列起來，使排在后面的是前一個的高階無窮小，則

2、正確的排列次序是（a）. （b）. （c）. （d）. 【 b 】（8）設函數(shù)連續(xù)，且，則存在，使得（a）在內(nèi)單調增加.（b）在內(nèi)單調減小.（c）對任意的有.（d）對任意的有. 【 c 】（9）設為正項級數(shù),下列結論中正確的是（a）若,則級數(shù)收斂.（b）若存在非零常數(shù),使得,則級數(shù)發(fā)散.（c）若級數(shù)收斂,則.（d）若級數(shù)發(fā)散,則存在非零常數(shù),使得. 【 b 】（10）設為連續(xù)函數(shù),則等于（a）. （b）. （c）. （d）. 【 b 】（11）設是階方陣,將的第列與第列交換得,再把的第列加到第列得,則滿足的可逆矩陣為（a）.（b）.（c）.（d）. 【 d 】（12）設為滿足的任意兩個非零矩陣

3、,則必有（a）的列向量組線性相關,的行向量線性相關.（b）的列向量組線性相關,的列向量線性相關.（c）的行向量組線性相關,的行向量線性相關.（d）的行向量組線性相關,的列向量線性相關. 【 a 】（13）設隨機變量服從正態(tài)分布,對給定的,數(shù)滿足.若,則等于（a）. （b）. （c）. （d）. 【 c 】（14）設隨機變量獨立分布,且其方差為.令,則（a）. （b）.（c）. （d）. 【 a 】三、解答題（本題共9小題，滿分94分.解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）(15)(本題滿分12分)設,證明.證法1 設，則 ， ， 5分所以當時，故單調減少，從而當時， ， 9分即當時，單調

4、增加.因此當時，.即 ，故 . 12分證法2 對函數(shù)在上應用拉格朗日中值定理，得 3分 設，則,當時，所以單調減少. 9分從而，即 ，故 . 12分(16)(本題滿分11分)某種飛機在機場降落時，為了減少滑行距離，在觸地的瞬間，飛機尾部張開減速傘，以增大阻力，使飛機迅速減速并停下. 現(xiàn)有一質量為9000kg的飛機，著陸時的水平速度為700km/h.經(jīng)測試，減速傘打開后，飛機所受的總阻力與飛機的速度成正比（比例系數(shù)為）.問從著陸點算起，飛機滑行的最長距離是多少？注：kg表示千克，km/h表示千米/小時.解 由題設，飛機的質量kg，著陸時的水平速度=700km/h.從飛機接觸跑道開始計時，設時刻飛

5、機的滑行距離為，速度為.法1 根據(jù)牛頓第二定律，得. 4分又 ，由以上二式得， 7分積分得.由于，故得，從而.當時，（km） 11分所以，飛機滑行的最長距離為1.05km.法2 根據(jù)牛頓第二定律，得 4分所以 .兩端積分得通解，代入初始條件解得，故 . 7分飛機滑行的最長距離為（km）. 11分法3 根據(jù)牛頓第二定律，得， 4分其特征方程為 ，解之得 故 . 7分由 ，得 于是 .當時，（km）. 11分所以，飛機滑行的最長距離為1.05km.（17）（本題滿分12分）計算曲面積分，其中是曲面 的上側.解 取為平面上被圓所圍部分的下側，記為由與圍成的空間閉區(qū)域，則 . 3分由高斯公式知 6分

6、9分而 ，因此 . 12分（18）（本題滿分11分）設有方程，其中為正整數(shù).證明此方程存在唯一正實根，并證明當時，級數(shù)收斂.證 記.當時，,故在,上單調增加. 3分而，由連續(xù)函數(shù)的介值定理知存在惟一正實根. 6分由與知 9分故當時，而正項級數(shù)收斂，所以當時，級數(shù)收斂. 11分（19）（本題滿分12分）設，是由確定的函數(shù)，求的極值點和極點.解 因為 ，所以 , 2分 令 得 將上式代入，可得 或 5分由于 ， ， 8分所以 ，故，又，從而點（9，3）是是極小值點，極小值為.類似地，由 可知，又，所以點（-9，-3）是是極大值點，極大值為. 12分（20）（本題滿分9分）設有齊次線性方程組 試問取

7、何值時，該方程組有非零解，并求出其通解解法1 對方程組系數(shù)矩陣作初等行變換，有.當?shù)臅r，故方程組有非零解，其同解方程組為，由此得基礎解系為 于是方程組的通解為 其中為任意常數(shù)， 4分當時，對矩陣作初等行變換，有 6分可知時，,故方程組也有非零解，其同解方程組為由此得基礎解系為于是方程組的通解為，其中為任意常數(shù). 9分解法2 方程組的系數(shù)行列式為. 3分當，即,方程組有非零解.當，對系數(shù)矩陣作初等行變換，有，故方程組的同解方程組為,由此得基礎解系為 于是方程組的通解為 其中為任意常數(shù). 6分當對系數(shù)矩陣作初等行變換，有 ，故方程組的同解方程組為由此得基礎解系為于是方程組的通解為，其中為任意常數(shù).

8、 9分（21）（本題滿分9分）設矩陣的特征方程有一個二重根，求的值，并討論是否可相似對角化.解 的特征多項式為 2分若是特征方程的二重根，則有，解得. 4分當時，是特征值為2，2，6，矩陣的秩為1，故對應的線性無關的特征向量有兩個，從而可相似對角化. 6分若不是特征方程的二重根，則有為完全平方，從而，解得.當時，是特征值為2，4，4，矩陣的秩為2，故對應的線性無關的特征向量只有一個，從而不可相似對角化. 9分（22）（本題滿分9分）設為隨機事件，且，令 求：（i）二維隨機變量的概率分布； （ii）與的相關系數(shù).解 （i）由于 2分所以 （或），故 的概率分布為 0101 6分（ii）的概率分布分別為01，01.則故從而. 9分（23）（本題滿分9分）設總體的分