中國教育學(xué)會中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會“《數(shù)學(xué)周報》杯”2007年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案

1、中國教育學(xué)會中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會“數(shù)學(xué)周報杯” 2007年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案一、選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分.以下每道小題均給出了代號為 A，B， C, D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的.請將正確選項的代號填入題后的括號里 不填、多填或錯填得零分）1.方程組xy 12的解的個數(shù)為（ y 6（B）(C)(D) 4答: (A).解：若x 0,12,6于是y y6，顯然不可能.12,6,若x 0,則于是|y| y 18，解得9，進(jìn)而求得xx 3所以原方程組的解為y 9;只有1個解.故選（A）.).2.口袋中有20個球，其中白球9個，紅球5個，黑球6個.現(xiàn)從中任取10

2、個球，使得白球不少于2個但不多于8個，紅球:不少于2個，黑球不多:于3個，那么上述取法的種數(shù)是（）(A)14(B)16(C) 18(D)20答：（B）.解：用枚舉法：紅球個數(shù)白球個數(shù)黑球個數(shù)種數(shù)52, 3,4,53,2,1,0443, 4,5,63,2,1,0434, 5,6,73,2,1,0425, 6,7,83,2,1,04所以，共16種.故選（1B).3.已知 ABC為銳角三角形，O O經(jīng)過點B，C，且與邊AB, AC分別相交于點D , E.若O O的半徑與厶ADE的外接圓的半徑相等，則O O 一定經(jīng)過厶ABC的（A）內(nèi)心（B）外心（C）重心 （D）垂心 答：（B）.外心.故選（B）.（

3、第3題答案圖）解：如圖，連接BE，因為 ABC為銳角三角形，所以 BAC , ABE 均為銳角.又因為O O的半徑與厶ADE的外接圓的半徑相等，且 DE為兩 圓的公共弦，所以 BAC ABE 于是，BEC BAC ABE 2 BAC . 若厶ABC的外心為01，貝U BO1C 2 BAC，所以，O O 一定過 ABC的把上面三個式子相加，并整理得(ab c)(x： Xo1)0 .因為 xo xo 1 (xo 丄)230 ,所以abe0 .于是242 223. 333 3/. 、3abeabeab (a b)beeaababeabe4已知三個關(guān)于x的一元二次方程:2 2ax bx c 0 , b

4、xex a 0 , ex2 ax b 02 .2 2 恰有一個公共實數(shù)根，則的值為().be ea ab(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3解：設(shè)xo是它們的一個公共實數(shù)根，則答：(D).2 2axobxo e 0, bxoexo2a o, exoaxo b o.3ab(a b) 3 .故選(D).abe5.方程x3 6x2 5x y3 y 2的整數(shù)解(x, y)的個數(shù)是( ).(A) o(B) 1(C) 3(D)無窮多 答：(A).解：原方程可化為：x(x l)(x 2) 3(x2 x) y(y l)(y 1) 2 ,因為三個連續(xù)整數(shù)的乘積是 3的倍數(shù)，所以上式左邊是3的倍數(shù)，而右邊除以

5、3余2,這是不 可能的.所以，原方程無整數(shù)解.故選(A).二、填空題(共5小題，每小題6分，滿分30分)6.如圖，在直角三角形 ABC中， ACB 90 , CA=4.點P是半圓弧AC的中點，連接BP,線段BP把圖形APCB分成兩部分，則這兩部分面積之差的絕對值是 .答：4.解：如圖，設(shè)AC與BP相交于點D，點D關(guān)于圓心O的對稱 點記為點E,線段BP把圖形APCB分成兩部分，這兩部分面 積之差的絕對值是 BEP的面積，即 BOP面積的兩倍.而11S BPO PO CO 2 22 .22因此，這兩部分面積之差的絕對值是 4.解：如圖，分別過點A, C作x軸的垂線，垂足分別為E, F 設(shè)0E =

6、a, BF二b,則AE=3a , CF = .3b，所以，點A, C的坐標(biāo)為(a , Aa ), (2a + b,),所以3 a23 3,3b(2a b) 3 3,解得a 3，b 6 V3,因此，點可D的坐標(biāo)為（2,6 , 0）.8已知點A, B的坐標(biāo)分別為（1, 0）,（ 2, 0）.若二次函數(shù)y x2 a 3 x 3的圖象與線段AB恰有一個交點，則a的取值范圍是 .答：1 a -,或者 a 3 2.3 .2解：分兩種情況：（I）因為二次函數(shù)y x2 a 3 x 3的圖象與線段AB只有一個交點，且點A, B的坐標(biāo)分別為（:1,0),(:2, 0),所以12 (a3)1 322(a3) 2 3

7、0 ,得1 a12由12(a3) 13 0 ,得a1 ,此時x11,X23，符合題意；由22(a3) 23 0,得a1，此時x12-,x：3,3，不符合題意.22(n)令2x a3 x3 0,由判別式0 ,得a3 2 Z3 .當(dāng)a 3 2 3時，捲x2. 3，不合題意；當(dāng)a 3 2 3時，x x2 - 3，符合題意.29.如圖，ABCDEFGn 90，貝Un= .答：6.A解：如圖，設(shè)AF與BG相交于點Q,則AQG A DG ,cl于是AB CDEF GY /BCEFAQGE綜上所述，a的取值范圍是1 2時，有anan 1a1 a2aia2Lan 1(n1)3,兩式相減，得an 3n2 3n所

8、以1an 13n(n3(nn 2,3,4,因此1a21a311耳001三、解答題(共3(13(14題，每小題15 分,11 (A).已知點1) 1(123 2133100) 1003)13 99 100滿分60分)1)M , N的坐標(biāo)分別為(0, 1), (0,- 1),點P是拋物線y4X2上的一個歡迎下載5(1)(2)設(shè)直線 PM與拋物線y 1x2的另一個交點為點4Q，連接 NP,NQ，求證:動點.判斷以點P為圓心，PM為半徑的圓與直線y 1的位置關(guān)系;PNM1解: (1)設(shè)點P的坐標(biāo)為(xo, X；)，則4又因為點P到直線y 1的距離為1 xo4所以，以點P為圓心，PM為半徑的圓與直線(J

9、 2122PM = ：X0(4X015分(2)如圖，分別過點P, Q作直線y 1的垂線，垂足分別為H , R由(1)知，PH = PM ,同理可得，QM = QR.因為PH，MN，QR都垂直于直線y(第11A題答案圖)1，所以，PH / MN / QR,于是QMRNMP NH，所以QRPHRNHN 因此，RtA PHNs Rg QRN .于是 HNPRNQ，從而PNMQNM .15分2 112 (A).已知a，b都是正整數(shù)，試問關(guān)于 x的方程x2 abx (a b) 0是2否有兩個整數(shù)解？如果有，請把它們求出來；如果沒有，請給出證明解：不妨設(shè)a b，且方程的兩個整數(shù)根為x-i, x2 ( x-

10、i 0, X2 1,所以5分1 0, 2a 1 1, 2b 1(X1 1)(x21) 0,(2 a 1)(2b 1) 5,(X11)(X21)1,(2a 1)(2b 1)1.(1)當(dāng)(X1 1)(X2 1) 0,時，由于a,b都是正整數(shù)，且a 3)是給定的正整數(shù)，是否存在正整數(shù)m, n,使得：m(m k) n(n 1) ?解：(1)答案是否定的.若存在正整數(shù) m, n,使得m(m 2) n(n 1), 則(m 1)2 n2 n 1 , 顯然 n 1，于是 n2 n2 n 1 (n 1)2,所以，n2 n 1不是平方數(shù)，矛盾.5分(2)當(dāng)k 3時，若存在正整數(shù) m, n,滿足m(m 3) n(n

11、 1),則 4m2 12m 4n2 4n , (2m 3)2(2n1)28 ,(2m 3 2n 1)(2m 3 2n 1) 8 , (m n 1)(m n 2)2 ,而m n 2 2 ,故上式不可能成立.10分當(dāng)k 4時，若k 2t （t是不小于2的整數(shù)）為偶數(shù)，取2 2m t t, n t 1，m(mk) (t2 t)(t2 t) t4t2，n(n1) (t21)t2 t4 t2，因此這樣的（m, n）滿足條件.若k 2t + 1 （t是不小于2的整數(shù)）為奇數(shù),t2 t2t2 t 22 2 t t m(m k)(22t 1)A4 2t3 t2 2t)，n(n 1)亠22t3 t22t)，因此

12、這樣的（m, n）滿足條件.綜上所述，當(dāng)k 3時，答案是否定的；當(dāng)k 4時，答案是肯定的.15分注：當(dāng)k 4時，構(gòu)造的例子不是唯一的.11 （B）.已知拋物線C1: yx2 3x 4和拋物線C2: y x2 3x 4相交于A，B兩點點P在拋物線G上，且位于點A和點B之間；點Q在拋物線C2上，也位于點A 和點B之間.（1）求線段AB的長；（2）當(dāng)PQ/ y軸時，求PQ長度的最大值.解：（1）解方程組y x2 3x 4,y x2 3x 4,得X12,X22,% 6,26,所以，點味A, B的坐標(biāo)分別是（-2 ,6),( 2, -6)因此當(dāng)t于是0 , abc= 1.求最大的實數(shù)k,使得12 (B)

13、.實數(shù) a, b, c滿足 ab k c恒成立.解：當(dāng)a b 3 2 , c 時，實數(shù)a, b, c滿足題設(shè)條件，此時k 4 c對滿足題設(shè)條件的實數(shù)a, b, c恒成立.由已知條件知，a, b, c都不等于0,且c 0 .因為11ab 0, a b 0 ,cc所以a 0,cc1c 4c 4 c .c15分 13(B) 如圖，點E,F分別在四邊形ABCD的邊AD, BC的延長線上，且滿足DE 竺若CF BCCD，F(xiàn)E的延長線相交于點G， DEG的外接圓與 CFG的外接圓的另一個交點為點P，連接 PA，PB，PC，PD .求證：/ 八 AD PD(1)BC PC(2)A PABPDC .證明：(1)連接 PE，PF，PG，因為 PDG PEG， PDC PEF .又因為 PCG PFG，所以 PDC PEF，PD PE,CPDPC PF PDE PCFPD DEPC CFADBC，于是有從而所以又已知DECF所以,FPEADBCPDPC10分(2)由于PDAPCB，結(jié)合(1)知,PAPB 所以 APB DPC，因此PGEPD , DPA CPB， PCPDAPCB，從而有15分 PABPDC .14 (B).證明：對任意三角形，一定存在兩條邊，它們的長u，v滿足證明：設(shè)任