高三數(shù)學(xué)第19講用樣本估計(jì)總體及線性相關(guān)關(guān)系

1、第19講 用樣本估計(jì)總體及線性相關(guān)關(guān)系 一【課標(biāo)要求】1用樣本估計(jì)總體通過(guò)實(shí)例體會(huì)分布的意義和作用，在表示樣本數(shù)據(jù)的過(guò)程中，學(xué)會(huì)列頻率分布表、畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，體會(huì)他們各自的特點(diǎn)；通過(guò)實(shí)例理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，學(xué)會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差；能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需求合理地選取樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差），并作出合理的解釋；在解決統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的過(guò)程中，進(jìn)一步體會(huì)用樣本估計(jì)總體的思想，會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征；初步體會(huì)樣本頻率分布和數(shù)字特征的隨機(jī)性；會(huì)用隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計(jì)總體的思想，解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)

2、際問(wèn)題；能通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的分析為合理的決策提供一些依據(jù)，認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)的作用，體會(huì)統(tǒng)計(jì)思維與確定性思維的差異；形成對(duì)數(shù)據(jù)處理過(guò)程進(jìn)行初步評(píng)價(jià)的意識(shí)2變量的相關(guān)性通過(guò)收集現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，并利用散點(diǎn)圖直觀認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系；經(jīng)歷用不同估算方法描述兩個(gè)變量線性相關(guān)的過(guò)程。知道最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程二【命題走向】“統(tǒng)計(jì)”是在初中“統(tǒng)計(jì)初步”基礎(chǔ)上的深化和擴(kuò)展，本講主要會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布，并會(huì)用樣本的特征來(lái)估計(jì)總體的分布預(yù)測(cè)2010年高考對(duì)本講的考察是：1以基本題目（中、低檔題）為主，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，以實(shí)際問(wèn)題為背

3、景，綜合考察學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)、應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)、解決實(shí)際問(wèn)題的能力；2熱點(diǎn)問(wèn)題是頻率分布直方圖和用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征。三【要點(diǎn)精講】1用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征（1）眾數(shù)、中位數(shù)在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)；將一組數(shù)據(jù)按照從大到小（或從小到大）排列，處在中間位置上的一個(gè)數(shù)據(jù)（或中間兩位數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；（2）平均數(shù)與方差如果這n個(gè)數(shù)據(jù)是，那么叫做這n個(gè)數(shù)據(jù)平均數(shù)；如果這n個(gè)數(shù)據(jù)是，那么叫做這n個(gè)數(shù)據(jù)方差；同時(shí) 叫做這n個(gè)數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。2頻率分布直方圖、折線圖與莖葉圖樣本中所有數(shù)據(jù)（或數(shù)據(jù)組）的頻率和樣本容量的比，就是該數(shù)據(jù)的頻率。所有數(shù)據(jù)

4、（或數(shù)據(jù)組）的頻率的分布變化規(guī)律叫做頻率分布，可以用頻率分布直方圖、折線圖、莖葉圖來(lái)表示。頻率分布直方圖：具體做法如下：（1）求極差（即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差）；（2）決定組距與組數(shù)；（3）將數(shù)據(jù)分組；（4）列頻率分布表；（5）畫頻率分布直方圖注：頻率分布直方圖中小正方形的面積=組距=頻率。折線圖：連接頻率分布直方圖中小長(zhǎng)方形上端中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖總體密度曲線：當(dāng)樣本容量足夠大，分組越多，折線越接近于一條光滑的曲線，此光滑曲線為總體密度曲線。3線性回歸回歸分析：對(duì)于兩個(gè)變量，當(dāng)自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫相關(guān)關(guān)系或回歸關(guān)系。回歸直線方程：設(shè)x

5、與y是具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量，且相應(yīng)于n個(gè)觀測(cè)值的n個(gè)點(diǎn)大致分布在某一條直線的附近，就可以認(rèn)為y對(duì)x的回歸函數(shù)的類型為直線型：。其中，。我們稱這個(gè)方程為y對(duì)x的回歸直線方程。四【典例解析】題型1：數(shù)字特征例1為了檢查一批手榴彈的殺傷半徑，抽取了其中20顆做試驗(yàn)，得到這20顆手榴彈的殺傷半徑，并列表如下：(1)在這個(gè)問(wèn)題中，總體、個(gè)體、樣本和樣本容量各是什么？(2)求出這20顆手榴彈的殺傷半徑的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)，并估計(jì)這批手榴彈的平均殺傷半徑解析： (1)總體是要檢查的這批手榴彈的殺傷半徑的全體；個(gè)體是每一顆手榴彈的殺傷半徑；樣本是所抽取的20顆手榴彈的殺傷半徑；樣本容量是20。(2)在20

6、個(gè)數(shù)據(jù)中，10出現(xiàn)了6次，次數(shù)最多，所以眾數(shù)是10（米）20個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列，第10個(gè)和第11個(gè)數(shù)據(jù)是最中間的兩個(gè)數(shù)，分別為9（米）和10（米），所以中位數(shù)是（9+10）=9.5（米）。樣本平均數(shù)（米）所以，估計(jì)這批手榴彈的平均殺傷半徑約為9.4米。點(diǎn)評(píng)：(1)根據(jù)總體、個(gè)體、樣本、樣本容量的概念答題要注意：總體、個(gè)體和樣本所說(shuō)的考察對(duì)象是一種數(shù)量指標(biāo)，不能說(shuō)成考察的對(duì)象是手榴彈，而應(yīng)說(shuō)是手榴彈的殺傷半徑。(2009山東卷理)某工廠對(duì)一批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢測(cè).右圖是根據(jù)抽樣檢測(cè)后的 產(chǎn)品凈重（單位：克）數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖，其中產(chǎn)品96 98 100 102 104 106 0.150 0

7、.125 0.100 0.075 0.050 克 頻率/組距 第8題圖 凈重的范圍是96，106，樣本數(shù)據(jù)分組為96，98），98，100),100，102)，102，104),104，106,已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個(gè)數(shù)是36，則樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)是 ( ).A.90 B.75 C. 60 D.45答案 A 解析 產(chǎn)品凈重小于100克的概率為(0.050+0.100)2=0.300, 已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個(gè)數(shù)是36,設(shè)樣本容量為,則,所以,凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的概率為(0.100+0.150+0.125)2=0.7

8、5,所以樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)是1200.75=90.故選A.【命題立意】:本題考查了統(tǒng)計(jì)與概率的知識(shí),讀懂頻率分布直方圖,會(huì)計(jì)算概率以及樣本中有關(guān)的數(shù)據(jù).(2)讀懂表格的意義，利用概念求眾數(shù)、中位數(shù)，用樣本平均數(shù)估計(jì)這批手榴彈的平均殺傷半徑另外在這里要會(huì)簡(jiǎn)便計(jì)算有多個(gè)重復(fù)數(shù)據(jù)的樣本的平均數(shù)。例2為估計(jì)一次性木質(zhì)筷子的用量，1999年從某縣共600家高、中、低檔飯店抽取10家作樣本，這些飯店每天消耗的一次性筷子盒數(shù)分別為：0.6 3.7 2.2 1.5 2.81.7 1.2 2.1 3.2 1.0(1)通過(guò)對(duì)樣本的計(jì)算，估計(jì)該縣1999年消耗了多少盒一次性筷子（

9、每年按350個(gè)營(yíng)業(yè)日計(jì)算）；(2)2001年又對(duì)該縣一次性木質(zhì)筷子的用量以同樣的方式作了抽樣調(diào)查，調(diào)查的結(jié)果是10個(gè)樣本飯店，每個(gè)飯店平均每天使用一次性筷子2.42盒求該縣2000年、2001年這兩年一次性木質(zhì)筷子用量平均每年增長(zhǎng)的百分率（2001年該縣飯店數(shù)、全年?duì)I業(yè)天數(shù)均與1999年相同）；(3)在(2)的條件下，若生產(chǎn)一套學(xué)生桌椅需木材0.07m3，求該縣2001年使用一次性筷子的木材可以生產(chǎn)多少套學(xué)生桌椅。計(jì)算中需用的有關(guān)數(shù)據(jù)為：每盒筷子100雙，每雙筷子的質(zhì)量為5g，所用木材的密度為0.5103kg/m3；(4)假如讓你統(tǒng)計(jì)你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量，如何利用統(tǒng)計(jì)知識(shí)去

10、做，簡(jiǎn)要地用文字表述出來(lái)。解析：(1)所以,該縣1999年消耗一次性筷子為2600350=420000（盒）。(2)設(shè)平均每年增長(zhǎng)的百分率為X，則2（1+X）2=2.42,解得X1=0.1=10%，X2=2.1（不合題意，舍去）。所以,平均每年增長(zhǎng)的百分率為10%；(3)可以生產(chǎn)學(xué)生桌椅套數(shù)為（套）。（2009四川卷文）設(shè)矩形的長(zhǎng)為，寬為，其比滿足，這種矩形給人以美感，稱為黃金矩形。黃金矩形常應(yīng)用于工藝品設(shè)計(jì)中。下面是某工藝品廠隨機(jī)抽取兩個(gè)批次的初加工矩形寬度與長(zhǎng)度的比值樣本：甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639乙批次：0.618 0.613 0.592 0.62

11、2 0.620根據(jù)上述兩個(gè)樣本來(lái)估計(jì)兩個(gè)批次的總體平均數(shù)，與標(biāo)準(zhǔn)值0.618比較，正確結(jié)論是 A.甲批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近 B.乙批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近 C.兩個(gè)批次總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值接近程度相同 D.兩個(gè)批次總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值接近程度不能確定答案 A解析 甲批次的平均數(shù)為0.617，乙批次的平均數(shù)為0.613(4)先抽取若干個(gè)縣（或市、州）作樣本，再分別從這些縣（或市、州）中抽取若干家飯店作樣本，統(tǒng)計(jì)一次性筷子的用量點(diǎn)評(píng)：本題是一道統(tǒng)計(jì)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)很多，需要靈活運(yùn)用各種知識(shí)分析解決問(wèn)題對(duì)于第(1)小題，可先求得樣本平均數(shù)，再利用樣本估計(jì)總體的思想來(lái)求得問(wèn)題的解對(duì)于第(

12、2)小題，實(shí)際是一個(gè)增長(zhǎng)率問(wèn)題的應(yīng)用題，可通過(guò)設(shè)未知數(shù)列方程的方法來(lái)解對(duì)于第(3)小題，用到了物理公式mv，體現(xiàn)了各學(xué)科知識(shí)之間的聯(lián)系，讓學(xué)生觸類旁通，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)能綜合運(yùn)用多種知識(shí)靈活地解決問(wèn)題第(4)小題只要能夠運(yùn)用隨機(jī)抽樣方法，能體會(huì)到用樣本估計(jì)總體的統(tǒng)計(jì)思想就可解決，在文字表述上要注意簡(jiǎn)潔、明了、正確。題型2：數(shù)字特征的應(yīng)用例3甲、乙兩種冬小麥試驗(yàn)品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下（單位：t / hm2）品種第1年第2年第3年第4年第5年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8其中產(chǎn)量比較穩(wěn)定的小麥品種是 甲 。解析：甲 = ( 9.8 + 9.9 +

13、 10.1 + 10 + 10.2) = 10.0，乙 = ( 9.4 + 10.3 + 10.8 + 9.7 + 9.8) = 10.0；s = ( 9.82 + + 10.22) 102 = 0.02，s = ( 9.42 + + 9.82) 102 = 0.244 0.02 。點(diǎn)評(píng)：方差與平均數(shù)在反映樣本的特征上一定要區(qū)分開(kāi)例4在一次歌手大獎(jiǎng)賽上，七位評(píng)委為歌手打出的分?jǐn)?shù)如下： 9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為（A）9.4, 0.484 （B）9.4, 0.016 （C）9.5, 0.04 （D）9.5, 0

14、.016答案：D；解析：7個(gè)數(shù)據(jù)中去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，余下的5個(gè)數(shù)為：9.4, 9.4, 9.6, 9.4, 9.5。則平均數(shù)為：，即。方差為：即 ，故選D。點(diǎn)評(píng)：一定要根據(jù)實(shí)際的題意解決問(wèn)題，并還原實(shí)際情景題型3：頻率分布直方圖與條形圖例5為檢測(cè),某種產(chǎn)品的質(zhì)量,抽取了一個(gè)容量為30的樣本,檢測(cè)結(jié)果為一級(jí)品5件,而極品8件,三級(jí)品13件,次品14件.（1）列出樣本頻率分布表;（2）畫出表示樣本頻率分布的條形圖;（3）根據(jù)上述結(jié)果,估計(jì)辭呈商品為二極品或三極品的概率約是多少解析：(1)樣本的頻率分布表為 產(chǎn)品 頻數(shù) 頻率 一級(jí)晶 5 017 二級(jí)晶 8 027 三級(jí)晶 13 043

15、次品 4 013(2)樣本頻率分布的條形圖為：(3)此種產(chǎn)品為二極品或三極品的概率約為0.27+0.43=0.7。點(diǎn)評(píng)：條形圖中縱坐標(biāo)一般是頻數(shù)或頻率例6為了了解某地區(qū)高三學(xué)生的身體發(fā)育情況，抽查了該地區(qū)100名年齡為17.5歲歲的男生體重(kg) ,得到頻率分布直方圖如下：根據(jù)上圖可得這100名學(xué)生中體重在56.5,64.5的學(xué)生人數(shù)是(A)20 (B)30(C)40 （D）50答案：C；解析：根據(jù)運(yùn)算的算式：體重在56.5,64.5學(xué)生的累積頻率為20.0320.0520.0520.07=0.4，則體重在56.5,64.5學(xué)生的人數(shù)為0.4100=40。點(diǎn)評(píng)：熟悉頻率、頻數(shù)、組距間的關(guān)系式

16、。例7某中學(xué)對(duì)高三年級(jí)進(jìn)行身高統(tǒng)計(jì)，測(cè)量隨機(jī)抽取的40名學(xué)生的身高，其結(jié)果如下（單位：cm）分組140，145）145，150）150，155）155，160）160，165）165，170）170，175）175，180）合計(jì)人數(shù)12591363140（1）列出頻率分布表；（2）畫出頻率分布直方圖；（3）估計(jì)數(shù)據(jù)落在150，170范圍內(nèi)的概率解析：（1）根據(jù)題意可列出頻率分布表：分值頻數(shù)頻率140，14510.025145，15020.050150，15550.125155，16090.225160，165130.325165，17060.15170，17530.075175，18010.0

17、25合計(jì)401.00（2）頻率分布直方圖如下：（3）數(shù)據(jù)落在150，170范圍內(nèi)的概率約為0.825。題型4：莖葉圖例8觀看下面兩名選手全壘打數(shù)據(jù)的莖葉圖，對(duì)他們的表現(xiàn)進(jìn)行比較。1961年揚(yáng)基隊(duì)外壘手馬利斯打破了魯斯的一個(gè)賽季打出60個(gè)全壘打的記錄。下面是揚(yáng)基隊(duì)的歷年比賽中的魯斯和馬利斯每年擊出的全壘打的比較圖：魯斯 馬利斯 0 8 1 3 4 6 5 2 2 3 6 8 5 4 3 3 9 9 7 6 6 1 1 4 9 4 4 5 0 6 1解析：魯斯的成績(jī)相對(duì)集中，穩(wěn)定在46左右；馬利斯成績(jī)相對(duì)發(fā)散，成績(jī)穩(wěn)定在26左右。題型5：線性回歸方程例9由施肥量x與水稻產(chǎn)量y試驗(yàn)數(shù)據(jù)的關(guān)系，畫出散

18、點(diǎn)圖，并指明相關(guān)性。解析：散點(diǎn)圖為：通過(guò)圖象可知是正相關(guān)。例10在某種產(chǎn)品表面進(jìn)行腐蝕線實(shí)驗(yàn)，得到腐蝕深度y與腐蝕時(shí)間t之間對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)：時(shí)間t(s)5101520304050607090120深度y(m)610101316171923252946(1)畫出散點(diǎn)圖；(2)試求腐蝕深度y對(duì)時(shí)間t的回歸直線方程。略解：（1）散點(diǎn)圖略，呈直線形（2）經(jīng)計(jì)算可得 =46.36，=19.45，=36750，=5442，=13910。B=0.3.A=b=19.45035.542。故所求的回歸直線方程為=0.3t+5.542。題型6：創(chuàng)新題例11把容量為100的某個(gè)樣本數(shù)據(jù)分為10組，并填寫頻率分布表，若

19、前七組的累積頻率為0.79，而剩下三組的頻數(shù)成公比大于2的整數(shù)等比數(shù)列，則剩下三組中頻數(shù)最高的一組的頻數(shù)為_(kāi).答案：16點(diǎn)評(píng)：已知前七組的累積頻率為0.79，而要研究后三組的問(wèn)題，因此應(yīng)先求出后三組的頻率之和為10.79=0.21，進(jìn)而求出后三組的共有頻數(shù)，或者先求前七組共有頻數(shù)后，再計(jì)算后三組的共有頻數(shù)。由已知知前七組的累積頻數(shù)為0.79100=79，故后三組共有的頻數(shù)為21，依題意=21，a1（1+q+q2）=21.a1=1，q=4。后三組頻數(shù)最高的一組的頻數(shù)為16。此題剖析只按第二種思路給出了解答，你能按第一種思路來(lái)解嗎？例12某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)考試中成績(jī)分布如下表：分?jǐn)?shù)段0，80）80

20、，90）90，100）人數(shù)2）56分?jǐn)?shù)段100，110）110，120 120，130）人數(shù)8126分?jǐn)?shù)段130，140）140，150）人數(shù)42那么分?jǐn)?shù)在100，110）中的頻率和分?jǐn)?shù)不滿110分的累積頻率分別是_、_（精確到0.01）.解析：由頻率計(jì)算方法知：總?cè)藬?shù)=45.分?jǐn)?shù)在100，110）中的頻率為 =0.1780.18.分?jǐn)?shù)不滿110分的累積頻率為=0.47.答案：0.18 0.47（2009湖北卷文）下圖是樣本容量為200的頻率分布直方圖.根據(jù)樣本的頻率分布直方圖估計(jì)，樣本數(shù)據(jù)落在6，10內(nèi)的頻數(shù)為 ，數(shù)據(jù)落在（2，10）內(nèi)的概率約為 。 答案 64解析 觀察直方圖易得頻數(shù)為,頻

21、率為五【思維總結(jié)】1統(tǒng)計(jì)是為了從數(shù)據(jù)中提取信息，學(xué)習(xí)時(shí)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需求選擇不同的方法合理地選取樣本，并從樣本數(shù)據(jù)中提取需要的數(shù)字特征。不應(yīng)把統(tǒng)計(jì)處理成數(shù)字運(yùn)算和畫圖表。對(duì)統(tǒng)計(jì)中的概念（如總體、樣本等）應(yīng)結(jié)合具體問(wèn)題進(jìn)行描述性說(shuō)明，不應(yīng)追求嚴(yán)格的形式化定義2當(dāng)總體中個(gè)體取不同值很少時(shí)，我們黨用樣本的頻率分布標(biāo)記頻率分布梯形圖取估計(jì)總體體分布,總體分布排除了抽樣造成的錯(cuò)誤，精確反映了總體取值的概率分布規(guī)律。對(duì)于所取不同數(shù)值較多或可以在實(shí)數(shù)區(qū)間范圍內(nèi)取值的總體，需用頻率分布直方圖來(lái)表示相應(yīng)的頻率分布。當(dāng)樣本容量無(wú)限增大，分組的組距無(wú)限縮小時(shí)，頻率分布直方圖無(wú)限接近一條光滑曲線總體密度曲線由于總體分布通常不易知道，往往是用樣本的頻率