常用算法設(shè)計(jì)方法

1、常用算法設(shè)計(jì)方法常用算法設(shè)計(jì)方法要使計(jì)算機(jī)能完成人們預(yù)定的工作，首先必須為如何完成預(yù)定的工作設(shè)計(jì)一個(gè)算法，然后再根據(jù)算法編寫程序。計(jì)算機(jī)程序要對(duì)問題的每個(gè)對(duì)象和處理規(guī)則給出正確詳盡的描述，其中程序的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和變量用來描述問題的對(duì)象，程序結(jié)構(gòu)、 函數(shù)和語句用來描述問題的算法。算法數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是程序的兩個(gè)重要方面。算法是問題求解過程的精確描述，一個(gè)算法由有限條可完全機(jī)械地執(zhí)行的、有確定結(jié)果的指令組成。指令正確地描述了要完成的任務(wù)和它們被執(zhí)行的順序。計(jì)算機(jī)按算法指令所描述的順序執(zhí)行算法的指令能在有限的步驟內(nèi)終止，或終止于給出問題的解，或終止于指出問題對(duì)此輸入數(shù)據(jù)無解。通常求解一個(gè)問題可能會(huì)有多種算法可供

2、選擇，選擇的主要標(biāo)準(zhǔn)是算法的正確性和可靠性，簡(jiǎn)單性和易理解性。其次是算法所需要的存儲(chǔ)空間少和執(zhí)行更快等。算法設(shè)計(jì)是一件非常困難的工作，經(jīng)常采用的算法設(shè)計(jì)技術(shù)主要有迭代法、窮舉搜索法、遞推法、貪婪法、回溯法、分治法、動(dòng)態(tài)規(guī)劃法等等。另外，為了更簡(jiǎn)潔的形式設(shè)計(jì)和藐視算法，在算法設(shè)計(jì)時(shí)又常常采用遞歸技術(shù)，用遞歸描述算法。一、迭代法迭代法是用于求方程或方程組近似根的一種常用的算法設(shè)計(jì)方法。設(shè)方程為f(x)=0，用某種數(shù)學(xué)方法導(dǎo)出等價(jià)的形式x=g(x) ，然后按以下步驟執(zhí)行：（1）選一個(gè)方程的近似根，賦給變量x0；（2）將 x0 的值保存于變量x1，然后計(jì)算g(x1) ，并將結(jié)果存于變量x0；（3）當(dāng)

3、x0 與 x1 的差的絕對(duì)值還小于指定的精度要求時(shí)，重復(fù)步驟（2）的計(jì)算。若方程有根， 并且用上述方法計(jì)算出來的近似根序列收斂，則按上述方法求得的x0 就認(rèn)為是方程的根。上述算法用 C 程序的形式表示為：【算法】迭代法求方程的根x0= 初始近似根；do x1=x0 ；x0=g(x1)；/*按特定的方程計(jì)算新的近似根*/ while ( fabs(x0-x1)Epsilon)；printf(“方程的近似根是n”， x0) ；迭代算法也常用于求方程組的根，令X=（x0，x1， ， xn-1 ）設(shè)方程組為：xi=gi(X)(I=0 ，1， ， n-1)則求方程組根的迭代算法可描述如下：【算法】迭代法

4、求方程組的根for (i=0;in;i+)xi=初始近似根 ;do for (i=0;in;i+)yi=xi;for (i=0;in;i+)xi=gi(X);for (delta=0.0,i=0;idelta)delta=fabs(yi-xi)； while (deltaEpsilon)；for (i=0;in;i+)printf(“變量x%d 的近似根是%f”， I ， xi)；printf(“n”) ；具體使用迭代法求根時(shí)應(yīng)注意以下兩種可能發(fā)生的情況：（ 1） 如果方程無解，算法求出的近似根序列就不會(huì)收斂，迭代過程會(huì)變成死循環(huán)，因此在使用迭代算法前應(yīng)先考察方程是否有解，并在程序中對(duì)迭代的次

5、數(shù)給予限制；（ 2）方程雖然有解，但迭代公式選擇不當(dāng)，或迭代的初始近似根選擇不合理，也會(huì)導(dǎo)致迭代失敗。二、窮舉搜索法窮舉搜索法是對(duì)可能是解的眾多候選解按某種順序進(jìn)行逐一枚舉和檢驗(yàn)，并從眾找出那些符合要求的候選解作為問題的解?！締栴}】將 A 、B 、C、D 、E、F 這六個(gè)變量排成如圖所示的三角形，這六個(gè)變量分別取1，6上的整數(shù)，且均不相同。求使三角形三條邊上的變量之和相等的全部解。如圖就是一個(gè)解。程序引入變量 a、 b、c、 d、e、 f，并讓它們分別順序取 1 至 6 的證書，在它們互不相同的條件下，測(cè)試由它們排成的如圖所示的三角形三條邊上的變量之和是否相等，如相等即為一種滿足要求的排列，把

6、它們輸出。當(dāng)這些變量取盡所有的組合后，程序就可得到全部可能的解。細(xì)節(jié)見下面的程序?！境绦?1】# include void main() int a,b,c,d,e,f; for (a=1;a=6;a+)for (b=1;b=6;b+)if (b=a)continue;for (c=1;c=6;c+)if (c=a)|(c=b)continue;for (d=1;d=6;d+)if (d=a)|(d=b)|(d=c)continue;for (e=1;e=6;e+)if (e=a)|(e=b)|(e=c)|(e=d)continue;f=21-(a+b+c+d+e);if (a+b+c=c+d

7、+e)&(a+b+c=e+f+a)printf(“ %6d,a);printf(“ %4d%4d” ,b,f);printf(“ %2d%4d%4d” ,c,d,e);scanf( “ %*c” );按窮舉法編寫的程序通常不能適應(yīng)變化的情況。如問題改成有9 個(gè)變量排成三角形，每條邊有4 個(gè)變量的情況，程序的循環(huán)重?cái)?shù)就要相應(yīng)改變。對(duì)一組數(shù)窮盡所有排列，還有更直接的方法。將一個(gè)排列看作一個(gè)長(zhǎng)整數(shù)，則所有排列對(duì)應(yīng)著一組整數(shù)。將這組整數(shù)按從小到大的順序排列排成一個(gè)整數(shù)，從對(duì)應(yīng)最小的整數(shù)開始。按數(shù)列的遞增順序逐一列舉每個(gè)排列對(duì)應(yīng)的每個(gè)整數(shù)，這能更有效地完成排列的窮舉。從一個(gè)排列找出對(duì)應(yīng)數(shù)列的下一個(gè)排列可

8、在當(dāng)前排列的基礎(chǔ)上作部分調(diào)整來實(shí)現(xiàn)。倘若當(dāng)前排列為1，2，4，6，5，3，并令其對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)整數(shù)為124653。要尋找比長(zhǎng)整數(shù)124653 更大的排列， 可從該排列的最后一個(gè)數(shù)字順序向前逐位考察，當(dāng)發(fā)現(xiàn)排列中的某個(gè)數(shù)字比它前一個(gè)數(shù)字大時(shí)，如本例中的6 比它的前一位數(shù)字4 大，這說明還有對(duì)應(yīng)更大整數(shù)的排列。但為了順序從小到大列舉出所有的排列， 不能立即調(diào)整得太大， 如本例中將數(shù)字6 與數(shù)字 4 交換得到的排列 126453就不是排列 124653的下一個(gè)排列。為了得到排列124653 的下一個(gè)排列，應(yīng)從已經(jīng)考察過的那部分?jǐn)?shù)字中選出比數(shù)字大，但又是它們中最小的那一個(gè)數(shù)字，比如數(shù)字5，與數(shù)字4 交換。該

9、數(shù)字也是從后向前考察過程中第一個(gè)比4 大的數(shù)字。 5 與 4 交換后，得到排列125643。在前面數(shù)字 1， 2，5 固定的情況下，還應(yīng)選擇對(duì)應(yīng)最小整數(shù)的那個(gè)排列，為此還需將后面那部分?jǐn)?shù)字的排列順序顛倒，如將數(shù)字6，4， 3 的排列順序顛倒，得到排列1，2，5， 3， 4，6，這才是排列1，2， 4， 6，5，3的下一個(gè)排列。按以上想法編寫的程序如下?！境绦?2】# include # define SIDE_N3# define LENGTH3# define VARIABLES6int A,B,C,D,E,F;int *pt=&A,&B,&C,&D,&E,&F;int *sideSIDE_

10、NLENGTH=&A,&B,&C,&C,&D,&E,&E,&F,&A;int side_totalSIDE_N;main int i,j,t,equal;for (j=0;jV ARIABLES;j+)*ptj=j+1;while(1) for (i=0;iSIDE_N;i+) for (t=j=0;jLENGTH;j+) t+=*sideij;side_totali=t;for (equal=1,i=0;equal&iSIDE_N-1;i+)if (side_totali!=side_totali+1equal=0;if (equal)for (i=1;i0;j-)if (*ptj*ptj-

11、1)break;if (j=0)break;for (i=V ARIABLES-1;i=j;i-)if (*pti*pti-1)break;t=*ptj-1;* ptj-1 =* pti; *pti=t;for (i=V ARIABLES-1;ij;i-,j+)t=*ptj; *ptj =* pti; *pti=t;從上述問題解決的方法中，最重要的因素就是確定某種方法來確定所有的候選解。下面再用一個(gè)示例來加以說明。【問題】背包問題問題描述：有不同價(jià)值、不同重量的物品n 件，求從這n 件物品中選取一部分物品的選擇方案，使選中物品的總重量不超過指定的限制重量，但選中物品的價(jià)值之和最大。設(shè) n 個(gè)物

12、品的重量和價(jià)值分別存儲(chǔ)于數(shù)組w 和 v 中，限制重量為tw?？紤]一個(gè)n 元組（ x0， x1，xn-1），其中xi=0表示第i 個(gè)物品沒有選取，而xi=1 則表示第i 個(gè)物品被選取。顯然這個(gè)n 元組等價(jià)于一個(gè)選擇方案。用枚舉法解決背包問題，需要枚舉所有的選取方案，而根據(jù)上述方法，我們只要枚舉所有的n 元組，就可以得到問題的解。顯然，每個(gè)分量取值為0 或 1 的 n 元組的個(gè)數(shù)共為2n 個(gè)。而每個(gè) n 元組其實(shí)對(duì)應(yīng)了一個(gè)長(zhǎng)度為n 的二進(jìn)制數(shù)，且這些二進(jìn)制數(shù)的取值范圍為 0 2n-1。因此，如果把 0 2n-1 分別轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)，則可以得到我們所需要的 2n 個(gè) n 元組?！舅惴ā縨axv

13、=0;for (i=0;i2n;i+) B0.n-1=0;把 i 轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制數(shù)，存儲(chǔ)于數(shù)組B 中 ;temp_w=0;temp_v=0;for (j=0;jn;j+) if (Bj=1) temp_w=temp_w+wj;temp_v=temp_v+vj;if (temp_wmaxv) maxv=temp_v;保存該 B 數(shù)組；三、遞推法遞推法是利用問題本身所具有的一種遞推關(guān)系求問題解的一種方法。設(shè)要求問題規(guī)模為N 的解，當(dāng) N=1時(shí)，解或?yàn)橐阎蚰芊浅７奖愕氐玫浇?。能采用遞推法構(gòu)造算法的問題有重要的遞推性質(zhì)，即當(dāng)?shù)玫絾栴}規(guī)模為 i-1 的解后，由問題的遞推性質(zhì)，能從已求得的規(guī)模為1， 2

14、， ， i-1 的一系列解，構(gòu)造出問題規(guī)模為 I 的解。這樣，程序可從i=0 或 i=1 出發(fā)，重復(fù)地，由已知至i-1 規(guī)模的解，通過遞推，獲得規(guī)模為i的解，直至得到規(guī)模為 N 的解?！締栴}】階乘計(jì)算問題描述：編寫程序，對(duì)給定的n（n 100），計(jì)算并輸出 k 的階乘 k ?。?k=1 ，2， ，n）的全部有效數(shù)字。由于要求的整數(shù)可能大大超出一般整數(shù)的位數(shù)，程序用一維數(shù)組存儲(chǔ)長(zhǎng)整數(shù)，存儲(chǔ)長(zhǎng)整數(shù)數(shù)組的每個(gè)元素只存儲(chǔ)長(zhǎng)整數(shù)的一位數(shù)字。如有m 位成整數(shù) N 用數(shù)組 a 存儲(chǔ)：N=am 10m-1+am-1 10m-2+a2 101+a1 100并用 a0 存儲(chǔ)長(zhǎng)整數(shù) N 的位數(shù) m，即 a0=m 。

15、按上述約定，數(shù)組的每個(gè)元素存儲(chǔ)k 的階乘 k！的一位數(shù)字，并從低位到高位依次存于數(shù)組的第二個(gè)元素、第三個(gè)元素。例如， 5！=120，在數(shù)組中的存儲(chǔ)形式為：3 0 21首元素 3 表示長(zhǎng)整數(shù)是一個(gè) 3 位數(shù)，接著是低位到高位依次是0、 2、1，表示成整數(shù) 120。計(jì)算階乘 k！可采用對(duì)已求得的階乘 (k-1) ！連續(xù)累加 k-1次后求得。例如，已知4！ =24，計(jì)算 5！，可對(duì)原來的 24累加 4 次 24 后得到 120 。細(xì)節(jié)見以下程序。# include # include # define MAXN 1000 void pnext(int a ,int k) int *b,m=a0,i,

16、j,r,carry;b=(int * ) malloc(sizeof(int)* (m+1);for ( i=1;i=m;i+)bi=ai;for ( j=1;j=k;j+) for ( carry=0,i=1;i=m;i+) r=(i0;i-)prin tf(“ %d” ,ai);printf(“n” );void main() int aMAXN,n,k;printf(“ Enter the number“n:);scanf( “ %d” ,&n);a0=1;a1=1;write(a,1);for (k=2;k1 時(shí)）。寫成遞歸函數(shù)有：int fib(int n)if (n=0)if (n

17、=1)if (n1)return 0;return 1;return fib(n-1)+fib(n-2);遞歸算法的執(zhí)行過程分遞推和回歸兩個(gè)階段。在遞推階段，把較復(fù)雜的問題（規(guī)模為n）的求解推到比原問題簡(jiǎn)單一些的問題（規(guī)模小于n）的求解。例如上例中，求解fib(n) ，把它推到求解fib(n-1) 和 fib(n-2) 。也就是說，為計(jì)算fib(n) ，必須先計(jì)算fib(n-1) 和 fib(n-2) ，而計(jì)算fib(n-1) 和fib(n-2) ，又必須先計(jì)算fib(n-3)和 fib(n-4)。依次類推，直至計(jì)算fib(1) 和 fib(0) ，分別能立即得到結(jié)果1 和 0。在遞推階段，必

18、須要有終止遞歸的情況。例如在函數(shù)fib中，當(dāng)n 為 1 和 0 的情況。在回歸階段，當(dāng)獲得最簡(jiǎn)單情況的解后，逐級(jí)返回，依次得到稍復(fù)雜問題的解，例如得到fib(1) 和fib(0)后，返回得到fib(2) 的結(jié)果，在得到了fib(n-1) 和 fib(n-2) 的結(jié)果后，返回得到fib(n) 的結(jié)果。在編寫遞歸函數(shù)時(shí)要注意，函數(shù)中的局部變量和參數(shù)知識(shí)局限于當(dāng)前調(diào)用層，當(dāng)遞推進(jìn)入“簡(jiǎn)單問題 ”層時(shí)，原來層次上的參數(shù)和局部變量便被隱蔽起來。在一系列“簡(jiǎn)單問題 ”層，它們各有自己的參數(shù)和局部變量。由于遞歸引起一系列的函數(shù)調(diào)用，并且可能會(huì)有一系列的重復(fù)計(jì)算，遞歸算法的執(zhí)行效率相對(duì)較低。當(dāng)某個(gè)遞歸算法能較

19、方便地轉(zhuǎn)換成遞推算法時(shí)，通常按遞推算法編寫程序。例如上例計(jì)算斐波那契數(shù)列的第n 項(xiàng)的函數(shù) fib(n) 應(yīng)采用遞推算法，即從斐波那契數(shù)列的前兩項(xiàng)出發(fā)，逐次由前兩項(xiàng)計(jì)算出下一項(xiàng)，直至計(jì)算出要求的第 n 項(xiàng)?！締栴}】組合問題問題描述：找出從自然數(shù)1、2、n 中任取 r 個(gè)數(shù)的所有組合。例如n=5，r=3 的所有組合為：（1）5、 4、3（2） 5、4、2（3） 5、4、1（ 4）5、3、2（ 5）5、3、 1（ 6）5、2、 1（ 7）4、3、2（ 8）4、3、 1（ 9）4、2、 1（ 10） 3、2、1分析所列的10 個(gè)組合，可以采用這樣的遞歸思想來考慮求組合函數(shù)的算法。設(shè)函數(shù)為void co

20、mb(int m,intk)為找出從自然數(shù)1、 2、 m 中任取 k 個(gè)數(shù)的所有組合。當(dāng)組合的第一個(gè)數(shù)字選定時(shí)，其后的數(shù)字是從余下的 m-1 個(gè)數(shù)中取k-1 數(shù)的組合。這就將求m 個(gè)數(shù)中取k 個(gè)數(shù)的組合問題轉(zhuǎn)化成求m-1 個(gè)數(shù)中取k-1個(gè)數(shù)的組合問題。 設(shè)函數(shù)引入工作數(shù)組a 存放求出的組合的數(shù)字，約定函數(shù)將確定的k 個(gè)數(shù)字組合的第一個(gè)數(shù)字放在ak 中，當(dāng)一個(gè)組合求出后，才將a 中的一個(gè)組合輸出。第一個(gè)數(shù)可以是m、 m-1 、 k，函數(shù)將確定組合的第一個(gè)數(shù)字放入數(shù)組后，有兩種可能的選擇，因還未去頂組合的其余元素，繼續(xù)遞歸去確定；或因已確定了組合的全部元素，輸出這個(gè)組合。細(xì)節(jié)見以下程序中的函數(shù)co

21、mb。【程序】# include # define MAXN 100 int aMAXN;voidcomb(int m,int k) int i,j;for (i=m;i=k;i-) ak=i; if (k1)comb(i-1,k-1);else for (j=a0;j0;j-)printf(“ %4d” ,aj);printf(n“” );void main() a0=3;comb(5,3);【問題】背包問題問題描述：有不同價(jià)值、不同重量的物品n 件，求從這n 件物品中選取一部分物品的選擇方案，使選中物品的總重量不超過指定的限制重量，但選中物品的價(jià)值之和最大。設(shè) n 件物品的重量分別為w0、

22、 w1、 wn-1，物品的價(jià)值分別為v0、v1、vn-1 。采用遞歸尋找物品的選擇方案。設(shè)前面已有了多種選擇的方案，并保留了其中總價(jià)值最大的方案于數(shù)組option ，該方案的總價(jià)值存于變量maxv 。當(dāng)前正在考察新方案，其物品選擇情況保存于數(shù)組cop 。假定當(dāng)前方案已考慮了前 i-1 件物品， 現(xiàn)在要考慮第 i 件物品； 當(dāng)前方案已包含的物品的重量之和為 tw；至此，若其余物品都選擇是可能的話，本方案能達(dá)到的總價(jià)值的期望值為 tv 。算法引入 tv 是當(dāng)一旦當(dāng)前方案的總價(jià)值的期望值也小于前面方案的總價(jià)值 maxv 時(shí)，繼續(xù)考察當(dāng)前方案變成無意義的工作，應(yīng)終止當(dāng)前方案，立即去考察下一個(gè)方案。因?yàn)?/p>

23、當(dāng)方案的總價(jià)值不比 maxv 大時(shí)，該方案不會(huì)被再考察，這同時(shí)保證函數(shù)后找到的方案一定會(huì)比前面的方案更好。對(duì)于第 i 件物品的選擇考慮有兩種可能：（ 1） 考慮物品 i 被選擇，這種可能性僅當(dāng)包含它不會(huì)超過方案總重量限制時(shí)才是可行的。選中后，繼續(xù)遞歸去考慮其余物品的選擇。（2）考慮物品 i 不被選擇，這種可能性僅當(dāng)不包含物品i 也有可能會(huì)找到價(jià)值更大的方案的情況。按以上思想寫出遞歸算法如下：try( 物品 i，當(dāng)前選擇已達(dá)到的重量和，本方案可能達(dá)到的總價(jià)值tv)/* 考慮物品 i 包含在當(dāng)前方案中的可能性*/if( 包含物品i 是可以接受的)將物品i 包含在當(dāng)前方案中；if (in-1)try

24、(i+1,tw+物品i的重量 ,tv);else/* 又一個(gè)完整方案，因?yàn)樗惹懊娴姆桨负?，以它作為最佳方?/以當(dāng)前方案作為臨時(shí)最佳方案保存;恢復(fù)物品 i 不包含狀態(tài)；/* 考慮物品 i 不包含在當(dāng)前方案中的可能性*/if ( 不包含物品i 僅是可男考慮的)if (in-1)try(i+1,tw,tv- 物品 i 的價(jià)值 )；else/* 又一個(gè)完整方案，因它比前面的方案好，以它作為最佳方案*/以當(dāng)前方案作為臨時(shí)最佳方案保存;為了理解上述算法，特舉以下實(shí)例。設(shè)有4 件物品，它們的重量和價(jià)值見表：物品0123重量5321價(jià)值4431并設(shè)限制重量為 7。則按以上算法，下圖表示找解過程。由圖知，一

25、旦找到一個(gè)解，算法就進(jìn)一步找更好的佳。如能判定某個(gè)查找分支不會(huì)找到更好的解，算法不會(huì)在該分支繼續(xù)查找，而是立即終止該分支，并去考察下一個(gè)分支。按上述算法編寫函數(shù)和程序如下：【程序】# include # define N 100doublelimitW,totV ,maxV;intoptionN,copN;structdoubleweight;doublevalue;aN;intn;void find(int i,double tw,double tv) int k;/* 考慮物品i 包含在當(dāng)前方案中的可能性*/if (tw+ai.weight=limitW) copi=1;if (in-1)

26、find(i+1,tw+ai.weight,tv);else for (k=0;kmaxV)if (in-1)find(i+1,tw,tv-ai.value);else for (k=0;kn;k+) optionk=copk;maxv=tv-ai.value;void main() int k; double w,v;printf( 輸“入物品種數(shù) n” );scanf(“ %d” ,&n);printf(輸“入各物品的重量和價(jià)值n” );for (totv=0.0,k=0;kn;k+) scanf( “ %1f%1f” ,&w,&v); ak.weight=w;ak.value=v;tot

27、V+=V;printf(輸“入限制重量n” );scanf( “ %1f” ,&limitV);maxv=0.0;for (k=0;kn;k+)copk=0;find(0,0.0,totV);for (k=0;kn;k+)if (optionk)printf(“ %4d” ,k+1);printf(n“總價(jià)值為n” ,maxv);作為對(duì)比，下面以同樣的解題思想，考慮非遞歸的程序解。為了提高找解速度，程序不是簡(jiǎn)單地逐一生成所有候選解，而是從每個(gè)物品對(duì)候選解的影響來形成值得進(jìn)一步考慮的候選解，一個(gè)候選解是通過依次考察每個(gè)物品形成的。對(duì)物品i 的考察有這樣幾種情況：當(dāng)該物品被包含在候選解中依舊滿足解

28、的總重量的限制，該物品被包含在候選解中是應(yīng)該繼續(xù)考慮的；反之，該物品不應(yīng)該包括在當(dāng)前正在形成的候選解中。同樣地，僅當(dāng)物品不被包括在候選解中，還是有可能找到比目前臨時(shí)最佳解更好的候選解時(shí)，才去考慮該物品不被包括在候選解中；反之，該物品不包括在當(dāng)前候選解中的方案也不應(yīng)繼續(xù)考慮。對(duì)于任一值得繼續(xù)考慮的方案，程序就去進(jìn)一步考慮下一個(gè)物品?！境绦颉? include # define N 100 double limitW; int copN;struct ele double weight;doublevalue; aN;intk,n;structintflg;doubletw;doubletv;tw

29、vN;void next(int i,double tw,double tv) twvi.flg=1;twvi.tw=tw;twvi.tv=tv;double find(struct ele *a,int n) int i,k,f;double maxv,tw,tv,totv;maxv=0;for (totv=0.0,k=0;kn;k+)totv+=ak.value;next(0,0.0,totv);i=0; f=twvi.flg; tw=twvi.tw; tv=twvi.tv;switch(f) case 1: twvi.flg+;if (tw+ai.weight=limitW)if (in

30、-1) next(i+1,tw+ai.weight,tv); i+;else maxv=tv;for (k=0;kmaxv)if (in-1) next(i+1,tw,tv-ai.value);i+;else maxv=tv-ai.value;for (k=0;kn;k+) copk=twvk.flg!=0;break;return maxv;void main() double maxv;printf(輸“入物品種數(shù)n” );scanf(“ %d” ,&n);printf(輸“入限制重量n” );scanf( “ %1f” ,&limitW);printf( 輸“入各物品的重量和價(jià)值n” )

31、;for (k=0;kn;k+)scanf( “ %1f%1f” ,&ak.weight,&ak.value);maxv=find(a,n);printf(n“選中的物品為n” );for (k=0;kn;k+)if (optionk)printf(“ %4d” ,k+1);printf(n“總價(jià)值為n” ,maxv);五、回溯法回溯法也稱為試探法， 該方法首先暫時(shí)放棄關(guān)于問題規(guī)模大小的限制， 并將問題的候選解按某種順序逐一枚舉和檢驗(yàn)。當(dāng)發(fā)現(xiàn)當(dāng)前候選解不可能是解時(shí)，就選擇下一個(gè)候選解；倘若當(dāng)前候選解除了還不滿足問題規(guī)模要求外，滿足所有其他要求時(shí)，繼續(xù)擴(kuò)大當(dāng)前候選解的規(guī)模，并繼續(xù)試探。如果當(dāng)前候

32、選解滿足包括問題規(guī)模在內(nèi)的所有要求時(shí)，該候選解就是問題的一個(gè)解。在回溯法中，放棄當(dāng)前候選解，尋找下一個(gè)候選解的過程稱為回溯。擴(kuò)大當(dāng)前候選解的規(guī)模，以繼續(xù)試探的過程稱為向前試探。1、回溯法的一般描述可用回溯法求解的問題P，通常要能表達(dá)為：對(duì)于已知的由n 元組（ x1，x2 ， ， xn）組成的一個(gè)狀態(tài)空間 E= （x1，x2， ， xn）xi Si ， i=1 ，2， ， n ，給定關(guān)于n 元組中的一個(gè)分量的一個(gè)約束集D，要求 E 中滿足 D 的全部約束條件的所有n 元組。其中Si 是分量 xi 的定義域，且|Si|有限， i=1 ，2， ，n。我們稱E 中滿足 D 的全部約束條件的任一n 元組

33、為問題P 的一個(gè)解。解問題 P 的最樸素的方法就是枚舉法，即對(duì)E 中的所有 n 元組逐一地檢測(cè)其是否滿足D 的全部約束，若滿足，則為問題P 的一個(gè)解。但顯然，其計(jì)算量是相當(dāng)大的。我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于許多問題，所給定的約束集D 具有完備性，即i 元組（ x1，x2， ， xi ）滿足 D 中僅涉及到 x1 ，x2， ，xi 的所有約束意味著 j（jj 。因此，對(duì)于約束集 D 具有完備性的問題 P，一旦檢測(cè)斷定某個(gè) j 元組（ x1，x2， ， xj ）違反 D 中僅涉及 x1，x2， ， xj 的一個(gè)約束，就可以肯定，以（ x1，x2， ， xj ）為前綴的任何 n 元組（ x1，x2， ， xj ，

34、xj+1 ， ， xn）都不會(huì)是問題 P 的解，因而就不必去搜索它們、檢測(cè)它們?；厮莘ㄕ轻槍?duì)這類問題，利用這類問題的上述性質(zhì)而提出來的比枚舉法效率更高的算法?；厮莘ㄊ紫葘栴} P 的 n 元組的狀態(tài)空間E 表示成一棵高為 n 的帶權(quán)有序樹 T，把在 E 中求問題 P 的所有解轉(zhuǎn)化為在 T 中搜索問題 P 的所有解。樹T 類似于檢索樹，它可以這樣構(gòu)造：設(shè) Si 中的元素可排成 xi(1)，xi(2)， ， xi(mi-1)，|Si| =mi ， i=1 ，2， ， n。從根開始，讓T的第 I層的每一個(gè)結(jié)點(diǎn)都有 mi 個(gè)兒子。這 mi 個(gè)兒子到它們的雙親的邊，按從左到右的次序，分別帶權(quán)xi+1(

35、1)，xi+1(2) ， ， xi+1(mi)，i=0 ， 1，2， ， n-1 。照這種構(gòu)造方式，E 中的一個(gè) n 元組（ x1，x2， ， xn）對(duì)應(yīng)于 T 中的一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，T 的根到這個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)的路徑上依次的n 條邊的權(quán)分別為x1，x2， ， xn，反之亦然。另外，對(duì)于任意的0i n-1 ，E 中 n 元組（ x1，x2， ， xn）的一個(gè)前綴 I元組（x1，x2， ， xi ）對(duì)應(yīng)于 T 中的一個(gè)非葉子結(jié)點(diǎn)，T 的根到這個(gè)非葉子結(jié)點(diǎn)的路徑上依次的I條邊的權(quán)分別為 x1，x2， ， xi ，反之亦然。特別， E 中的任意一個(gè) n 元組的空前綴（），對(duì)應(yīng)于T 的根。因而，在 E 中尋找問

36、題 P 的一個(gè)解等價(jià)于在 T 中搜索一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)， 要求從 T 的根到該葉子結(jié)點(diǎn)的路徑上依次的 n 條邊相應(yīng)帶的 n 個(gè)權(quán) x1，x2， ， xn 滿足約束集 D 的全部約束。在T 中搜索所要求的葉子結(jié)點(diǎn)，很自然的一種方式是從根出發(fā)，按深度優(yōu)先的策略逐步深入，即依次搜索滿足約束條件的前綴1 元組（x1i ）、前綴 2 元組（ x1，x2）、 ，前綴 I 元組（ x1，x2， ， xi ）， ，直到 i=n 為止。在回溯法中， 上述引入的樹被稱為問題P 的狀態(tài)空間樹； 樹 T 上任意一個(gè)結(jié)點(diǎn)被稱為問題P 的狀態(tài)結(jié)點(diǎn)；樹 T 上的任意一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)被稱為問題P 的一個(gè)解狀態(tài)結(jié)點(diǎn)；樹 T 上滿足約束集

37、 D 的全部約束的任意一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)被稱為問題P 的一個(gè)回答狀態(tài)結(jié)點(diǎn)，它對(duì)應(yīng)于問題P 的一個(gè)解?！締栴}】組合問題問題描述：找出從自然數(shù)1、 2、 、 n 中任取 r個(gè)數(shù)的所有組合。例如 n=5， r=3 的所有組合為：（1）1、 2、3（ 2）1、2、 4（3） 1、 2、 5（ 4）1、3、4（5） 1、 3、5（ 6）1、4、 5（ 7）2、3、4（8） 2、 3、5（ 9）2、4、 5（ 10） 3、4、5則該問題的狀態(tài)空間為：E= （x1，x2，x3）xi S ，i=1 ， 2，3 其中： S=1， 2，3， 4， 5約束集為：x1x2ai ，后一個(gè)數(shù)字比前一個(gè)大；（ 2） ai-i=n

38、-r+1 。按回溯法的思想，找解過程可以敘述如下：首先放棄組合數(shù)個(gè)數(shù)為r 的條件，候選組合從只有一個(gè)數(shù)字1 開始。因該候選解滿足除問題規(guī)模之外的全部條件，擴(kuò)大其規(guī)模，并使其滿足上述條件（1），候選組合改為1，2。繼續(xù)這一過程，得到候選組合1，2， 3。該候選解滿足包括問題規(guī)模在內(nèi)的全部條件，因而是一個(gè)解。在該解的基礎(chǔ)上，選下一個(gè)候選解，因 a2 上的3 調(diào)整為4，以及以后調(diào)整為5 都滿足問題的全部要求，得到解1，2，4 和 1， 2， 5。由于對(duì)5不能再作調(diào)整，就要從a2 回溯到 a1 ，這時(shí)， a1=2 ，可以調(diào)整為3，并向前試探，得到解1， 3， 4。重復(fù)上述向前試探和向后回溯，直至要從a0 再回溯時(shí)，說明已經(jīng)找完問題的全部解。按上述思想寫成程序如下：【程序】# define MAXN 100 int aMAXN;void comb(int m,int r) int i,j;i=0;ai=1; do if (ai-i=m-r+1 if (i=r-1) for (j=0;jr;j+)printf(“ %4d” ,aj);printf(n“” );ai+;continue;else if (i=0) return;a-i+; while (1)main() comb(5,3);【問題】填字游戲問題描述：在 33 個(gè)方格的方陣中要填入數(shù)字 1 到 N（N10）內(nèi)的某 9