高等數(shù)學D103三重積分課件

1、2021-10-11高等數(shù)學D103三重積分第三節(jié)一、三重積分的概念三重積分的概念 二、三重積分的計算二、三重積分的計算機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三重積分 第十章 2021-10-11高等數(shù)學D103三重積分一、三重積分的概念一、三重積分的概念 類似二重積分解決問題的思想, 采用kkkkv),(),(kkkkv引例引例: 設(shè)在空間有限閉區(qū)域 內(nèi)分布著某種不均勻的物質(zhì),),(Czyx求分布在 內(nèi)的物質(zhì)的可得:nk 10limM“大化小大化小, 常代變常代變, 近似和近似和, 求極限求極限”解決方法解決方法:質(zhì)量 M .密度函數(shù)為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xzy ),(zyx2

2、021-10-11高等數(shù)學D103三重積分定義定義. 設(shè),),( , ),(zyxzyxfkkknkkvf),(lim10存在,),(zyxfvzyxfd),(稱為體積元素體積元素, vd.dddzyx若對 作任意分割任意分割: 任意取點任意取點則稱此極限為函數(shù)在上的三重積分三重積分.在直角坐標系下常寫作三重積分的性質(zhì)與二重積分相似.性質(zhì)性質(zhì): 例如 ),2,1(nkvk,),(kkkkv下列“乘中值定理中值定理),(zyxf設(shè)在有界閉域 上連續(xù),則存在,),(使得vzyxfd),(Vf),(V 為 的體積, 積和式” 極限記作記作機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-10-11高等數(shù)

3、學D103三重積分二、三重積分的計算二、三重積分的計算1. 利用直角坐標計算三重積分利用直角坐標計算三重積分方法方法1 . 投影法 (“先一后二”)方法方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方法方法3 . 三次積分法 ),(zyxfu 假設(shè)函數(shù) 并將它看作某物體 通過計算該物體的質(zhì)量引出下列各計算方法1和方法2是重點和根本，方法3為快速法。 的密度函數(shù) , 方法:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 連續(xù)， 2021-10-11高等數(shù)學D103三重積分zxyDDyxdd 方法方法1. 投影法投影法 (“先一后二先一后二” ) Dyxyxzzyxz),(),(),(:21則三重積分可化為vzyxf

4、d),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxfDyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),(dd),(2yxzz ),(1yxzz 記作機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 如果空間積分區(qū)域可表示為2021-10-11高等數(shù)學D103三重積分xy 2xyo例例1. 求求 :),(20:DyxxzV解解: 上曲面為,d)cos(VvzxyIDzzxyyxId)cos(ddV是由柱面機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 與xy .2, 0, 0所圍成的區(qū)域平面zxzy. 0,2zxz下曲面為xzzx20d)cos(.21162x20zxy0,0 xy 20 xxz20z20dxxyy0d

5、D2021-10-11高等數(shù)學D103三重積分例例2. 求柱面 解解: 上曲面為Vazxayx所圍區(qū)域與222222的體積，機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 . 0aVvvd. 0,22zxaz下曲面為)0, 0(:0:22222yxayxDxazV220:xayDax 0220dxaz220dxayax0d8axxa022d)(8.3163axyzxyz22xaz0z22xay2021-10-11高等數(shù)學D103三重積分ab方法方法2. 截面法截面法 (“先二后一先二后一”)bzaDyxz),(:為與 z 垂直的平行截面的區(qū)域.zD其中xyz則三重積分可化為vzyxfd),(baZDyxz

6、yxfdd),(ZDbayxzyxfzdd),(dzzDzd記作機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 如果空間積分區(qū)域可表示為2021-10-11高等數(shù)學D103三重積分xyz例例3. 計算三重積分,ddd2zyxz. 1:222222czbyax其中解解: :zyxzddd2czczbaz0222d)1(2czc2222221:czbyaxDzzDyxddcczz d23154cbaabc用用“先二后一先二后一 ” zDz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1)1()1(:22222222czbyczaxDz2021-10-11高等數(shù)學D103三重積分例例4 設(shè)V為由以下曲面圍的區(qū)域:解：解：

7、對應截面區(qū)域:oxyz使用截面法計算.d),(Vvzyxf對于每一個Dxoy1 yxzyxzD機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 練習：先對x后對y定限Vvzyxfd),(zDyxzyxfzdd),(d10.d),(dd),(dd1100110zyzyyzxzyxfyxzyxfyz, 0,zyxz1, 0, 0yxyx) 10( zz2021-10-11高等數(shù)學D103三重積分投影法方法方法3. 三次積分法三次積分法設(shè)區(qū)域:利用投影法結(jié)果 ,bxaxyyxyDyx)()(:),(21),(),(21yxzzyxz把二重積分化成二次積分即得:vzyxfd),(),(),(21d),(ddyxzy

8、xzDzzyxfyxvzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxf)()(21dxyxyybaxd機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-10-11高等數(shù)學D103三重積分其中 為三個坐標例例4. 計算三重積分,dddzyxx12zyx所圍成的閉區(qū)域 .1xyz121解解:zyxxddd)1(01021d)21 (dxyyxxxyxz210d1032d)2(41xxxxyxz210)1(021xy10 x )1(021dxy10d xx481面及平面機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yxz21)1(21xy2021-10-11高等數(shù)學D103三重積分小結(jié)小結(jié): 三重積

9、分的計算方法三重積分的計算方法方法方法1. “先一后二先一后二”方法方法2. “先二后一先二后一”方法方法3. “三次積分三次積分”),(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvzyxfd),(ZDbayxzyxfzdd),(d),(),()()(2121d),(ddyxzyxzxyxybazzyxfyx具體計算時應根據(jù)vzyxfd),(vzyxfd),(三種方法(包含多種形式)各有特點,被積函數(shù)及積分域的特點靈活選擇. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-10-11高等數(shù)學D103三重積分解解, 122 yx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5化三重積分 zyxz

10、yxfIddd),(為三次積分， 其中積分區(qū)域 為由曲面 222yxz及所圍成的閉區(qū)域. 由22222xzyxz得交線投影區(qū)域 :故2211xyx22222xzyx11x22222d),(xyxzzyxf11d x2211dxxy22xzI2021-10-11高等數(shù)學D103三重積分動手題動手題 計算解一解一：（投影法）：（投影法）請分別用兩種方法進行計算。機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Dyxxydd原式,dddzyxxyz, 1:222zyx, 0, 0, 0zyx:10:22Dyxz210, 10 xyx2210dyxzz2210dyxzz10102ddxyyxx.48122xayx

11、y0DxyzoD221yxz2021-10-11高等數(shù)學D103三重積分動手題動手題 計算解二解二：（截面法）：（截面法）請分別用兩種方法進行計算。機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zDyxxydd,dddzyxxyz, 1:222zyx, 0, 0, 0zyx10:zDz22210,10zxyzx10d zz原式.481xyzoD221yxz10d zz2221010ddzxzyyxxzD2021-10-11高等數(shù)學D103三重積分2,zxz1. 將. )(),(Czyxf用三次積分表示, 1,0 xx,42, 1yxyvzyxfId),(其中由所提示提示:10 xxy21212 zxI2

12、d),(xzzyxf xy2121d10d x思考與練習思考與練習六個平面圍成 ,:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zxy0yxxy2122102zxz 2021-10-11高等數(shù)學D103三重積分2. 求),1(2222zzzyx圍成。22yxz,d)(333vzyxI其中是由半球面提示提示:與錐面機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 區(qū)域如圖所示，,d3vzI使用“先二后一”：1zD21,2:2221zzzyxDz2zD10,:2222zzyxDzvzId3z2Dyxdd103d zzz1Dyxdd213d zz1023dzzz2123d)2(zzzz.1531因為對稱性yzx21202

13、1-10-11高等數(shù)學D103三重積分3. 計算三重積分,ddd12zyxxyI所圍成. 由1,1,12222yzxzxy分析分析：若用“先二后一”, 則有zxxyyIyDdd1d201zxxyyyDdd1d210計算較繁! 宜采用“先一(y)后二(x, z)”較好.1zxy1o1機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-10-11高等數(shù)學D103三重積分:4528 1122yzx2211xzx11xxxId1211zxxd2211yyzxd11221, 1,12222yzxzxy由所圍, 故可 思考思考: 若被積函數(shù)為 f ( y ) 時, 如何計算簡便? 表為 解解:機動 目錄 上頁

14、下頁 返回 結(jié)束 1zxy1o1 2021-10-11高等數(shù)學D103三重積分推廣推廣: :換元積分公式換元積分公式三重積分也有類似二重積分的換元積分公式換元積分公式:),(),(wvuzyxJ雅可比行列式*ddd),(ddd),(wvuJwvuFzyxzyxf),(),(),(wvuzzwvuyywvuxx則wzvzuzwyvyuywxvxux2021-10-11高等數(shù)學D103三重積分oxyz2. 利用柱坐標計算三重積分利用柱坐標計算三重積分 ,R),(3zyxM設(shè),代替用極坐標將ryx),zr（則就稱為點M 的柱坐標.zr200sinry zz cosrx 直角坐標與柱面坐標的關(guān)系:常數(shù)

15、r特殊面舉例圓柱面常數(shù)半平面常數(shù)z平面oz),(zyxMr)0 ,(yx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-10-11高等數(shù)學D103三重積分在柱面坐標系中體積元素,zrzdrddrzrrvdddd因此zyxzyxfddd),(),(zrF其中),sin,cos(),(zrrfzrFzrrdddxyzorrdd機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ),(),(zrzyxJsinry zz cosrx 1000cossin0sincosrrr由于zrrvddd2021-10-11高等數(shù)學D103三重積分其中為由例例6. 計算三重積分zyxyxzddd22xyx2220),0(, 0yaa

16、zz所圍解解: 在柱面坐標系下:cos202drrdcos342032acos20 r20az 0及平面2axyzo20dazz0dzrrzddd2原式298a柱面cos2r成半圓柱體(第一卦限).機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zrrvdddd2021-10-11高等數(shù)學D103三重積分o oxyz例例7. 計算三重積分解解: 在柱面坐標系下h:hrz42dhrdrhrr2022)4(124)41ln()41(4hhhhz hr2020hrrr202d120d,1ddd22yxzyxzyx422)0( hhz所圍成 .與平面其中由拋物面42r原式 =機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 z

17、rrvdddd2021-10-11高等數(shù)學D103三重積分3. 利用球坐標計算三重積分利用球坐標計算三重積分 ,R),(3zyxM設(shè)),(zr其柱坐標為就稱為點M 的球坐標.直角坐標與球面坐標的關(guān)系,ZOMMoxyzzr),(則0200cossinxsinsinycosz,OM令機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 球面雙參數(shù)方程為cossinsinsincosRzRyRx020sinrcosz2021-10-11高等數(shù)學D103三重積分在球面坐標系中體積元素dddsind2v機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ),(),(zyxJsin2則cossinsinsincoszyx特殊面舉例：常數(shù)球

18、面常數(shù)半平面常數(shù)錐面),(M0sincossinsinsincossincoscoscossinsinsincos2021-10-11高等數(shù)學D103三重積分xyzoddddddsind2v因此有zyxzyxfddd),(),(F其中)cos,sinsin,cossin(),(fFdddsin2d機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ddsinddsindv2021-10-11高等數(shù)學D103三重積分例例8. 計算三重積分,ddd)(222zyxzyx22yxz為錐面2222Rzyx解解: 在球面坐標系下:zyxzyxddd)(222所圍立體.40R020其中 與球面dddsind2vR04d)

19、22(515R40dsin20dxyzo4Rr 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 cossinsinsincoszyx2021-10-11高等數(shù)學D103三重積分例例9.求曲面)0()(32222azazyx所圍立體體積.解解: 由曲面方程可知, 立體位于xoy面上部,cos0:3a利用對稱性, 所求立體體積為vVdd3cos02adcossin32203a331a3cosa,202020dsin20d4yoz面對稱, 并與xoy面相切, 故在球坐標系下所圍立體為且關(guān)于 xoz dddsind2v機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xzycossinsinsincoszyxyzxao2021

20、-10-11高等數(shù)學D103三重積分動手題動手題 計算解一解一：（柱坐標法）：（柱坐標法）用兩種方法計算。機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Drrrrddsincos原式,dddzyxxyz, 1:222zyx, 0, 0, 0zyx:10:2Drz10,20r210drzz20103ddcossinrr.4811rxy0DxyzoD21 rz210drzz2021-10-11高等數(shù)學D103三重積分動手題動手題 計算解二解二：（球坐標法）：（球坐標法）用兩種方法計算。機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,dddzyxxyz, 1:222zyx, 0, 0, 0zyx:.481xyzoD120dcossin. 10,20,20zyxxyzddd105dcossinsinsincoszyxdddsind2v203dcossin2021-10-11高等數(shù)學D103三重積分內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)zyxdddzrrddddddsin2積分區(qū)域多由坐標面被積函數(shù)形式簡潔, 或坐標系 體積元素 適用情況直角坐標系柱面坐標系球面坐標系變量可分離.圍成 ;機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 適用范圍適用范圍:1) 積分域積分域表面用對應的坐標系表示時方程簡單方程簡單 ;