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1、1復(fù)變函數(shù)與積分變換(復(fù)變函數(shù)與積分變換(B)復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)(四版四版) 清華大學(xué)清華大學(xué) 數(shù)學(xué)教研室 編2013-2014學(xué)年第一學(xué)期學(xué)年第一學(xué)期教材教材22013年9月3日第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)3對(duì)對(duì) 象象復(fù)變函數(shù)(自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù))復(fù)變函數(shù)(自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù))主要任務(wù)主要任務(wù)研究復(fù)變數(shù)之間的相互依賴關(guān)系,研究復(fù)變數(shù)之間的相互依賴關(guān)系,具體地就是復(fù)數(shù)域上的微積分具體地就是復(fù)數(shù)域上的微積分主要內(nèi)容主要內(nèi)容復(fù)變函數(shù)的積分、級(jí)數(shù)、留數(shù)、復(fù)變函數(shù)的積分、級(jí)數(shù)、留數(shù)、共形映射、傅立葉變換和拉普共形映射、傅立葉變換和拉普拉斯變換等拉斯變換等復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、4學(xué)

2、習(xí)方法復(fù)變函數(shù)中許多概念、理論、和復(fù)變函數(shù)中許多概念、理論、和方法是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的推方法是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的推廣和發(fā)展,它們之間有許多相似廣和發(fā)展,它們之間有許多相似之處之處. 但又有不同之處,在學(xué)習(xí)但又有不同之處,在學(xué)習(xí)中要善于比較、區(qū)別、特別要注中要善于比較、區(qū)別、特別要注意復(fù)數(shù)域上特有的性質(zhì)與結(jié)果意復(fù)數(shù)域上特有的性質(zhì)與結(jié)果5背景背景十六世紀(jì)十六世紀(jì), ,在解代數(shù)方程時(shí)引進(jìn)在解代數(shù)方程時(shí)引進(jìn)復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)為使負(fù)數(shù)開方有意義,需要擴(kuò)大數(shù)系,使實(shí)數(shù)域擴(kuò)為使負(fù)數(shù)開方有意義,需要擴(kuò)大數(shù)系,使實(shí)數(shù)域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)域大到復(fù)數(shù)域在十八世紀(jì)以前,對(duì)復(fù)數(shù)的概念及性質(zhì)了解得不清在十八世紀(jì)以前,對(duì)復(fù)數(shù)的概念及性質(zhì)

3、了解得不清楚,用它們進(jìn)行計(jì)算又得到一些矛盾楚,用它們進(jìn)行計(jì)算又得到一些矛盾. .在歷史上長(zhǎng)時(shí)在歷史上長(zhǎng)時(shí)期人們把復(fù)數(shù)看作不能接受的期人們把復(fù)數(shù)看作不能接受的“虛數(shù)虛數(shù)”直到十八世紀(jì),直到十八世紀(jì),J.DJ.DAlembert(1717-1783)Alembert(1717-1783)與與L.Euler(1707-1783)L.Euler(1707-1783)等人逐步闡明了復(fù)數(shù)的幾何意等人逐步闡明了復(fù)數(shù)的幾何意義和物理意義,澄清了復(fù)數(shù)的概念義和物理意義,澄清了復(fù)數(shù)的概念應(yīng)用復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)研究了流體力學(xué)等方面的一些應(yīng)用復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)研究了流體力學(xué)等方面的一些問題問題. .復(fù)數(shù)被廣泛承認(rèn)接受,復(fù)變函

4、數(shù)論順利建立和復(fù)數(shù)被廣泛承認(rèn)接受,復(fù)變函數(shù)論順利建立和發(fā)展發(fā)展. .6十九世紀(jì)奠定十九世紀(jì)奠定復(fù)變函數(shù)的理論基礎(chǔ)復(fù)變函數(shù)的理論基礎(chǔ)三位代表人物三位代表人物: A.L.Cauchy A.L.Cauchy (1789-1866)1789-1866)K.Weierstrass(1815-1897)K.Weierstrass(1815-1897)分別應(yīng)用積分和級(jí)數(shù)研分別應(yīng)用積分和級(jí)數(shù)研究復(fù)變函數(shù)究復(fù)變函數(shù)G.F.B.Riemann (1826-1866)G.F.B.Riemann (1826-1866)研究復(fù)變函數(shù)的映照研究復(fù)變函數(shù)的映照性質(zhì)性質(zhì)通過他們的努力,復(fù)變函數(shù)形成了非常系統(tǒng)的理論,通過他們的

5、努力,復(fù)變函數(shù)形成了非常系統(tǒng)的理論,且滲透到了數(shù)學(xué)的許多分支,同時(shí),它在熱力學(xué),且滲透到了數(shù)學(xué)的許多分支,同時(shí),它在熱力學(xué),流體力學(xué)和電學(xué)等方面也得到了很多的應(yīng)用流體力學(xué)和電學(xué)等方面也得到了很多的應(yīng)用. .78A 一般一般, , 任意兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小任意兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小. .1. 復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念 定義定義 對(duì)任意兩實(shí)數(shù)對(duì)任意兩實(shí)數(shù)x、y ,稱稱 z=x+iy或或z=x+yi為復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù).復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z 的實(shí)部的實(shí)部 Re(z) = x ; 虛部虛部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part)0|22 yxz 復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)的模0)Im()Re(0,

6、222111212121 zzziyxziyxzyyxxzz其其中中 判斷復(fù)數(shù)相等判斷復(fù)數(shù)相等9定義定義 z1=x1+iy1與與z2=x2+iy2的和、差、積和商為:的和、差、積和商為: z1z2=(x1x2)+i(y1y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)0(|222211222212121 zzyxyxizyyxxzzz2. 代數(shù)運(yùn)算代數(shù)運(yùn)算10z1+z2=z2+z1;z1z2=z2z1;(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3);z1(z2z3)=(z1z2)z3;z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .運(yùn)算規(guī)律運(yùn)算規(guī)律復(fù)數(shù)

7、的運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律、分配律復(fù)數(shù)的運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律、分配律.(與實(shí)數(shù)相同與實(shí)數(shù)相同)即,)即,112121)()1(zzzz 2121)(zzzz 2121)(zzzz zz )2(2|1zzz 2222)Im()Re()3(yxzzzz )Im(2 )Re(2)4(zizzzzz 3.共軛復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù)定義定義 若若z=x+iy , 稱稱 z=x-iy 為為z 的共軛復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù).(conjugate)12.,)( ,43,55:1212121虛虛部部及及它它們們的的實(shí)實(shí)部部求求設(shè)設(shè)例例zzzziziz 574355:21 iiizz解解411:2 ii求求例例iii 1113&

8、1. 點(diǎn)的表示點(diǎn)的表示& 2. 向量表示法向量表示法& 3. 三角表示法三角表示法& 4. 指數(shù)表示法指數(shù)表示法2 復(fù)數(shù)的表示方法復(fù)數(shù)的表示方法141. 點(diǎn)的表示點(diǎn)的表示),(yxiyxz一一對(duì)對(duì)有有序序?qū)崒?shí)數(shù)數(shù)易易見見, ),(),(),(yxPiyxzyxyxP平平面面上上的的點(diǎn)點(diǎn)一一對(duì)對(duì)有有序序?qū)崒?shí)數(shù)數(shù)任任意意點(diǎn)點(diǎn)系系,則則在在平平面面上上取取定定直直角角坐坐標(biāo)標(biāo) 此此時(shí)時(shí),表表示示的的點(diǎn)點(diǎn),可可用用平平面面上上坐坐標(biāo)標(biāo)為為復(fù)復(fù)數(shù)數(shù).)(Pyxiyxz 平平面面復(fù)復(fù)平平面面或或平平面面虛虛軸軸軸軸實(shí)實(shí)軸軸軸軸zyx)(yxPiyxz,復(fù)復(fù)平平面面上上的的點(diǎn)點(diǎn) 點(diǎn)的表示:點(diǎn)的表示:A 數(shù)數(shù)

9、z z與點(diǎn)與點(diǎn)z z同義同義. .15.,)(iyxzOPyxOPyxPiyxz 表表示示可可用用向向量量,點(diǎn)點(diǎn)2. 向量表示法向量表示法A 00 OPzzyxrOPzArg:,|22記記作作輻輻角角模模: oxy(z)P(x,y)rz xy 稱向量的長(zhǎng)度為復(fù)數(shù)稱向量的長(zhǎng)度為復(fù)數(shù)z=x+iy的的模?;蚧蚪^對(duì)值絕對(duì)值;以正實(shí)軸以正實(shí)軸 為始邊為始邊, 以以 為終邊的角的為終邊的角的弧度數(shù)弧度數(shù) 稱為復(fù)數(shù)稱為復(fù)數(shù)z=x+iy的的輻角輻角.(z0時(shí)時(shí))OP向向量量16輻角無窮多:輻角無窮多:Arg z=0+2k, kZ,xyzz/)Argtan(0 時(shí)時(shí), 0把其中滿足把其中滿足 的的0稱為輻角稱為

10、輻角Argz的主值,的主值,記作記作0=argz.A z=0z=0時(shí),輻角不確定時(shí),輻角不確定. . 0, 00, 0arctan0, 02, 0arctanargyxyxxyyxRyxxyz 計(jì)算計(jì)算argz(z0) 的公式的公式17A 當(dāng)當(dāng)z z落于一落于一, ,四象限時(shí),不變四象限時(shí),不變. . A 當(dāng)當(dāng)z z落于第二象限時(shí),加落于第二象限時(shí),加 . . A 當(dāng)當(dāng)z z落于第三象限時(shí),減落于第三象限時(shí),減 . . 2arctan2 xy 18192021oxy(z) z1z2 z1+z2z2- z112121212)(:zzzzzzzz 三三角角不不等等式式由由此此得得由向量表示法知由向

11、量表示法知之之間間的的距距離離與與點(diǎn)點(diǎn)2112zzzz 3. 三角表示法三角表示法)sin(cos irz 得得由由 sincosryrx4. 指數(shù)表示法指數(shù)表示法得得公公式式再再由由 sincos:ieEuleri irez 2223引進(jìn)復(fù)數(shù)的幾何表示,可將平面圖形用復(fù)數(shù)方程引進(jìn)復(fù)數(shù)的幾何表示,可將平面圖形用復(fù)數(shù)方程(或不等式)表示;反之,也可由給定的復(fù)數(shù)方(或不等式)表示;反之,也可由給定的復(fù)數(shù)方程(或不等式)來確定它所表示的平面圖形程(或不等式)來確定它所表示的平面圖形.例例1 用復(fù)數(shù)方程表示用復(fù)數(shù)方程表示:(1)過兩點(diǎn))過兩點(diǎn) zj=xj+iyj (j=1,2)的直線;的直線;(2)中

12、心在點(diǎn))中心在點(diǎn)(0, -1), 半徑為半徑為2的圓的圓.oxy(z)Lz1z2z解解 (1) z=z1+t (z2-z1) (-t 0為半徑的為半徑的圓圓 | z -z 0|(或或 0 | z z 0| 0, 對(duì)任意對(duì)任意 z D, 均有均有zG=z | |z|R,則,則D是有界是有界區(qū)域區(qū)域;否則無界;否則無界.閉區(qū)域閉區(qū)域 區(qū)域區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域,.D記為記為.,00為為半半徑徑的的圓圓內(nèi)內(nèi)所所有有的的點(diǎn)點(diǎn)以以為為圓圓點(diǎn)點(diǎn)表表示示以以rzrzz 45.xyIm,Re軸軸的的直直線線軸軸和和表表示示分分別別平平行行于于 zz.,.,1020201幾個(gè)點(diǎn)幾

13、個(gè)點(diǎn)只是邊界增加了一個(gè)或只是邊界增加了一個(gè)或它仍然是區(qū)域它仍然是區(qū)域幾個(gè)點(diǎn)幾個(gè)點(diǎn)如果在其中去掉一個(gè)或如果在其中去掉一個(gè)或組成組成它的邊界由兩個(gè)圓周它的邊界由兩個(gè)圓周而且是有界的而且是有界的表示一個(gè)圓環(huán)表示一個(gè)圓環(huán)rzzrzzrzzr .0Im,0Re表表示示下下半半復(fù)復(fù)平平面面表表示示右右半半復(fù)復(fù)平平面面 zz462. 簡(jiǎn)單曲線(或簡(jiǎn)單曲線(或Jardan曲線曲線),)()(),()()(baCtytxbtatyytxx 、實(shí)實(shí)變變函函數(shù)數(shù)表表示示為為:平平面面上上一一條條連連續(xù)續(xù)曲曲線線可可令令z(t)=x(t)+iy(t) atb ;則曲線方程可記為:則曲線方程可記為:z=z(t), at

14、b.0)( )( ,)( )( 22則則稱稱該該曲曲線線為為光光滑滑的的且且、若若 tytxbaCtytx有限條光滑曲線相連接構(gòu)成一條分段光滑曲線有限條光滑曲線相連接構(gòu)成一條分段光滑曲線.47重點(diǎn)重點(diǎn) 設(shè)連續(xù)曲線設(shè)連續(xù)曲線C:z=z(t),atb,對(duì)于對(duì)于t1(a,b), t2 a, b,當(dāng)當(dāng)t1t2時(shí),若時(shí),若z(t1)=z(t2),稱稱z(t1)為曲線為曲線C的重點(diǎn)的重點(diǎn). 定義定義 稱稱沒有重點(diǎn)沒有重點(diǎn)的連續(xù)曲線的連續(xù)曲線C為簡(jiǎn)單曲線或?yàn)楹?jiǎn)單曲線或 Jardan曲線曲線;若簡(jiǎn)單曲線若簡(jiǎn)單曲線C 滿足滿足z(a)=z(b)時(shí),則稱時(shí),則稱此曲線此曲線C是簡(jiǎn)單是簡(jiǎn)單閉閉曲線或曲線或Jorda

15、n閉閉曲線曲線 . z(a)=z(b)簡(jiǎn)單閉曲線簡(jiǎn)單閉曲線z(t1)=z(t2)不是簡(jiǎn)單閉曲線不是簡(jiǎn)單閉曲線483. 單連通域與多連通域單連通域與多連通域簡(jiǎn)單閉曲線的性質(zhì)簡(jiǎn)單閉曲線的性質(zhì) 任一條簡(jiǎn)單閉曲線任一條簡(jiǎn)單閉曲線 C:z=z(t), ta,b,把復(fù),把復(fù)平面唯一地分成三個(gè)互不相交的部分:一個(gè)是有平面唯一地分成三個(gè)互不相交的部分:一個(gè)是有界區(qū)域,稱為界區(qū)域,稱為C的內(nèi)部;一個(gè)是無界區(qū)域,稱為的內(nèi)部;一個(gè)是無界區(qū)域,稱為C的外部;還有一個(gè)是它們的公共邊界的外部;還有一個(gè)是它們的公共邊界.z(a)=z(b)Cz(a)=z(b)內(nèi)部?jī)?nèi)部外部外部邊界邊界定義定義 復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域復(fù)平面上的一個(gè)

16、區(qū)域 B ,如果如果B內(nèi)的任何簡(jiǎn)單閉曲線的內(nèi)的任何簡(jiǎn)單閉曲線的內(nèi)部總在內(nèi)部總在B內(nèi)內(nèi),就稱,就稱 B為單連通為單連通域;非單連通域稱為多連通域域;非單連通域稱為多連通域.49例如例如 |z|0)是單連通的;)是單連通的; 0r|z|R是多連通的是多連通的.單連通域單連通域多連通域多連通域多連通域多連通域單連通域單連通域50作業(yè)P31 1()(),()()(),()(),()()()()()()51525354& 1. 復(fù)變函數(shù)的定義復(fù)變函數(shù)的定義& 2. 映射的概念映射的概念& 3. 反函數(shù)或逆映射反函數(shù)或逆映射5 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)1. 復(fù)變函數(shù)的定義復(fù)變函數(shù)的定義與實(shí)變函數(shù)定義相類似與實(shí)變函

17、數(shù)定義相類似定義定義).(, zfwzwivuwGzfiyxzG 記記作作)的的函函數(shù)數(shù)(簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱稱復(fù)復(fù)變變函函數(shù)數(shù)是是復(fù)復(fù)變變數(shù)數(shù)則則稱稱復(fù)復(fù)變變數(shù)數(shù)與與之之對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)就就有有一一個(gè)個(gè)或或幾幾個(gè)個(gè)使使得得存存在在法法則則的的非非空空集集合合是是一一個(gè)個(gè)復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)A 是是多多值值函函數(shù)數(shù). .值值,稱稱多多個(gè)個(gè)是是單單值值函函數(shù)數(shù); ;值值,稱稱一一個(gè)個(gè)若若)( )(zfwzzfwz。論論的的函函數(shù)數(shù)均均為為單單值值函函數(shù)數(shù)今今后后無無特特別別聲聲明明,所所討討( )Gf z的定義集合,常常是平面區(qū)域(定義域)函函數(shù)數(shù)值值集集合合, )(*GzzfwwG ),(),( )()(),();,(yx

18、ivyxuiyxfzfwvuivuwyxiyxz ),(),(yxvvyxuu 故故),(),()(yxvvyxuuivuzfw xyiyxiyxivuwivuwiyxzzw2)()(2222 則則令令例例1xyvyxuzw2222 例例2 22221111)(yxiyyxxzf若若已已知知.)(的函數(shù)的函數(shù)表示成表示成將將zzfzzzf1)( )(21),(21,zziyzzxiyxz 則則設(shè)設(shè)oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在幾何上,在幾何上, w=f(z)可以看作:可以看作:).() (*)(變換變換平面)的映射平面)的映射平面平面wGwzGzzfw 的的原原象象。稱稱為為,

19、而而映映象象的的象象點(diǎn)點(diǎn)為為稱稱wzzw)( 定義域定義域函數(shù)值集合函數(shù)值集合 2. 映射的概念映射的概念復(fù)變函數(shù)的幾何意義復(fù)變函數(shù)的幾何意義zw=f(z)wA 以下不再區(qū)分函數(shù)與映射(變換)以下不再區(qū)分函數(shù)與映射(變換). .A 在復(fù)變函數(shù)中用兩個(gè)復(fù)平面上點(diǎn)集之間的在復(fù)變函數(shù)中用兩個(gè)復(fù)平面上點(diǎn)集之間的 對(duì)應(yīng)關(guān)系來表達(dá)兩對(duì)變量對(duì)應(yīng)關(guān)系來表達(dá)兩對(duì)變量 u,v 與與 x,y 之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,以便在研究和理解復(fù)變之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,以便在研究和理解復(fù)變 函數(shù)問題時(shí),可借助于幾何直觀函數(shù)問題時(shí),可借助于幾何直觀. .復(fù)變函數(shù)的幾何意義是一個(gè)映射(變換)復(fù)變函數(shù)的幾何意義是一個(gè)映射(變換).所所構(gòu)構(gòu)成成的的

20、映映射射研研究究zw 例例3 iirezreirz )sin(cos設(shè)設(shè)解解關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的一個(gè)映射關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的一個(gè)映射見圖見圖1-11-2旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換(映射映射)即即,)sinsin()sincos( )(sin(cos yxiyxiyxiivuw 見圖見圖2.( 實(shí)常數(shù))所構(gòu)成的映射實(shí)常數(shù))所構(gòu)成的映射研究研究 zewi 例例4)( iiiiirereezewrez設(shè)設(shè)解解 sinsinsincosyxvyxuoxy(z)x、uy、v(z)、(w)ox、uy、v(z)、(w)o 圖圖1-1圖圖1-2圖圖2uv(w)o.2所所構(gòu)構(gòu)成成的的映映射射研研究究zw 例例5oxy(z)ouv(w

21、) 2 oxy(z)ouv(w)R=2R=46 3 422 yx2zw 2zw 2zw 2zw 3. 反函數(shù)或逆映射反函數(shù)或逆映射例例 設(shè)設(shè) z=w2 則稱則稱 為為z=w2的反函數(shù)或逆映射的反函數(shù)或逆映射zw 定義定義 設(shè)設(shè) w =f (z) 的定義集合為的定義集合為G,函數(shù)值集合為函數(shù)值集合為G*Gz *)(Gwzfw *Gw )()(wzGz 或或幾幾個(gè)個(gè)一一個(gè)個(gè)則稱則稱z=(w)為為w=f(z)的反函數(shù)(的反函數(shù)(逆映射逆映射).GzzfzGwwfw )()(* 當(dāng)當(dāng)反反函函數(shù)數(shù)單單值值時(shí)時(shí)顯顯然然有有)(zfz 一一般般是是一一一一對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的。與與集集合合是是一一一一的的。也也稱稱

22、集集合合映映射射都都是是單單值值的的,則則稱稱函函數(shù)數(shù)逆逆映映射射和和其其反反函函數(shù)數(shù)映映射射當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù) GGzfwwzzfw)()()()()()( 例例 已知映射已知映射w= z3 ,求區(qū)域,求區(qū)域 0argz 在平面在平面w上的象上的象.3 例例?1:,122平平面面上上怎怎樣樣的的曲曲線線映映射射成成被被平平面面上上的的曲曲線線判判斷斷已已知知映映射射wyxzzw 2008.10.8(第三次課)& 1. 函數(shù)的極限函數(shù)的極限& 2. 運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì)& 3.函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性6 復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性1. 函數(shù)的極限函數(shù)的極限AzfzzAzfzzzfAAz

23、fzzAzUzzfwzz )()(lim)(,)(,0, 0),(),( 000)000時(shí)時(shí),或或當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)的的極極限限,記記作作當(dāng)當(dāng)為為則則稱稱有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng))(,若若存存在在數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)(定義定義uv(w)oA xy(z)o 0z)(zfw 幾何意義幾何意義: 當(dāng)變點(diǎn)當(dāng)變點(diǎn)z一旦進(jìn)一旦進(jìn)入入z0 的充分小去的充分小去心鄰域時(shí)心鄰域時(shí),它的象它的象點(diǎn)點(diǎn)f(z)就落入就落入A的的一個(gè)預(yù)先給定的一個(gè)預(yù)先給定的鄰域中鄰域中A (1)(1) 意義中意義中 的方式是任意的的方式是任意的. . 與一元實(shí)變函數(shù)相比較要求更高與一元實(shí)變函數(shù)相比較要求更高. .0zz (2) A是復(fù)數(shù)是復(fù)數(shù). . 2. 運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算

24、性質(zhì)復(fù)變函數(shù)極限與其實(shí)部和虛部極限的關(guān)系:復(fù)變函數(shù)極限與其實(shí)部和虛部極限的關(guān)系:000 ),(),()(iyxziyxzyxivyxuzf 設(shè)設(shè)定理定理1(3) 若若f(z)在在 處有極限處有極限,其極限其極限是唯一的是唯一的. .0z0),(),(0),(),(00),(lim),(lim)(lim00000vyxvuyxuivuAzfyxyxyxyxzz 則則 BAzgzgzfzgzfABzgzfzgzfBAzgzfzgzfBzgAzfzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz )0)(lim()(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)()(lim)(lim)(lim)

25、()(lim,)(lim)(lim000000000000則則若若定理定理2A 以上定理用極限定義證以上定理用極限定義證! !例例1.)(22在在平平面面上上處處處處有有極極限限證證明明yxiyxw 例例2.0)(時(shí)時(shí)的的極極限限在在求求 zzzzzzf例例3.0Re)(時(shí)時(shí)的的極極限限不不存存在在在在證證明明 zzzzf在在平平面面上上處處處處有有極極限限22,yxyx .)0 , 0()(2)(2222處處極極限限不不存存在在在在yxyxzf 3.函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性定義定義.)()()(lim,;)(;)()()(lim0000000處處連連續(xù)續(xù)上上點(diǎn)點(diǎn)在在曲曲線線,則則稱稱且且、若

26、若內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在內(nèi)內(nèi)處處處處連連續(xù)續(xù),則則稱稱若若在在區(qū)區(qū)域域處處連連續(xù)續(xù)在在,則則稱稱若若zCzfzfzfCzzDzfDzzfzfzfzzzz .),(),(lim),(),(lim),(),()(00),(),(00),(),(0000000yxvyxvyxuyxuiyxzyxivyxuzfyxyxyxyx 處處連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)定理定理3例例4 證明證明f (z)=argz在原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸上不連續(xù)在原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸上不連續(xù).上上不不連連續(xù)續(xù)。在在負(fù)負(fù)實(shí)實(shí)軸軸在在負(fù)負(fù)實(shí)實(shí)軸軸上上 argarglim arglim)0)(0 ,( )2(00zzzxxPyy 故故不不連連續(xù)續(xù)。在在原原點(diǎn)點(diǎn)沒沒有有

27、定定義義, arg)()1(zzf 證明證明xy(z)ozz)0 ,(xP 定理定理4 連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商 (分母不為分母不為0) 仍為連續(xù)函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù); 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù).0)()()()(10點(diǎn)點(diǎn)外外處處處處連連續(xù)續(xù)在在復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)除除分分母母為為的的;在在整整個(gè)個(gè)復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)是是連連續(xù)續(xù)由由以以上上討討論論zQzPzRzazaazPnn MzfMCzfC )(, 0)(在在曲曲線線上上恒恒有有上上連連續(xù)續(xù)在在若若內(nèi)內(nèi)的的曲曲線線段段為為閉閉曲曲線線或或端端點(diǎn)點(diǎn)包包括括在在設(shè)設(shè)曲曲線線有界性:有界性:&

28、1. 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義& 2. 解析函數(shù)的概念解析函數(shù)的概念2.1 解析函數(shù)的概念解析函數(shù)的概念 一一. 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)導(dǎo)數(shù)定義導(dǎo)數(shù)定義定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)w=f (z) zD, 且且z0、 z0 +zD,如果極限如果極限 存在,則稱函數(shù)存在,則稱函數(shù)f (z)在點(diǎn)在點(diǎn)z0處可導(dǎo)處可導(dǎo).稱此極限值為稱此極限值為f (z)在在z0的導(dǎo)數(shù),的導(dǎo)數(shù),記作記作zzfzzfz )()(lim000zzfzzfdzdwzfzzz )()(lim)( 00000 如果如果w=f(z)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)處處可導(dǎo),則稱內(nèi)處處可導(dǎo),則稱f (z)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo).

29、A (1) (1) z z00是在平面區(qū)域上以任意方式趨于零是在平面區(qū)域上以任意方式趨于零. .A (2) (2) z=z=x+iy,x+iy,z=z=x+iy, f=f(z+z)-f(z) x+iy, f=f(z+z)-f(z) .Re)(:可可導(dǎo)導(dǎo)在在平平面面上上的的任任何何點(diǎn)點(diǎn)都都不不證證明明zzf 例例1zzzzzf )Re()Re(:證證明明yixxxx yixx ;0,0; 1,0zfzzfz時(shí)時(shí)取取純純虛虛數(shù)數(shù)趨趨于于當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)取取實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)趨趨于于當(dāng)當(dāng).lim0不不存存在在zfz (2)求導(dǎo)公式與法則求導(dǎo)公式與法則 常數(shù)的導(dǎo)數(shù)常數(shù)的導(dǎo)數(shù) c =(a+ib) =0. (zn) =nz

30、n-1 (n是自然數(shù)是自然數(shù)).證明證明 對(duì)于復(fù)平面上任意一點(diǎn)對(duì)于復(fù)平面上任意一點(diǎn)z0,有,有10010021000)(limlimlim000 nnnnzznnzzzznzzzzzzzzzzzzzz -實(shí)函數(shù)中求導(dǎo)法則的推廣實(shí)函數(shù)中求導(dǎo)法則的推廣 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (z), ,g (z) 均可導(dǎo),則均可導(dǎo),則 f (z)g (z) =f (z)g (z), f (z)g(z) = f (z)g(z) + f (z)g (z)0)( ,)()( )()()( )()(2 zgzgzgzfzgzfzgzf.0)()()()(10處處可可導(dǎo)導(dǎo)點(diǎn)點(diǎn)外外)處處在在復(fù)復(fù)平平面面上上(除除分分母母為為導(dǎo)導(dǎo);

31、在在整整個(gè)個(gè)復(fù)復(fù)平平面面上上處處處處可可由由以以上上討討論論zQzPzRzazaazPnn 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ( f g(z) =f (w)g (z), 其中其中w=g(z). 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ,其中,其中: w=f (z)與與z= (w)互為單值的反函數(shù),且互為單值的反函數(shù),且(w) 0.)( 1)( wzf 例例3 問:函數(shù)問:函數(shù)f (z)=x+2yi是否可導(dǎo)?是否可導(dǎo)?!0, 020, 012lim0不不存存在在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) yxxyyixyixz)( 11)5()(22zfzzzzf,求求已已知知 例例2解解22)1(1)52)(5(2)( zzzzzfyi

32、xyixiyyxxzzfzzfzz )2()(2lim)()(lim00解解.2)(處處不可導(dǎo)處處不可導(dǎo)故函數(shù)故函數(shù)yixzf 例例4 證明證明 f (z)=zRez只在只在z=0處才可導(dǎo)處才可導(dǎo). 時(shí)時(shí)不不存存在在時(shí)時(shí)0!)(Re(lim00Relim00zyixxzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz Re)Re(limRe)Re()(lim00證明證明A (1) (1) 復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo),要比實(shí)函數(shù)復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo),要比實(shí)函數(shù) 在一點(diǎn)處可導(dǎo)要求高得多,也復(fù)雜得在一點(diǎn)處可導(dǎo)要求高得多,也復(fù)雜得 多,這是因?yàn)槎啵@是因?yàn)閦 z00是在平面區(qū)域上是在平面區(qū)域上 以任意方式趨于

33、零的原故以任意方式趨于零的原故. . (2) (2) 在高等數(shù)學(xué)中要舉出一個(gè)處處連續(xù),在高等數(shù)學(xué)中要舉出一個(gè)處處連續(xù), 但處處不可導(dǎo)的例題是很困難的但處處不可導(dǎo)的例題是很困難的, , 但在復(fù)變函數(shù)中,卻輕而易舉但在復(fù)變函數(shù)中,卻輕而易舉.(3)可導(dǎo)與連續(xù)可導(dǎo)與連續(xù)若若 w=f (z) 在點(diǎn)在點(diǎn) z0 處可導(dǎo)處可導(dǎo) w=f (z) 點(diǎn)點(diǎn) z0 處連續(xù)處連續(xù).? 連續(xù)連續(xù)在在所以所以由此可得由此可得則則令令有有時(shí)時(shí)使得當(dāng)使得當(dāng)則則可導(dǎo)可導(dǎo)在在若若證明證明000000000000000)(),()(lim,)()()(, 0lim),()()(,)()()(,0, 0, 0,)(:zzfzfzzfz

34、zzzfzfzzfzzfzzfzzfzzfzzfzzfzzzfzz 2.4 解析函數(shù)解析函數(shù)1. 解析函數(shù)的概念解析函數(shù)的概念定義定義 如果函數(shù)如果函數(shù)w=f (z)在在z0及及z0的某個(gè)鄰域內(nèi)處處的某個(gè)鄰域內(nèi)處處 可導(dǎo),則稱可導(dǎo),則稱f (z)在在z0解析;解析; 如果如果f (z)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)都解析,則稱內(nèi)每一點(diǎn)都解析,則稱 f (z)在在D內(nèi)解析,或稱內(nèi)解析,或稱f (z)是是D內(nèi)的解析函數(shù)內(nèi)的解析函數(shù) (全純函數(shù)或正則函數(shù))全純函數(shù)或正則函數(shù)).如果如果f (z)在點(diǎn)在點(diǎn)z0不解析,就稱不解析,就稱z0是是f (z)的的奇點(diǎn)奇點(diǎn).A (1) w=f (z) 在在 D 內(nèi)解析內(nèi)

35、解析 在在D內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo). (2) 函數(shù)函數(shù)f (z)在在 z0 點(diǎn)可導(dǎo),未必在點(diǎn)可導(dǎo),未必在z0解析解析.例如例如(1) w=z2 在整個(gè)復(fù)平面處處可導(dǎo),故是整個(gè)復(fù)平面在整個(gè)復(fù)平面處處可導(dǎo),故是整個(gè)復(fù)平面 上的解析函數(shù);上的解析函數(shù);(2) w=1/z,除去,除去z=0點(diǎn)外,是整個(gè)復(fù)平面上的解析點(diǎn)外,是整個(gè)復(fù)平面上的解析 函數(shù);函數(shù);(3) w=zRez 在整個(gè)復(fù)平面上處處不解析在整個(gè)復(fù)平面上處處不解析(見例見例4).定理定理1 設(shè)設(shè)w=f (z)及及w=g(z)是區(qū)域是區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù),內(nèi)的解析函數(shù),則則 f (z)g(z),f (z)g(z) 及及 f (z) g(z) (g (z)0

36、時(shí)時(shí))均是均是D內(nèi)的解析函數(shù)內(nèi)的解析函數(shù).)0()()()()(10的的解解析析函函數(shù)數(shù)點(diǎn)點(diǎn)外外除除分分母母為為是是復(fù)復(fù)平平面面上上函函數(shù)數(shù);是是整整個(gè)個(gè)復(fù)復(fù)平平面面上上的的解解析析由由以以上上討討論論zQzPzRzazaazPnn 定理定理 2 設(shè)設(shè) w=f (h) 在在 h 平面上的區(qū)域平面上的區(qū)域 G 內(nèi)解析內(nèi)解析, h=g(z) 在在 z 平面上的區(qū)域平面上的區(qū)域 D 內(nèi)解析內(nèi)解析, h=g(z)的函數(shù)值的函數(shù)值集合集合 G,則復(fù)合函數(shù),則復(fù)合函數(shù)w=f g(z)在在D內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析. 調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù) 在在6 6我們證明了在我們證明了在D內(nèi)的解析函數(shù)內(nèi)的解析函數(shù),其導(dǎo)數(shù)其導(dǎo)數(shù)仍

37、為解析函數(shù)仍為解析函數(shù),所以解析函數(shù)有任意階導(dǎo)數(shù)所以解析函數(shù)有任意階導(dǎo)數(shù).本節(jié)本節(jié)利用這一重要結(jié)論研究解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)之間利用這一重要結(jié)論研究解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)之間的關(guān)系的關(guān)系.內(nèi)內(nèi) 容容 簡(jiǎn)簡(jiǎn) 介介7 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系.),()00:),(2222內(nèi)內(nèi)的的調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)為為則則稱稱即即(方方程程續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)且且滿滿足足內(nèi)內(nèi)具具有有二二階階連連在在若若二二元元實(shí)實(shí)變變函函數(shù)數(shù)DyxyxLaplaceDyx 定義定義內(nèi)內(nèi)的的調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)。是是,內(nèi)內(nèi)解解析析在在區(qū)區(qū)域域若若DyxvvyxuuDyxivyxuzf),(),(),(),()( 定理定理證明:

38、證明:設(shè)設(shè)f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)解析,則內(nèi)解析,則xvyuyvxuRC 方方程程由由yxvyuxyvxu 222222從從而而有有xyvyxvyxvyxu 22.),(),(具具有有任任意意階階的的連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)理理由由解解析析函函數(shù)數(shù)高高階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)定定, 0 D2222 yuxu內(nèi)有內(nèi)有故在故在0 2222 yvxv同同理理有有0, 0 vu2222yx 其其中中即即u及及v 在在D內(nèi)滿足拉普拉斯內(nèi)滿足拉普拉斯(Laplace)方程方程:內(nèi)內(nèi)的的調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)。是是,Dyxvvyxuu),(),( .),(),(D,),(的的共共軛軛調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)

39、為為函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)構(gòu)構(gòu)成成解解析析函函數(shù)數(shù)的的調(diào)調(diào)和和在在稱稱使使得得內(nèi)內(nèi)的的調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)yxuyxvivuDyxu 定義定義上面定理說明:上面定理說明:.部部的的共共軛軛調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)解解析析函函數(shù)數(shù)的的虛虛部部是是實(shí)實(shí)D.),(),(),(),()(,的的共共軛軛調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)必必為為內(nèi)內(nèi)在在內(nèi)內(nèi)解解析析在在即即yxuuyxvDDyxivyxuzf 由解析的概念得:由解析的概念得:.,:的的共共軛軛調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)必必為為調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)的的兩兩個(gè)個(gè)方方程程內(nèi)內(nèi)滿滿足足在在uvvuvuvuRCDxyyx ., 一一定定解解析析內(nèi)內(nèi)就就不不在在則則內(nèi)內(nèi)的的兩兩個(gè)個(gè)調(diào)調(diào)和和函

40、函數(shù)數(shù)區(qū)區(qū)域域是是任任意意選選取取的的在在若若DivuDvu 現(xiàn)在研究反過來的問題:現(xiàn)在研究反過來的問題:.的的共共軛軛調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)不不是是yxuyxv 如如)11)()()(xyyxvuvuzyxiyxivuzf 處處處處不不解解析析平平面面上上在在(由由此此,的的共共軛軛調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)必必須須是是方方程程,即即還還必必須須滿滿足足及及內(nèi)內(nèi)解解析析在在要要想想使使.,uvRCvuDivu .),(),(ivuyxvRCyxu 從從而而構(gòu)構(gòu)成成解解析析函函數(shù)數(shù)程程可可求求得得它它的的虛虛部部方方利利用用部部已已知知一一個(gè)個(gè)解解析析函函數(shù)數(shù)的的實(shí)實(shí)),(yxv虛部虛部),(yxu實(shí)實(shí)部部0

41、,),(,2222 yuxuDyxuD則則函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)的的調(diào)調(diào)和和是是區(qū)區(qū)域域一一單單連連通通區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè)內(nèi)內(nèi)有有連連續(xù)續(xù)一一階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在、即即Dxuyu ,dyxudxyudyyvdxxvxuxyuy )()(且且),(yxdvv )(),(),(),(00 cdyxudxyuyxvyxyx.內(nèi)內(nèi)解解析析在在方方程程滿滿足足DivuRCxuyvyuxv .)(),()(,),( 內(nèi)內(nèi)解解析析在在使使得得式式所所確確定定的的則則內(nèi)內(nèi)調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)在在單單連連通通設(shè)設(shè)DivuzfyxvDyxu 定理定理A 公式不用強(qiáng)記!可如下推出:公式不用強(qiáng)記!可如下推出:dyxvdxyvdyyvdx

42、xvduRC 方方程程由由然然后后兩兩端端積積分分。由由求求其其共共軛軛調(diào)調(diào)和和函函數(shù)數(shù)已已知知:方方程程dyudxudyyvdxxvdvyxvyxuxyRC :),(),(類似地,類似地, 然后兩端積分得,然后兩端積分得,)(),(),(),(00 cdyvdxvyxuyxyxxyA 調(diào)和函數(shù)在流體力學(xué)和電磁場(chǎng)理論等實(shí)際調(diào)和函數(shù)在流體力學(xué)和電磁場(chǎng)理論等實(shí)際問題中都有重要應(yīng)用問題中都有重要應(yīng)用.本節(jié)介紹了調(diào)和函數(shù)與解本節(jié)介紹了調(diào)和函數(shù)與解析函數(shù)的關(guān)系析函數(shù)的關(guān)系.iifyxyxuivuzf 1)()(22由由下下列列條條件件求求解解析析函函數(shù)數(shù)例例1dyyxdxxydyyvdxxvdvxyyu

43、xvyxxuyv)2()2(22 解解cyxyxcdyyxxdxcdyyxdxxyyxvyxoyx 222)2()2()2(),(220),()0,0(曲線積分法曲線積分法icziiciyxiiyxcyxyxixyyxzf 2222222)211()(2)()21221()()(故故2)21()(211)21(1)(22izizfciiciiiif 代代入入上上式式得得,A )(21),(21zziyzzx )22(22222yxddxyydyxdxxdyydx dyyxdxxydyyvdxxvdv)2()2( 又解又解cyxyxyxv 222),(22)21221()()(2222cyxyx

44、ixyyxzf 湊湊全全微微分分法法)(2222xyxyvyxyv )21221()()(2222cyxyxixyyxzf 又解又解偏偏積積分分法法xyxyxvxv 2)( 2 cxx 2)(2 cxyxyyxv 222),(22xx )( )2()2()( yxiyxiuuivuzfyxxx )21221()()(2222cyxyxixyyxzf 又解又解不不定定積積分分法法)(2()()(2iyxiiyxiiyx zi 2iczizf 222)(第八次課11月12日& 1. 解析函數(shù)的充要條件解析函數(shù)的充要條件& 2. 舉例舉例2 函數(shù)解析的充要條件函數(shù)解析的充要條件 如果復(fù)變函數(shù)如果復(fù)變

45、函數(shù) w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定義在定義域域 D內(nèi)處處可導(dǎo),則函數(shù)內(nèi)處處可導(dǎo),則函數(shù) w = f (z) 在在 D內(nèi)解析內(nèi)解析. 本節(jié)從函數(shù)本節(jié)從函數(shù) u (x , y) 及及 v (x , y) 的可導(dǎo)性,探求的可導(dǎo)性,探求函數(shù)函數(shù)w=f (z) 的可導(dǎo)性,從而給出判別函數(shù)解析的的可導(dǎo)性,從而給出判別函數(shù)解析的一個(gè)充分必要條件,并給出解析函數(shù)的求導(dǎo)方法一個(gè)充分必要條件,并給出解析函數(shù)的求導(dǎo)方法.問題問題 如何判斷函數(shù)的解析性呢?如何判斷函數(shù)的解析性呢?一一. 解析函數(shù)的充要條件解析函數(shù)的充要條件yixyxivyxuyyxxivyyxxu ),(),(),

46、(),(則則可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù),),(),()(iyxzyxivyxuzfw zzfzzf)()(xyxvyxxvixyxuyxxuxyxivyxuyxxivyxxuzzfzzfzfxxxz ),(),(lim),(),(lim ),(),(),(),(lim )()(lim)(0000)0( yzzz若若沿沿平平行行于于實(shí)實(shí)軸軸的的方方式式xvixu yiyxvyyxviyiyxuyyxuyiyxivyxuyyxivyyxuzzfzzfzfyyyz ),(),(lim),(),(lim),(),(),(),(lim)()(lim)(0000)0( xzzz若若沿沿平平行行于于虛虛軸

47、軸的的方方式式y(tǒng)uiyvyvyui 1 yuxvyvxuyuiyvxvixuzf )( 存存在在A 記憶記憶yvxvyuxu 定義定義 方程方程稱為稱為Cauchy-Riemann方程方程(簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱C-R方程方程).yuxvyvxu 2008.10.15第四次課定理定理1 設(shè)設(shè) f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在在 D 內(nèi)有定義,內(nèi)有定義, 則則 f (z)在點(diǎn)在點(diǎn) z=x+iy D處可導(dǎo)的充要條件是處可導(dǎo)的充要條件是 u(x, y) 和和 v(x, y) 在點(diǎn)在點(diǎn) (x, y ) 可微,且滿足可微,且滿足 Cauchy-Riemann方程方程yuxvyvxu 上述條件滿

48、足時(shí)上述條件滿足時(shí),有有xyyyyxxxivviuviuuivuzf )( 證明證明(由由f (z)的可導(dǎo)的可導(dǎo) C-R方程滿足上面已證!只須證方程滿足上面已證!只須證 f (z)的可導(dǎo)的可導(dǎo) 函數(shù)函數(shù) u(x, y)、v(x, y)可微可微). 函數(shù)函數(shù) w =f (z)點(diǎn)點(diǎn) z可導(dǎo),即可導(dǎo),即)( )()()(zfzzfzzfz 設(shè)設(shè)則則 f (z+ z)-f(z)=f (z)z+ (z)z (1), 且且zzfzzfzfz )()(lim)( 00)(lim0 zz u+iv = (a+ib)(x+iy)+( 1+i 2)(x+iy)=(ax-by+ 1x 2y)+i(bx+ay+ 2x

49、+ 1y)令:令:f (z+z) f (z)=u+iv,f (z)= a+ib, (z)= 1+i 2 故(故(1)式可寫為)式可寫為因此因此 u=ax by+ 1x 2y , v=bx+ay+ 2x 1y0)(lim0 zz 0limlim200100 yxyx0lim2100 zyxyx 0lim1200 zyxyx 所以所以u(píng)(x, y),v(x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x, y)處可微處可微. (由函數(shù)(由函數(shù)u(x,y) ,v (x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x,y)處可微及滿足處可微及滿足 C-R方程方程 f (z)在點(diǎn)在點(diǎn)z=x+iy處可導(dǎo))處可導(dǎo))u(x,y),v(x,y)在在(x,y)點(diǎn)可微,即

50、:點(diǎn)可微,即:yxyyuxxuu 21 yxyyvxxvv 43 )4 ,3,21( ,0lim00,其其中中 kkyx yixiyyviyuxxvixuviuzfzzf )()()()()()(4231 yixizxvixuRC )()()(4231 方方程程由由0)(1|,1|31 izxzyzxxvixuzzfzzfzfz )()(lim)(0定理定理2 函數(shù)函數(shù)f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在在D內(nèi)解析充要內(nèi)解析充要 條件是條件是 u(x, y) 和和 v(x, y)在在D內(nèi)內(nèi)可微,且可微,且 滿足滿足Cauchy-Riemann方程方程yuxvyvxu A 由此可以看出

51、可導(dǎo)函數(shù)的實(shí)部與虛部有密切的由此可以看出可導(dǎo)函數(shù)的實(shí)部與虛部有密切的聯(lián)系聯(lián)系. .當(dāng)一個(gè)函數(shù)可導(dǎo)時(shí)當(dāng)一個(gè)函數(shù)可導(dǎo)時(shí), ,僅由其實(shí)部或虛部就可以僅由其實(shí)部或虛部就可以求出導(dǎo)數(shù)來求出導(dǎo)數(shù)來. .A 利用該定理可以判斷那些函數(shù)是不可導(dǎo)的利用該定理可以判斷那些函數(shù)是不可導(dǎo)的. .使用時(shí)使用時(shí): i) 判別判別 u(x, y),v (x, y) 偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性,偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性, ii) 驗(yàn)證驗(yàn)證C-R條件條件.iii) 求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù):yvyuixvixuzf 1)( A 前面我們常把復(fù)變函數(shù)看成是兩個(gè)實(shí)函數(shù)拼成前面我們常把復(fù)變函數(shù)看成是兩個(gè)實(shí)函數(shù)拼成的的, , 但是求復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)要注意但是求復(fù)變函數(shù)

52、的導(dǎo)數(shù)時(shí)要注意, , 并不是兩個(gè)并不是兩個(gè)實(shí)函數(shù)分別關(guān)于實(shí)函數(shù)分別關(guān)于x, ,y求導(dǎo)簡(jiǎn)單拼湊成的求導(dǎo)簡(jiǎn)單拼湊成的. .二二. 舉例舉例2)3( )sin(cos)()2(;)1(zwyiyezfzwx ;例例1 判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo),在何處解析:判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo),在何處解析:解解 (1) 設(shè)設(shè)z=x+iy w=x-iy u=x, v= -y 則則析析。在在全全平平面面不不可可導(dǎo)導(dǎo),不不解解故故zwyvxuyvxvyuxu 1001解解(2) f (z)=ex(cosy +isiny) 則則 u=excosy, v= exsiny在在全全平平面面可可導(dǎo)導(dǎo),解解析析。故故)sin(cos)

53、( cossinsincosyiyezfyuxvyvxuyeyvyexvyeyuyexuxxxxx )(sincos)( zfyieyexvixuzfxx 僅在點(diǎn)僅在點(diǎn)z = 0處滿足處滿足C-R條件,故條件,故。處處可可導(dǎo)導(dǎo),但但處處處處不不解解析析僅僅在在02 zzw解解 (3) 設(shè)設(shè)z=x+iy w=x2+y2 u= x2+y2 , v=0 則則 0022 yvxvyyuxxu例例2 求證函數(shù)求證函數(shù).0),(),( 2222dzdwiyxzyxyiyxxyxivyxuw處處解解析析,并并求求在在 證明證明 由于在由于在z0處,處,u(x,y)及及v(x,y)都是可微函數(shù),都是可微函數(shù),

54、且滿足且滿足C-R條件:條件:,)(22222yxxyyvxu 222)(2yxxyxvyu 故函數(shù)故函數(shù)w=f (z)在在z0處解析,其導(dǎo)數(shù)為處解析,其導(dǎo)數(shù)為22222222222221)()()(2)(zyxiyxyxxyiyxxyxvixuzw DzCzfDzzf ,)(,0)( 若若例例3 復(fù)復(fù)常常數(shù)數(shù))()(001)( 2121CiCCzfCvCuvuvuvuiivuzfyyxxyyxx 證明證明例例4 如果如果f (z)=u(x, y)+i v(x, y)是一解析函數(shù),是一解析函數(shù), 且且f (z)0,那么曲線族,那么曲線族u(x, y)=C1, v(x, y)=C2必互相正交,這

55、里必互相正交,這里C1 、 C2常數(shù)常數(shù).那么在曲線的交點(diǎn)處,那么在曲線的交點(diǎn)處,i)uy、 vy 均不為零時(shí),均不為零時(shí),由隱函數(shù)求導(dǎo)法則知曲線族由隱函數(shù)求導(dǎo)法則知曲線族 u(x, y)=C1,v(x, y)=C2中任一條曲線的斜率分別為中任一條曲線的斜率分別為 yxuuk/1 yxvvk/2 01)( yvyuizf0不不全全為為與與yvyu 解解利用利用C-R方程方程 ux=vy, uy=-vx 有有k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)= -1,即:兩族曲線互相正交,即:兩族曲線互相正交.ii) uy,vy中有一為零時(shí),不妨設(shè)中有一為零時(shí),不妨設(shè)uy=0,則,則k1=, k2=0(

56、由(由C-R方程)方程)即:兩族曲線在交點(diǎn)處的切線一條是水平的,另即:兩族曲線在交點(diǎn)處的切線一條是水平的,另一條是鉛直的一條是鉛直的, 它們?nèi)曰ハ嗾凰鼈內(nèi)曰ハ嗾??)(,)()(2222在復(fù)平面內(nèi)處處解析在復(fù)平面內(nèi)處處解析取何值時(shí)取何值時(shí)問常數(shù)問常數(shù)若若zfdcbaydxycxibyaxyxzf 練習(xí)練習(xí): a=2 , b=-1 , c=-1 , d=2& 1. 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)& 2. 三角函數(shù)和雙曲函數(shù)三角函數(shù)和雙曲函數(shù)& 3. 對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)& 4. 乘冪與冪函數(shù)乘冪與冪函數(shù)& 5. 反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)3 初等函數(shù)初等函數(shù) 本節(jié)將實(shí)變函數(shù)的一些常用的初等函

57、數(shù)本節(jié)將實(shí)變函數(shù)的一些常用的初等函數(shù)推廣到復(fù)變函數(shù)情形,研究這些初等函數(shù)的推廣到復(fù)變函數(shù)情形,研究這些初等函數(shù)的性質(zhì),并說明它們的解析性性質(zhì),并說明它們的解析性.內(nèi)內(nèi) 容容 簡(jiǎn)簡(jiǎn) 介介一一. 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)它與實(shí)變指數(shù)函數(shù)有類似的性質(zhì)它與實(shí)變指數(shù)函數(shù)有類似的性質(zhì):0exp)1( zz)0exp,( xez事事實(shí)實(shí)上上xezzfxz exp)(,)2(時(shí)時(shí)為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng))0( y)2(12(的的例例見見 , 2, 1, 02)expArg(expkkyzezx)1()sin(cosexp)(:expyiyezzfzziyxzx 如如下下的的指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)定定義義復(fù)復(fù)變變數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)定義定義.e

58、xp)(expexp)()3(zzzzf 且且在復(fù)平面上處處解析,在復(fù)平面上處處解析,右右邊邊左左邊邊設(shè)設(shè)事事實(shí)實(shí)上上 )exp()sin()cos()sincoscos(sinsinsincoscos )sin(cos)sin(cos expexp)2 , 1(,21212121212121221121212121zzyyiyyeyyyyiyyyyeyiyeyiyezzjiyxzxxxxxxjjj)exp(expexp:)4(2121zzzz 加加法法定定理理.expzez代替代替為了方便,我們用以后為了方便,我們用以后:)(的的周周期期性性由由加加法法定定理理可可推推得得zezf Zkik

59、TzfTzf ,2),()( .2 )()2sin2(cos)2(,22為為任任意意整整數(shù)數(shù)事事實(shí)實(shí)上上kikTzfekikeeeeikzfzzikzikz A 這個(gè)性質(zhì)是實(shí)變指數(shù)函數(shù)所沒有的這個(gè)性質(zhì)是實(shí)變指數(shù)函數(shù)所沒有的.zzxxzzeeeyyiyyeee111)sin()(cos(0 又又2121zzzzeee 沒沒有有冪冪的的意意義義. .它它的的定定義義為為僅僅僅僅是是個(gè)個(gè)符符號(hào)號(hào) ,)sin(cos ,)1(yiyeexzyiyexziysincos:Euler0)2( 公公式式 就就得得時(shí)時(shí), ,的的實(shí)實(shí)部部特特別別當(dāng)當(dāng)?shù)降紸 )Im(zie求求例例1 ie 141求求例例2xey

60、sin ie 12241)2(2cos2sin:,sincossincos,0:Ryeeyieeyyiyeyiyexiyiyiyiyiyiy 從從而而得得到到時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)由由指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)的的定定義義二二. 三角函數(shù)和雙曲函數(shù)三角函數(shù)和雙曲函數(shù)推廣到復(fù)變數(shù)情形推廣到復(fù)變數(shù)情形的正弦與余弦函數(shù)的正弦與余弦函數(shù)稱為稱為zeezieezzizizizi )3(2cos2sin定義定義周周期期函函數(shù)數(shù)是是及及 2cossin)1 Tzzcos222)2cos(22)2()2(zeeeeeeeeziziziiziizzizi zzzzsin)(coscos)(sin,)2 且且在在復(fù)復(fù)平平面面上上處處處處

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