結構力學課件：第九章《漸近法》

1、12第九章第九章 漸近法漸近法91 引 言92 力矩分配法的基本原理93 用力矩分配法計算連續(xù)梁和無側移剛架92 力矩分配法的基本原理92 力矩分配法的基本原理391 引 言 計算超靜定結構，不論采用力法或位移法，均要組成和解算典型方程，當未知量較多時，其工作量非常大。為了尋求較簡捷的計算方法，自本世紀三十年代以來，又陸續(xù)出現(xiàn)了各種漸進法，力矩分配法就是其一。 漸進法的共同特點是，避免了組成和解算典型方程，而以逐次漸進的方法來計算桿端彎矩，其結果的精度隨計算輪次的增加而提高，最后收斂于精確解。 這些方法的概念生動形象，每輪計算的程序均相同，易于掌握，適合手算，并可不經過計算結點位移而直接求得桿

2、端彎矩。在結構設計中被廣泛采用。492 力矩分配法的基本原理 力矩分配法為克羅斯(H.Cross)于1930年提出，這一方法對連續(xù)梁和無結點線位移剛架的計算尤為方便。1.勁度系數(shù)、傳遞系數(shù) 勁度系數(shù)(轉動剛度)Sij 定義如下：當桿件AB的A端轉動單位角時，A端(又稱近端)的彎矩MAB稱為該桿端的勁度系數(shù)，用SAB表示。它標志著該桿端抵抗轉動能力的大小，故又稱為轉動剛度。 則勁度系數(shù)與桿件的遠端支承情況有關，由轉角位移方程知 遠端固定時： ABEIL1MAB=4iMBAABEI1MAB=3iSAB=MAB=4i遠端鉸支時：SAB=MAB=3iSAB=3iAB1遠端滑動支撐時：EIMAB=iMB

3、ASAB=MAB=iSAB=i遠端自由時：AB1MAB=oEISAB=MAB=0SAB=0SAB=4i5(2) 傳遞系數(shù)CijABEIL1MAB=4iABEI1MAB=3iSAB=MAB=4iSAB=MAB=3iAB1EIMAB=iMBA=-iSAB=MAB=iAB1MABEISAB=MAB=0 當近端A轉動時，另一端B(遠端)也產生一定的彎矩，這好比是近端的彎矩按一定比例傳到遠端一樣，故將B端彎矩與A端彎矩之比稱為由A端向B端的傳遞系數(shù)傳遞系數(shù)，用CAB表示。即ABBAABMMC或 MBA=CABMAB遠端固定時：CAB=0.5遠端鉸支時：CAB=0遠端滑動支撐： CAB=1由右圖或表(10

4、1)可得MBA=2i62. 力矩分配法的基本原理現(xiàn)以下圖所示剛架為例說明力矩分配法的基本原理。1234qP(a)1234(b)MP圖F21MF12MF14MF41M 圖(a)所示剛架用位移法計算時，只有一個未知量即結點轉角Z1，其典型方程為r11Z1+R1P=0繪出MP圖（圖b),可求得自由項為R1P=Fj1F14F13F12MMMMR1P是結點固定時附加剛臂上的反力矩，可稱為剛臂反力矩，它等于結點1的桿端固端彎矩的代數(shù)和Fj1M，即各固端彎矩所不平衡的差值，稱為結點上的不平衡力矩不平衡力矩。R1P1F12MF13MF14MR1P7r11=式中S1j代表匯交于結點1的各桿端勁度系數(shù)的總和。12

5、34(c)1M圖1Z12i124i123i13i141M繪出結構的圖（見圖c)， 計算系數(shù)為：解典型方程得Z1=11P1rR 然后可按疊加法 11ZMMMP計算各桿端的最后彎j1Fj1SM矩。4i12+3i13+i14= S12+S13+S14= S1j8M12=F12MM13=)M(SSMFj1j113F13M14=)M(SSMFj1j114F14以上各式右邊第一項為荷載產生的彎矩，即固端彎矩。第二項為結點轉動Z1角所產生的彎矩，這相當于把不平衡力矩反號后按勁度系數(shù)大小的比例分配給近端，因此稱為分配彎矩，12 、13 、 14等稱為分配系數(shù)分配系數(shù)，其計算公式為1j=j1j1SS(91)結點

6、1的各近端彎矩為：F12M)M(MFj113F13)M(MFj114F14)M(Fj1j112SS)M(Fj11291j =j1j1SS(91)顯然，同一結點各桿端的分配系數(shù)之和應等于1，即 1j =1 。各遠端彎矩如下M21=F21MM31=)M(CMFj11313F31M41=)M(CMFj11414F41各式右邊的第一項仍是固端彎矩。第二項是由結點轉動Z1角所產生的彎矩，它好比是將各近端的分配彎矩以傳遞系數(shù)的比例傳到各遠端一樣，故稱為傳遞彎矩傳遞彎矩。)M(Fj11212CF21M)M(Fj1j11212SSC10得出上述規(guī)律后，便可不必繪 MP、 圖，也不必列出典1M 型方程，而直接按

7、以上結論計算各桿端彎矩。其 過程分為兩步：(1)固定結點 即加入剛臂。此時各桿端有固端彎矩，而結點上有不平衡力矩，它暫時由剛臂承擔。(2)放松結點 即取消剛臂，讓結點轉動。這相當于在結點上又加入一個反號的不平衡力矩，于是不平衡力矩被消除而結點獲得平衡。此反號的不平衡力矩將按勁度系數(shù)大小的比例分配給各近端，于是各近端得到分配彎矩，同時各自向其遠端進行傳遞，各遠端彎矩等于固端彎矩加上傳遞彎矩。11例 91 試用力矩分配法作剛架的彎矩圖。ABCD30kN/m50kN(a)解：(1)計算各桿端分配系數(shù)AB=445. 0942131414AC=333. 093AD=222. 092AB=0.445AC=

8、0.333AD=0.222(2)計算固端彎矩據(jù)表(101）FBAMFABMFADMFADMEI2EIEI4m2m2m4mmkN4012430212qL2=mkN40124302+12qL2=mkN7584503+83PL=mkN2584508PL=mkN40MFBAmkN40MFABmkN75MFADmkN25MFDA(3)進行力矩的分配和傳遞結點A的不平衡力矩為FAjMmkN357540ACD桿 端ABACADBACADA0.445 0.3330.222分配系數(shù)固端彎矩-40+40075-250-35-35分配彎矩 +15.5 +11.7+7.8+7.80-7.8-32.2+55.5最后彎矩

9、+11.7-67.2-32.80B55.56011.767.232.8 M圖圖(kN.m)(b)32.2(4)計算桿端最后彎矩并作矩圖。+35+351293 用力矩分配法計算連續(xù)梁 對于具有多個結點轉角但無結點線位移(簡稱無側移)的結構，只需依次對各結點使用上節(jié)所述方法便可求解。作法是：先將所有結點固定，計算各桿固端彎矩；然后將各結點輪流地放松，即每次只放松一個結點，其它結點仍暫時固定，這樣把各結點的不平衡力矩輪流地進行分配、傳遞，直到傳遞彎矩小到可略去時為止，以這樣的逐次漸進方法來計算桿端彎矩。下面舉例說明。13例92 用力矩分配法計算圖示連續(xù)梁。012325kN/m400kN25kN/m解

10、： 固定1 2 結點。列表計 算如下:12m6m6m12m分配系數(shù)10=50i 4i 4i 412=50i 4i 4i 421=5710i 3i 4i 423=4290i 3i 4i 3固端彎矩MFmkN300121225M2F01-300mkN300121225M2F10+300mkN600812400MF12-600mkN600812400MF21+600-300-300mkN45081225M2F23-4500MF320+150+150結點1分配傳遞+150+150 +150+150+75+75+75+75結點2分配傳遞-129-129 -96-96-64-640結點1分配傳遞+32+3

11、2 +32+32+16+16+16+16結點2分配傳遞-9-9 -7-7-5-500.50.50.50.50.5710.571 0.4290.429結點1分配傳遞+2+2 +3+3+1+1+1+1結點2分配傳遞-1-10最后彎矩最后彎矩M-208-208+484+484 -484-484+553+553 -553-5530EIEIEI+225+225-225-22514例93 用力矩分配法計算圖示連續(xù)梁。1.5kN/m8kN4kN5m8m3m5m5m1.5kN/m8kN4kN4kNm 0.375 0.6250.5 0.50.3750.625MF0+4.69 -8+8 -9.38+5.62 +2

12、+4分分 配配 及及 傳傳 遞遞-4.76 -2.86-2.380ABCDEFI2I2II0.8iii0.8i1mABCDE+1.24 +2.070+1.03+1.37 +1.36+0.68+0.68-0.43 -0.25-0.21-0.25 -0.43-0.21-7.62+3.31+2.73+0.42+0.21 +0.21+0.11+0.11-0.04 -0.07-0.03-0.07 -0.04-0.03+0.03+0.03+0.02+0.02-0.01 -0.01-0.01 -0.01M0+5.63 -5.63+10.40 -10.40+1.16 -1.16+4151.5kN/m8kN4k

13、NABCDEFI2I2IIM0+5.63 -5.63+10.40 -10.40+1.16 -1.16+45.634.691.88121.1615048.06M圖圖010.403.9816例9-5. 用力矩分配法作圖示連續(xù)梁的彎矩圖。3m3m6mEIEI200kN20kN/m（1 1）B點加約束點加約束ABC200kN20kN/mMAB=MBA=MBC=mkN 15086200mkN 150mkN 9086202MB=MBA+ MBC=mkN 60-150150-90（2 2）放松結點）放松結點B B，即加，即加-60-60進行分配進行分配60ABC-60設設i =EI/l計算轉動剛度：計算轉動

14、剛度：SBA=4iSBC=3i分配系數(shù)分配系數(shù)：571. 0344iiiBA429. 073iiBC0.5710.429分配力矩分配力矩:3 .34)60(571. 0BAM7 .25)60(429. 0BCM-34.3-25.7-17.20+(3) (3) 最后結果。合并前面兩個過程最后結果。合并前面兩個過程ABC0.5710.429-150150-90-34.3-25.7-17.20-167.2115.7-115.70167.2115.730090M圖圖(kNm)ABC=17CB例例9-6.9-6.用力矩分配法列表計算圖示連續(xù)梁。用力矩分配法列表計算圖示連續(xù)梁。ABCD6m6m4m4mEI

15、=1EI=2EI=120kN/m100kN61ABi4182BCi61CDi141432614BCBASS6 . 04 . 032132BCBA216131414CDCBSS333. 0667. 02111CDCB0.4 0.60.667 0.333m-6060-100100分配與傳遞-33.3-66.7-33.429.4442214.7-14.7-7.3-7.34.42.92.2-1.5 -0.7-0.70.30.41.50.2-43.692.6 -92.641.3-41.3Mij043.692.6133.141.3ABCD21.9M圖（圖（kNm）18ABCD6m6m4m4mEI=1EI=

16、2EI=120kN/m100kN43.6133.141.321.9M圖（kNm）92.6ABCDABCD51.868.256.443.66.9Q圖（kN）求支座反力求支座反力68.256.4B124.619上題若列位移法方程式，用逐次漸近解法：上題若列位移法方程式，用逐次漸近解法：020030240310CBCB(1)將上式改寫成將上式改寫成BCCB334. 067.663 . 024(2)余數(shù)余數(shù)BCCB334. 03 . 0(3)BC第一次第一次近似值近似值24-66.67-8202.4-6.672-0.80.24-0.670.2-0.08結結 果果B=48.84C=-82.89精確值精確

17、值48.88-82.06 MBC= 4iBCB+2 iBCC-100 =6 .92100)96.82(41284.4841420 1 1）單結點力矩分配法得到精確解；多結點力矩分配法得到漸近解。）單結點力矩分配法得到精確解；多結點力矩分配法得到漸近解。 2 2）首先從結點不平衡力矩絕對值較大的結點開始。）首先從結點不平衡力矩絕對值較大的結點開始。 3 3）結點不平衡力矩要變號分配。）結點不平衡力矩要變號分配。 4 4）結點不平衡力矩的計算：）結點不平衡力矩的計算：結點不平結點不平衡力矩衡力矩（第一輪第一結點）（第一輪第一結點）固端彎矩之和固端彎矩之和（第一輪第二、三（第一輪第二、三結點）結點）

18、固端彎矩之和固端彎矩之和 加傳遞彎矩加傳遞彎矩傳遞彎矩傳遞彎矩（其它輪次各結點）（其它輪次各結點）總等于附加剛臂上的約束力矩總等于附加剛臂上的約束力矩5 5）不能同時放松相鄰結點（因定不出其轉動剛度和傳遞系數(shù)），但可）不能同時放松相鄰結點（因定不出其轉動剛度和傳遞系數(shù)），但可 以同時放松所有不相鄰的結點，以加快收斂速度。以同時放松所有不相鄰的結點，以加快收斂速度。力矩分配法小結：力矩分配法小結：210.2221114321ABCDFEB3 . 04 . 03 . 0BEBCBAC222. 0333. 0445. 0CFCDCBmBA= 40kNm mBC= - 41.7kNm mCB= 41.

19、7kNm0.30.40.30.4450.33340-41.7-41.7-18.5-9.3 -13.9-9.33.33.34.42.2-1.0-0.5 -0.7-0.50.15 0.150.2-4.651.65-0.250.0743.45 3.45 -46.924.4-9.8 -14.61.72-4.9043.546.924.514.73.451.79.84.89M圖)(mkN 例例9-79-74m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE22ABC1m5m1mEI=常數(shù)常數(shù)D50kN5/6 1/65025-20.8 -4.2-20.8 +20.8+50例例9-8. 9-8. 帶懸臂桿件的結構

20、的力矩分配法。帶懸臂桿件的結構的力矩分配法。50kNmABMM/2ABC1m5m1mEI=常數(shù)常數(shù)D50kN234EI4EI2EI2EI例例9-9 9-9 用力矩分配法計算，用力矩分配法計算，作作M圖。圖。取取EI=5i=4i=4i=2.5i=2.510kN/m20kN5m5m1m4m20kN20結點結點桿端桿端AEBCFABEBBEBABCCBCFFCm0.2630.3160.4210.6150.38500031.25 20.83 20.8300(20)2.74 3.29 4.391.372.20MB=31.2520.83=10.42MC=20.83202.2=1.370.84 0.530.

21、270.420.10 0.14 0.180.050.09 ABCEF242.85結點結點桿端桿端AEBCFABEBBEBABCCBCFFCm0.2630.3160.4210.6150.38500031.25 20.83 20.8300(-20)2.74 3.29 4.391.372.200.84 0.530.270.420.10 0.14 0.180.050.090.06 0.030.020.030.01 0.01 0.01M01.4227.8024.96 19.940.560.29k計算之前計算之前, ,去掉靜定伸臂去掉靜定伸臂, ,將其上荷載向結點作等效平移。將其上荷載向結點作等效平移。k

22、有結點集中力偶時有結點集中力偶時, ,結點不平衡力矩結點不平衡力矩= =固端彎矩之和結點集中固端彎矩之和結點集中 力偶力偶( (順時針為正順時針為正) )2520kN/m3m3m3m2iiiiii4i2iSAG=4i20kN/m1.5miiACEGHSAC=4i SCA=4iSCH=2iSCE=4iAG=0.5AC=0.5CA=0.4CH=0.2CE=0.4mkNmAG.1535 . 1202結點桿端ACEAGACCACHCECHm0.50.50.40.20.415 例例9-10 用力矩分配法作用力矩分配法作M圖。圖。260.50.50.40.20.4157.5 7.53.751.50 0.7

23、5 1.50 0.75 0.750.37 0.380.190.08 0.03 0.08 0.04 0.040.02 0.02結點桿端ACEAGACCACHCECHmM7.117.112.360.781.580.7920kN/m7.110.791.582.630.791.587.112.630.78M圖（kN.m)27例例9-11 9-11 求矩形襯砌在上部土壓力作用下的彎矩圖。求矩形襯砌在上部土壓力作用下的彎矩圖。l1l2qqABDCEI1I2qEBF解：取等代結構如圖。解：取等代結構如圖。 設梁柱的線剛度為設梁柱的線剛度為i1，i22i12i222iSBF21iSBE212iiiBF211i

24、iiBE12)2(32121qllqmBE212iiii211ii BEBF28ABDCEFBEBF212iiii211ii m1221ql1221211qliii1221212qliii1221212qliii1221212qliiiM1221212qliii1221212qliiiM圖k當豎柱比橫梁的剛度大很多時(如i220i1),梁端彎矩接近于固端彎矩ql2/12。此時豎柱對橫梁起固定支座的作用。k當橫梁比豎柱的剛度大很多時(如i120i2),梁端彎矩接近于零。此時豎柱對橫梁起鉸支座的作用。k由此可見：結構中相鄰部分互為彈性支承，支承的作用不僅決定于構造作法，也與相對剛度有關。k如本例中

25、只要橫梁線剛度i1 超過豎柱線剛度i2的20倍時，橫梁即可按簡支梁計算；反之只要豎柱i2 超過橫梁線剛度i1的20倍時，橫梁即可按兩端固定梁計算。i2i1i2i1299-4 無剪力分配法一、應用條件一、應用條件：結構中有線位移的桿件其剪力是靜定的。：結構中有線位移的桿件其剪力是靜定的。PPPPPPABCDPPPABCDP2P3P柱剪力圖柱剪力圖即即：剛架中除了無側移桿外，其余桿件全是剪力靜定桿。：剛架中除了無側移桿外，其余桿件全是剪力靜定桿。30二、單層單跨剛架二、單層單跨剛架BACBACAASAB= iAB SAC= 3iAC只阻止轉動只阻止轉動放松放松單元分析：單元分析：ABABMAB-M

26、BAAQ=0等效等效ABAMABSAB=iAB CAB=-1上面兩個過程主要討論剪力靜定桿件的變形和受力特點。上面兩個過程主要討論剪力靜定桿件的變形和受力特點。（2 2）剪力靜定桿件的轉動剛度）剪力靜定桿件的轉動剛度S=i；傳遞系數(shù)；傳遞系數(shù)C=-1。（3 3）ACAC桿的計算與以前一樣。桿的計算與以前一樣。 （1 1）求剪力靜定桿的固端彎矩時，求剪力靜定桿的固端彎矩時， 先由平衡條件求出桿端剪力；將先由平衡條件求出桿端剪力；將桿端剪力看作桿端荷載，按該端滑動，遠端固定桿件計算固端彎矩。桿端剪力看作桿端荷載，按該端滑動，遠端固定桿件計算固端彎矩。311 1、剪力靜定桿的固端彎矩：、剪力靜定桿的

27、固端彎矩： 將桿端剪力看作桿端荷載，按將桿端剪力看作桿端荷載，按 該端滑動，另端固定的桿計算該端滑動，另端固定的桿計算 固端彎矩。固端彎矩。2 2、剪力靜定桿的轉動剛度和傳遞系數(shù)：、剪力靜定桿的轉動剛度和傳遞系數(shù)：AABMAB=4iA6i/lMBA=2iA6i/l QBA=（MAB+MBA）/l=0 MBA= MAB ，MAB=iA剪力靜定桿的剪力靜定桿的 S= i C=1/l=A /2MBA=-iA 求剪力靜定桿的固端彎矩時求剪力靜定桿的固端彎矩時 先由平衡條件求出桿端剪力；先由平衡條件求出桿端剪力；32例：例：2m2m4m5kNABC1kN/mi1=4i2=3（1）m755. 345163

28、BCm67. 2641622qlmBA33. 532qlmAB（2）S、C123312iSiSBCBA8 . 02 . 01233BCBA1BAC0.2 0.8-2.67 -3.75-5.331.285.14-1.28-1.391.39-6.611.395.706.61M圖圖(kNm)33三、三、 多跨單層剛架多跨單層剛架P1P2ABCDEP1P2ABP1mABmABBCmBCmCBP1+P2(1)(1)求固端彎矩求固端彎矩AB、BC桿是剪力靜定桿。桿是剪力靜定桿。1 1）由靜力條件求出桿端剪力；）由靜力條件求出桿端剪力；2 2）將桿端剪力作為荷載求固端彎矩）將桿端剪力作為荷載求固端彎矩34B

29、CDEASBA= iABSBE=3iBESBC= iBCBCiBCQ=0iABAB（2 2）分配與傳遞）分配與傳遞 在結點力矩作用下，剪力靜定的桿件其剪力均為零，也在結點力矩作用下，剪力靜定的桿件其剪力均為零，也就是說就是說在放松結點時，彎矩的分配與傳遞均在零剪力條件下在放松結點時，彎矩的分配與傳遞均在零剪力條件下進行進行，這就是無剪力分配法名稱的來源。，這就是無剪力分配法名稱的來源。CBC= -1CBA= -135C8kN17kN27273.53.5553.3m3.6mABC4kN8.5kN4kNAB3.555454-6.6-6.6BC12.5kN-22.5-22.65ABCAB0.0211

30、0.97890.02930.02060.9501-6.6-6.6-22.5-22.50.627.650.85-0.85 -0.60.157.05-0.1500.010.14-0.01-7.057.05-6.1527.79-21.64-23.36例：例：由結點由結點B 開始開始368m6=48m5n4kN4kN4kN6kN6kN2kN4kN6kN(3)(3)(3)(3)(3)(3)(4)(4)(4)(4)(5)(5)(5)(5)(2)(2)(1)(1)(1)2kN3kN 6kN 6kN 2kN 3kN2kN3kN 6kN 6kN 2kN 3kN2kN3kN 6kN6kN2kN3kN(3)(5)(

31、4)(2)(6)(4)M=012kN372kN3kN 6kN6kN2kN3kN(3)(5)(4)(2)(6)(4)ABCDGFE1、求求：717631818ABAE1941931912341212BCBABF1551541565466CDCBCG2、求求m：248621BAABmm168421BCCBmm 6kN 4kN 1kNBCBAB結點結點桿端桿端ACDAEABBFCBCGDCm6/71/712/196/154/1524CD3/194/19532 25.26 8.426.328.4225.99 4.334.337.58 11.37 9.477.589.47481

32、21DCCDmm38BCBAB結點結點桿端桿端ACDAEABBFCBCGDCm6/71/712/196/154/1524CD3/194/19532 25.26 8.426.328.4225.99 4.334.337.58 11.37 9.477.589.471.88 7.52 2.511.882.510.67 1.00 0.840.670.841.61 0.270.270.15 0.59 0.20M20.2527.6033.37 13.12 18.6812.376.31 14.3127.60請自己完成彎矩圖的繪制請自己完成彎矩圖的繪制 AEFGBCD399-49-4* * 無剪力分配法的應用無剪力分配法的應用符合倍數(shù)關系的多跨剛架符合倍數(shù)關系的多跨剛架 在一定條件下多跨剛架可以分解成幾個單跨對稱剛架，多跨剛架的變形在一定條件下多跨剛架可以分解成幾個單跨對稱剛架，多跨剛架的變形（內力）狀態(tài)可以分解成幾個單跨對稱剛架的變形（內力）狀態(tài)。（內力）狀態(tài)可以分解成幾個單跨對稱剛架的變形（內力）狀態(tài)。先討論剛架在什么條件下才可能合并成一個多跨剛架。先討論剛架在什么條件下才可能合并成一個多跨剛架。一、倍數(shù)定理一、倍數(shù)定理獨立倍數(shù)剛架獨立倍數(shù)剛架ADB1E1i1i2i1P1B2E2ni1ni2ni1CFnP1hCBBA21CBBA