從課本的一道例題談起

1、從課本的一道例題談起青島市嶗山區(qū)第三中學(xué) 王昌濤1.寫在前面親愛的同學(xué)們，在學(xué)習(xí)本節(jié)課時(shí)相信大家對例題的印象是非常深刻的，原因在哪里呢？讓我們再來回顧本節(jié)課的例題.圖1例1 如圖1，四邊形ABCD是邊長為13cm的菱形，其中對角線BD長為10cm.求：(1)對角線AC的長度；(2)菱形ABCD的面積.解：(1)四邊形ABCD是菱形，ACBD,即AED=90，DE=BD10=5（cm）在RtADE中，由勾股定理可得：AC=2AE=212=24(cm).（2）S菱形ABCD= SABD+ SCBD=2SABD=2BDAE= BDAE=1012=120(cm2).2.一類四邊形面積求解的方法相信同學(xué)

2、們完成例題后都會(huì)對菱形面積的處理感覺非常妙，對于這種解題的技巧你是一笑而過，還是讓你陷入了沉思呢？今天就讓我們一起深入探討一類圖形的面積求解問題。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)我們知道菱形的面積不僅可以用底乘以高來求，而且知道菱形的面積等于對角線乘積的一半.即如圖1所示：S菱形ABCD=ACBD.仔細(xì)分析上述的證明過程我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，我們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｒ姷娘L(fēng)箏的形狀即“箏形”也是可以用這種方法求解的.圖2例2如圖2，四邊形ABCD是我們常見的風(fēng)箏的圖案，其中對角線BD長為20cm，AC長為40cm，AC垂直平分BD，垂足為E，求箏形ABCD的面積. 解析：由已知：S四邊形ABCD= SABD+ SCBD=BDAE

3、+BDCE= BD(AE+CE)= BDAC.我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論對于箏形依然成立.那么到底滿足什么條件的圖形可以通過這種方法求面積呢？仔細(xì)觀察不難發(fā)現(xiàn)，只要四邊形的對角線互相垂直我們就可以利用這一結(jié)論求解.圖3例3 如圖3，四邊形ABCD的對角線AC、BD互相垂直，其中對角線BD長為20cm，AC長為15cm，垂足為E，求四邊形ABCD的面積. 解析：通過上述求解過程，同學(xué)們應(yīng)該能求出結(jié)果為150cm.研究到這里，我們可以得出一個(gè)結(jié)論：結(jié)論1：對角線互相垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半.3.普通四邊形面積求解的拓展通過結(jié)論1的研究對于普通的對角線不垂直的四邊形的面積的求解能不能有什么啟示呢

4、？下面讓我們一起來研究.如圖4所示四邊形ABCD的對角線BD長為20cm，根據(jù)前面三個(gè)例題的求解方式只要我們知道AE與CF的長度即可求出四邊形的面積，仿照上面寫出如下算式：S四邊形ABCD= SABD+ SCBD=BDAE+BDCF=BD(AE+CF).圖4通過這個(gè)算式我們發(fā)現(xiàn)我們剛開始猜想的知道AE與CF的長度即可求出四邊形的面積，這一條件可以簡化為知道AE+CF即可求出四邊形的面積。于是我們就得出了第二條結(jié)論：結(jié)論2：任意四邊形的面積等于一條對角線與其余兩頂點(diǎn)到這條對角線距離和的乘積的一半.以上的研究就是從課本的一道例題想到的，同學(xué)們對于數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，我們不能僅僅滿足于一個(gè)個(gè)的題目會(huì)解，更要學(xué)會(huì)反思研究，思考每一個(gè)結(jié)論，每一個(gè)題目背后的本質(zhì).下面就讓我們進(jìn)入小試牛刀環(huán)節(jié)，來體驗(yàn)研究的成果吧.4.若有所思之后的小試牛刀：圖6圖5(1)如圖5，矩形ABCD中，AD=6cm，AB=4cm，EFAD,點(diǎn)G、H分別是AD、BC上任一點(diǎn)，則四邊形EGFH的面積等于 cm.(2)如圖6，四邊形