不等式復習資料

1、第3講 二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題【高考會這樣考】 1 考查二元一次不等式組表示的區(qū)域面積和目標函數(shù)最值 （或取值范圍）.2.考查約束條件、目標函數(shù)中的參變量的取值范圍.【復習指導】1 .掌握確定平面區(qū)域的方法（線定界、點定域）.2.理解目標函數(shù)的幾何意義，掌握解決線性規(guī)劃問題的方法 （圖解法），注意線 性規(guī)劃問題與其他知識的綜合.01 考基自主導學基礎梳理1. 二元一次不等式表示的平面區(qū)域（1）一般地，直線I: ax+ by+ c= 0把直角坐標平面分成了三個部分： 直線I上的點（x, y）的坐標滿足ax+ by+ c= 0; 直線I 一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點（x, y）的坐標滿足

2、ax+ by+ c0; 直線I另一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點（x, y）的坐標滿足ax+ by+ cv0.所以，只需在直線I的某一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)，任取一特殊點（X0, y）,從ax0 + by。 + c值的正負，即可判斷不等式表示的平面區(qū)域.（2）由于對直線Ax+ By + C = 0同一側(cè)的所有點（x, y）,把它的坐標（x, y）代入Ax + By+ C所得到實數(shù)的符號都相同，所以只需在此直線的某一側(cè)取一個特殊點（X0, y0）,由AX0+ By+ C的符號即可判斷 Ax+ By+ C0表示直線 Ax+ By+ C =0哪一側(cè)的平面區(qū)域.2. 線性規(guī)劃相關(guān)概念名稱意義目標函數(shù)欲求最大值或最小值的函

3、數(shù)約束條件目標函數(shù)中的變量所要滿足的不等式組線性約束條件由x, y的一次不等式（或方程）組成的不等式組線性目標函數(shù)目標函數(shù)是關(guān)于變量的一次函數(shù)可行解滿足線性約束條件的解可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標函數(shù)取得最大值或最小值的點的坐標線性規(guī)劃問題在線性約束條件下，求線性目標函數(shù)的最大值或最小值問題助鬲微博一種方法確定二元一次不等式表示的平面區(qū)域時.經(jīng)常采用.“直線定界，特殊點定域的 方法.(1) 直線定界，即若不等式不含等號，則應把直線畫成虛線;.若不等式含有等號,把直線畫成實線:.(2) 特殊點定域，.即在直線Ax土 By 士.C亍.0.的某一側(cè)取一個.特殊點(xo, yo)作為測 試點

4、代入不等式檢驗，若滿足不等式，.則表示的就是包括該點的這一側(cè),否則就 表示直線的另一側(cè).：特別地，當.C.于.0.時，.常把原點作為測試點當.一C.0時， 常選點.(1,0)或者(0,1)作為測試點.一個步驟利用線性規(guī)劃求最值，.一般用圖解法求解，其步驟是:在平面直角坐標系內(nèi)作出可行域;一(2) 考慮目標函數(shù)的幾何意義，將目標函數(shù)進行變形;(3) 確定最優(yōu)解：.在可行域內(nèi)平行移動目標函數(shù)變形后的直線.，從而確定最優(yōu)解；(4) 求最值：將最優(yōu)解代入目標函數(shù)即可求出最大值或最小值.兩個防范(1)畫出平面區(qū)域一避免失誤的重要方法就是首先使二元一次不等式標準化一.求二元一一次函數(shù).z.ax土by(ab

5、藝0).的最值，將函數(shù)z.ax土by.轉(zhuǎn)化為直線的斜. 截式：y三二；x 土：，通過求直線的截距b的最值間接求出乙的最值-要注意;當b 0 .時.，截距b取最大值時?z也取最大值；截距b取最小值時,z也取最小值；當 b 0.時截距b取最大值時z取最小值；截距.b取最小值時z取最大值.:雙基自測（人教A版教材習題改編）如圖所示的平面區(qū)域（陰影部分），用不等式表示為).2x y 3 0C.2x y 3 02x y解析將原點（0,0）代入2x y 3得2X 0 0 3= 3 0.答案 B2.下列各點中，不在x + y K 0表示的平面區(qū)域內(nèi)的點是（）.A. (0,0) B . ( 1,1) C .

6、( 1,3) D . (2, 3)解析 逐一代入得點（1,3）不在x+ y 10+y10C/D.JiX 2y+ 20解析 兩條直線方程為：x+ y1 = 0, x 2y+ 2 = 0.將原點(0,0)代入x+ y 1得1 v0,代入 x 2y+ 2得 20,即點(0,0)在x 2y+ 20的內(nèi)部，在x+ y 1 0,故所求二元一次不等式組為x 2y+ 2 0.答案 A4. (2011安徽)設變量x, y滿足|x|+ |y| 0y 0,【例1】？（2011湖北）直線2x+ y10= 0與不等式組表示的平x y 2,4x+ 3y 20面區(qū)域的公共點有（）.A. 0個 B . 1個 C . 2個 D

7、 .無數(shù)個審題視點準確畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，比較直線2x + y 10 = 0與4x+ 3y 20= 0的斜率即可判斷.解析由不等式組畫出平面區(qū)域如圖（陰影部分）.直線 2x+ y 10= 0 恰過點 A（5,0）,4且斜率k= 2vkAB= 3,即直線2x+ y 10= 0與平面區(qū)域僅有一個公共點A（5,0）.方法結(jié)答案 B 不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面區(qū)域點集的交 集，因而是各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.0 x0,所表示的平面區(qū)域的面kx y+ 2 0積為4,則k的值為（）.A. 1B. 3C. 1 或一3D . 0解析 其中平面區(qū)域kx y+ 20是含有

8、坐標原點的半平面.直線 kx y+ 2= 0 又過定點（0,2），這樣就可以根據(jù)平面區(qū)域的面積為 4,確定一個封閉的區(qū)域，作 出平面區(qū)域即可求解.平面區(qū)域如圖所示，根據(jù)區(qū)域面積為4,得A（2,4），代入直線方程，得k= 1.答案 A考向二求線性目標函數(shù)的最值【例2】？（2011廣東）已知平面直角坐標系xOy上的區(qū)域 D由不等式組0 x2,y2,給定.若M（x, y）為D上的動點，點A的坐標為（.2, 1）則z=x 2yOM O只的最大值為（）.A. 3 B. 4 C. 3 2 D. 4,2審題視點作出平行域D ,然后解出目標函數(shù)z的表達式，用截距法求z的最大 值.解析 畫出區(qū)域D，如圖中陰影部

9、分所示，而z= 0加O云=2x+y,y= 2 x+ Z,令Io： y= 2x,將Io平移到過點（.2, 2）時，截距z有最大值，故Zmax =2X 2 + 2 = 4.答案 B八求目標函數(shù)的最大值或最小值，必須先求出準確的可行域，令目標函 數(shù)等于0,將其對應的直線平行移動，最先通過或最后通過的頂點便是最優(yōu)解.px+ 2y 30,若目標函數(shù)z= ax+ y（其y 1 0）僅在點（3,0）處取得最大值，則a的取值范圍是（）.a,- 2B. 2,0解析 畫出X、滿足條件的可行域如圖所示，要使目標函數(shù)z= ax+ y僅在點（3,0） 處取得最大值，則直線y= ax+ z的斜率應小于直線x+ 2y 3=

10、 0的斜率，即1 1av 2，a 答案 D考向三求非線性目標函數(shù)的最值px 4y+ 3 0,【例3】？變量x、y滿足3x+ 5y 25 1.(1) 設z= y，求z的最小值；入(2) 設z= x2 + y2，求z的取值范圍.審題視點利用目標函數(shù)所表示的幾何意義求解.x 4y+ 3 0，解 由約束條件 3x+ 5y 25 1.作出(x，y)的可行域如圖所示.x= 1，3x+ 5y 25 = 0，22，5.由尸X解得C(1,1).x 4y+ 3= 0，解得 B(5,2).x 4y+ 3= 0，3x+ 5y 25= 0，(1)vz=x=巳.：z的值即是可行域中的點與原點連線的斜率.觀察圖形可知(2)

11、z= x2 + y2的幾何意義是可行域上的點到原點 0的距離的平方.結(jié)合圖形可知, 可行域上的點到原點的距離中，dmin = |0牛0 ,dmax= |OB|=V29.2 z 0,【訓練3】如果點P在平面區(qū)域 x+ y- 2 0=1上，那么|PQ|的最小值為（）.A.3b.45- 1C. 2 2- 1D. 2- 1解析f 1 3如圖，當p取點o, 2 , Q取點（0, -1）時，|PQ|有最小值為2.答案 a考向四線性規(guī)劃的實際應用【例4】？某企業(yè)生產(chǎn)A, B兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)每一噸產(chǎn)品所需的勞動力、煤和電耗 如下表：產(chǎn)品品種勞動力（個）煤（噸）電（千瓦）A產(chǎn)品394B產(chǎn)品1045已知生產(chǎn)每噸A產(chǎn)

12、品的利潤是7萬元，生產(chǎn)每噸B產(chǎn)品的利潤是12萬元，現(xiàn)因 條件限制，該企業(yè)僅有勞動力300個，煤360噸，并且供電局只能供電200千瓦, 試問該企業(yè)如何安排生產(chǎn)，才能獲得最大利潤？ 審題視點題目的設問是“該企業(yè)如何安排生產(chǎn)，才能獲得最大利潤 ”，這個 利潤是由兩種產(chǎn)品的利潤所決定的，因此 A, B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量決定著該企業(yè)的總利潤，這里兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量是問題的主要變量，故可以設出A, B兩 種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量，列不等式組和建立目標函數(shù).解 設生產(chǎn)A, B兩種產(chǎn)品分別為x噸，y噸，利潤為z萬元，依題意，得3x+ 10y 300,9x+ 4y 360，4x+ 5y0，y0.200A0目標函數(shù)為z

13、= 7x+ 12y.作出可行域，如圖陰影所示.當直線7x+ 12y= 0向右上方平行移動時，經(jīng)過 M(20,24)時z取最大值. 該企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品分別為20噸和24噸時，才能獲得最大利潤.二一2線性規(guī)劃的實際應用問題，需要通過審題理解題意，找出各量之間的 關(guān)系，最好是列成表格，找出線性約束條件，寫出所研究的目標函數(shù)，轉(zhuǎn)化為簡 單的線性規(guī)劃問題.【訓練4】(2011四川)某運輸公司有12名駕駛員和19名工人，有8輛載重量 為10噸的甲型卡車和7輛載重量為6噸的乙型卡車某天需運往 A地至少72噸的貨物，派用的每輛車需滿載且只運送一 次，派用的每輛甲型卡車需配2名工人，運送一次可得利潤450

14、元；派用的每輛 乙型卡車需配1名工人，運送一次可得利潤350元該公司合理計劃當天派用兩 類卡車的車輛數(shù)，可得最大利潤 z=().A. 4 650元B. 4 700元C. 4 900元D . 5 000元|解析 設派用甲型卡車x輛，乙型卡車y輛，獲得的利潤為z元，z= 450x+ 350y,x+y 12,2x + y72,作出相應的平面區(qū)域，z= 450x0 x 8，0 y 7，x + y= 12，+ 350y= 50（9x+ 7y）,在由確定的交點（7,5）處取得最大值4 900元.2x+ y= 19答案 C03為考題專項突破難點突破16高考中線性規(guī)劃問題近幾年新課標高考對線性規(guī)劃問題的考查主

15、要是以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，線性約束條件下的線性目標函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點或邊界處取得， 所以對于一般的線性規(guī)劃問題，我們可以直接解出可行域的頂點，然后將坐標代 入目標函數(shù)求出相應的數(shù)值，從而確定目標函數(shù)的最值.yx+ 2y 5 0，【示例11 ? （2011山東）設變量x，y滿足約束條件 x y 2 0，數(shù)z= 2x+ 3y+ 1的最大值為（）.17A. 11 B. 10 C. 9 D.?分別求出兩爾直線的交點代人目標函數(shù)號江 即可估.：+纖一5 - 0,得（齊1片茫=iof.：一j 2 = i *二廠得（詩八尋油一 $2 =山得口-弟“ = .g.1 = 0*%、= R.選

16、B這種解底喊少了作圉的時間，休現(xiàn)了特殊與 I.康虹救學禺漣x+ 3y 30,【示例2】? （2010浙江）若實數(shù)x, y滿足不等式組 2x y- 3 0,且 z= x+y的最大值為9,則實數(shù)m等于（）.A. 2 B. 1 C. 1 D. 2轉(zhuǎn)化剛好是示例1的一個逆向問題，仍可以利用邊 界點未處理【由目標函數(shù)七=.工+了的最大值是呎易知當目| 標函數(shù)取最大值時即為直線=+ $ = 9在伙軸上的截距12 3刁、刁2-汀3 = oT 7 了 丿m；不在直線一丁+了=9上*所以直線一卄廠9.+=3 =的交點或 / 一 my 11 = 0*經(jīng)過i f2；r y3 = 0t:d 的交點，: 衛(wèi) 1 = 0

17、:由2 j. y 3 = 0t得5兒:r+ y = 9t代人r uiy + 1 = 0得胡=1,故選C【處理線性規(guī)劃問題的解題思路是由平面區(qū)域【 : : 育詁 _【到區(qū)域的邊界線”再到邊界線的交點，一步一; 已啰步從般情況退化到特殊的情況，從而有IiI上述快速而巧妙的解法:不等式第1講不等關(guān)系與不等式【高考會這樣考】結(jié)合命題真假判斷、充要條件、大小比較等知識考查不等式性質(zhì)的基本應用.【復習指導】不等式的性質(zhì)是解(證)不等式的基礎，關(guān)鍵是正確理解和運用，要弄清條件和結(jié) 論，近幾年高考中多以小題出現(xiàn)，題目難度不大，復習時，應抓好基本概念，少 做偏難題.II,KAOJIZIZHUDAOXUE“一 一

18、 一一+ 一 一- 一一一一一亠“ 一一從+ 一一十一一一十 一一 一“ 一一 w 亠一 “一一一01冷考基自主導學懸老嗒徑J荻學相區(qū)基礎梳理1. 不等式的定義在客觀世界中，量與量之間的不等關(guān)系是普遍存在的，我們用數(shù)學符號、W、工連接兩個數(shù)或代數(shù)式以表示它們之間的不等關(guān)系, 含有這些不等號的 式子，叫做不等式.2. 比較兩個實數(shù)的大小兩個實數(shù)的大小是用實數(shù)的運算性質(zhì)來定義的，有a b0? ab； a b = 0? aaaa=b； a bv 0? av b.另外，若 b0，則有 1? a b；1? a= b；v 1? a bbbv b.3. 不等式的性質(zhì)(1) 對稱性：ab? bva；(2) 傳

19、遞性：ab，bc? ac；可加性：ab? a+ cb+ c, ab， cd? a+ cb+ d；(4) 可乘性：ab，c0? acbc； ab0， cd0? acbd；(5) 可乘方：a b 0? an bn (n N，n2)；(6) 可開方：ab0? na n b(n N， n2).助修撤（專一個技巧作差法變形的技巧.:作差法中變形是關(guān)鍵，常進行因式分解或配方一種方法待定系數(shù)法：求代數(shù)式的范圍時，先用已知的代數(shù)式表示目標式,再利用多項式 相等的法則求出參.數(shù).，最后利用不等式的性質(zhì)求.出目標式的范圍兩條常用性質(zhì)（1）倒數(shù)性質(zhì):.1 1.a b, ab 0? a. .a 0 b 0,0v c

20、d?1 1 10 a x b 或ax b 0? bX b 0, m 0,則 真分數(shù)的性質(zhì): b b士.m b b-.mv ; = (b- m0)；a 士 m a m假分數(shù)的性質(zhì):-;川 m工土q ba- ba 0) 一. b b m雙基自測1.（人教A版教材習題改編）給出下列命題：a b? ac2be2；a |b|? a2 b2;ab? a3b3；|a|b? a2b2其中正確的命題是（）.A .B.C.D .解析 當 c 0 時，ac2 bc2,.不正確；a |b| 0, a2 |b|2 b2,.正確；a3b (a b)(a? + ab +)(a b) a + 3b 1 +0,正確；取 a 2

21、, b2 2 3,則 |a|b,但 a 4v b 9,.不正確.答案 B2 .限速40 km/h的路標，指示司機在前方路段行駛時，應使汽車的速度v不超過40 km/h,寫成不等式就是（）.A. vv 40 km/hB. v40 km/hC. vm40 km/hD. v b” 是“ ac2 be2的().02A .充分而不必要條件B .必要而不充分條件C.充要條件D .既不充分也不必要條件解析 ab /? ac2bc2,v當c2= 0時,ac2 be2；反之,ac2bc2? ab.答案 B4.已知ab, cd,且c, d不為0,那么下列不等式成立的是（）.A. ad bcB. acbdD. a+

22、cb+d解析 由不等式性質(zhì)知：a b, cd? a+ c b+ d.答案 D5.# 1與羽+ 1的大小關(guān)系為1解析(一3+ 1) ( .2+ 1) ( 3+ 1) 一2 一3v0,寸2 1.、一 v 3 + 1.2 1答案 一2 1v 3+ 1KAOXIANiSTAN JIUDOXH 為考向探究導析研析琴向？秦例突破考向一比較大小【例11 ?已知a, b, c是實數(shù)，試比較a2 + b2 + c2與ab+ bc+ ca的大小.審題視點采用作差法比較，作差后構(gòu)造完全平方式即可.解 / a2+ b2 + c2 (ab+ bc+ ca) = *(a- b)2+ (b c)2+ (c a)2 0, 當

23、且僅當a= b= c時取等號.2 2 2 a + b + c ab+ bc+ ca.比較大小的方法常采用作差法與作商法，但題型為選擇題時可以用特殊值法來比較大小.).【訓練11已知a, b R且ab,則下列不等式中一定成立的是(a飪 1 B . a2C. lg(a b)0aa解析 令a=2, b= 1,則ab, &= 2,故虧 1不成立，排除A;令a= 1,b= 2,則a2= 1, b2 = 4,故a2 b2不成立，排除B;當a b在區(qū)間(0,1)內(nèi)時,(1 lg(a b)v0,排除 C; f(x)= 在 R 上是減函數(shù)，：ab,：f(a)vf(b).答案 D考向二不等式的性質(zhì)【例21 ?(2

24、012包頭模擬)若a0b a, cv dv 0,則下列命題：(1)adbc； a b(2)& +0; (3)a cb d; (4)a (d c)b(d c)中能成立的個數(shù)是().A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 審題視點利用不等式的性質(zhì)說明正誤或舉反例說明真假.解析.a0b, cvdv0,/adv0, bc0,.advbc, (1)錯誤.*a 0 b a , a b 0,C v d v 0 , -c d 0, a(-c) (-b)( d),a b ac+ bdac+bdv ，d+c=-Cd - v 0,/(2)正確.Cv d,._ d,ia b,.a+ ( c) b+ ( d),a c

25、b d,.(3)正確.ab, d c0,a(d c)b(d c),(4)正確，故選 C.答案 C在判斷一個關(guān)于不等式的命題真假時，先把要判斷的命題和不等式性質(zhì)聯(lián)系起來考慮，找到與命題相近的性質(zhì)，并應用性質(zhì)判斷命題真假，當然判斷 的同時還要用到其他知識，比如對數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等.c d【訓練2】已知三個不等式：ab0；bcad；舌&以其中兩個作為條件，余下一個作為結(jié)論，則可以組成正確命題的個數(shù)是().A. 0 B. 1 C. 2 D. 3c d解析 命題1:若ab0，-，則bcad;a bc d命題 2：若 ab0，bcad，則a；c d命題 3:若一，bcad，則 ab0.a b答案 D

26、考向三 不等式性質(zhì)的應用【例3】？已知函數(shù)f(x)= ax2 + bx,且 Kf( 1)2,2f(1)4求f( 2)的取值范 圍.審題視點可利用待定系數(shù)法尋找目標式f( 2)與已知式f( 1), f(1)之間的關(guān)系，即用f( 1), f(1)整體表示f( 2),再利用不等式的性質(zhì)求f( 2)的范圍.解 f( 1)= a b, f(1)= a+ b.f( 2) = 4a 2b.設 m(a+ b)+ n(a b) = 4a 2b.m+ n = 4,m= 1,m n= 2,、n= 3. f( 2)= (a+ b) + 3(a b) = f(1)+ 3f( 1).v 1 f( 1) 2,2 f(1)

27、4, 5 f( 2) bc,求證： +0.a b b c ca審題視點充分運用已知條件及不等式性質(zhì)進行求證.明 a b c,. c b.-a c a b 0,b 丄0.a b a cF(x, y) = mf(x, y) + ng(x, y)，用恒等變形求得 m, n,再利用1 0.1 1 1ab+匸a 0.又bc ，.嵐 0.1c a1 a b m (1)運用不等式性質(zhì)解決問題時，必須注意性質(zhì)成立的條件.同向不等式的可加性與可乘性可推廣到兩個以上的不等式.【訓練 4】若 ab0, cvdv 0, ev0,ee求證：22.(ac)(b d)證明 cv d v 0,一c d 0.又t ab0, a

28、 cb d0. (a c)2 (b d)2 0.a 0v12T2(a C)(b d)03KAQTI2HUANXIAHGTUP0 凈考題專項突破難點突破15數(shù)式大小比較問題數(shù)式大小的比較是高考中最常見的一種命題方式， 涉及的知識點和問題求解的方 法不僅局限于不等式知識，而且更多的關(guān)聯(lián)到函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、向量、解 析幾何、導數(shù)等知識，內(nèi)容豐富多彩命題的方式主要是選擇題、填空題，考查 不等式性質(zhì)、函數(shù)性質(zhì)的應用.、作差法【示例】？（2011陜西）設0vav b,則下列不等式中正確的是（）.A. av bv abva+ bB. av , abva+ bC.av.abv bva+ b2D. . ab

29、va+ b,av v b作差法，特值法作為選擇題的數(shù)式大小比較采用特值法顯然快 而滾只需比較與、ah , b與J 的大小作差法：-（応丫 = u（a 3 戸耳9II特值法【取n = 2tb= S可得*選B【示例】?若Ovxv 1, a0且a 1,則|loga(1 x)與|loga(1+ x)|的大小關(guān)系是()A |loga(1 x)| |loga(1 + x)|B. |loga(1 x)|v |loga(1 + x)|C. 不確定，由a的值決定D. 不確定，由x的值決定矽一采用作商法幌胃二計篷 恒等變式.得到1 I隔心(1 戲)i 1 - LogC1+j (l-：?) 1 | log/1-.r

30、) |i:I logd + .r) It 選 A匚本題也可以采用特值法，取口 = 2“ = 則:厶:1= 1 (1禺弓、中間量法【示例】？若 a = 20.6, b= log n3, c= logzsin# 則(A. abcB.b a cb c aC. cab分別與0或丄比較大小3= 206 2& = hJ 0 = log 1 = logn 3 log* n = 1*：e = iog2 sii)警 20(a 0)或 ax + bx+ cv 0(a 0).求出相應的一元二次方程的根.(3)利用二次函數(shù)的圖象與x軸的交點確定一元二次不等式的解集.2. 一元二次不等式與相應的二次函數(shù)及一元二次方程的

31、關(guān)系如下表：判別式= b2 4acA 0= 0Av 0二次函數(shù)y= ax2+bx+ c (a 0)的圖象yLll-MjmTx一兀二次方程ax+ bx+ c= 0 (a 0)的根有兩相異實根X1, x2(X1 0 (a 0)的解集 xlx x2 或 xV X1牛-gR2ax + bx+ cv 0 (a 0)的解集xlX1 V xV X2?=助療撤憚一個技巧一元二次不等式ax2 + bx+ cv 0.但工0)的解集的確定受a的符號、b24ac的符號 的影響，且與相應的二次函數(shù)、一元二次方程有密切聯(lián)系，可結(jié)合相應的函數(shù) y =ax2+ bx+ c(吐0)的圖象，數(shù)形結(jié)合求得不等式的解集:.若一元二次

32、不等式經(jīng)2過不等式的同解變形后，化為一.ax. + bx+ c.0(或v0)(其中.a0).的形.式.，其對應.2 2的方程.ax. 土. bx+ c= 0 有兩個不等實根.xi,x2,(xiv. x2)(此時b一4ac.0),則 可根據(jù).“大于取兩邊，小于夾中間”求解集.兩個防范二次項系數(shù)中含有參數(shù)時，參數(shù).的符.號影.響不等式的解集;不要忘了二次項系數(shù)是否為零的情況;.(2) 解含參數(shù)的一.元二次不等式，可先考慮因式分解，再對根的大小進行分類討論;若不能因式分解，則可對判別式進行分類討論，分類耍不重丕漏.雙基自測1. (人教A版教材習題改編)不等式x2 3x+ 2v 0的解集為().A.

33、(, 2)U ( 1 ,+x)B. ( 2, 1)C. (, 1)U (2,+x )D. (1,2)解析 .(x 1)(x 2)v 0,/-1v xv 2.故原不等式的解集為(1,2).答案 D2. (2011廣東)不等式2x2 x 10的解集是().1A. 2, 1B. (1,+)( nC. (, 1)U (2,+x )D. , 2 U (1,+x)解析 Tx2 x 1 = (x 1)(2x+ 1) 0,IKAOXIANGTAIMJIlJDAOXIi粽考向探究導桁02研析電向：実例夷破 x 1 或 XV 2故原不等式的解集為J 2 1,+).答案 DD. R3 .不等式9x2 + 6x+ K

34、 0的解集是().A. xX 3 F i rC/X|喬 xw 衣解析i9x2 + 6x+ 1 = (3x+ 1)2 0,2f r9x + 6x+ 1 w 0 的解集為 *x= 3 K 答案 B4. (2012許昌模擬)若不等式ax2 + bx 2v0的解集為1x| 2vxv4，則ab =().A. 28 B . 26C. 28 D . 26解析x= 2, 4是方程ax2 + bx 2= 0的兩根,12,-b=- 4a=4, b= 7；ab= 28.答案 C5 .不等式ax2 + 2ax+ 1 0對一切x R恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為.解析當a= 0時，不等式為10恒成立；a 0,a 0,當a

35、 0時，須即 2工 0,4a 4aw 0.0v aw 1,綜上 0w aw 1.答案0,1考向一 一元二次不等式的解法【例1】?已知函數(shù)f(x)Tx解一元二次不等式的一般步驟是：(1)化為標準形式；確定判別式的符號；若0,則求出該不等式對應的二次方程的根，若 0,解析依題意知2 + 2x, x：0,.x2 + 2x, xv0,解不等式 f(x) + 2x x 0,x 2或 x： 1 , 解得1 v xv 3. 1 a2(a R)的解集.X：0；3 或,-X + 2x 3審題視點對x分x0、xv0進行討論從而把f(x)3變成兩個不等式組.xv2 3 解得：x 1. x + 2x 3, 故原不等式

36、的解集為x|x 1.審題視點先求方程12x2 ax= a2的根，討論根的大小，確定不等式的解集解 / 12 ax a2 , 12x2 ax a2 0,即(4x+ a)(3x a) 0,令(4x+ a)(3x a)= 0,得:xia4,x?a3.a 0時,解集為 収|xv 乎或x3 ；a= 0 時，x20,解集為x|x R 且 x 0;av 0時,a a43解集為，x|xv 3或x a綜上所述：當a0時，不等式的解集為lx|xv號或x3； 當a = 0時，不等式的解集為x|x R且xm0； 當av0時，不等式的解集為1x|xv或x 齊W胡宀解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟:(1)二次項若含有參

37、數(shù)應討論是等于0,小于0,還是大于0,然后將不等式轉(zhuǎn)化 為二次項系數(shù)為正的形式.(2) 判斷方程的根的個數(shù)，討論判別式與0的關(guān)系.(3) 確定無根時可直接寫出解集，確定方程有兩個根時，要討論兩根的大小關(guān)系, 從而確定解集形式.【訓練2】 解關(guān)于x的不等式(1 ax)2v 1.解 由(1 ax)2v 1,得 a2x2 2axv0, 即卩 ax(ax2)v0, 當 a = 0 時，x ?.當a0時,由 ax(ax 2)v0,得 a2x x | v0,2即 0vx0時，不等式解集為 嘆Ovxva ,；當av0時，不等式解集為 伙彳vxv0 1 2x2對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取 值范圍.審題視點

38、化為標準形式ax2 + bx+ c0后分a= 0與a0討論.當a0時，a 0,有 2= b 4acv 0.解 原不等式等價于(a+ 2)x2 + 4x+ a 1 0對一切實數(shù)恒成立，顯然a= 2時, 解集不是R，因此a工一2，a+ 2 0，從而有2 ,彳c4 4(a+ 2a 1 戶 0，a 2，a 2，整理，得所以：/a 2a+ 3 0，kav 3 或 a 2，所以a2.故a的取值范圍是(2,+).V不等式ax2 + bx+ c 0的解是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是當a= 0時,，廣!a 0，2b = 0, c0;當a0時，S不等式ax + bx+ cv0的解是全體實數(shù)(或恒a 恒成立, 求a

39、的取值范圍.解 法一 f(x) = (x a)2 + 2 a2,此二次函數(shù)圖象的對稱軸為 x= a.當a ( x, 1)時，f(x)在1,+)上單調(diào)遞增，f(x)min = f( 1) = 2a+ 3要使 f(x) a 恒成立，只需f(x)mina,即 2a+ 3 a,解得30,即 4a2 4(2 a)w 0 或 av 1,g 1 0.解得3 w a w 1.所求a的取值范圍是3,1.* KAQriZHUNXIAHGTUPO*03務 考題專項突破老躍屈乎宿歸第讀規(guī)范解答12怎樣求解含參數(shù)不等式的恒成立問題【問題研究】含參數(shù)的不等式恒成立問題越來越受高考命題者的青睞，且由于新課標對導數(shù)應用的加強

40、，這些不等式恒成立問題往往與導數(shù)問題交織在一起， 在近年的高考試題中不難看出這個基本的命題趨勢對含有參數(shù)的不等式恒成立問題，破解的方法主要有：分離參數(shù)法和函數(shù)性質(zhì)法【解決方案】解決這類問題的關(guān)鍵是將恒成立問題進行等價轉(zhuǎn)化，使之轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.【示例】？(本題滿分14分)(2011浙江)設函數(shù)f(x) (x a)2ln x, a R.(1) 若x e為y f(x)的極值點，求實數(shù)a；(2) 求實數(shù)a的取值范圍，使得對任意的x (0,3e,恒有f(x)w4e2成立.注：e為自然對數(shù)的底數(shù).本題對于問的解答要注意對于結(jié)果的檢驗，因為f (xo) 0, x0不一定是極值點；對于(2)問的解答可以

41、采用分離參數(shù)求最值的方法進行突破，這樣問題就轉(zhuǎn)化為單邊求最值，相對分類討論求解要簡單的多.2解答示范(1)求導得 f (x) = 2(x a)ln x+2X=(x a)(2ln x+ 1 ;). (2 分)入入因為x= e是f(x)的極值點，所以f (e)= (e a) 3？ = 0,解得a = e或a= 3e.經(jīng)檢驗，符合題意，所以a = e或a= 3e.(4分)(5分)(2)當0v x 1時，對于任意的實數(shù) a，恒有f(x) 0v 4e2成立.當 1vx 0,2e飛西=2ln 3e1加丿.(9a令 h(x) = 2ln x+ 1 ,貝U h(1) = 1 av0,xa且 h(3e) = 2ln(3e) + 1 歪2 In(3e) + 1 又h(x)在(0,+x)內(nèi)單調(diào)遞增，所以函數(shù)h(x)在(0, +)內(nèi)有唯一零點，記此零 點為 X0,貝U 1 vX0 3e,1vX00;當 x (x0, a)時，f (x)v 0;當 x (a,+) 時，f (x)0即f(x)在(