分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)培優(yōu)講義

1、小學(xué)數(shù)學(xué)培優(yōu)講義：分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題閱讀與思考分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題是小學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，它是整數(shù)應(yīng)用題的加深和擴(kuò)展。同時(shí)，它 也有其獨(dú)有的特點(diǎn)和規(guī)律，它的數(shù)量關(guān)系與“量”、“率”相聯(lián)系。它的最基本類(lèi)型有三種：1. 求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾（或百分之幾）；2. 求一個(gè)數(shù)的幾分之幾（百分之幾）是多少；3. 已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾（百分之幾）是多少，求這個(gè)數(shù)。解答分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的關(guān)鍵是：首先要分清哪個(gè)量是標(biāo)準(zhǔn)量單位“1”，哪個(gè)量是比 較量（或部分量），然后找出與之相對(duì)應(yīng)的分率。典型例題例1乙數(shù)是甲數(shù)的丙數(shù)是乙數(shù)的纟，丙數(shù)是甲數(shù)的幾分之幾？4 5【分析與解】如下圖所示，把甲數(shù)看作“1”，用長(zhǎng)方形表

2、示。乙數(shù)是甲數(shù)的3,畫(huà)斜線(xiàn)4表示，丙數(shù)是乙數(shù)的牛，畫(huà)網(wǎng)線(xiàn)表示。hili鑿:驕I：!：C0：:Z：O：2 霾從圖看出：丙數(shù)是甲數(shù)的3和纟，即-X- = -o把甲數(shù)看作單位“儼，丙數(shù)就對(duì)應(yīng)著454 555的 343解：-x-=-4 55答：丙數(shù)是甲方數(shù)3。訓(xùn)練快餐1一根水管，第一次截去全長(zhǎng)的丄，第二次截去余下的？，兩次共截去全長(zhǎng)的幾分之幾？43例2甲數(shù)的2等于乙數(shù)的蘭，甲數(shù)是乙數(shù)的幾分之幾？乙數(shù)是甲數(shù)的幾分之幾？5 3【分析與解】根據(jù)題中的條件可寫(xiě)出數(shù)量關(guān)系式：甲_ = 6 46 39例3紅光村修一條水渠，第一周修了全長(zhǎng)的丄，第二周修了余下的？，第二周比第一周4 5多修了 15米。這條水渠全長(zhǎng)多少

3、米？21【分析與解】依題意可得，把“第二周修了余下的轉(zhuǎn)化成“第二周所修全長(zhǎng)的(1-)54X ?即可得出15米占全長(zhǎng)的丄。510解 15-(1 *|一扌=300 (米)答：這條水渠全長(zhǎng)300米。訓(xùn)練快餐3華聯(lián)超市購(gòu)入一批水果，蘋(píng)果的筐數(shù)占總筐數(shù)的55%,比其他水果的筐數(shù)多10筐。這批 水果共有多少筐？例4工人王師傅要加工一批零件，第一天加工的零件比這批零件的丄還多21個(gè)，第二8天加工的零件比這批零件的丄少6個(gè)，還剩下172個(gè)沒(méi)有加工。王師傅一共加工多少個(gè)零件？6【分析與解】此題中雖然單位“1”數(shù)量沒(méi)有變化，但“量”與“率”之間搓系不太明顯, 可畫(huà)線(xiàn)段圖幫助分析?！?I ”答：王師傅一共要加工26

4、4個(gè)零件。訓(xùn)練快餐4機(jī)械廠(chǎng)要加工一批零件，甲車(chē)間加工這批零件的20%,乙車(chē)間加工余下的25%,丙車(chē)間加 工的比乙余下的40%少100個(gè)，這時(shí)還剩下3700個(gè)零件沒(méi)有加工。這批零件共有多少個(gè)？例5中百超市水果臺(tái)上放有一些水果，第一次賣(mài)出彳后，超市營(yíng)業(yè)員又放入60千克水 果，第二次又賣(mài)出水果臺(tái)上水果的3后，水果臺(tái)上還剩下水果180千克，問(wèn)水果臺(tái)上原有水 果多少千克？【分析與解】根據(jù)“第二次又賣(mài)出水果臺(tái)上水果的可知，剩下的180千克是放入60千克水果后水果臺(tái)上水果的則第一次賣(mài)出后水果有180(1-1-60 = 210千克。而2這210千克是原有水果的1-蘭I 5由此可得原有水果的總重量。解:180

5、一 111-603丿350 （千克）答：水果臺(tái)原有水果350千克。訓(xùn)練快餐525張強(qiáng)看一本故事書(shū)，第一天看了全書(shū)的三，第二天看了剩下的二，還有36頁(yè)沒(méi)有看，這5 8本故事書(shū)一共有多少頁(yè)？例6某工廠(chǎng)把制衣任務(wù)按5:3分給甲、乙兩個(gè)車(chē)間，甲車(chē)間實(shí)際制衣960套，超過(guò)原分 配任務(wù)的20%,原計(jì)劃乙車(chē)間要制衣多少套？解：9604- （1+20%） =80003800x- = 480 （件）5答：原計(jì)劃乙車(chē)間要制衣480套。例7兩個(gè)車(chē)間，甲車(chē)間人數(shù)是乙車(chē)間的？，乙車(chē)間調(diào)走48人后，甲車(chē)間人數(shù)比乙車(chē)間8少丄，甲車(chē)間多少人？4方法仁解:= 448-= 180 （人）15答：甲車(chē)間有180人。方法2：解：設(shè)乙

6、車(chē)間有X人，5 1一 = （x_48）x 1-8I 4丿53 站x = _x_3684x = 288288x- = 18O （人）8答：甲車(chē)間有180人。能力檢測(cè)1、某校男生人數(shù)是女生人數(shù)的丄，女生人數(shù)是男生人數(shù)的幾分之幾？42、乙數(shù)是甲數(shù)的丙數(shù)是乙數(shù)的;，丙數(shù)是甲數(shù)的幾分之幾？4 53、甲數(shù)是丙數(shù)的,乙數(shù)是丙數(shù)的二，甲數(shù)是乙數(shù)的幾分之幾?454、修一條長(zhǎng)2400米的公路，第-天修了全長(zhǎng)的.第二修了余下昭還剩下多少米沒(méi)實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案有修完？5、某校六（1）班有學(xué)生46人，六（2）班學(xué)生人數(shù)比全年級(jí)人數(shù)的+多2人。這兩個(gè)班人 數(shù)的和共占全年級(jí)人數(shù)的丄，六年級(jí)共有學(xué)生多少人？736、王永騎摩托車(chē)從家

7、去東湖，走了全程的二后，剩下的路程比已經(jīng)走過(guò)的多3千米。王永8家到東湖的路程有多少千米？7、一艘輪船從甲港開(kāi)往乙港，第一天走了全程的,第二天走了余下路程的？，第三天走83了 250千米到達(dá)乙港，甲、乙兩港相跑多少千米？8、水果店運(yùn)進(jìn)一批梨，第一天賣(mài)出全部的扌。第二天賣(mài)出剩下的穆，第三天比第一天少賣(mài)這時(shí)還剩下50千克。水果店共運(yùn)進(jìn)了多少千克梨？9、某糧食倉(cāng)庫(kù)往外發(fā)出一批大米，第一次運(yùn)走總數(shù)的丄還多60袋，第二次運(yùn)走總數(shù)的丄少5 460袋，不剩220袋沒(méi)有運(yùn)走。這批大米一共有多少袋？似小玲和小聰收集各種卡片，如果小玲拿町給小聰，小聰再拿出現(xiàn)有的扌給小玲，這 時(shí)兩人的卡片張數(shù)相等。原來(lái)小玲的卡片張數(shù)

8、是小聰?shù)膸追诌@幾？百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題知識(shí)要點(diǎn)與延抻拓展1. 表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分這幾的數(shù)叫做百分?jǐn)?shù)，百分?jǐn)?shù)也叫百分率或百分比，百 分?jǐn)?shù)應(yīng)用題有三種類(lèi)型：求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾；求一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少；已 知一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)。2. 一瓶鹽水中有多少鹽，放多少水和放多少鹽才能配成某一濃度的鹽水，這就是我們平 時(shí)所說(shuō)的濃度問(wèn)題，在進(jìn)行濃度問(wèn)題的計(jì)算時(shí)都要用到百分?jǐn)?shù)，因此有關(guān)濃度的計(jì)算也是百 分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的一個(gè)重要內(nèi)容。3. 商店出焦點(diǎn)商品，總是期望獲得利潤(rùn)。通常，利潤(rùn)率也可以用百分?jǐn)?shù)來(lái)表示，所以利 潤(rùn)問(wèn)題也是一種常見(jiàn)的百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題。4. 求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的應(yīng)用題，解

9、答時(shí)一般從問(wèn)題入手進(jìn)行分析，弄清把 誰(shuí)看做單位“1”，誰(shuí)和“1”比，就用誰(shuí)去除以單位“1”，這類(lèi)問(wèn)題也是“百分率”的問(wèn)題， 如“出勤表” “出粉率”等。5. 求一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少，或已知一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)。這種典型 的百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題和分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的解題方法是一致的。首先要找出題目中的關(guān)鍵問(wèn)進(jìn)行分析， 通過(guò)分析關(guān)鍵句，確定把什么看做單位“1”，找出解題的數(shù)量關(guān)系式，再根據(jù)分?jǐn)?shù)乘除法的 意義列式解答。6. 濃度問(wèn)題是百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的一個(gè)重要部分，解答濃度問(wèn)題，要理解濃度的含義及相關(guān) 的數(shù)量關(guān)系式。濃度=溶質(zhì)三（溶質(zhì)+溶劑）溶質(zhì)=溶液X濃度7. 利潤(rùn)問(wèn)題與我們平時(shí)的生活實(shí)際聯(lián)系十分緊密，

10、解答利潤(rùn)問(wèn)題首先要理解以下的關(guān)系。 利潤(rùn)=賣(mài)價(jià)（定價(jià)）一成本（進(jìn)價(jià)）利潤(rùn)率=（定價(jià)一進(jìn)價(jià)）十進(jìn)價(jià)競(jìng)賽能力要求1. 理清求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的應(yīng)用題的解題思路，體驗(yàn)對(duì)不同類(lèi)型的百分之 數(shù)應(yīng)用題的探究過(guò)程，總結(jié)出百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的解題規(guī)律，并能結(jié)合生活實(shí)際，靈活運(yùn)用解題 方法來(lái)正確解答相關(guān)的題目。2. 理清稀釋、蒸發(fā)以及兩種溶液混合等相關(guān)濃度問(wèn)題的解題思路，會(huì)靈活運(yùn)用各種方法 來(lái)正確解答濃度問(wèn)題，并提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力。3. 理清求利潤(rùn)、求成本、求利潤(rùn)率等相關(guān)利潤(rùn)問(wèn)題的解題思路，并能結(jié)合生活實(shí)際，總 結(jié)利潤(rùn)問(wèn)題的解題規(guī)律。解題技巧與方法1. 在解答求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾應(yīng)用題時(shí)，要從問(wèn)

11、題入手進(jìn)行分析，首先要弄 清求誰(shuí)是誰(shuí)的百分之幾，確定把誰(shuí)看做單位“1”，誰(shuí)和“1”去比，最后用除法計(jì)算。2. 求一個(gè)數(shù)的百分之幾或已知一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)，這類(lèi)應(yīng)用和分?jǐn)?shù)應(yīng) 用題的解題思路是一致的，一方面要找誰(shuí)是單位“1”，一方面找準(zhǔn)具體數(shù)量和分率之間的對(duì) 應(yīng)關(guān)系。3. 在商品出售過(guò)程中，可能出現(xiàn)降低利潤(rùn)(甚至虧本)減價(jià)出售，理解“折扣”的相關(guān) 意義。列方程解答相關(guān)的利潤(rùn)問(wèn)題是一種比較好的解題方法。4. 在解答濃度問(wèn)題時(shí)，首先要理解濃度的含義及相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，解答復(fù)雜的濃度問(wèn)題 時(shí)，要適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分步分析，分步列式的方法，也可以列方程解答。例題解說(shuō)例1小明家的熱水器貯滿(mǎn)了水，一天早晨

12、，小明媽媽用去了 20%,小明爸爸又用18升, 小明用去了剩下水的10%,最后剩下的水只有貯存量的一半還少3升，問(wèn)小明家的電熱水器 貯水量是多少升？分析：由題意可知，小明的媽媽用的水是20%,小明的爸爸用水量是18升，小明的爸爸、 媽媽用水后剩下80%少18升，這樣小明的用水量是80%X10%=8%少18X10%=1.8升。三人 用水的總量則是20%+8%再加18-1.8 = 16. 2 (升)，三人用水的總量也應(yīng)該是50%多3升。 根據(jù)量和分率相對(duì)應(yīng)的關(guān)系很容易求出小明家的電熱水器貯水量的升數(shù)。解：(1-20%) X10%=8%18X10% = 1.8f|-(18-1.8-3) 4- 50%

13、- (20%+8%)= 13. 2%4-22%=60 (升)答：小明家的電熱水器貯水量是60升。解后反思：在解答百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)單位X”不統(tǒng)一的情況，這時(shí)，就要采 取轉(zhuǎn)化的方法，先統(tǒng)一單位F”，而且要保證量等率大小不變，再按照量率相對(duì)應(yīng)的關(guān)系來(lái) 解答。例2黃河中學(xué)上學(xué)年高中男、女生共有300人，這一學(xué)年度高中男生增加4%,女生増 男増加5%,共增加13人，問(wèn)這一學(xué)處度黃河中學(xué)男、女生各有多少人？分析：如果假設(shè)這一學(xué)年度黃河中學(xué)高中男生、女生都增加4%,那么增加的數(shù)應(yīng)為300 X4%=12 (人)，這與實(shí)際增加的13人相差1人，由此可知，這1人應(yīng)占原女生人數(shù)的5% 4%=1%,再按量率

14、對(duì)應(yīng)關(guān)系，求出原來(lái)女生的人數(shù)。解：300X4% = 12 (人)(13-12) 4- (5%-4%) =100 (人)100X (1+5%) =105 (人)(300-100) X (1+4%) =208 (人)答：這一學(xué)年度黃河學(xué)男生有208人，女生有105人。實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案解后反思：這道題由于兩個(gè)部分量增加的分率不同，不利于從局部入手考慮，可以從整 體切入，找出量與率的關(guān)系，以此為突破口進(jìn)行解答。例3有兩包糖果，每包中都奶糖、水果糖和巧克力糖，第一包糖的粒數(shù)是第二包糖的扌， 第一包糖中奶糖占25%,第二包中水果糖占50%,巧克力在第一包糖中所占的百分比是在第二 包糖中所占百分比的兩倍，當(dāng)兩包

15、糖合在一起時(shí)，巧克力糖占28%,那么水果糖所占的百分 比是多少？分析：如果設(shè)第二包糖的粒數(shù)是3份，那么第一包糖的粒數(shù)為2份，兩包糖的總粒數(shù)為 5份，第二包糖中水果糖的份數(shù)是3X50% = 1.5份，兩包糖合在一起，巧克力糖的粉數(shù)是5 X28%=1.4份，又因?yàn)榍煽肆μ窃诘谝话侵兴嫉陌俜直纫彩堑诙兴及俜直鹊?售, 如果把第一包糖中巧克力糖所占的百分比看做“1”，則可求出第一包糖中巧克力實(shí)際據(jù)點(diǎn)為 百分比是1.4F （2 + 3X丄）=40%,又知道第一包糖中奶糖占25%,所以第一包糖中水果糖2所占百分比是1-25%-40%=35%,即水果糖有2X35%=0.7份，再根據(jù)求百分?jǐn)?shù)的方法算

16、出 最后結(jié)果。解：設(shè)第二包糖的嫌數(shù)為3份，由第一包的粒數(shù)為2份，兩包合起來(lái)的粒數(shù)就是5份。2X25%=0.5 （份）3X50%=1.5 （份）5X28%=1.4 （份）1.44- （2 + 3x1） =40%22X （1-25%-40%） =0.7 （份）（0. 7+1.5） 4-5=44%答：兩包糖合在一起時(shí)，水果糖所占的百分比是44%。解后反思：求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾（百分比），關(guān)鍵是要知道這兩個(gè)數(shù)（室兩數(shù) 可以是具體的數(shù)量，也可以是份數(shù)），當(dāng)條件紛繁復(fù)雜時(shí)，要學(xué)會(huì)分?jǐn)?shù)整理，選擇條件，反復(fù) 雜的問(wèn)題解成幾個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題來(lái)解答。例4有兩堆煤共136噸，某廠(chǎng)從甲堆取走30%,從乙堆中取走丄

17、，這時(shí)乙堆剩下的煤恰4好比原來(lái)的總數(shù)的62. 5%少13噸，這個(gè)廠(chǎng)從甲堆中取走多少煤？分析：根據(jù)“乙堆剩下的煤恰好比原來(lái)總數(shù)的62. 5%少13噸”可以求出乙堆剩下的噸數(shù), 根據(jù)“乙堆取走丄”剩下72噸，可以求出乙堆原來(lái)的噸數(shù)，從而求出甲堆原來(lái)煤的噸數(shù)，最4后根據(jù)求一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少列式求出甲堆取走多少?lài)嵜骸＝?136- （136X62. 5%-13） 4- （1-1） X30%43= 136-72X - X30%4=40X30%=12 （噸）答：這個(gè)廠(chǎng)從甲堆中取走12噸煤。實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案評(píng)注：從這題中可很明顯的看出百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題和分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的解題思路是一樣的，解答 時(shí)要善于抓住題目中的關(guān)鍵句

18、進(jìn)行分析，另外在列式時(shí)要考慮具體數(shù)量和分率之間的對(duì)應(yīng)關(guān) 系。例5有濃度為30%的酒精溶液若干，添加了一定數(shù)量的水后稀釋成濃度為24%的酒精溶 液，如果再加入同樣多的水，那么酒精深液的濃度為多少？分析：在濃度為30%的酒精溶液中，溶質(zhì)重量與溶液重量的比為30:100,在濃度為24% 的酒精溶液中，溶質(zhì)重量與溶液重量的比為24:100,發(fā)現(xiàn)溶質(zhì)的重量不變，可以設(shè)溶質(zhì)重量 為120份，從而得出水增加的份數(shù)，最后得出若再增加同樣多的水，酒精溶液的濃度。解：30:100 = 120:40024:100 = 120:500若設(shè)溶質(zhì)的重量為120份，發(fā)現(xiàn)水增加了 500400 = 100 （份），若再加同樣

19、多的水，此 時(shí)酒精溶液的濃度為：120x 100% = 20%500+100答：最后酒精溶液的濃度為20%。解后反思：在濃度問(wèn)題中，溶質(zhì)的重量不變，溶劑的重量增加，這類(lèi)問(wèn)題稱(chēng)為稀釋問(wèn)題; 若溶質(zhì)的重量，而溶劑的重量減少，這類(lèi)問(wèn)題稱(chēng)為蒸發(fā)問(wèn)題，稀釋問(wèn)題與蒸發(fā)問(wèn)題的共同特 點(diǎn)是溶質(zhì)的重量是不變量，在解答這兩類(lèi)問(wèn)題的應(yīng)用題時(shí)，要弄清什么是不變馬日，什么是變 量，抓住不變量是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。賽前強(qiáng)化練習(xí)1. 填空題（1）一種商品先降價(jià)20%,又漲價(jià)20%,現(xiàn)價(jià)是原價(jià)的（）。（2）貨車(chē)速度是客車(chē)的80%,客車(chē)比貨車(chē)快（）%o（3）一項(xiàng)工程，甲隊(duì)獨(dú)修12天完成，乙隊(duì)獨(dú)修15天完成，甲隊(duì)的工效比乙隊(duì)高（）。（4）60克鹽加入（）克水可能制成含鹽15%的鹽水。（5）某商品按20%的利潤(rùn)定價(jià)，然后按8. 8折出售，共獲利84元，商品的進(jìn)價(jià)是（） 7L o2. 解答下列各題（1）甲、乙、丙三人，甲的年齡比乙的年齡大20%,乙的年齡比丙大20%,甲比丙的年齡 大百分之幾？（2）有兩包糖果，第一包的粒數(shù)是第二包粒數(shù)的在第一包中奶糖占30%,在第二包 中其它糖占42%,如果把兩包糖合在一