人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)同步講解第9章《9.2.4總體離散程度的估計(jì)》(含解析)

1、9.2.4 總體離散程度的估計(jì)學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)核 心 素 養(yǎng)1.結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差)(重點(diǎn))2理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義(重點(diǎn)、難點(diǎn)).1.通過(guò)對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)2通過(guò)利用標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差估計(jì)總體的離散程度，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).1一組數(shù)據(jù)x1，x2，xn的方差和標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)據(jù)x1，x2，xn的方差為，標(biāo)準(zhǔn)差為.2總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差(1)總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差：如果總體中所有個(gè)體的變量值分別為Y1，Y2，YN，總體的平均數(shù)為，則稱(chēng)S2為總體方差，S為總體標(biāo)準(zhǔn)差(2)總體方差的加權(quán)形式：如果總體的N個(gè)變量值中，不同的值共有k(kN)

2、個(gè)，不妨記為Y1，Y2，Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi(i1,2，k)，則總體方差為S2.3樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差如果一個(gè)樣本中個(gè)體的變量值分別為y1，y2，yn，樣本平均數(shù)為，則稱(chēng)s2為樣本方差，s為樣本標(biāo)準(zhǔn)差4標(biāo)準(zhǔn)差的意義標(biāo)準(zhǔn)差刻畫(huà)了數(shù)據(jù)的離散程度或波動(dòng)幅度，標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小5分層隨機(jī)抽樣的方差設(shè)樣本容量為n，平均數(shù)為，其中兩層的個(gè)體數(shù)量分別為n1，n2，兩層的平均數(shù)分別為1，2，方差分別為s，s，則這個(gè)樣本的方差為s2s(1)2s(2)2思考1：甲班和乙班各有學(xué)生20人、40人，甲班的數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為80分，方差為2，乙班的數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為82

3、分，方差為4，那么甲班和乙班這60人的數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分是81分嗎？方差是3嗎？為什么？提示不是，因?yàn)榧装嗪鸵野嘣谶@60人中的權(quán)重是不同的思考2：數(shù)據(jù)x1，x2，xn的平均數(shù)是，方差為s2，數(shù)據(jù)x1，x2，xn，的方差為s，那么s2與s的大小關(guān)系如何？提示因?yàn)閿?shù)據(jù)x1，x2，xn，比數(shù)據(jù)x1，x2，xn更加相對(duì)集中，所以方差變小了，即ss2.1在教學(xué)調(diào)查中，甲、乙、丙三個(gè)班的數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)分布如圖1、2、3，假設(shè)三個(gè)班的平均分都是75分，s1，s2，s3分別表示甲、乙、丙三個(gè)班數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差，則有()圖1圖2圖3As3s1s2Bs2s1s3Cs1s2s3 Ds3s2s1D所給圖是成績(jī)分布圖，

4、平均分是75分，在圖1中，集中在75分附近的數(shù)據(jù)最多，圖3中從50分到100分均勻分布，所有成績(jī)不集中在任何一個(gè)數(shù)據(jù)附近，圖2介于兩者之間由標(biāo)準(zhǔn)差的意義可得s3s2s1.2已知一個(gè)樣本中的數(shù)據(jù)為1,2,3,4,5，則該樣本的標(biāo)準(zhǔn)差為()A1B.C.D2B樣本容量n5，(12345)3，s.3某學(xué)員在一次射擊測(cè)試中射靶10次，命中環(huán)數(shù)如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4，則：(1)平均命中環(huán)數(shù)為 ；(2)命中環(huán)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為 (1)7(2)2(1)7.(2)s2(77)2(87)2(77)2(97)2(57)2(47)2(97)2(107)2(77)2(47)24，s2.方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)

5、算【例1】甲、乙兩機(jī)床同時(shí)加工直徑為100 cm的零件，為檢驗(yàn)質(zhì)量，各從中抽取6件測(cè)量，數(shù)據(jù)為甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差；(2)根據(jù)計(jì)算結(jié)果判斷哪臺(tái)機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定解(1)甲(9910098100100103)100，乙(9910010299100100)100.s(99100)2(100100)2(98100)2(100100)2(100100)2(103100)2，s(99100)2(100100)2(102100)2(99100)2(100100)2(100100)21.(2)兩臺(tái)機(jī)床所加工零件的直

6、徑的平均值相同，又ss，所以乙機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定標(biāo)準(zhǔn)差、方差的意義(1)標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，標(biāo)準(zhǔn)差的大小不會(huì)超過(guò)極差(2)標(biāo)準(zhǔn)差、方差的取值范圍：0，)標(biāo)準(zhǔn)差、方差為0時(shí)，樣本各數(shù)據(jù)相等，說(shuō)明數(shù)據(jù)沒(méi)有波動(dòng)幅度，數(shù)據(jù)沒(méi)有離散性1如圖，樣本A和B分別取自?xún)蓚€(gè)不同的總體，它們的樣本平均數(shù)分別為A和B，樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別為sA和sB，則()A.AB，sAsBB.AsBC.AB，sAsB D.AB，sAsBBA(2.51057.52.510)6.25，B(151012.51012.510)11.67.

7、s(2.56.25)2(106.25)2(56.25)2(7.56.25)2(2.56.25)2(106.25)29.90，s3.47.故AB，sAsB.分層隨機(jī)抽樣的方差【例2】甲、乙兩支田徑隊(duì)體檢結(jié)果為：甲隊(duì)的體重的平均數(shù)為60 kg，方差為200，乙隊(duì)體重的平均數(shù)為70 kg，方差為300，又已知甲、乙兩隊(duì)的隊(duì)員人數(shù)之比為14，那么甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員的平均體重和方差分別是什么？解由題意可知甲60，甲隊(duì)隊(duì)員在所有隊(duì)員中所占權(quán)重為，乙70，乙隊(duì)隊(duì)員在所有隊(duì)員中所占權(quán)重為，則甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員的平均體重為607068 kg，甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員的體重的方差為s2200(6068)2300(706

8、8)2296.計(jì)算分層隨機(jī)抽樣的方差s2的步驟(1)確定1，2，s，s，(2)確定；(3)應(yīng)用公式s2s(1)2s(2)2計(jì)算s2.2已知某省二、三、四線城市數(shù)量之比為136,2019年8月份調(diào)查得知該省所有城市房產(chǎn)均價(jià)為1.2萬(wàn)元/平方米，方差為20，二、三、四線城市的房產(chǎn)均價(jià)分別為2.4萬(wàn)元/平方米，1.8萬(wàn)元/平方米，0.8萬(wàn)元/平方米，三、四線城市房?jī)r(jià)的方差分別為10, 8，則二線城市的房?jī)r(jià)的方差為 11852設(shè)二線城市的房?jī)r(jià)的方差為s2，由題意可知20s2(1.22.4)210(1.21.8)28(1.20.8)2，解答s2118.52，即二線城市的房?jī)r(jià)的方差為118.52.數(shù)據(jù)的數(shù)

9、字特征的綜合應(yīng)用探究問(wèn)題1對(duì)一組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，應(yīng)該從哪幾個(gè)方面進(jìn)行？提示平均數(shù)反映數(shù)據(jù)的平均水平，用眾數(shù)反映數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)，用中位數(shù)反映數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)和一般水平，用標(biāo)準(zhǔn)差或方差反映數(shù)據(jù)的離散程度2對(duì)比兩組數(shù)據(jù)時(shí)，要從哪幾個(gè)方面進(jìn)行？提示從眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)和方差等幾個(gè)方面【例3】在一次科技知識(shí)競(jìng)賽中，某學(xué)校的兩組學(xué)生的成績(jī)?nèi)缦卤恚悍謹(jǐn)?shù)5060708090100人數(shù)甲組251013146乙組441621212請(qǐng)根據(jù)你所學(xué)過(guò)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，判斷這兩個(gè)組在這次競(jìng)賽中的成績(jī)誰(shuí)優(yōu)誰(shuí)劣，并說(shuō)明理由思路探究分別求出這兩組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)和方差，從這幾個(gè)方面進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析解(1)甲組成績(jī)的眾數(shù)為9

10、0，乙組成績(jī)的眾數(shù)為70，從成績(jī)的眾數(shù)比較看，甲組成績(jī)好些(2)甲(5026057010801390141006)4 00080，乙(5046047016802901210012)4 00080.s2(5080)25(6080)210(7080)213(8080)214(9080)26(10080)2172，s4(5080)24(6080)216(7080)22(8080)212(9080)212(10080)2256.甲乙，ss，甲組成績(jī)較乙組成績(jī)穩(wěn)定，故甲組好些(3)甲、乙兩組成績(jī)的中位數(shù)、平均數(shù)都是80分其中，甲組成績(jī)?cè)?0分以上(包括80分)的有33人，乙組成績(jī)?cè)?0分以上(包括80分

11、)的有26人從這一角度看，甲組的成績(jī)較好(4)從成績(jī)統(tǒng)計(jì)表看，甲組成績(jī)大于等于90分的有20人，乙組成績(jī)大于等于90分的有24人，所以乙組成績(jī)集中在高分段的人數(shù)多同時(shí)，乙組得滿分的人數(shù)比甲組得滿分的人數(shù)多6人從這一角度看，乙組的成績(jī)較好某校擬派一名跳高運(yùn)動(dòng)員參加一項(xiàng)校際比賽，對(duì)甲、乙兩名跳高運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行了8次選拔比賽，他們的成績(jī)(單位：m)如下：甲：1.70,1.65,1.68,1.69,1.72,1.73,1.68,1.67；乙：1.60,1.73,1.72,1.61,1.62,1.71,1.70,1.75.經(jīng)預(yù)測(cè)，跳高1.65 m就很可能獲得冠軍該校為了獲取冠軍，可能選哪位選手參賽？若預(yù)測(cè)跳

12、高1.70 m方可獲得冠軍呢？解甲的平均成績(jī)和方差如下：甲(1.701.651.681.691.721.731.681.67)1.69，s(1.701.69)2(1.651.69)2(1.671.69)20.000 6.乙的平均成績(jī)和方差如下：乙(1.601.731.721.611.621.711.701.75)1.68，s(1.601.68)2(1.731.68)2(1.751.68)20.003 15.顯然，甲的平均成績(jī)高于乙的平均成績(jī)，而且甲的方差小于乙的方差，說(shuō)明甲的成績(jī)比乙穩(wěn)定由于甲的平均成績(jī)高于乙，且成績(jī)穩(wěn)定，所以若跳高1.65 m就很可能獲得冠軍，應(yīng)派甲參賽在這8次選拔賽中乙有5

13、次成績(jī)?cè)?.70 m以上，雖然乙的平均成績(jī)不如甲，成績(jī)的穩(wěn)定性也不如甲，但成績(jī)突破1.70 m的可能性大于甲，所以若跳高1.70 m方可獲得冠軍，應(yīng)派乙參賽數(shù)據(jù)分析的要點(diǎn)(1)要正確處理此類(lèi)問(wèn)題，首先要抓住問(wèn)題中的關(guān)鍵詞語(yǔ)，全方位地進(jìn)行必要的計(jì)算、分析，而不能習(xí)慣性地僅從樣本方差的大小去決定哪一組的成績(jī)好，像這樣的實(shí)際問(wèn)題還得從實(shí)際的角度去分析，如本例的“滿分人數(shù)”；其次要在恰當(dāng)?shù)卦u(píng)估后，組織好正確的語(yǔ)言作出結(jié)論(2)在進(jìn)行數(shù)據(jù)分析時(shí)，不同的標(biāo)準(zhǔn)沒(méi)有對(duì)和錯(cuò)的問(wèn)題，也不存在唯一解的問(wèn)題，而是根據(jù)需要來(lái)選擇“好”的決策，至于決策的好壞，是根據(jù)提出的標(biāo)準(zhǔn)而定的1標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2稱(chēng)為方差，有時(shí)用方差代

14、替標(biāo)準(zhǔn)差測(cè)量樣本數(shù)據(jù)的離散程度方差與標(biāo)準(zhǔn)差的測(cè)量效果是一致的，在實(shí)際應(yīng)用中一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差2現(xiàn)實(shí)中的總體所包含的個(gè)體數(shù)往往很多，總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差是未知的，我們通常用樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差，但要求樣本有較好的代表性1判斷正誤(1)計(jì)算分層隨機(jī)抽樣的均值與方差時(shí)，必須已知各層的權(quán)重()(2)若一組數(shù)據(jù)的值大小相等，沒(méi)有波動(dòng)變化，則標(biāo)準(zhǔn)差為0.()(3)標(biāo)準(zhǔn)差越大，表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周?chē)郊校粯?biāo)準(zhǔn)差越小，表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周?chē)椒稚?)提示(1)正確(2)正確(3)錯(cuò)誤標(biāo)準(zhǔn)差越大，表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周?chē)椒稚?；?biāo)準(zhǔn)差越小，表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在

15、樣本平均數(shù)周?chē)郊写鸢?1)(2)(3)2若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，x10的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)2x11,2x21，2x101的標(biāo)準(zhǔn)差為()A8B15C16D32C已知樣本數(shù)據(jù)x1，x2，x10的標(biāo)準(zhǔn)差為s8，則s264，數(shù)據(jù)2x11,2x21，2x101的方差為22s22264，所以其標(biāo)準(zhǔn)差為2816，故選C.3在高一期中考試中，甲、乙兩個(gè)班的數(shù)學(xué)成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下表：班級(jí)人數(shù)平均分?jǐn)?shù)方差甲20甲2乙30乙3其中甲乙，則兩個(gè)班數(shù)學(xué)成績(jī)的方差為()A3 B2 C2.6 D2.5C由題意可知兩個(gè)班的數(shù)學(xué)成績(jī)平均數(shù)為甲乙，則兩個(gè)班數(shù)學(xué)成績(jī)的方差為s22(甲)23(乙)2232.6.4某校醫(yī)務(wù)室抽查了高一10位同學(xué)的體重(單位：kg)如下：74,71,72,68,76,73,67,70,65,74.(1)求這10個(gè)學(xué)生體重?cái)?shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差；(2)估計(jì)高一所有學(xué)生體重?cái)?shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差解(1)這10個(gè)學(xué)生體重?cái)?shù)據(jù)的平均數(shù)為(7471726876736770657