高等數(shù)學(xué)第七版課件12 數(shù)列極限

1、第二講 數(shù)列的極限數(shù)列的極限數(shù)列的極限一、數(shù)列極限的概念二、收斂數(shù)列的性質(zhì)數(shù)列的極限數(shù)列的極限一、數(shù)列極限的概念二、收斂數(shù)列的性質(zhì)一、數(shù)列極限的概念一、數(shù)列極限的概念(一) 引例(二) 數(shù)列極限的定義一、數(shù)列極限的概念一、數(shù)列極限的概念(一) 引例(二) 數(shù)列極限的定義（一）引例（一）引例求半徑為求半徑為r的的圓的面積圓的面積s1.作圓的內(nèi)接正多邊形作圓的內(nèi)接正多邊形正三角形：正三角形：s1 1正六邊形：正六邊形：（一）引例（一）引例求半徑為求半徑為r的的圓的面積圓的面積s1.作圓的內(nèi)接正多邊形作圓的內(nèi)接正多邊形正三角形：正三角形：s1 1正六邊形：正六邊形：s2 2正十二邊形：正十二邊形：

2、s3 3sn當(dāng)當(dāng)n無限增大時無限增大時sn的變化趨勢為的變化趨勢為s“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，萬世不竭萬世不竭”2.越來越接近越來越接近s（一）引例（一）引例求半徑為求半徑為r的的圓的面積圓的面積s1.作圓的內(nèi)接正多邊形作圓的內(nèi)接正多邊形正三角形：正三角形：s1 1正六邊形：正六邊形：s2 2正十二邊形：正十二邊形： s3 3sn當(dāng)當(dāng)n無限增大時無限增大時sn的變化趨勢為的變化趨勢為s“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，萬世不竭萬世不竭”2.越來越接近越來越接近s（一）引例（一）引例求半徑為求半徑為r的的圓的面積圓的面積s1.作圓的內(nèi)接正多邊形作圓的內(nèi)接正多邊形正三角形：

3、正三角形：s1 1正六邊形：正六邊形：s2 2正十二邊形：正十二邊形： s3 3sn當(dāng)當(dāng)n無限增大時無限增大時sn的變化趨勢為的變化趨勢為s“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，萬世不竭萬世不竭”2.越來越接近越來越接近s（一）引例（一）引例求半徑為求半徑為r的的圓的面積圓的面積s1.作圓的內(nèi)接正多邊形作圓的內(nèi)接正多邊形正三角形：正三角形：s1 1正六邊形：正六邊形：s2 2正十二邊形：正十二邊形： s3 3sn當(dāng)當(dāng)n無限增大時無限增大時sn的變化趨勢為的變化趨勢為s“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，萬世不竭萬世不竭”2.第一天后：第一天后：越來越接近越來越接近s（一）引例（一）引

4、例求半徑為求半徑為r的的圓的面積圓的面積s1.作圓的內(nèi)接正多邊形作圓的內(nèi)接正多邊形正三角形：正三角形：s1 1正六邊形：正六邊形：s2 2正十二邊形：正十二邊形： s3 3sn當(dāng)當(dāng)n無限增大時無限增大時sn的變化趨勢為的變化趨勢為s“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，萬世不竭萬世不竭”2.第一天后：第一天后：1/2第二天后：第二天后：越來越接近越來越接近s（一）引例（一）引例求半徑為求半徑為r的的圓的面積圓的面積s1.作圓的內(nèi)接正多邊形作圓的內(nèi)接正多邊形正三角形：正三角形：s1 1正六邊形：正六邊形：s2 2正十二邊形：正十二邊形： s3 3sn當(dāng)當(dāng)n無限增大時無限增大時sn的變化趨勢為

5、的變化趨勢為s“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，萬世不竭萬世不竭”2.第一天后：第一天后：1/2第二天后：第二天后：1/22第三天后：第三天后： 1/231/2n當(dāng)當(dāng)n無限增大時無限增大時1/2n的變化趨勢為的變化趨勢為0越來越接近越來越接近s越來越接近越來越接近0越來越接近越來越接近0江澤民主席在哈佛大江澤民主席在哈佛大學(xué)的演講學(xué)的演講江澤民文選江澤民文選第二卷第第二卷第5959頁頁（一）引例（一）引例求半徑為求半徑為r的的圓的面積圓的面積s1.作圓的內(nèi)接正多邊形作圓的內(nèi)接正多邊形正三角形：正三角形：s1 1正六邊形：正六邊形：s2 2正十二邊形：正十二邊形： s3 3sn當(dāng)當(dāng)n無限

6、增大時無限增大時sn的變化趨勢為的變化趨勢為s“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，萬世不竭萬世不竭”2.第一天后：第一天后：1/2第二天后：第二天后：1/22第三天后：第三天后： 1/231/2n當(dāng)當(dāng)n無限增大時無限增大時1/2n的變化趨勢為的變化趨勢為0極限：極限：變量的變化趨勢變量的變化趨勢越來越接近越來越接近s越來越接近越來越接近0越來越接近越來越接近0（一）引例（一）引例求半徑為求半徑為r的的圓的面積圓的面積s1.作圓的內(nèi)接正多邊形作圓的內(nèi)接正多邊形正三角形：正三角形：s1 1正六邊形：正六邊形：s2 2正十二邊形：正十二邊形： s3 3sn當(dāng)當(dāng)n無限增大時無限增大時sn的變化趨

7、勢為的變化趨勢為s“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，萬世不竭萬世不竭”2.第一天后：第一天后：1/2第二天后：第二天后：1/22第三天后：第三天后： 1/231/2n當(dāng)當(dāng)n無限增大時無限增大時1/2n的變化趨勢為的變化趨勢為0極限：極限：變量的變化趨勢變量的變化趨勢越來越接近越來越接近s越來越接近越來越接近0越來越接近越來越接近0（一）引例（一）引例求半徑為求半徑為r的的圓的面積圓的面積s1.作圓的內(nèi)接正多邊形作圓的內(nèi)接正多邊形正三角形：正三角形：s1 1正六邊形：正六邊形：s2 2正十二邊形：正十二邊形： s3 3sn當(dāng)當(dāng)n無限增大時無限增大時sn的變化趨勢為的變化趨勢為s“一尺之棰

8、，日取其半，一尺之棰，日取其半，萬世不竭萬世不竭”2.第一天后：第一天后：1/2第二天后：第二天后：1/22第三天后：第三天后： 1/231/2n當(dāng)當(dāng)n無限增大時無限增大時1/2n的變化趨勢為的變化趨勢為0極限：極限：變量的變化趨勢變量的變化趨勢極限極限方法：方法：在考察變量的變化趨勢用到的，用以解決近似與精確、在考察變量的變化趨勢用到的，用以解決近似與精確、變量與常量等矛盾的方法變量與常量等矛盾的方法. .近近 似似 值值近近 似似 值值越來越接近越來越接近s精確值精確值越來越接近越來越接近0越來越接近越來越接近0精確值精確值（一）引例（一）引例求半徑為求半徑為r的的圓的面積圓的面積s1.作

9、圓的內(nèi)接正多邊形作圓的內(nèi)接正多邊形正三角形：正三角形：s1 1正六邊形：正六邊形：s2 2正十二邊形：正十二邊形： s3 3sn當(dāng)當(dāng)n無限增大時無限增大時sn的變化趨勢為的變化趨勢為s“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，萬世不竭萬世不竭”2.第一天后：第一天后：1/2第二天后：第二天后：1/22第三天后：第三天后： 1/231/2n當(dāng)當(dāng)n無限增大時無限增大時1/2n的變化趨勢為的變化趨勢為0極限：極限：變量的變化趨勢變量的變化趨勢極限極限方法：方法：在考察變量的變化趨勢用到的，用以解決近似與精確、在考察變量的變化趨勢用到的，用以解決近似與精確、變量與常量等矛盾的方法變量與常量等矛盾的方法

10、. .變變 量量變變 量量越來越接近越來越接近0越來越接近越來越接近0常量常量常量常量越來越接近越來越接近s一、數(shù)列極限的概念一、數(shù)列極限的概念(一) 引例(二) 數(shù)列極限的定義一、數(shù)列極限的概念一、數(shù)列極限的概念(一) 引例(二) 數(shù)列極限的定義（二）數(shù)列極限的定義（二）數(shù)列極限的定義1數(shù)列的概念2數(shù)列極限的描述性定義3數(shù)列極限的精確定義4數(shù)列極限的意義定義：定義：nx如果按照某一法則如果按照某一法則, ,對每個對每個 , ,對應(yīng)著一個確定對應(yīng)著一個確定的實數(shù)的實數(shù) , ,這些實數(shù)這些實數(shù) 按照下標(biāo)按照下標(biāo)n從小到大排列得從小到大排列得到的一個序列到的一個序列 nnnx,321nxxxx就叫

11、做數(shù)列就叫做數(shù)列, ,記為記為 . nx表示：表示：(a) 數(shù)軸上的一系列點數(shù)軸上的一系列點(b) 平面上的一系列點平面上的一系列點1x2x3x4x1 12 23 34 4no oxn1x2x3x4xnxx實質(zhì)：實質(zhì)： 自變量為正整數(shù)的函數(shù)自變量為正整數(shù)的函數(shù)( ),nnxf nn （二）數(shù)列極限的定義（二）數(shù)列極限的定義1數(shù)列的概念2數(shù)列極限的描述性定義3數(shù)列極限的精確定義4數(shù)列極限的意義（二）數(shù)列極限的概念（二）數(shù)列極限的概念1數(shù)列的概念2數(shù)列極限的描述性定義3數(shù)列極限的精確定義4數(shù)列極限的意義（二）數(shù)列極限的概念（二）數(shù)列極限的概念1數(shù)列的概念2數(shù)列極限的描述性定義3數(shù)列極限的精確定義4

12、數(shù)列極限的意義例：例：（1）:11n,311,211,2（2）:11n,43,21,0（3）:)1(1nn,32,211,0（4）:)1(nn,3,2,1（5）:2)1(1n,0,1,0,1增減性增減性依次遞減依次遞減依次增大依次增大來回擺動來回擺動來回擺動來回擺動來回擺動來回擺動變化趨勢變化趨勢1 11 11 1無限大無限大無無變化趨勢為常數(shù)變化趨勢為常數(shù)數(shù)列極限的描述性定義數(shù)列極限的描述性定義如果當(dāng)如果當(dāng)n無限增大時，無限增大時， nx無限接近于常數(shù)無限接近于常數(shù)a，則稱常數(shù)則稱常數(shù)a為數(shù)列為數(shù)列 nx 的極限的極限（二）數(shù)列極限的概念（二）數(shù)列極限的概念1數(shù)列的概念2數(shù)列極限的描述性定義

13、3數(shù)列極限的精確定義4數(shù)列極限的意義（二）數(shù)列極限的概念（二）數(shù)列極限的概念1數(shù)列的概念2數(shù)列極限的描述性定義3數(shù)列極限的精確定義4數(shù)列極限的意義當(dāng)當(dāng)n無限增大時，無限增大時， nx無限接近于常數(shù)無限接近于常數(shù)a， 當(dāng)當(dāng)n無限增大時，無限增大時，axn無限變小無限變小 當(dāng)當(dāng)n無限增大時，無限增大時，axn要多小有多小要多小有多小對于任意給定的正數(shù)，對于任意給定的正數(shù)， 都可以找到一項，都可以找到一項，使得該項以后的所有項，使得該項以后的所有項，axn小于上述給定的正數(shù)小于上述給定的正數(shù) 當(dāng)當(dāng)n無限增大時，無限增大時，n11無限接近于無限接近于110n 取取,10n 當(dāng)當(dāng)nn 時，時，例例如果當(dāng)

14、如果當(dāng)n無限增大時，無限增大時， nx無限接近于常數(shù)無限接近于常數(shù)a，則稱常數(shù)則稱常數(shù)a為數(shù)列為數(shù)列 nx 的極限。的極限。 給定給定0.1 欲使欲使 nn11111 . 01 . 0111 n01. 001. 010001. 0100 給定給定0， 欲使欲使nn11111n 取取, 11n 當(dāng)當(dāng)nn 時，時，111n數(shù)列極限的精確定義：數(shù)列極限的精確定義：, 0 即：即：limnnxa 正整數(shù)正整數(shù),n當(dāng)當(dāng)nn 時時,有有 |axn1.關(guān)于關(guān)于任意變小任意變小，描述了描述了 與與 的無限接近程度的無限接近程度. .nxa相對固定相對固定，根據(jù)給定的根據(jù)給定的找找n2.關(guān)于關(guān)于n依賴于依賴于，

15、有時可記作有時可記作n（）.不唯一不唯一.axnnnn, 0, 0l注注u例例1證明證明02sin1lim nnnu例例2證明證明) 1(1limaannu例例3證明證明) 1(0limqqnnl注注1.記住重要結(jié)論記住重要結(jié)論2.證明的關(guān)鍵：證明的關(guān)鍵：依據(jù)依據(jù)找找n（n可以不同）可以不同）3.找找n的方法：的方法： 常用常用“適當(dāng)放大適當(dāng)放大”的方的方法法4.放大的技巧：放大的技巧：利用各種不等式利用各種不等式l歌謠：歌謠： 證明規(guī)律遵證明規(guī)律遵執(zhí)果索其因執(zhí)果索其因依據(jù)依據(jù)找找nn能找到能找到結(jié)論斷言真結(jié)論斷言真如何找如何找n適當(dāng)放大身適當(dāng)放大身若把技巧問若把技巧問不等式來尋不等式來尋關(guān)鍵

16、要把準(zhǔn)關(guān)鍵要把準(zhǔn)（二）數(shù)列極限的概念（二）數(shù)列極限的概念1數(shù)列的概念2數(shù)列極限的描述性定義3數(shù)列極限的精確定義4數(shù)列極限的意義（二）數(shù)列極限的概念（二）數(shù)列極限的概念1數(shù)列的概念2數(shù)列極限的描述性定義3數(shù)列極限的精確定義4數(shù)列極限的意義1 1幾何意義幾何意義axaaxnnaxnnnn, 0, 0,nnnnaxa 00 x1x2x2 nx1 nx3x 2 a aa a aannxo2 2粗略說法粗略說法,0 axn“一個時刻一個時刻”，使得在該，使得在該“時刻以時刻以后后”，恒有恒有數(shù)列的極限數(shù)列的極限一、數(shù)列極限的概念二、收斂數(shù)列的性質(zhì)數(shù)列的極限數(shù)列的極限一、數(shù)列極限的概念二、收斂數(shù)列的性質(zhì)二

17、、收斂數(shù)列的性質(zhì)二、收斂數(shù)列的性質(zhì)（一）極限的唯一性（一）極限的唯一性如果數(shù)列如果數(shù)列 收斂收斂, ,那么它的極限唯一那么它的極限唯一. . nx定理定理1 1（二）收斂數(shù)列的有界性（二）收斂數(shù)列的有界性數(shù)列有界的定義數(shù)列有界的定義定理定理2一定有界一定有界. nx nx如果數(shù)列如果數(shù)列收斂收斂, 那么數(shù)列那么數(shù)列l(wèi)注注一定發(fā)散一定發(fā)散. nx nx如果數(shù)列如果數(shù)列無界無界, 那么數(shù)列那么數(shù)列(1)(2) nx如果數(shù)列如果數(shù)列有界有界,不一定收斂不一定收斂. nx數(shù)列數(shù)列二、收斂數(shù)列的性質(zhì)二、收斂數(shù)列的性質(zhì)（三）收斂數(shù)列的保號性（三）收斂數(shù)列的保號性定理定理3 3推論推論如果如果,limaxn

18、n 且且0 a( (或或0 a) )那么存在正整數(shù)那么存在正整數(shù),0 n當(dāng)當(dāng)nn 時時, ,都有都有0 nx( (或或0 nx) ) nx如果數(shù)列如果數(shù)列從某項起有從某項起有0 nx( (或或0 nx) )且且,limaxnn 那么那么0 a( (或或0 a) )二、收斂數(shù)列的性質(zhì)二、收斂數(shù)列的性質(zhì)（四）收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系（四）收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系在數(shù)列中任意抽取無限多項并保持這些項在原數(shù)列在數(shù)列中任意抽取無限多項并保持這些項在原數(shù)列 xn n 中中的先后次序，這樣得到的一個數(shù)列稱為原數(shù)列的先后次序，這樣得到的一個數(shù)列稱為原數(shù)列 xn n 的子數(shù)的子數(shù)列（或子列）列（或子列）. .例如例如,2121knnnxxxxx,1nxl注注子數(shù)列概念子數(shù)列概念kn第第nk項項第第k 項項knk ,knx,2nx,二、收斂數(shù)列的性質(zhì)二、收斂數(shù)列的性質(zhì)（四）收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系（四）收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系l注注定理定理4 :)1(