(新課標)高考數(shù)學一輪復習第五章平面向量與復數(shù)5.5復數(shù)的概念習題理

1、5.5 復數(shù)的概念1.虛數(shù)單位為i ,規(guī)定：i2=,且實數(shù)與它進行四則運算時，原有的加法、乘法的 仍然成立2復數(shù)的概念形如：a+bi( a, be R)的數(shù)叫復數(shù)，其中 a叫做復數(shù)的 , b叫做復數(shù)的當 時，復數(shù)a bi 為實數(shù)；當 時，復數(shù)a bi 為虛數(shù)；當 且 時，復數(shù) a bi 為純虛數(shù)3復數(shù)相等的充要條件a+ bi = c+ di( a, b, c, d C R) ? ,特別地，a+ bi = 0? .4 .復數(shù)z=a+bi(a, bCF)與復平面上的點Z( a, b)、平面向量OZ都可建立的關系(其中O是坐標原點).5 在復平面內，實軸上的點都表示 ；虛軸上的點除 外都表示6復數(shù)的

2、模向量OZmH r叫做復數(shù)z=a+bi( a, bCF)的模，記作 或| a +bi | .即| z| = | a+ bi | = r =(r 0, r R).7共軛復數(shù)一般地，當兩個復數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復數(shù)叫做互為 ，復數(shù) z 的共軛復數(shù)記作8數(shù)系的擴充數(shù)集擴充的過程是：自然數(shù)集 （N） 一 一 一 一復數(shù)集（C）.數(shù)集的每一次擴充，都使得在原有數(shù)集中能實施的運算，在新的數(shù)集中仍能進行，并且解決了在原有數(shù)集中某種運算不可實施的矛盾.自查自糾1 . - 1運算律2 .實部 虛部 b=0 bwo a=0 bwo3 . a=c 且 b=d a=b=04 .對應5 .實數(shù)原點純虛

3、數(shù)6 . |z| a2+b27 .共軻復數(shù)|q8 .整數(shù)集（Z）有理數(shù)集（Q 實數(shù)集（R）14 / 14（2015 福建）若集合 A=i , i2, i3, i4（i是虛數(shù)單位），B=1 , 1,則An B等于（）A 1B 1C 1 ，1D ?解：A= i , - 1, i , 1, . An B= 1 , 1.故選 C(2015 湖北八校聯(lián)考)設xC R, i是虛數(shù)單位，則“ x=1”是“復數(shù)z=(x2-1)+(x+1)i為純虛數(shù)”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件x21 = 0,解：由純虛數(shù)的定義可得解得x=1.故選Cx+ 1W0,方程x2+

4、6x+13=0的一個根是()A. 3+2i8. 3+2iC. 2+3iD. 2+3i解：當A0,則 ziZ2；若 z2+z2=0,則 zi=Z2=0； -_. - .一 . .z+ z = 0? z為純虛數(shù)； z = z? z e r正確的命題是解：中若zi = 2+i , z2= 1 + i ,則z2與zi不能比較大??；中的 zi = i , z2= 1也可 以滿足條件；中的 z=0滿足z + z=0,但z為實數(shù).故填 .類型二 復平面的概念及復數(shù)的幾何意義已知A， B 是銳角三角形的兩內角，則復數(shù) (sin A cos B) (sin B cos A)i 在復平面內對應的點位于 ()A.第

5、一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解：,A, B是銳角三角形的兩內角，兀 .兀兀A+ B ,且 Ov A, 0B .式汽 0v 工Bv Av ,，.汽 一由正弦函數(shù)的單調性知sin B 0.同理可得，sin B cos A 0.故選A.【點撥】判斷復數(shù)對應的點在復平面上的位置，只需判斷復數(shù)的實部和虛部的正負即 可，對題目中條件“ A, B是銳角三角形的內角”的挖掘是解決此題的關鍵.已知z是復數(shù)，z + 2i , J一均為實2 i數(shù)(i為虛數(shù)單位)，且復數(shù)(z+ai) 2在復平面上對應的點在第一象限，求實數(shù) a的取值范 圍.解：設 z = x+yi( x, y R),則 z + 2i =

6、x+(y+2)i ,由題意得 y= 2;7z7=XFL = 1(x-2i)(2 +i) =1(2x+2)+1(x 4)i.2 i2 i 555由題意得 x = 4. . . z = 4 2i.(z + ai) 2=(12+4aa2)+8(a2)i. 2 .由于(z+ai)在復平面上對應的點在第一象限，12+ 4a-a2 0, 解得 2a0,，實數(shù)a的取值范圍是(2 , 6).類型三復數(shù)相等的充要條件關于 x 的方程 x2(2i 1)x + 3m i=0有實根，則實數(shù)m的值是解：設實根為 X0,則 x2(2i 1)x0+3m- i = 0,即 x0+ x0+3m-(2x0+1)i = 0.由復數(shù)

7、相等的充要條件得x0 + x0 + 3m= 0, 2x。+ 1=0.111 11 1.m= -3( x0 + x0) = -3x 42 =行故填 12.x0與參數(shù)m的方程組是解決【點撥】依據(jù)兩個復數(shù)相等的充要條件，構造關于實數(shù)根 此類問題的有效手段.已知i為虛數(shù)單位，復數(shù) z1 = 1 +2i ,Z2=1 i,Z3=32i,它們所對應的點分別為A,B,C,若OC= xO甘yOB x, yCR,求x+y的值.解：由 OC= xOA yO 彳導 3-2i =x( 1 + 2i) +y(1 i) =(-x+y)+ (2xy)i ,-x + y = 3,2x y = - 2.x = 1, 解得y=4,

8、故 x+y= 5.1處理與復數(shù)概念有關的問題，首先找準復數(shù)的實部與虛部，若復數(shù)為非標準的代數(shù)形式，應通過代數(shù)運算將其化為標準的代數(shù)形式，然后根據(jù)定義解題，復數(shù)問題實數(shù)化是解決復數(shù)問題最基本的思想方法2熟練掌握復數(shù)部分的一系列概念，對于求解復數(shù)題至關重要以下三點請注意：(1)對于復數(shù) ni ,如果my nCq或沒有明確界定 m nCR),則不可想當然地判定 E n C R(2) 易誤認為 y 軸上的點與純虛數(shù)一一對應( 注意原點除外) (3)對于a+bi(a, b C R為純虛數(shù)的充要條件，只注意了 a= 0而漏掉了 bw 0.（其中 a, be R）.3復數(shù)的幾何意義(1)(2) | z| 表

9、示復數(shù) z 對應的點與原點的距離| z1z2|表示兩點的距離，即表示復數(shù)Z1與Z2對應的點的距離.1 . （2015 山西四校聯(lián)考）復數(shù)z=（_2i_i）2（i為虛數(shù)單位），z在復平面內所對應 的點在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解.因為z=i= i=i=i（3 =+ i 所以 z 在復平用牛四刀 z （ 2i） 2 4+4i1 3 + 4i2525 25i 見 z 仕星十43面內所對應的點為 去，,在第一象限.故選 A.25 2552 . （2015 女徽 江南十校 聯(lián)考）右a+ bi =1 .2i （是虛數(shù)單位，a，bCR）,則ab =（）A. - 2B. - 1C.

10、 1 D . 25解：a+ bi = 1 M = 1 2i ,所以 a= 1, b= - 2, ab= 2.故選 A.3 .設a, be R, i是虛數(shù)單位，則“ ab=0”是“復數(shù)a+b為純虛數(shù)”的（）A.充分不必要條件8 .必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件“,一, b , 一，、， 八 一、 4b解：ab= 0? a = 0或b=0?復數(shù)a+;為純虛數(shù)或頭數(shù)，充分性不成立；反之，右 a+r 為純虛數(shù)，則必有 a= 0且bw0,. ab= 0.故選B.4.下面是關于復數(shù) z=-27的四個命題：1 + iP1： 1 z| =2，S： z2= 2i ,p3： z的共軻復數(shù)為

11、1 + i , p4： z的虛部為一1.其中的真命題為（）B. pi, P2A. p2, p3C. p2, p42解：z=- 1 + iD. p3, p42 (一 1 i ).- 1 i . z(1+i) (1i)的模| z| =艱,p1為假命題;=2i , p2為真；z = 1 + i,6為假；z的虛部為一1, p4為真.故選C.5. (2015 洛陽統(tǒng)考)設復數(shù)z=- 1-i(i為虛數(shù)單位)，z的共軻復數(shù)為z,則|(1 z) z| =()A. 10B. 2C. 2D. 1解：依題意得(1 z) z= (2 + i)( 1+ i) = 3+i ,則 |(1 -z) z| = | -3+ i|

12、 =4 (3) 2+12二回.故選A.6. (2014 江西)z是z的共軻復數(shù)，若 z+ z = 2, (z-z)i =2(i為虛數(shù)單位)，則z =()B. 一 1 一 iA. 1 + iD. 1-i解：設 z=a+bi( a, bC R), / z+z = 2, a= 1,(z z)i =2, . 2b=2, b=1, z=1-i.故選 D.7 . ( 2014 福建模擬)若x C C,則關于 x的一元二次方程x2 x + 1 = 0的根為解：由 x2x+1=0,得 = （1）24X1X1 = 30,ma 3m 2= 0,由題意可得解得m= 1或m= - 2.m2- 2m- 20,m2- 2m- 20,0,即 m2- 2m- 2v1,解得1m0,11.已知關于x的方程2x + (m 2i)x + 2+m = 0 有頭數(shù)根解：設x=k(kC R)是方程的實數(shù)根，則k2+(m 2i)k+2+m=0,根據(jù)復數(shù)相等的定義得3V m3.求實數(shù)m的值.2即(k + km 2) 十(2k+m)i = 0.k2 + km 2 = 0, 2k + m= 0.k = V2,k= V2,解之得廠或 二m= - 22m= 2 2.，方程的實數(shù)根為x = 42或x=42 ,相應的實數(shù)m的