兩直線的位置關(guān)系

1、B1B20 ”（其證明可借助向量知識(shí)完成）解題.典型例題一例1已知A(0,3) , B( 1,0) , C(3,0)，求D點(diǎn)的坐標(biāo)，使四邊形 ABCD為等腰梯 形.分析：利用等腰梯形所具備的性質(zhì)“兩底互相平行且兩腰長(zhǎng)相等”進(jìn)行解題.解：如圖，設(shè) D(x,y)，若 AB/CD，則 kAB kCD， AD BC3 0y 0即 01x 3，2 2x2 (y 3)23 116.16 3 由、解得D(1f,|).若 AD / BC，則kADkBC ,AD BC,0,(x 3)2 y21232.由、式解得D(2,3) 16 3故D點(diǎn)的坐標(biāo)為(一,)或(2,3) I I說(shuō)明：(1)把哪兩條邊作為梯形的底是討

2、論的標(biāo)準(zhǔn)，解此題時(shí)注意不要漏解.(2)在遇到兩直線平行問(wèn)題時(shí)，一定要注意直線斜率不存在的情況.此題中AB、BC的斜率都存在，故不可能出現(xiàn)斜率不存在的情況.典型例題例2當(dāng)a為何值時(shí)，直線h：(a 2)x (1 a)y 1 0與直線l2:(a 1)x (2a 3)y 20互相垂直？分析：分類討論，利用兩直線垂直的充要條件進(jìn)行求解或利用結(jié)論“設(shè)直線|1和|2的方程分別是h：Ax By C1 0 , J:A2X B?y C2 0 ,貝U h I2的充要條件是解法一：由題意，直線n a.（1）若1 a 0，即a 1，此時(shí)直線h：3x 10, J：5y 20顯然垂直；3若2a 3 0，即a 時(shí)，直線h：x

3、 5y 20與直線S：5x 40不垂直;2若1 a 0，且2a 3 0，則直線h、I2斜率&、k?存在，a 12a 3a 2a 11,當(dāng) l1 I2 時(shí)，k1 k21，即（）（）1 a2a 3a 1.解法二：由于直線|1綜上可知，當(dāng)a 1或a 1時(shí)，直線l1 l2.I2，所以(a 2)(a 1) (1 a)(2a 3)0，解得 a故當(dāng)a 1或a 1時(shí)，直線|1|2.說(shuō)明：對(duì)于本題，容易出現(xiàn)忽視斜率存在性而引發(fā)的解題錯(cuò)誤，如先認(rèn)可兩直線|1、|2的斜率分別為k1、k2，貝y k1a 2, a 11 a ，2 2a 31.1，即（解上述方程為a 1 .從而得到當(dāng)a 1時(shí)，直線|1與|2互相垂直.上

4、述解題的失誤在于機(jī)械地套用兩直線垂直（斜率形式）的充要條件，忽視了斜率存在的大前提，因而失去對(duì)另一種斜率不存在時(shí)兩直線垂直的考慮，出現(xiàn)了以偏概全的錯(cuò)誤.典型例題三例3已知直線I經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（3,1），且被兩平行直線h：x y 1 0和l2:x y 6 0截得 的線段之長(zhǎng)為5，求直線l的方程.分析：如圖，利用點(diǎn)斜式方程，分別與l1、J聯(lián)立，求得兩交點(diǎn) A、B的坐標(biāo)（用k 表示），再利用AB 5可求出k的值，從而求得l的方程.利用l1、I2之間的距離及I與l1 夾角的關(guān)系求解.設(shè)直線I與I1、2分別相交于A（X1,y、B（X2,y2），則可通過(guò)求出y 目2、X1 X2的值，確定直線I的斜率（或傾斜角）

5、，從而求得直線I的方程.F才解法一：若直線I的斜率不存在，則直線I的方程為x 3，此時(shí)與11、|2的交點(diǎn)分別為A(3, 4)和B(3,9)，截得的線段 AB的長(zhǎng)AB5，符合題意,若直線I的斜率存在，則設(shè)直線I的方程為yk(x3)解方程組 yXk(X y 13)0,11，得A3k 2k 14k解方程組 yXk(X y 63)0,11，得B3k 79k 1k 1由AB 5，得3kT 123k 7k 14k 1k 19kT 152 .解之，得k 0, 綜上可知，所求即欲求的直線方程為I的方程為X 3或yy 1 -1.解法二：由題意，直線I1、I2之間的距離為d5.21，且直線I被平等直線li、I2所

6、截得的線段 AB的長(zhǎng)為5(如上圖)，設(shè)直線I與直線Ii的夾角為故45 .由直線h：x y 10的傾斜角為135 ,知直線I的傾斜角為0 或90,又由直線I過(guò)點(diǎn) P(3,1),故直線I的方程為x 3或y 1 .解法三:設(shè)直線I與I1、I2分別相交Ay)、，則:X1y110 ,X2y2兩式相減，得(X1X2)(y1 y2) 52又(X1 X2)(%y2)225x1x25x1x20聯(lián)立、，可得1 2 或1 2y1y20y1y25由上可知，直線 l 的傾斜角分別為 0或 90故所求直線方程為 x 3 或 y 1說(shuō)明： 本題容易產(chǎn)生的誤解是默認(rèn)直線 l 的斜率存在，這樣由解法一就只能得到 k 0 ， 從

7、而遺漏了斜率不存在的情形一般地，求過(guò)一定點(diǎn)，且被兩已知平行直線截得的線段為定長(zhǎng)a的直線，當(dāng)a小于兩平行直線之間距離 d 時(shí)無(wú)解；當(dāng) a d 時(shí)有唯一解；當(dāng) a d 時(shí)，有且只有兩解另外，本題 的三種解法中，解法二采取先求出夾角 后，再求直線 l 的斜率或傾斜角，從方法上看較為 簡(jiǎn)單；而解法三注意了利用整體思想處理問(wèn)題，在一定程度上也簡(jiǎn)化了運(yùn)算過(guò)程典型例題四例 4 已知點(diǎn) A 1，3 ， B 3，1 ，點(diǎn) C 在坐標(biāo)軸上，且 ACB 90 ，則滿足條件的點(diǎn) C 的個(gè)數(shù)是（ ）（A） 1（B）2（C）3（D）4解：點(diǎn)C在坐標(biāo)軸上，可有兩種情況，即在 x軸或y軸上，點(diǎn)C的坐標(biāo)可設(shè)為 x,0或 y，0

8、 由題意, ACB 90 ,直線 AC 與直線 BC 垂直,其斜率乘積為 1,可分別求得 x 0 或 2, y 0 或 4,所以滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 0,0）,（2,0）,（0,4）說(shuō)明： 本題還可以有另外兩種解法： 一種是利用勾股定理, 另一種是直角三角形斜邊AB與y軸交點(diǎn)D恰為斜邊AB中點(diǎn)，則由D到A、B距離相等的性質(zhì)可解. 本題易錯(cuò)， 可能只解一個(gè)坐標(biāo)軸；可能解方程時(shí)漏解；也可能看到x、y各有兩解而誤以為有四點(diǎn).典型例題五例5已知 ABC的一個(gè)定點(diǎn)是 A3, 1 , B、 C的平分線分別是 x 0, y x, 求直線 BC 的方程.分析：利用角平分線的軸對(duì)稱性質(zhì)，求出 A關(guān)于x 0 ,

9、 y x的對(duì)稱點(diǎn)，它們顯然在 直線 BC 上.解：A3, 1關(guān)于x 0, y x的對(duì)稱點(diǎn)分別是3, 1和 1,3，且這兩點(diǎn)都在直線BC上，由兩點(diǎn)式求得直線 BC方程為2x y 50 .典型例題六3x 4y 70的直線的方程.57解一：解得兩直線2x 3y 1 0和x 3y 4 0的交點(diǎn)為（ 一，），由已知垂直3 94關(guān)系可求得所求直線的斜率為-，進(jìn)而所求直線方程為 4x 3y 90.357解二：設(shè)所求直線方程為 4x 3y m 0,將所求交點(diǎn)坐標(biāo)（5 ,-）代入方程得39m 9，所以所求直線方程為4x程為解三:所求直線過(guò)點(diǎn)（3x4y70垂直，所以，所求直線方4x3y圖2解四:2x 3y 1m

10、x3y40即2 m x 31 m y14m 0(1)由于該亥直線與已知直線 3x4y 70垂直則3 2m4 31m0解得m 2代入（1）得所求直線方程為 4x3y 90.設(shè)所求直線得方程為典型例題七例7 已知定點(diǎn)A （ 3, 1）,在直線y x和 y 0上分別求點(diǎn)M和點(diǎn)N，使 AMN的周 長(zhǎng)最短，并求出最短周長(zhǎng).分析：由連接兩點(diǎn)的線中，直線段最短， 利用對(duì)稱，把折線轉(zhuǎn)化為直線，即轉(zhuǎn)化為求兩點(diǎn) 間的距離.解：如圖1，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線y x和y 0的對(duì)稱點(diǎn)分別為 B 1,3 , C 3, 1AM AN MN BM CN MN又 BM CN MN BC周長(zhǎng)最小值是：|BC 2J5由兩點(diǎn)式可得BC方程為

11、：2x y 50.5 55而且易求得：M ( 5 , 5 ), N ( 5 , 0),3 32此時(shí)，周長(zhǎng)最短，周長(zhǎng)為 2 .5 .典型例題八例8已知實(shí)數(shù)a , b滿足a b1，求證：a2 22b 2252 .解:本題的幾何意義是：直線 ab1上的點(diǎn)(a , b )與定點(diǎn)2,2的距離的平25方不小于25 因?yàn)橹本€外一點(diǎn)與直線上任一點(diǎn)連線中，垂線段距離最短，而垂線段的長(zhǎng)度即距離d2 2 1 5J2 122所以(a 2)2 (b 2)2252說(shuō)明：本題應(yīng)為不等式的題目,難度較大，證明方法也較多,但用解析幾何的方法解決顯得輕松簡(jiǎn)捷，深刻地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.典型例題九例9在平面直角坐標(biāo)系中，xOA

12、,-2，點(diǎn) B 在 OA上 OA a , OB b ,ya b 0，試在x軸的正半周上求一點(diǎn) C，使ACB取得最大值.分析：要使最大，只需最大，而是直線到直 線的角(此處即為夾角)，利用公式可以解決問(wèn)題.解：如圖2,設(shè)點(diǎn)C x,0 x 0xOA , OA a,OBA acos , a sinB bcos , bsin于是直線CA、CB的斜率分別為:kCAtan xCAkcB tan xCBacosacos xacosacos x- tan ACBkCB kCA1kCBkCAbsi na si nb cos x a cosxabs in21 -(b cos x)(acos x)bsin (aco

13、s x) a sin (bcos x)2(bcos x)( a cos x) absin(a b)xsi n2ab (a b)xcos xabx(axb)si n(a b) cos abxx 2 . ab- tan ACBa b sin2 - ab a b cosabi當(dāng)且僅當(dāng) x即x Vab , C點(diǎn)的坐標(biāo)為（Jab , 0）,由一x2可知ACB為銳角，所以此時(shí)ACB有最大值arctan(a b)si n2 ab (a b)cos說(shuō)明：本題綜合性強(qiáng)，是三角、不等式和解析幾何知識(shí)的交匯點(diǎn)另外本題也是足球射 門(mén)最大角問(wèn)題的推廣.為了更好地理解問(wèn)題，可以演示用“幾何畫(huà)板”制作的課件典型例題十例10

14、 直線h：2x y 4 0，求h關(guān)于直線丨：3x 4y 10對(duì)稱的直線的方程.分析：本題可有多種不同的解法，給出多種解法的途徑是：一類利用直線方程的不同形 式求解；另一類采用消元思想進(jìn)行求解.解法一：由3x 4 41 :得I1與I的交點(diǎn)為P(3，2)顯見(jiàn)P也在I2上.3x 4y 10設(shè)12的斜率為k，又li的斜率為-2，1的斜率為專，則3 3解得k2114( 2k (玄)2)1( |)k故l2的直線方程為y 22石(X 3).即 2x 11y 160.解法二：在直線li上取一點(diǎn)A(2,0)，又設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)為B(xo ,yo),y 4Xo 233 2 xo4 0 y2 2解得B(-

15、, 8)550.故由兩點(diǎn)式可求得直線l2的方程為2x 11y 16 0 .解法三：設(shè)直線|2上一動(dòng)點(diǎn)M(x,y)關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)為M (x , y )，則3 xX 4 yy1 0.22解得x7x 24y61,y24x 7y 82525顯然M (x, y)在I1上卄7x，即224y 624x 7y 84 0 ,也即25252x 11y 16 0 .這便是所求的直線l2的方程.解法四：設(shè)直線I2上一動(dòng)點(diǎn)M (x , y)，則M關(guān)于I的對(duì)稱點(diǎn)M 在直線I1上，可設(shè)M 的坐標(biāo)為(xo ,4 2xo)，則3x 4y 1|3x0 4(4 2x0) l|55y (4 2x。)4x x03(3x 4y 1)

16、 3x0 4(4 2x0) 1y (4 2xo)4x x03消去X。，得2x 11y 16 0，即此所求的直線l2的方程.說(shuō)明：在解法一中，應(yīng)注意正確運(yùn)用“到角公式”，明確由哪條直線到哪條直線的角.在具體解題時(shí)，最好能準(zhǔn)確畫(huà)出圖形，直觀地得出關(guān)系式.在解法四中，脫去絕對(duì)值符號(hào)時(shí)，運(yùn)用了平面區(qū)域的知識(shí). 否則，若從表面上可得到兩種結(jié)果，這顯然很難準(zhǔn)確地得出直線 |2的方程.本題的四種不同的解法， 體現(xiàn)了求直線方程的不同的思想方法，具有一定的綜合性. 除此之外，從本題的不同解法中可以看出，只有對(duì)坐標(biāo)法有了充分的理解與認(rèn)識(shí)，并具有較強(qiáng)的數(shù)形結(jié)合意識(shí)，才有可能駕馭本題，從而在解法選擇的空間上，真正做到

17、游刃有余， 左右逢源.典型例題十例11不論m取什么實(shí)數(shù)，直線(2m1)x (m 3)y (m 11)0都經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn).分析：題目所給的直線方程的系數(shù)含有字母 m，給m任何一個(gè)實(shí)數(shù)值，就可以得到一 條確定的直線，因此所給的方程是以m為參數(shù)的直線系方程要證明這個(gè)直線系的直線都過(guò)一定點(diǎn)，就是證明它是一個(gè)共點(diǎn)的直線系，我們可以給出m的兩個(gè)特殊值，得到直線系中的兩條直線，它們的交點(diǎn)即是直線系中任何直線都過(guò)的定點(diǎn).另一思路是由于方程對(duì)任意的m都成立，那么就以 m為未知數(shù)，整理為關(guān)于 m的一元一次方程，再由一元一次方程有無(wú)數(shù)個(gè)解的條件求得定點(diǎn)的坐標(biāo).解法一：對(duì)于方程(2 m 1)x (m 3

18、)y (m 11)0,令 m 0,得 x 3y 110 ;令 m 1，得 x 4y 100 .x 3y 11 0解方程組y得兩直線的交點(diǎn)為(2, 3).x 4y 10 0將點(diǎn)(2 ,3)代入已知直線方程左邊，得：(2m 1) 2 (m 3) ( 3) (m 11) 4m 2 3m 9 m 110.這表明不論m為什么實(shí)數(shù)，所給直線均經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(2, 3).解法二：將已知方程以m為未知數(shù)，整理為：(2x y 1)m ( x 3y 11)0 .由于m取值的任意性，有2xxy 103y 110，解得x所以所給的直線不論 m取什么實(shí)數(shù)，都經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)(2, 3).說(shuō)明：曲線過(guò)定點(diǎn)，即與參數(shù)無(wú)關(guān)，則參數(shù)的同

19、次幕的系數(shù)為0，從而求出定點(diǎn).(2)分別令參數(shù)為兩個(gè)特殊值，得方程組求出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入原方程滿足，則此點(diǎn)為定占八、典型例題十二例12 一年級(jí)為配合素質(zhì)教育，利用一間教室作為學(xué)生繪畫(huà)成果展覽室.為節(jié)約經(jīng)費(fèi)， 他們利用課桌作為展臺(tái)，將裝畫(huà)的鏡框旋置桌上，斜靠展出已知鏡框?qū)ψ烂娴膬A角為(90180 )鏡框中，畫(huà)的上、下邊緣與鏡框下邊緣分別相距a m、b m(a b ),學(xué)生距離鏡框下緣多遠(yuǎn)看畫(huà)的效果最佳？分析：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，AO為鏡框邊，AB為畫(huà)的寬度，O為下邊緣上的一點(diǎn)，則可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：AS已知 xOA , OA a , OB b，在x軸的正方向向上求一點(diǎn) C，使 ACB取最大 值.

20、因?yàn)橐暯亲畲髸r(shí)，從理論上講，看畫(huà)的效果最佳(不考慮其他因素)解：設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(x,0)(x 0 ),從三角函數(shù)定義知A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(acos , asin)、(bcos,bsin )，于是直線AC、BC的斜率分別為tan xCAasin,kBCacos xtan xCBbsi nbcos x于是tan ACBkBCkAC1 k bc k AC(a b)xs in2 ，ab (a b)xcos x即 tan ACB(a b) sinx (a b)cosx由于 ACB是銳角，且在(0,)上，則:2tan ACB (a b)sin2、ab (a b)cos當(dāng)且僅當(dāng)x,即x . ab時(shí)，等號(hào)成立

21、，此時(shí)ACB取最大值，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為xCC ab ,0)，因此，學(xué)生距離鏡框下緣ab m處時(shí)，視角最大，即看畫(huà)效果最佳.說(shuō)明：解決本題有兩點(diǎn)至關(guān)重要：一是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化成解析幾何問(wèn)題求解；二是把問(wèn)題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成求tan ACB的最大值.如果坐標(biāo)系選擇不當(dāng)，或選擇求sin ACB的最大值，都將使問(wèn)題變得復(fù)雜起來(lái).本題是一個(gè)非常實(shí)際的數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題，它不僅考查了直線的有關(guān)概念以及三角知識(shí)的結(jié)合運(yùn)用，而且更重要的是考查了把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.典型例題十三例13知實(shí)數(shù)x , y滿足x y 40,求(x 1)2 (y 1)2的最小值.分析：本題可使用減少變量法和數(shù)形結(jié)合法兩種方法：(x

22、 1)2 (y 1)2可看成點(diǎn)(x, y)與(1,1)之間的距離.解：(法 1)由 x y 4 0得 y 4 x(x R),2 2 2 2則(x 1) (y 1)(x 1)(4 x 1)x2 2x 1 x2 6x 92x2 8x 102(x 2)22 ,二(x 1)2 (y 1)2的最小值是2.(法2)v實(shí)數(shù)x , y滿足x y 40 ,點(diǎn)P(x, y)在直線x y 40上.而.(x 1)2 (y 1)2可看成點(diǎn)P(x , y)與點(diǎn)A(1, 1)之間的距離(如圖所示)顯然.(x 1)2 (y 1)2的最小值就是點(diǎn) A(1 , 1)到直線x y 40的距離:1 1 412 122 2- (x 1

23、) (y 1)的最小值為2.說(shuō)明：利用幾何意義，可以使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化.形如.(x a)2 (y b)2的式子即可看成是兩點(diǎn)間的距離，從而結(jié)合圖形解決.典型例題十四例14直線y 2x是 ABC中 C的平分線所在的直線，且 A , B的坐標(biāo)分別為A( 4, 2), B(3,1)，求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)并判斷ABC的形狀.分析：“角平分線”就意味著角相等，故可考慮使用直線的“到角”公式將“角相等” 列成一個(gè)表達(dá)式.t點(diǎn)C在直線y 2x上,則 kAC2，kBC解：(法1)由題意畫(huà)出草圖(如圖所示).L/花,迥(-4,J EQ, 9-S Ta設(shè) C(a,2a),筈,k 2.由圖易知AC到I的角等于I到BC的角，

24、因此這兩個(gè)角的正切也相等.k| kAC1 kAC kikBCklkBC ki2a 1 2a 31 2a 32 2a 2. a 41 2 2a 4 解得a 2. C的坐標(biāo)為(2,4), kAC1k33 , kBC3 , ACBC .ABC是直角三角形.(法2)設(shè)點(diǎn)A( 4, 2)關(guān)于直線I: y 2x的對(duì)稱點(diǎn)為 A(a , b)，貝U A必在直線 BC上.以下先求A(a,b).b 21由對(duì)稱性可得 a 42b 2a 4a 4解得， A (4,2).b 2直線BC的方程為丄丄亠3，即3x y 100 .2 14 3由 y 2X得 C(2,4).3xy 10 0kAC13 , kBC3ACBC .A

25、B(C是直角三角形.說(shuō)明：(1)在解法1中設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)時(shí)，由于 C在直線y 2x上，故可設(shè)(a,2a)，而不設(shè)(a , b)，這樣可減少未知數(shù)的個(gè)數(shù).注意解法 2中求點(diǎn)A( 4,2)關(guān)于I的對(duì)稱點(diǎn)A(a,b)的求法：原理是線段AA被直線I垂直平分.典型例題十五例15兩條直線l1：(m 3)x 2y 5 3m, |2：4x (5 m)y 16，求分別滿足下列條 件的m的值.(1) l1與l2相交；(2) l1與l2平行；(3) l1與l2重合；(4) l1與l2垂直；(5) h與l2夾角為45 .分析：可先從平行的條件 色 (化為a1b2 a2b1)著手.a2 b2解：由m32-得m2 8m70，

26、解得m145 m,m35 3m ZB1 .由得m416(1)當(dāng)m1且m7時(shí),a1“ ,l1與l2相交;a2b2當(dāng)m7時(shí)，色旦l1 /l2 ；a2b2C2當(dāng)m1時(shí)，直l1與l2重合；a2b2C21 , m27 .l2當(dāng) a1a2 b|b20,即(m 3) 4 2 (5 m) 0, m,m 3 t4kl丁，k2才韋由條件有-k2 kl tan451 .1 k?ki將k1 , k2代入上式并化簡(jiǎn)得 m2 14m 29 0 , m 7 2、一 5 ；m 2m 15 0 , m5或3.當(dāng)m7 2.5或-5或3時(shí)l1與l2夾角為45 .說(shuō)明：由m 32 解得m1或m7 ,此時(shí)兩直線可能平行也可能重合，可4

27、5 m將m的值代入原方程中驗(yàn)證是平行還是重合.當(dāng) 巴3 時(shí)兩直線一定相交，此時(shí)應(yīng)4 5 m是m1且m 7.典型例題十六例16點(diǎn)R(2 , 3) , P2( 4,5)和A( 1,2)，求過(guò)點(diǎn)A且與點(diǎn)R , P?距離相等的直線方程.分析：可以用待定系數(shù)法先設(shè)出直線方程，再求之；也可從幾何意義上考察這樣的直線具有的特征.解：(法1)設(shè)所求直線方程為y 2k(x 1)，即 kx y k 20 ,由點(diǎn)P、P2到直線的距離相等得：2k 3 k 2 I 4k 5 k 2k2 1k2 1化簡(jiǎn)得 3k 1 3k 3，則有：3k 1 3k 3 或 3k 1 3k 3,1即k -或方程無(wú)解.3方程無(wú)解表明這樣的 k

28、不存在，但過(guò)點(diǎn) A，所以直線方程為 x 1，它與P , P2的距 離都是3.1所求直線方程為 y 2 (x 1)或x 1 .3(法2)設(shè)所求直線為I，由于I過(guò)點(diǎn)A且與R , P2距離相等，所以I有兩種情況，如下圖:當(dāng)Pl,5 3y 2 Kx 1）,1即 y 23（x 1）；3(2)當(dāng)Pl , P2在I異側(cè)時(shí)，I必過(guò)PP2中點(diǎn)(1,4)，此時(shí)I的方程為X 1 .1所求直線的方程為 y 2-(x 1)或x 1 .3說(shuō)明：該題如果用待定系數(shù)法解易漏掉x 1，即斜率不存在的情況所以無(wú)論解什么題目，只要圖形容易畫(huà)出，就應(yīng)結(jié)合圖形，用代數(shù)法、幾何法配合來(lái)解.典型例題十七例17經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2 , 1)且與直線

29、3x 2y 6 0平行的直線I的方程.分析：已知直線I與直線3x 2y 6 0平行，故I的斜率可求，又I過(guò)已知點(diǎn)P，利 用點(diǎn)斜式可得到I的方程另外由于I與已知直線平行，利用平行直線系方程，再由已知點(diǎn)P , 也可確定I的方程.3解法一：由已知直線3x 2y 6 0，知其斜率k - 23又由I與直線3x 2y 60平行，所以直線I的斜率kI2又由直線I經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)P(2 ,1)，所以利用點(diǎn)斜式得到直線 I的方程為：y 13(x 2)，即 3x 2y 8 0 解法二：因?yàn)橹本€I平行于直線3x 2y 60 ,所以可設(shè)直線I的方程為3x 2y C 0 又點(diǎn)P(2,1)在直線I上，所以3 22 ( 1) C

30、 0，解得C 8 故直線I的方程為3x 2y 80 說(shuō)明：解法二使用的是平行直線系，并用了待定系數(shù)法來(lái)解.典型例題十八例18過(guò)點(diǎn)P(1 , 1)且與直線2x 3y 1 0垂直的直線I的方程.分析：已知直線I與直線2x 3y 10垂直，故I的斜率可求，又I過(guò)已知點(diǎn)P，禾U用再由已知點(diǎn)P ,點(diǎn)斜式可得到I的方程.另外由于I與已知直線垂直，利用垂直直線系方程, 也可確定I的方程.2解法一：由直線2x 3y 10，知其斜率k3又由I與直線2x 3y 10垂直，所以直線I的斜率kI又因I過(guò)已知點(diǎn)P(1, 1)，利用點(diǎn)斜式得到直線I的方程為|(x 1)，即 3x 2y 5解法二：由直線1與直線2x 3y

31、10垂直，可設(shè)直線1的方程為:3x 2y C 0 又由直線I經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)P(1 ,1)，有3 12 ( 1) C 0 解得C5 因此直線I的方程為3x 2y 5 0 說(shuō)明：此題的解二中使用垂直直線系方程，并使用了待定系數(shù)法.典型例題十九例19知直線I經(jīng)過(guò)兩條直線h： x 2y 0與I2：3x 4y 10 0的交點(diǎn)，且與直線g 2y 3 0的夾角為-，求直線I的方程分析：先求h與I2的交點(diǎn)，再列兩條直線夾角公式，利用I與I3夾角為一，求得I的斜4率.也可使用過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線系方程的方法省去求交點(diǎn)的過(guò)程，直接利用夾角公式求解.解法一：由方程組2解得直線l1與l2的交點(diǎn)(2, 1) 3x 4y 10

32、 0于是，所求直線I的方程為y 1 k(x 2) 5又由已知直線|3：5x 2y 3 0的斜率k3，而且I與I3的夾角為：，故由兩直線 夾角正切公式，得tan4 |1 kk3，即叫fk1 5k22k 52 5k2k 5當(dāng)竺工1時(shí)，解得k2 5k故所求的直線l的方程為y-；當(dāng)i時(shí)，解得k 3.3 2 5k73 71-(x2)或 y 1-(x2),/3即 3x 7y 130 或 7x 3y 110.解法由已知直線I經(jīng)過(guò)兩條直線l1與I2的交點(diǎn)，則可設(shè)直線I的方程為(3x 4y 10) (x 2y) 0，(*)即(3 )x (24)y 100.又由I與I3的夾角為一，I3的方程為5x 2y 30,有

33、4丄A B2 A2 B1tan_,4A A2 B B2從而解得3x(3)( 2) (24) 55(314 1223137y132)(24)14 122337 代入(110或7x 3y 11，也即14 1223*）式，可得直線I的方程為說(shuō)明：此題用到兩直線的夾角公式， 注意夾角公式與到角公式的區(qū)別。 解法二還用到了 過(guò)兩相交直線的交點(diǎn)的直線系方程， 用它可以省去求交點(diǎn)的過(guò)程， 但不一定這樣的運(yùn)算就簡(jiǎn) 單，還要根據(jù)具體題目選擇合適的方法。典型例題二十例20直線I: x y 20, 束光線過(guò)點(diǎn) P（0、31），以120的傾斜角投射到I上，經(jīng)|反射，求反射線所在直線的方程.分析：此題解法很多如圖，入射

34、線與 I交于Q點(diǎn)，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)易得求反射線的方程只缺少一個(gè)條件，尋求這個(gè)條件的主要思路有:思路一：已知I的傾斜角為135，入射線的傾斜解為120，可由三角形外角定理得到 反射線的傾斜角.思路二：如圖，由光線的反射定律可知,PQ到I的角等于I到反射線的角，可得到反射線的斜率.思路三：由光的反射性質(zhì)，可知反射線所在直線除經(jīng)過(guò) Q點(diǎn)外，還經(jīng)過(guò)P點(diǎn)關(guān)于I的對(duì)稱點(diǎn)P,求得P的坐標(biāo)，反射線方程也可求得.思路四：由直線I為入射線和反射線所在直線交角的平分線，I上任意一點(diǎn)到入射線和反射線的距離相等，也可求得反射線的斜率.思路五：可求得Q(1 ,1)，直線0Q為y x，入射線和反射線關(guān)于 y x對(duì)稱，利用反 函

35、數(shù)性質(zhì)，由入射線的方程可以求出反射線的方程.解法一：由已知入射線的傾斜角為120，其斜率為tan 120. 3，又入射線過(guò)點(diǎn)P(0, .3 1)，所以入射線所在直線的方程為：y 3x .3 1 .解方程組y 3x 31,得交點(diǎn)Q(1 ,1).x y2 0,又因1的傾斜角為135，入射線PQ的傾斜角120，所以入射線與1的夾角為15 于是據(jù)外角定理1-寸3QPx 150，即反射線所在直線的斜率為tan 150故反3射線所在直線的方程為y 13(x 1)，即：3x 3y (、31)0 解法二：由已知可得k 1, k入射線-3 ,設(shè)反射線的斜率為k，則由入射線到I的角等于I到反射線的角，可得kI1

36、k=kIk入射線即k 11 kI k入射線1 k解得k以下求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，再由點(diǎn)斜式得反射線所在直線的方程（略）解法三:由已知得入射線所在直線方程為y .、3x ,.3 1，再與直線I的方程聯(lián)立得交點(diǎn)Q(1, 1).利用關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的知識(shí)，求得點(diǎn)P（0 , ,3 1）關(guān)于I的對(duì)稱點(diǎn)P （13,2).又由反射線所在直線過(guò) P與Q兩點(diǎn)，它的方程為2 1x 1.3，即:解法四：可求得入射線所在直線方程為 y1 ,即.一 3x y(、3 1)0 ,入射線與I交點(diǎn)為Q（1, 1）.于是可設(shè)反射線所在直線的方程為：y 1k(x1)，即 kx y 1 k由于直線I為入射線與反射線夾角的平分線，則I上的任一點(diǎn)

37、到它們的距離相等，于是在I上取點(diǎn)（2,0），有:v31所以2230 (3 1)2k 0 1 k，即.3k? 4k 30.1k2于是反射線的方程為:3 （等于入射線斜率，舍去）(x 1)，即 x J3y (J3 1)0 .3解法五：由點(diǎn)Q（1,1），得直線OQ的方程為y x .又因入射線與反射線所在直線關(guān)于y x對(duì)稱，點(diǎn)P（0,、3 1）關(guān)于直線y x對(duì)稱的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(、.31,0).由于反射線所在直線經(jīng)過(guò)P與Q兩點(diǎn)，所以它的方程為:口 x 1，即 x , 3y ( .3 1)0 .0 13典型例題二十例21已知直線l: x 2y 20，試求:(1)點(diǎn)P( 2,1)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)；直線

38、h： y x 2關(guān)于直線l對(duì)稱的直線I2的方程;(3)直線I關(guān)于點(diǎn)(1 , 1)的對(duì)稱直線方程.分析：對(duì)稱問(wèn)題可分為四種類型：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)；點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)；直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線；直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線. 對(duì)于利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可.對(duì)于需利用“垂直” “平分”兩個(gè)條件.若在對(duì)稱中心(軸)，及一個(gè)曲線方程已知的條件下給出，則通常采取坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法，其次對(duì)于對(duì)稱軸(中心)是特殊直線，如：坐標(biāo)軸、直線y x b，采取特殊代換法，應(yīng)熟練掌握.解：(1)設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線I的對(duì)稱點(diǎn)為P(x0 , y0),II則線段PP的中點(diǎn)M在對(duì)稱軸I上，且PP I .1,解之得:X。y。251952 19即P坐標(biāo)為 ,-5 5直線h： y x 2關(guān)于直線I對(duì)稱的直線為I2，則I2上任一