高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 1.5.1 二項(xiàng)式定理學(xué)案 蘇教選修23(00001)

1、15.1二項(xiàng)式定理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理.2.掌握二項(xiàng)式定理的特征及其展開(kāi)式的通項(xiàng)公式.3.會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)二項(xiàng)式定理思考1我們?cè)诔踔袑W(xué)習(xí)了(ab)2a22abb2，試用多項(xiàng)式的乘法推導(dǎo)(ab)3，(ab)4的展開(kāi)式思考2上述兩個(gè)等式的右側(cè)有何特點(diǎn)？思考3能用類比方法寫出(ab)n(nN*)的展開(kāi)式嗎？梳理二項(xiàng)式定理及其概念(1)二項(xiàng)式定理(ab)nCanCan1bCanrbrCbn(nN*)叫做二項(xiàng)式定理，_叫做(ab)n的二項(xiàng)展開(kāi)式，它一共有_項(xiàng)(2)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)_叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的第r1項(xiàng)(也稱通項(xiàng))，用Tr1表示，即Tr1_.(3)二

2、項(xiàng)式系數(shù)_叫做第r1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)類型一二項(xiàng)式定理的正用、逆用引申探究將本例(1)改為求(2x)5的展開(kāi)式例1(1)求(3)4的展開(kāi)式(2)化簡(jiǎn)：C(x1)nC(x1)n1C(x1)n2(1)kC(x1)nk(1)nC.反思與感悟(1)(ab)n的二項(xiàng)展開(kāi)式有n1項(xiàng)，是和的形式，各項(xiàng)的冪指數(shù)規(guī)律是：各項(xiàng)的次數(shù)和等于n.字母a按降冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到0；字母b按升冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由0逐項(xiàng)加1直到n.(2)逆用二項(xiàng)式定理可以化簡(jiǎn)多項(xiàng)式，體現(xiàn)的是整體思想注意分析已知多項(xiàng)式的特點(diǎn)，向二項(xiàng)展開(kāi)式的形式靠攏跟蹤訓(xùn)練1化簡(jiǎn)(2x1)55(2x1)410(2x1)310(2x1)2

3、5(2x1)1.類型二二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)例2已知二項(xiàng)式(3)10.(1)求展開(kāi)式第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；(2)求展開(kāi)式第4項(xiàng)的系數(shù)；(3)求第4項(xiàng)反思與感悟(1)二項(xiàng)式系數(shù)都是組合數(shù)C(r0,1,2，n)，它與二項(xiàng)展開(kāi)式中某一項(xiàng)的系數(shù)不一定相等，要注意區(qū)分“二項(xiàng)式系數(shù)”與二項(xiàng)式展開(kāi)式中“項(xiàng)的系數(shù)”這兩個(gè)概念(2)第r1項(xiàng)的系數(shù)是此項(xiàng)字母前的數(shù)連同符號(hào)，而此項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C.例如，在(12x)7的展開(kāi)式中，第四項(xiàng)是T4C173(2x)3，其二項(xiàng)式系數(shù)是C35，而第四項(xiàng)的系數(shù)是C23280.跟蹤訓(xùn)練2已知n展開(kāi)式中第三項(xiàng)的系數(shù)比第二項(xiàng)的系數(shù)大162.(1)求n的值；(2)求展開(kāi)式中含x3的項(xiàng)，并指出該

4、項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)例3已知在n的展開(kāi)式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)(1)求n；(2)求含x2的項(xiàng)的系數(shù)；(3)求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng)反思與感悟(1)求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)的常見(jiàn)題型求第r項(xiàng)，TrCanr1br1；求含xr的項(xiàng)(或xpyq的項(xiàng))；求常數(shù)項(xiàng)；求有理項(xiàng)(2)求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)的常用方法對(duì)于常數(shù)項(xiàng)，隱含條件是字母的指數(shù)為0(即0次項(xiàng))對(duì)于有理項(xiàng)，一般是先寫出通項(xiàng)公式，其所有的字母的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項(xiàng)解這類問(wèn)題必須合并通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其屬于整數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除性來(lái)求解對(duì)于二項(xiàng)展開(kāi)式中的整式項(xiàng)，其通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)應(yīng)是非負(fù)整數(shù)，求解方式與求有理項(xiàng)一致跟蹤訓(xùn)練3(1)若9

5、的展開(kāi)式中x3的系數(shù)是84，則a_.(2)已知n為等差數(shù)列4，2,0，的第六項(xiàng)，則(x)n的二項(xiàng)展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是_1(x2)8的展開(kāi)式中x6的系數(shù)是_2二項(xiàng)式(x)12的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是第_項(xiàng)3已知5的展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為30，則a_.4化簡(jiǎn)：(x1)55(x1)410(x1)310(x1)25(x1)1_.5求()4的展開(kāi)式1求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)應(yīng)注意的問(wèn)題通項(xiàng)公式的主要作用是求展開(kāi)式中的特殊項(xiàng)，常見(jiàn)的題型有：求第r項(xiàng)；求含xr(或xpyq)的項(xiàng)；求常數(shù)項(xiàng)；求有理項(xiàng)其中求有理項(xiàng)時(shí)一般根據(jù)通項(xiàng)公式所得到的項(xiàng)，其所有的未知數(shù)的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項(xiàng)解這類問(wèn)題必須合并通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)，根

6、據(jù)具體要求，令其屬于整數(shù)，再根據(jù)整數(shù)的整除性來(lái)求解另外，若通項(xiàng)中含有根式，一般把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以減少計(jì)算中的錯(cuò)誤2二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別二項(xiàng)式系數(shù)C與展開(kāi)式中對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)不一定相等，二項(xiàng)式系數(shù)一定為正，而項(xiàng)的系數(shù)有時(shí)可以為負(fù)答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)思考1(ab)3a33a2b3ab2b3，(ab)4a44a3b6a2b24ab3b4.思考2(ab)3的展開(kāi)式有4項(xiàng)，每項(xiàng)的次數(shù)是3；(ab)4的展開(kāi)式有5項(xiàng)，每一項(xiàng)的次數(shù)為4.思考3能，(ab)nCanCan1bCankbkCbn (nN*)梳理(1)右邊的多項(xiàng)式n1(2)CanrbrCanrbr(3)C(r0,1,2，n)題型探究例1(

7、1)解方法一(3)4(3)4C(3)3()C(3)2()2C(3)()3C()481x2108x54.方法二(3)4()4(13x)41C3xC(3x)2C(3x)3C(3x)4(112x54x2108x381x4)54108x81x2.(2)解原式C(x1)nC(x1)n1(1)C(x1)n2(1)2C(x1)nk(1)kC(1)n(x1)(1)nxn.引申探究解方法一(2x)5C(2x)5C(2x)4C(2x)3()2C(2x)2()3C(2x)()4C()532x580x2.方法二(2x)5(2x31)5(12x3)51C(2x3)C(2x3)2C(2x3)3C(2x3)4C(2x3)5

8、80x232x5.跟蹤訓(xùn)練1解原式C(2x1)5C(2x1)4C(2x1)3C(2x1)2C(2x1)C(2x1)0(2x1)15(2x)532x5.例2解(3)10的展開(kāi)式的通項(xiàng)是Tr1C(3)10r()rC310r()r(r0,1,2，10)(1)展開(kāi)式的第4項(xiàng)(r3)的二項(xiàng)式系數(shù)為C120.(2)展開(kāi)式的第4項(xiàng)的系數(shù)為C37()377 760.(3)展開(kāi)式的第4項(xiàng)為T4T3177 760.跟蹤訓(xùn)練2解(1)因?yàn)門3C()n224C，T2C()n12C，依題意，得4C2C162，所以2CC81，所以n281，n9.(2)設(shè)第r1項(xiàng)含x3項(xiàng)，則Tr1C()9rr(2)rC，所以3，r1，所以第二項(xiàng)為含x3的項(xiàng)，T22Cx318x3.二項(xiàng)式系數(shù)為C9.例3解通項(xiàng)公式為Tr1C (3)rC(3)r.(1)第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，當(dāng)r5時(shí)，有0，即n10.(2)令2，得r(n6)2，所求的系數(shù)為C(3)2405.(3)由題意，得令t(tZ)，則102r3t，即r5t.rZ，t應(yīng)為偶數(shù)令t2,0，2，即r2,5,8.第3項(xiàng)，第6項(xiàng)與第9項(xiàng)為有理項(xiàng)，它們分別為405x2，61 236,295 245x2.跟蹤訓(xùn)練3(1)1解析展開(kāi)式的通項(xiàng)為Tr1Cx9r(a)rrC(a)rx92r(0r9，rN)當(dāng)92