高中數(shù)學(xué) 第一章 計數(shù)原理 1.5.1 二項式定理學(xué)案 蘇教選修23(00001)

1、15.1二項式定理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能用計數(shù)原理證明二項式定理.2.掌握二項式定理的特征及其展開式的通項公式.3.會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題知識點二項式定理思考1我們在初中學(xué)習(xí)了(ab)2a22abb2，試用多項式的乘法推導(dǎo)(ab)3，(ab)4的展開式思考2上述兩個等式的右側(cè)有何特點？思考3能用類比方法寫出(ab)n(nN*)的展開式嗎？梳理二項式定理及其概念(1)二項式定理(ab)nCanCan1bCanrbrCbn(nN*)叫做二項式定理，_叫做(ab)n的二項展開式，它一共有_項(2)二項展開式的通項_叫做二項展開式的第r1項(也稱通項)，用Tr1表示，即Tr1_.(3)二

2、項式系數(shù)_叫做第r1項的二項式系數(shù)類型一二項式定理的正用、逆用引申探究將本例(1)改為求(2x)5的展開式例1(1)求(3)4的展開式(2)化簡：C(x1)nC(x1)n1C(x1)n2(1)kC(x1)nk(1)nC.反思與感悟(1)(ab)n的二項展開式有n1項，是和的形式，各項的冪指數(shù)規(guī)律是：各項的次數(shù)和等于n.字母a按降冪排列，從第一項起，次數(shù)由n逐項減1直到0；字母b按升冪排列，從第一項起，次數(shù)由0逐項加1直到n.(2)逆用二項式定理可以化簡多項式，體現(xiàn)的是整體思想注意分析已知多項式的特點，向二項展開式的形式靠攏跟蹤訓(xùn)練1化簡(2x1)55(2x1)410(2x1)310(2x1)2

3、5(2x1)1.類型二二項展開式的通項例2已知二項式(3)10.(1)求展開式第4項的二項式系數(shù)；(2)求展開式第4項的系數(shù)；(3)求第4項反思與感悟(1)二項式系數(shù)都是組合數(shù)C(r0,1,2，n)，它與二項展開式中某一項的系數(shù)不一定相等，要注意區(qū)分“二項式系數(shù)”與二項式展開式中“項的系數(shù)”這兩個概念(2)第r1項的系數(shù)是此項字母前的數(shù)連同符號，而此項的二項式系數(shù)為C.例如，在(12x)7的展開式中，第四項是T4C173(2x)3，其二項式系數(shù)是C35，而第四項的系數(shù)是C23280.跟蹤訓(xùn)練2已知n展開式中第三項的系數(shù)比第二項的系數(shù)大162.(1)求n的值；(2)求展開式中含x3的項，并指出該

4、項的二項式系數(shù)例3已知在n的展開式中，第6項為常數(shù)項(1)求n；(2)求含x2的項的系數(shù)；(3)求展開式中所有的有理項反思與感悟(1)求二項展開式的特定項的常見題型求第r項，TrCanr1br1；求含xr的項(或xpyq的項)；求常數(shù)項；求有理項(2)求二項展開式的特定項的常用方法對于常數(shù)項，隱含條件是字母的指數(shù)為0(即0次項)對于有理項，一般是先寫出通項公式，其所有的字母的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項解這類問題必須合并通項公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其屬于整數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除性來求解對于二項展開式中的整式項，其通項公式中同一字母的指數(shù)應(yīng)是非負(fù)整數(shù)，求解方式與求有理項一致跟蹤訓(xùn)練3(1)若9

5、的展開式中x3的系數(shù)是84，則a_.(2)已知n為等差數(shù)列4，2,0，的第六項，則(x)n的二項展開式的常數(shù)項是_1(x2)8的展開式中x6的系數(shù)是_2二項式(x)12的展開式中的常數(shù)項是第_項3已知5的展開式中含的項的系數(shù)為30，則a_.4化簡：(x1)55(x1)410(x1)310(x1)25(x1)1_.5求()4的展開式1求二項展開式的特定項應(yīng)注意的問題通項公式的主要作用是求展開式中的特殊項，常見的題型有：求第r項；求含xr(或xpyq)的項；求常數(shù)項；求有理項其中求有理項時一般根據(jù)通項公式所得到的項，其所有的未知數(shù)的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項解這類問題必須合并通項公式中同一字母的指數(shù)，根

6、據(jù)具體要求，令其屬于整數(shù)，再根據(jù)整數(shù)的整除性來求解另外，若通項中含有根式，一般把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，以減少計算中的錯誤2二項式系數(shù)與項的系數(shù)的區(qū)別二項式系數(shù)C與展開式中對應(yīng)項的系數(shù)不一定相等，二項式系數(shù)一定為正，而項的系數(shù)有時可以為負(fù)答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點思考1(ab)3a33a2b3ab2b3，(ab)4a44a3b6a2b24ab3b4.思考2(ab)3的展開式有4項，每項的次數(shù)是3；(ab)4的展開式有5項，每一項的次數(shù)為4.思考3能，(ab)nCanCan1bCankbkCbn (nN*)梳理(1)右邊的多項式n1(2)CanrbrCanrbr(3)C(r0,1,2，n)題型探究例1(

7、1)解方法一(3)4(3)4C(3)3()C(3)2()2C(3)()3C()481x2108x54.方法二(3)4()4(13x)41C3xC(3x)2C(3x)3C(3x)4(112x54x2108x381x4)54108x81x2.(2)解原式C(x1)nC(x1)n1(1)C(x1)n2(1)2C(x1)nk(1)kC(1)n(x1)(1)nxn.引申探究解方法一(2x)5C(2x)5C(2x)4C(2x)3()2C(2x)2()3C(2x)()4C()532x580x2.方法二(2x)5(2x31)5(12x3)51C(2x3)C(2x3)2C(2x3)3C(2x3)4C(2x3)5

8、80x232x5.跟蹤訓(xùn)練1解原式C(2x1)5C(2x1)4C(2x1)3C(2x1)2C(2x1)C(2x1)0(2x1)15(2x)532x5.例2解(3)10的展開式的通項是Tr1C(3)10r()rC310r()r(r0,1,2，10)(1)展開式的第4項(r3)的二項式系數(shù)為C120.(2)展開式的第4項的系數(shù)為C37()377 760.(3)展開式的第4項為T4T3177 760.跟蹤訓(xùn)練2解(1)因為T3C()n224C，T2C()n12C，依題意，得4C2C162，所以2CC81，所以n281，n9.(2)設(shè)第r1項含x3項，則Tr1C()9rr(2)rC，所以3，r1，所以第二項為含x3的項，T22Cx318x3.二項式系數(shù)為C9.例3解通項公式為Tr1C (3)rC(3)r.(1)第6項為常數(shù)項，當(dāng)r5時，有0，即n10.(2)令2，得r(n6)2，所求的系數(shù)為C(3)2405.(3)由題意，得令t(tZ)，則102r3t，即r5t.rZ，t應(yīng)為偶數(shù)令t2,0，2，即r2,5,8.第3項，第6項與第9項為有理項，它們分別為405x2，61 236,295 245x2.跟蹤訓(xùn)練3(1)1解析展開式的通項為Tr1Cx9r(a)rrC(a)rx92r(0r9，rN)當(dāng)92