數(shù)字信號處理第一章差分方程、抽樣

1、天津科技大學(xué)應(yīng)用文理學(xué)院1 1.3 離散時間系統(tǒng)的時域描述離散時間系統(tǒng)的時域描述差分方程差分方程一、常系數(shù)線性差分方程的一般表達式一、常系數(shù)線性差分方程的一般表達式或或其中其中ak，br都是常數(shù)。都是常數(shù)。 MrNkkrknyarnxbny01)()()(1, )()(000 arnxbknyaMrrNkk連續(xù)時間連續(xù)時間系統(tǒng)系統(tǒng)用用微分微分方程描述系統(tǒng)輸出輸入之方程描述系統(tǒng)輸出輸入之間的關(guān)系。間的關(guān)系。離散時間離散時間系統(tǒng)系統(tǒng)用用差分差分方程描述或研究輸出輸入方程描述或研究輸出輸入之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。天津科技大學(xué)應(yīng)用文理學(xué)院2說明：說明： 1）常系數(shù)：）常系數(shù)：是指是指ak，br都是常數(shù)

2、，不含變數(shù)都是常數(shù)，不含變數(shù)n n。 2）階數(shù)：）階數(shù)： 差分方程的階數(shù)是由方程差分方程的階數(shù)是由方程y(n-k)項中的項中的k取值取值最大與最小之差確定的。最大與最小之差確定的。 3）線性：）線性：y（nk）和）和x(n r)項都只有一次冪且不存在項都只有一次冪且不存在相乘項。相乘項。 1, )()(000 arnxbknyaMrrNkk天津科技大學(xué)應(yīng)用文理學(xué)院3二、差分方程的求解二、差分方程的求解u時域經(jīng)典法：時域經(jīng)典法：類似于解微分方程，即求齊次解和特解，類似于解微分方程，即求齊次解和特解，過程繁瑣，應(yīng)用很少，但物理概念比較清楚。過程繁瑣，應(yīng)用很少，但物理概念比較清楚。u迭代法迭代法(

3、(遞推法遞推法) )：比較簡單，且適合于計算機求解，但比較簡單，且適合于計算機求解，但不能直接給出一個完整的解析式作為解答（也稱閉合形不能直接給出一個完整的解析式作為解答（也稱閉合形式解答）。式解答）。u卷積法：卷積法：適用于系統(tǒng)起始狀態(tài)為零時的求解。適用于系統(tǒng)起始狀態(tài)為零時的求解。u變換域方法：變換域方法：類似于連續(xù)時間系統(tǒng)的拉普拉斯變換，這類似于連續(xù)時間系統(tǒng)的拉普拉斯變換，這里采用里采用Z變換法變換法來求解差分方程，這在實際使用上是最來求解差分方程，這在實際使用上是最簡單有效的方法。簡單有效的方法。天津科技大學(xué)應(yīng)用文理學(xué)院4例題：例題：解：解：（1）令）令x(n)=(n)， y(n)= h

4、(n)=0， n0 根據(jù)初始條件可遞推如下根據(jù)初始條件可遞推如下 y(0)=ay(-1)+(0)=1 y(1)=ay(0)+(1)=a y(2)=ay(1)+(2)=a2 y(n)=ay(n-1)=an 因此，因此，h(n)=y(n)=anu(n)，該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。，該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。若系統(tǒng)用差分方程若系統(tǒng)用差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，輸入序列描述，輸入序列x(n)=(n)，求初始條件分別為，求初始條件分別為：（：（1）h(n)=0，n0時的單位脈沖響應(yīng)時的單位脈沖響應(yīng)h(n)。(n)作用下，輸出作用下，輸出y(n)就是就是 h(n)1(1) ( )( )1( 2) (

5、1)( 1)01( 3) ( 2)( 2)0( )01y ny nx nayyxayyxay nn 由，得，天津科技大學(xué)應(yīng)用文理學(xué)院5 已知：已知：y(n)=ay(n-1)+x(n)，求，求h(n)=0，n0時的時的h(n)（2）將差分方程改寫成將差分方程改寫成y(n-1)= a-1y(n)-x(n) 根據(jù)初始條件可遞推如下根據(jù)初始條件可遞推如下 y(0)=a-1y(1)-(1)=0 y(-1)= a-1y(0)-(0)=- a-1 y(n)=ay(n-1)=-an 因此，因此，h(n)=y(n)=-anu(-n-1)，是非因果系統(tǒng)。，是非因果系統(tǒng)。( )(1)( )(1)(0)(1)0(2)

6、(1)(2)0( )01y nay nx nyayxyayxy nn由，得，天津科技大學(xué)應(yīng)用文理學(xué)院6以上結(jié)果說明：以上結(jié)果說明：（1 1）一個常系數(shù)線性差分方程不一定代表一個因果系統(tǒng)。）一個常系數(shù)線性差分方程不一定代表一個因果系統(tǒng)。（2 2）一個常系數(shù)線性差分方程，如果沒有附加的起始條件，）一個常系數(shù)線性差分方程，如果沒有附加的起始條件，不能唯一的確定一個系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系，并且只有當起不能唯一的確定一個系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系，并且只有當起始條件選擇合適時，才相當于一個線性時不變系統(tǒng)。始條件選擇合適時，才相當于一個線性時不變系統(tǒng)。 在以下的討論中，除非特別聲明，我們都假設(shè)常系數(shù)線性在以下的討論中

7、，除非特別聲明，我們都假設(shè)常系數(shù)線性差分方程所表示的系統(tǒng)都是指線性時不變系統(tǒng)，并且多數(shù)差分方程所表示的系統(tǒng)都是指線性時不變系統(tǒng)，并且多數(shù)是指因果系統(tǒng)。是指因果系統(tǒng)。天津科技大學(xué)應(yīng)用文理學(xué)院7Z Z-1-1a ax(n)x(n)y(n)y(n)采用差分方程描述系統(tǒng)簡便，容易得到系統(tǒng)的運算結(jié)構(gòu)采用差分方程描述系統(tǒng)簡便，容易得到系統(tǒng)的運算結(jié)構(gòu)差分方程差分方程 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)( )(1)( )y nay nx n 該式說明，系統(tǒng)在該式說明，系統(tǒng)在某時刻某時刻n的輸出值的輸出值y(n)不僅與不僅與該該時刻時刻的輸入的輸入x(n) 有關(guān)，還與有關(guān)，還與該時刻以前該時刻以前的輸出值的輸出值y(n-1)，y

8、(n-2)等有關(guān)。等有關(guān)。 天津科技大學(xué)應(yīng)用文理學(xué)院81.4 1.4 連續(xù)時間信號的抽樣連續(xù)時間信號的抽樣前置預(yù)前置預(yù)濾波器濾波器A/D變換器變換器數(shù)字信號數(shù)字信號處理器處理器D/A變換器變換器模擬模擬濾波器濾波器模擬模擬xa(t)PrFADCDSPDACPoF模擬模擬ya(t)采樣采樣采樣恢復(fù)采樣恢復(fù)天津科技大學(xué)應(yīng)用文理學(xué)院9一、采樣的基本概念一、采樣的基本概念 采樣的原理框圖采樣的原理框圖采樣器采樣器連續(xù)信號連續(xù)信號采樣脈沖采樣脈沖采樣信號采樣信號所謂所謂“采樣采樣”，就是利用采樣脈沖序列從，就是利用采樣脈沖序列從連續(xù)時間連續(xù)時間信號信號中中抽取抽取一系列的一系列的離散樣值離散樣值，由此得

9、到的離散時間信號通，由此得到的離散時間信號通常稱為采樣信號，以常稱為采樣信號，以 表示。表示。 )(txa天津科技大學(xué)應(yīng)用文理學(xué)院10( )( )aax tx t ( )( )( )aaTx tx tpt0 ( )( )( )aaTx tx tt當兩種采樣方式兩種采樣方式（a）實際采樣）實際采樣 （b）理想采樣）理想采樣 天津科技大學(xué)應(yīng)用文理學(xué)院11 采樣前后信號頻譜的變化？采樣前后信號頻譜的變化？研究討論：研究討論： 什么條件下，可以從采樣信號什么條件下，可以從采樣信號 不失真地恢不失真地恢復(fù)出原信號？復(fù)出原信號？)(txa天津科技大學(xué)應(yīng)用文理學(xué)院12二、理想采樣二、理想采樣 1.時域分析時

10、域分析 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 采樣脈沖：采樣脈沖： 理想采樣輸出理想采樣輸出: : nTnTtttp)()()( naTaanTtnTxttxtx)()()()()()()(21)(aa PXX 天津科技大學(xué)應(yīng)用文理學(xué)院132.2.頻域分析頻域分析 映射 時域相乘時域相乘 頻域卷積頻域卷積 （模擬系統(tǒng)）（模擬系統(tǒng)） )()j(21)j(aajPXX)()()(aatptxtx()( )( )j taaaXjDTFT x tx t edt 2()( )()TTskjDTFTtkT 1()( )()*()2aaaTXjDTFT x tXjj 天津科技大學(xué)應(yīng)用文理學(xué)院142.2.頻域分析頻域分析（1)1

11、)沖激函數(shù)序列沖激函數(shù)序列T(t)的頻譜的頻譜 可求解出可求解出: : 2jT( )ektTkktAs2j021( )edTktktTAttT221( )dTTttTT1sj1( )ektTktT因為因為)(2ss tjeknjkkTeTFjP)(21)(ss天津科技大學(xué)應(yīng)用文理學(xué)院15 （2 2）理想采樣信號）理想采樣信號 的頻譜的頻譜)(*)(21)(jPjXjXaa )(2*)(21ksakTjX)(txa12()()2askXjkdT 1() ()askXjkdT 天津科技大學(xué)應(yīng)用文理學(xué)院16 （2 2）理想采樣信號）理想采樣信號 的頻譜的頻譜上式表明：上式表明： （1）頻譜產(chǎn)生周期延

12、拓頻譜產(chǎn)生周期延拓。即采樣信號的頻譜是頻率的周即采樣信號的頻譜是頻率的周期函數(shù)，其周期為期函數(shù)，其周期為s。 （2）頻譜的幅度是）頻譜的幅度是Xa(j)的的1/T倍。倍。)(*)(21)(jPjXjXaaksaXT)jkj(1)(txa天津科技大學(xué)應(yīng)用文理學(xué)院17三、時域采樣定理三、時域采樣定理 如果信號如果信號xa(t)是帶是帶限信號，且最高頻率不超過限信號，且最高頻率不超過s/2，即，即 那么采樣頻譜中，那么采樣頻譜中，基帶頻譜基帶頻譜以及以及各次諧波頻譜各次諧波頻譜彼此是不彼此是不重疊的。用一個帶寬為重疊的。用一個帶寬為s/2的理想低通濾波器，可以不的理想低通濾波器，可以不失真的還原出原

13、來的連續(xù)信號。失真的還原出原來的連續(xù)信號。 2/|02/|)()(ssaajXjX頻譜混疊現(xiàn)象：頻譜混疊現(xiàn)象： 如果信號最高頻率超過如果信號最高頻率超過s/2，那么在采樣頻譜中，各，那么在采樣頻譜中，各次調(diào)制頻譜就會相互交疊起來次調(diào)制頻譜就會相互交疊起來折疊頻率：折疊頻率：s/2 或或 fs/2天津科技大學(xué)應(yīng)用文理學(xué)院18采樣信號的頻譜圖采樣信號的頻譜圖天津科技大學(xué)應(yīng)用文理學(xué)院19奈奎斯特采樣定理奈奎斯特采樣定理： 若原始信號是帶限信號，為使采樣后能不失真的還原出若原始信號是帶限信號，為使采樣后能不失真的還原出原信號，抽樣頻率必須大于兩倍信號最高頻率，即原信號，抽樣頻率必須大于兩倍信號最高頻率

14、，即 為避免混疊，一般在抽樣器前加入一個保護性的前置為避免混疊，一般在抽樣器前加入一個保護性的前置低通濾波器，將高于折疊頻率的分量濾除掉。低通濾波器，將高于折疊頻率的分量濾除掉。 工程上一般取工程上一般取h）53（sh2s天津科技大學(xué)應(yīng)用文理學(xué)院20四、采樣的恢復(fù)（內(nèi)插）四、采樣的恢復(fù)（內(nèi)插） 1.1.頻域分析頻域分析2/,02/,)(ssTjH)()()(1)()()(jXjHjXTjHjXjYaaa)()(txtya 天津科技大學(xué)應(yīng)用文理學(xué)院212.2.時域分析時域分析 把輸出看成是把輸出看成是 與理想低通單位沖激響應(yīng)與理想低通單位沖激響應(yīng)h(t)的卷積。的卷積。 理想低通理想低通H(j)

15、的沖激響應(yīng)為：的沖激響應(yīng)為：)(txa2/2/2)(21)(hssdeTdejHttjtjtTtTttss sin22sin 天津科技大學(xué)應(yīng)用文理學(xué)院22 根據(jù)卷積公式，低通濾波器的輸出為：根據(jù)卷積公式，低通濾波器的輸出為：dtxtxtyaa)(h )()()(dtnTxna)(h )()( nadnTtx)()(h)(nananTtTnTtTnTxnTtnTx)()(sin)()(h)(天津科技大學(xué)應(yīng)用文理學(xué)院23 naanTtTnTtTnTxtx)()(sin)()( 采樣內(nèi)插公式采樣內(nèi)插公式 內(nèi)插函數(shù)內(nèi)插函數(shù)權(quán)內(nèi)插公式內(nèi)插函數(shù)有一個重要特點：在抽樣點內(nèi)插函數(shù)有一個重要特點：在抽樣點nT上

16、函數(shù)值為上函數(shù)值為1，在其余抽樣點上函數(shù)值都為在其余抽樣點上函數(shù)值都為0 內(nèi)插內(nèi)插結(jié)果使得被恢復(fù)的信號在結(jié)果使得被恢復(fù)的信號在采樣點的值就等于采樣點的值就等于xa(nT)，采樣點之間的信號則是由采樣點之間的信號則是由各采樣值內(nèi)插函數(shù)的波形延伸各采樣值內(nèi)插函數(shù)的波形延伸疊加疊加而成的。而成的。 天津科技大學(xué)應(yīng)用文理學(xué)院24 采樣內(nèi)插公式說明，只要采樣頻率高于兩倍信號最采樣內(nèi)插公式說明，只要采樣頻率高于兩倍信號最高頻率，則整個連續(xù)信號就可以完全用它的采樣值來代高頻率，則整個連續(xù)信號就可以完全用它的采樣值來代表，而不會丟掉任何信息。這就是表，而不會丟掉任何信息。這就是奈奎斯特定理的意義奈奎斯特定理的

17、意義。奈奎斯特定理的意義奈奎斯特定理的意義天津科技大學(xué)應(yīng)用文理學(xué)院25五、實際抽樣五、實際抽樣抽樣脈沖抽樣脈沖不是沖激函數(shù)，而是一定寬度的矩形周期脈沖不是沖激函數(shù)，而是一定寬度的矩形周期脈沖( )sjktTkkptC e其中系數(shù)其中系數(shù)Ck隨隨k變化變化抽樣信號頻譜抽樣信號頻譜()()akaskXjC Xjjk 天津科技大學(xué)應(yīng)用文理學(xué)院26 抽樣信號的頻譜是連續(xù)信號頻譜的周期延拓，周期為抽樣信號的頻譜是連續(xù)信號頻譜的周期延拓，周期為ss 若滿足奈奎斯特抽樣定理，則不產(chǎn)生頻譜混疊失真若滿足奈奎斯特抽樣定理，則不產(chǎn)生頻譜混疊失真 抽樣后頻譜幅度隨著頻率的增加而下降抽樣后頻譜幅度隨著頻率的增加而下降 幅度變化并不影響信號恢復(fù)幅度變化并不影響信號恢復(fù)天津科技大學(xué)應(yīng)用文理學(xué)院27 例例：模擬信號：模擬信號 ，其中，其中 1）求）求xa(t)的周期，采樣頻率應(yīng)為多少？采樣間隔應(yīng)為的周期，采樣頻率應(yīng)為多少？采樣間隔應(yīng)為多少？多少？ 2）若選采樣頻率）若選采樣頻率fs=200Hz，采樣間隔為多少？寫出采，采樣間隔為多少？寫出采樣信號樣信號 的表達式。的表達式。 3）畫出對應(yīng)）畫出對應(yīng) 的時域離散信號的時域離散信號x(n)的波形，并求出的波形，并求出x(n)的周期。的周期。)82sin()(0a tftxHz500 f)(