(完整版)第7講點(diǎn)差法公式在橢圓中點(diǎn)弦問題中地妙用.docx

1、標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用第 7 講 點(diǎn)差法公式在橢圓中點(diǎn)弦問題中的妙用定理在橢圓 x2y21（ a b 0）中，若直線 l 與橢圓相交于M、N 兩點(diǎn)，點(diǎn) P( x0 , y0 ) 是a 2b2弦 MN的中點(diǎn)，弦MN所在的直線 l 的斜率為kMN ，則 kMNy0b 2x0a2 .證明：設(shè) M、 N 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) ，x12y12(1)a 2b21,則有x22y221.(2)a 2b2(1)(2) ，得x12x2 2y12y22a 2b 20.2y2y1 y2y1b2 .x2x1x2x1a又 kMNy2y1y1y22 y y.yb2x2x1,x22xxkMN

2、a2 .x1x同理可證， 在橢圓 x2y21（ a b 0）中，若直線 l 與橢圓相交于M、N 兩點(diǎn)，點(diǎn) P(x0 , y0 )b2a 2是弦 MN的中點(diǎn)，弦MN所在的直線 l 的斜率為 k MN ，則 kMNy0a 2.x0b2典題妙解例 1設(shè)橢圓方程為x2y 21，過點(diǎn) M (0,1) 的4直線 l 交橢圓于點(diǎn)A、 B， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P 滿足uuur1uuuruuurOP2(OAOB)，點(diǎn) N的坐標(biāo)為1,1. 當(dāng) l 繞點(diǎn) M22旋轉(zhuǎn)時(shí)，求：（1）動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡方程；（2） | NP | 的最大值和最小值.解：（ 1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P 的坐標(biāo)為 ( x, y) . 由平行四邊形法則可知：點(diǎn)

3、P 是弦 AB的中點(diǎn) .文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用焦點(diǎn)在 y 上， a 24,b 21.假設(shè)直線 l 的斜率存在 .由 kABya 2y1y4.xb2得：xx整理，得： 4x2y2y0.當(dāng)直線 l的斜率不存在時(shí)，弦AB的中點(diǎn) P 為坐標(biāo)原點(diǎn) O(0,0)，也滿足方程。所求的軌跡方程為4x2y 2y0.x 2( y1)211（ 2）配方，得：21.114x.4164| NP|2(x1 )2( y1) 222( x1) 21x 221473( x) 2612當(dāng) x1時(shí)， | NP |min1；當(dāng) x1時(shí)， | NP |max21 .4466例 2在直角坐標(biāo)系 xOy 中，經(jīng)過點(diǎn) (0,2) 且斜率為 k 的

4、直線 l 與橢圓 x 2y 21有兩個(gè)不同2的交點(diǎn) P和 Q.（1）求 k 的取值范圍；（2）設(shè)橢圓與 x 軸正半軸、 y 軸正半軸的交點(diǎn)分別為A、B，是否存在常數(shù) k ，使得向量 OP OQ與 AB 共線？如果存在，求k 的取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說明理由.解：（ 1）直線 l 的方程為 ykx2.ykx2,得： ( 2k 21)x 2由x2y 21.4 2kx2 0.2直線 l與橢圓 x 2y 21有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，2文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用32k 28( 2k 21) 0. 解之得： k 2或 k 2 .22k 的取值范圍是,22 ,.22（ ）在橢圓 x 2y21中，焦點(diǎn)在 x 軸上， a2,

5、 b1 ，A( 2,0), B(0,1), AB( 2 ,1).22設(shè)弦 PQ的中點(diǎn)為 M ( x0 , y0 ) ，則 OM(x0 , y10 ).由平行四邊形法則可知：OP OQ 2OM .OPOQ 與 AB 共線，OM 與 AB共線.x0y0，從而y0221x0.2y0b 2得： k21k2由 kPQa 22，.x022由（ 1）可知 k2不存在符合題意的常數(shù) k .時(shí)，直線 l 與橢圓沒有兩個(gè)公共點(diǎn)，2例 3 已知橢圓 x2y21（ a b 0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1 、 F2 ，離心率 e2 ，右準(zhǔn)a 2b22線方程為 x2 .( )求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；( )過點(diǎn) F1 的直線 l 與

6、該橢圓相交于 M、N 兩點(diǎn)，且 | F2 MF2 N | 2 26 ，求直線 l 的方程 .3解：（）根據(jù)題意，得ec2,x2a2a2, b1, c1.所求的橢圓方程為21.yxa222.c（）橢圓的焦點(diǎn)為F1 (1,0)、 F2 (1,0) .設(shè)直線 l 被橢圓所截的弦MN的中點(diǎn)為 P( x, y) .由平行四邊形法則知：F2 MF2 N2F2P .由| F2MF2N |226得： |F2P|26.(x 1) 2y 226 . 339文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用若直線 l 的斜率不存在，則lx 軸，這時(shí)點(diǎn) P 與 F1 (1,0)重合， | F2MF2N | |2F2F1 | 4，與題設(shè)相矛盾，故直線

7、l 的斜率存在 .由 kMNyb 2得：y1y1 . y21 ( x2x). xa 2xx22代入，得 ( x1) 21 ( x 2x)26 .29172整理，得： 9x 245 x170 . 解之得： x，或 x.172313y由可知，xkx不合題意 .，從而 y.1.333x 1所求的直線 l 方程為 yx1 ，或 yx1.例 4已知橢圓 C : x 2y 21（ a b 0）的離心率為3 ，過右焦點(diǎn)F 的直線 l 與 C 相交于a 2b23A、 B 兩點(diǎn) . 當(dāng) l的斜率為1 時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到 l的距離為2 .2（1）求 a,b 的值；（2）C 上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng) l繞 F 轉(zhuǎn)到某一

8、位置時(shí)，有OP OAOB 成立？若存在，求出所有點(diǎn) P 的坐標(biāo)與 l的方程；若不存在，說明理由 .解：（ 1）橢圓的右焦點(diǎn)為F (c,0)，直線 l 的斜率為 1 時(shí)，則其方程為 y xc ，即 x y c 0.原點(diǎn) O到 l的距離： d| 00c |2c2，c1.222c3a3 .從而 b2 .a3 ， b2 .又 e，a3（ 2）橢圓的方程為x2y21.設(shè)弦 AB 的中點(diǎn)為 Q( x, y) . 由 OPOA OB 可知，點(diǎn) Q32是線段 OP的中點(diǎn)，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 (2x,2 y) .4x 22y 21 .3若直線 l 的斜率不存在，則lx 軸，這時(shí)點(diǎn) Q與 F (1,0) 重合， O

9、P ( 2,0) ，點(diǎn) P 不在橢圓上，故直線 l的斜率存在 .由 kAByb 2 得：yy2.y 22( x2x) . xa 2x 1x33文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用由和解得：x3 , y2.44當(dāng) x3 , y2時(shí)， k ABy2 ，點(diǎn)P 的坐標(biāo)為 (3,2 ) ，直線 l 的方程為44x 1222xy20；當(dāng) x3 , y2 時(shí) ， kABy2，點(diǎn) P的坐標(biāo)為(3,2 ) ， 直線 l 的 方程 為44x1222xy20.金指點(diǎn)睛1.已知橢圓 x22 y 24 ，則以 (1,1) 為中點(diǎn)的弦的長(zhǎng)度為（）A.32B.2330D.36C.232.（ 06 江西）橢圓Q:x 2y 21（ab ）的右焦點(diǎn)

10、為F (c,0) ，過點(diǎn)F的一動(dòng)直線m繞點(diǎn)Fa 2b20轉(zhuǎn)動(dòng)，并且交橢圓于A、 B 兩點(diǎn)， P 為線段 AB的中點(diǎn) .（ 1）求點(diǎn) P 的軌跡 H 的方程；（ 2）略 .3（ 05 上海）（ 1）求右焦點(diǎn)坐標(biāo)是(2,0) 且過點(diǎn) ( 2,2) 的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（ 2）已知橢圓 C 的方程為 x 2y 21（ a b 0） . 設(shè)斜率為 k 的直線 l ，交橢圓 C 于 A、 B 兩a 2b2點(diǎn)， AB的中點(diǎn)為 M. 證明：當(dāng)直線 l平行移動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M在一條過原點(diǎn)的定直線上；（3）略.4. (05 湖北 ) 設(shè) A、 B 是橢圓 3x2y 2上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N (1,3) 是線段 AB 的中點(diǎn)，線

11、段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn) .（ 1）確定 的取值范圍，并求直線 AB的方程；（ 2）略 .225.橢圓 C的中心在原點(diǎn)，并以雙曲線yx1的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，以拋物線x26 6 y 的準(zhǔn)線為42文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用其中一條準(zhǔn)線.（ 1）求橢圓C的方程；（ 2）設(shè)直線 l : ykx2(k0) 與橢圓 C相交于 A、 B 兩點(diǎn)，使 A、 B 兩點(diǎn)關(guān)于直線l : ymx1(m0) 對(duì)稱，求 k 的值 .參考答案1. 解：由 x22 y 24 得 x2y 21， a 24, b22 .42弦 MN的中點(diǎn) (1,1) ，由 k MNyb2得 kMN1，直線 MN的方程為 y 11 ( x 1) .

12、xa222即 x2 y3 . k1 .2x 22 y246y212 y 50 .由2 y得：x3設(shè) M(x, y), N ( x, y) ，則y1y22, y1 y25.11226|MN|(112 ) ( y1y2 )24 y1 y2k5 (4 10) 3303故答案選C.yb2yyb22. 解：（ 1）設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ( x, y) ，由 k AB2得：x2，xacxa整理，得： b2 x2a2 y2b2 cx0 .點(diǎn) P 的軌跡 H的方程為 b 2 x2a 2 y 2b 2cx 0 .3 解：（ 1）右焦點(diǎn)坐標(biāo)是 (2,0)，左焦點(diǎn)坐標(biāo)是 (2,0).c2 .由橢圓的第一定義知，2a(

13、22)2(2) 2(22) 2(2) 24 2 ， a 2 2 .b2a2c 24.所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x 2y 21.84文案大全標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用（ 2）設(shè)點(diǎn) M的坐標(biāo)為 ( x, y) ，由 k AByb2yb222xa2 得： kxa2，整理得： bxaky 0 .a、 b、 k 為定值，當(dāng)直線 l平行移動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn) M在一條過原點(diǎn)的定直線b 2 xa 2 ky0 上 .4. 解：（ 1）點(diǎn) N (1,3) 在橢圓 3x2y2內(nèi)， 31232 ，即 12.的取值范圍是(12,) .由 3x 2y 2得 y 2x 21，a 2,b 2，焦點(diǎn)在 y 軸上 .33若直線 AB 的斜率不存在，則直線ABx 軸，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，線段AB的中點(diǎn) N 在 x 軸上，不合題意，故直線AB的斜率存在 .由 kABya2得： k AB3， kAB1.xb213所求直線 AB的方程為 y31 (x1)，即 xy4 0 .從而線段 AB 的垂直平分線CD的方程為 y3 1 ( x 1) ，即 xy 20 .5. 解：（ 1）在雙曲線 y2x 21 中， a2,b2, ca2b26 ，42焦點(diǎn)為 F1 (0,6 ), F2(,6 ) .在拋物線x226 y 中， p6 ，準(zhǔn)線為 y6.2在橢圓中， a 26 .從而 a3,b3