廣義系統(tǒng)畢業(yè)論文

1、目 錄1 緒論 11.1 選題的意義和背景 11.2 廣義系統(tǒng)研究概況 11.3 本文內(nèi)容結(jié)構(gòu)與章節(jié)安排 32 廣義系統(tǒng)基礎理論 52.1 概述 52.2 模型介紹 62.3 狀態(tài)反饋 82.4 輸出反饋 103 魯棒穩(wěn)定的充要條件 123.1 魯棒穩(wěn)定基礎理論 123.2 狀態(tài)反饋魯棒穩(wěn)定的充要條件 123.3 輸出反饋魯棒穩(wěn)定的充要條件 144 控制器設計方法 164.1 概述 164.2 基于LMI或李雅普諾夫輸出反饋控制器設計方法 164.3 基于LMI或李雅普諾夫狀態(tài)反饋控制器設計方法 174.4 總結(jié) 185 基于MATLAB的系統(tǒng)仿真 195.1 MATLAB軟件簡介 195.2

2、 仿真 19結(jié)束語 25致謝 26參考文獻 271 緒論廣義系統(tǒng)有許多別稱，例如奇異系統(tǒng)、微分代數(shù)系統(tǒng)、描述系統(tǒng)、廣義狀態(tài)空間系統(tǒng)、隱式系統(tǒng)及退化系統(tǒng)等。廣義系統(tǒng)按照不同分類方式可以分為線性和非線性、定常和時變、連續(xù)和離散、單輸入單輸出和多輸入多輸出等多種類型。其中，又以線性定常廣義系統(tǒng)為最基本的一類系統(tǒng)1。本文把魯棒穩(wěn)定問題作為連續(xù)定常廣義系統(tǒng)研究的主要對象，包括在得到其輸出反饋和狀態(tài)反饋控制器的設計方法后，同時給出狀態(tài)和輸出反饋作用下其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件，并給出算例及仿真。本文的研究方法和結(jié)果對于開拓廣義系統(tǒng)其他分支領域的前沿課題的研究具有一定的理論意義和推廣價值。1.1 選題意義和背景

3、隨著高科技不斷發(fā)展，為了滿足二十世紀六十年代初時航空技術不斷發(fā)展的需求，自動控制理論由此跨進到了現(xiàn)代控制理論領域，廣義系統(tǒng)逐漸進入了人們的視野。四十多年前，研究電網(wǎng)絡系統(tǒng)著名學者是羅森布魯克。他在研究此復雜系統(tǒng)后，第一次得到了廣義系統(tǒng)的模型。從此羅森布魯克成為了此系統(tǒng)的奠基人。由于廣義系統(tǒng)在現(xiàn)代生產(chǎn)過程中應用具有極大基礎重要性，所以歷代學者在對廣義系統(tǒng)的研究中付出了極大的心血，由此在短時間內(nèi)獲得的研究成果十分巨大。然后，廣義系統(tǒng)的基礎理論知識的進一步推進和豐富發(fā)展工作是由Luenberger D.G.、Dai L.、Cobb J.D.和CampbellS.L.等人完成的，他們借在美國著名刊物自

4、動控制匯刊和英國刊物國際自控聯(lián)匯刊等自動化刊物上發(fā)表的文章，分析了廣義系統(tǒng)性能。分別為能控、能觀和穩(wěn)定性。從而成為了這個研究領域的先驅(qū)人物2。由于廣義系統(tǒng)的形式更加一般化，所以更加便于實現(xiàn)于現(xiàn)實生產(chǎn)生活中的大部分系統(tǒng)?，F(xiàn)在廣義系統(tǒng)主要使用在工程技術方面。它的重要作用加快了科學技術的進步。但是研究一個系統(tǒng)必須從最基本的方面做起，對于廣義系統(tǒng)而言，連續(xù)線性定常廣義系統(tǒng)就是其中十分基礎的。所以重點探討了線性廣義系統(tǒng)的穩(wěn)定性，以及反饋控制器設計方法。1.2 廣義系統(tǒng)研究概況1.2.1 國外研究概況當四十多年前，現(xiàn)代廣義系統(tǒng)理論奠基人羅森布魯克提出系統(tǒng)模型后，國外有關這種系統(tǒng)的研究從未停止過，已經(jīng)取得了

5、極大的成就，并一直處在前沿位置上。二十世紀六十年代，一種建立在空間描述基礎上的最優(yōu)濾波遞推算法是有R.E. Kalman和R.S. Bucy兩位學者提出來。它又叫做卡爾曼濾波器。這些研究都是廣義系統(tǒng)的基礎方面的探討，但是卻都是復雜系統(tǒng)發(fā)展的基本知識。著名的美國研究者盧恩博格后來分別在1977年和1978年發(fā)表了文章。他們在文章里對廣義系統(tǒng)的解作了解析。并切是關于解是否存在的問題。這也是廣義系統(tǒng)早期的研究3。然而，由于當時羅森布魯克剛剛提出廣義系統(tǒng)的模型不久，所以對于廣義系統(tǒng)的研究處在最初級階段，研究成果也十分有限。理論研究的道路曲折難行、前進十分困難。到了二十世紀八十年代，由于受到了許多的控制

6、理論領域?qū)＜业年P注，加上這兩個領域的相似性，從而導致了廣義系統(tǒng)研究得到了前所未有的進步。此時，不僅最基本的連續(xù)線性定常廣義系統(tǒng)有很大發(fā)展，而且線性時變廣義系統(tǒng)也取得了相應的發(fā)展。后來，廣義系統(tǒng)的理論研究進入井噴期。這當中有關系統(tǒng)的鎮(zhèn)定的研究進展十分迅速。許多學者也得到了設計多種控制觀測器的方法。當然還有反饋控制的最原始的解析情況，其中有的系統(tǒng)有不再只是線性的。而出現(xiàn)了許多系統(tǒng)的研究，這也相對應了前文的系統(tǒng)多樣性的特點。這些都離不開許多著名理論專家的努力，包括Campbell、Fahmy和Cobb等人。從上個世紀的最后十年到今天，其研究的一個趨勢是向縱深方向發(fā)展。在國外研究中，學者Takaba等

7、人研究廣義系統(tǒng)的李雅普諾夫理論，并且將J譜分析法推廣到了廣義系統(tǒng)之中。之后，有關控制器如何設計和怎樣控制時滯廣義系統(tǒng)的問題被學者提出，他們是Fridman和Masubuch，并得出了用線性矩陣不等式方法的研究思路4。1.2.2 國內(nèi)研究概況由于我國的廣義系統(tǒng)研究開始時間晚，加之沒有堅實的理論支撐和指導，導致其發(fā)展歷程十分艱難。我國在廣義系統(tǒng)研究上取得一定成績是在上世紀末。1993年，我國國內(nèi)學者開始了接觸到了時滯廣義系統(tǒng)方面的問題，并取得重要成果。在開始時滯廣義系統(tǒng)的課題上，主要是研究其系統(tǒng)的魯棒問題和反饋上的。在研究系統(tǒng)控制控制穩(wěn)定上，學者謝湘生和劉永清是其中的佼佼者。他們還在反饋控制的性質(zhì)

8、等基礎理論方面有一定研究。而在反饋控制方面，劉洪偉和謝湘生找到了具體控制器設計方法的答案，此方法的基礎是線性矩陣不等式5。進入二十世紀后，國內(nèi)的一些學者開始研究有限時間之內(nèi)的穩(wěn)定問題。其中沈艷軍是研究線性和離散廣義系統(tǒng)上的領軍人物。其中這些系統(tǒng)包括了不確定的系統(tǒng)。并且離散時間系統(tǒng)上有十分深入的探討，例如主要是系統(tǒng)中存在外部干擾。而且馮俊娥在有建樹的系統(tǒng)研究不僅如此，而且當系統(tǒng)的參數(shù)是不確定的時候也做出了喜人的成績。對于連續(xù)線性定常廣義系的研究工作多由國外的學者完成的，那是屬于較簡單的廣義系統(tǒng)。國內(nèi)專家學者多是在前人的基礎上進一步努力完善廣義系統(tǒng)大體系。如對有限時間穩(wěn)定鎮(zhèn)定問題研究成果十分少，所

9、以還要許多工作需要我們?nèi)プ觥?.2.3 廣義系統(tǒng)研究方法研究廣義系統(tǒng)的方法是多種的。分別是頻域方法、幾何方法和狀態(tài)空間法三種。一般系統(tǒng)的研究方法已經(jīng)對人們的研究產(chǎn)生了十分重大影響。所以在廣義系統(tǒng)的研究上也采用了傳統(tǒng)的解析法。簡單即為一般系統(tǒng)的向外延伸。幾何方法，顧名思義即是將廣義系統(tǒng)轉(zhuǎn)變?yōu)樵趲缀畏矫娴膯栴}進行研究。而且此方法的運用空間是狀態(tài)空間。同時這也是幾何方法與其它方法相比較下的一大優(yōu)勢，因為它對系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)有著獨特的描述。這里需明確指出的是，分析過程直觀明細，所產(chǎn)生的結(jié)果都可化為矩陣運算是幾何方法的又一個優(yōu)勢，同時沒有了復雜的矩陣運算。但無法全面的對系統(tǒng)的魯棒性能分析又是幾何方法的一個缺陷

10、?？煽刂菩越Y(jié)構(gòu)、不變子空間的刻畫和能控制性子空間是這種方法的主要運用范疇。多變量頻域方法。它的另一個叫法是頻域方法。此方法使用前提有兩個。第一個是當廣義系統(tǒng)要求在分解和解釋空間狀態(tài)。另一個是需要了解頻域的系統(tǒng)描述具體計算問題。并且此方法的特點是物理性方面的調(diào)整十分強，而且直接。狀態(tài)空間方法。這也是研究時用得最多的方法。此方法一般只在一種情況下使用。即是要在空間下使用矩陣計算時。且此空間是狀態(tài)空間。它的另一個叫法是時域方法矩陣狀態(tài)空間方法之所以使用最廣泛，是因為它具有簡單明了地解析問題的方式和所得結(jié)論明確清楚等優(yōu)勢，還有其中最重要的是可以在電腦上借助軟件進行運算并和分析，由此受到了各行業(yè)的專業(yè)設

11、計人員的青睞6。1.3 本文內(nèi)容結(jié)果與章節(jié)安排本文第一章為緒論，主要介紹了廣義系統(tǒng)的重要背景知識。其中包括研究此系統(tǒng)的意義。這是由廣義系統(tǒng)的時域范圍廣，現(xiàn)實生產(chǎn)大量使用。最后系統(tǒng)介紹廣義系統(tǒng)的研究情況。其中包括國外和國內(nèi)的研究歷程。第二章主要有關廣義系統(tǒng)的最基本的知識。包括廣義系統(tǒng)的模型和基礎的狀態(tài)輸出反饋。其中重點為介紹連續(xù)線性定常廣義系統(tǒng)的基礎理論和相對應的狀態(tài)和輸出反饋知識。第三章研究廣義系統(tǒng)的魯棒性。重點是連續(xù)定常廣義系統(tǒng)里的魯棒性。展開即是使狀態(tài)和輸出反饋穩(wěn)定的充要條件。第四章具體設計出線性定常廣義系統(tǒng)的控制器。本章重點是給出設計方法，并且此方法是以LMI或李雅普諾夫不等式方法為基礎

12、的。第五章主要先介紹MATLAB軟件，然后得出設計模塊在軟件中的仿真圖以及相應的文字說明。最后為結(jié)束語，總結(jié)了全文。以及說明了在本次畢業(yè)設計中所學到的有用的知識點，以及本設計所遇到的困難以及如何自己去克服，包括老師和同學給予的幫助等等。2 廣義系統(tǒng)理論基礎了解系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)模型是研究一個系統(tǒng)的基本前提。廣義系統(tǒng)也不例外，該系統(tǒng)的基本模型1974年提出，經(jīng)歷了四十多年的研究，系統(tǒng)的模型早已成熟。本章主要對廣義系統(tǒng)的理論做出介紹。且這些都是最基本的知識，包括系統(tǒng)模型、狀態(tài)和輸出反饋及研究方法等。2.1 概述廣義系統(tǒng)與從提出以來，不僅是用于分解分析實際系統(tǒng)的工具，而且使用的范圍也十分寬泛。廣義系統(tǒng)之所以

13、區(qū)別于其它系統(tǒng)的不僅是形式上的，最重要的其如下的特點。廣義系統(tǒng)和正常系統(tǒng)不同的八個主要方面：(1) 三部分構(gòu)成了廣義系統(tǒng)通常具有組合性的解，即當極點是無窮極點時的脈沖和靜態(tài)解、當極點是有窮盡時的指數(shù)解以及在輸入的函數(shù)中的導數(shù)項；但正常系統(tǒng)只有一項解，為指數(shù)解。廣義系統(tǒng)不再擁有一般的因果性。這是由其解的特點決定。系統(tǒng)的解要求某時刻之前和之后的信息的信息作為參考。(2) 廣義系統(tǒng)在動態(tài)階數(shù)上有特點。正常系統(tǒng)的動態(tài)階數(shù)與相同于系統(tǒng)維數(shù)。而廣義系統(tǒng)的動態(tài)階數(shù)卻比它小，小于矩陣的秩。(3) 廣義系統(tǒng)的矩陣構(gòu)成十分復雜。而正常系統(tǒng)矩陣比較簡單。廣義系統(tǒng)矩陣構(gòu)成需滿足兩個要求。第一個要求是矩陣為真有理分式。

14、第二個是多項式矩陣的指數(shù)大于1。而正常系統(tǒng)的是真分式矩陣，并且是有理的。(4) 一般來說，正常系統(tǒng)的初值問題也是具有特點的。在此問題下的解含有唯一性。但廣義系統(tǒng)則復雜得多。它的特點有以下幾點：首先，初始函數(shù)的可相容性和解的可求解性與關初值問題下的解具有唯一性等價。其次，廣義系統(tǒng)的解也具有多種可能性。有解存在、有無窮多解或無解。最后，所以經(jīng)常要求廣系統(tǒng)是正則的，以防止得到的解是含有脈沖和跳躍的。(5) 廣義系統(tǒng)系統(tǒng)具有層次性。而且它所具有的層次性是兩種。分為動態(tài)和靜態(tài)的特性。前者由差分方程描繪系統(tǒng)對象，后者則是代數(shù)方程描繪系統(tǒng)對象。(6) 廣義系統(tǒng)的另一個特點是極點。其實它的極點和一般系統(tǒng)不同也

15、是比較簡單的。其極點分為有窮盡的和無窮盡的極點。前者的個數(shù)為個，而后者在廣義系統(tǒng)和正常系統(tǒng)中的個數(shù)分別是個和n個，同時動態(tài)和靜態(tài)無窮極點則又是按照極點狀態(tài)細分的兩類。(7) 運行過程中，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中經(jīng)常出現(xiàn)不符合預想的參數(shù)。即是參數(shù)參數(shù)擾動。一般系統(tǒng)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定會發(fā)生變化。此時會直接影響廣義系統(tǒng)。但此時正常系統(tǒng)則仍然保持穩(wěn)定。(8) 正常系統(tǒng)一般滿足李雅普諾夫鎮(zhèn)定和穩(wěn)定性。廣義系統(tǒng)則不一定滿足7。2.2 模型介紹2.2.1 廣義系統(tǒng)當然，在許多專家的不斷研究探索下，使得我們可以更加精確的描述現(xiàn)實生活中存在的實際例子。我們一般討論的正常系統(tǒng)為： (2.1)廣義系統(tǒng)為： (2.2)其中，時間變量是t，維

16、數(shù)適中的狀態(tài)量，輸出量和輸入向量分別是x，y，u，和分別是關于x，u，t的n維向量函數(shù)，。當矩陣E是滿秩時，即()，式子(2.2)可以轉(zhuǎn)化為形如式子(2.1)的連續(xù)正常的系統(tǒng)。但是當E不是滿秩時(即)，式子(2.2)的系統(tǒng)即為廣義系統(tǒng)8。2.2.2 連續(xù)線性定常廣義系統(tǒng)系統(tǒng)模型為如下形式： (2.3)其中為奇異矩陣，E、A、B、C分別是維數(shù)適當?shù)膶崝?shù)矩陣，時間變量是t，維數(shù)適中的狀態(tài)量、輸出量和輸入向量分別是x，y，u。2.2.3 李雅普諾夫不等式方法一百多年前，俄國著名的數(shù)學力學專家亞歷山大李雅普諾夫在其發(fā)表的文獻中提出了科學概念下的運動穩(wěn)定性，及其研究的方法和科學理論體系。從此，李雅普諾夫

17、方法得以完善和發(fā)展起來。第一種李雅普諾夫方法別名是間接法。此方法是得出系統(tǒng)是否具有穩(wěn)定性。它的具體操作是由解析狀態(tài)方程的解得到，所以得此別名。簡單地說就是解析特征方程的根。由此得到系統(tǒng)的特性。所以也必須將非線性系統(tǒng)線性化后再研究。此時研究內(nèi)容一般是穩(wěn)定性。李雅普諾夫第二方法別名是直接法。此方法目的和第一法相同。具體操作是當無需解出方程解時，只分解由方程得到的導數(shù)的符號性質(zhì)和雅普諾夫函數(shù)。以此得出解的穩(wěn)定性。并且這里的方程式微分的。以下為便于理解例舉的自制系統(tǒng)： (2.4)假設符合局部Lipschitz連續(xù)條件、在上連續(xù)的條件和三個條件。為便于說明，首先簡單闡述有關李雅普諾夫函數(shù)概念。李雅普諾夫

18、函數(shù)：稱是恒負(正)的概念：如果滿足條件，且上其中，而且和是不間斷連續(xù)；稱是正(負)定的概念：如果總是，其中不在中；當函數(shù)符號的正負無法恒定時，函數(shù)稱為變號函數(shù)9。這里的函數(shù)就是我們所稱之的的李雅普諾夫函數(shù)。可知：若函數(shù)滿足在，則稱其在平面上是正定的；若函數(shù)滿足在，則稱其在平面上是恒負的；函數(shù)在平面上是變號函數(shù)；函數(shù) 在平面上是常正函數(shù)。2.2.3 線性矩陣不等式方法(LMI)一般線性矩陣不等式： (2.5)其中，矩陣不等式(2.5)的決策變量是個變量，且都為實數(shù)。以此得，決策向量是所構(gòu)成： (2.6)假設存在一組實數(shù)矩陣，且為對稱的，那么(2.5)中的小于號代表矩陣是負定的，故可知對所有非零

19、向量是最大特征值為負的條件。矩陣常常在系統(tǒng)與控制的問題里充當變化量。如李雅普諾夫不等式： (2.7)化為如下不等式： (2.8)2.3 狀態(tài)反饋一般系統(tǒng)中的控制結(jié)構(gòu)是由兩部分組成的。分別為控制器和被控對象。廣義系統(tǒng)也不例外。狀態(tài)和輸出的差別在于，狀態(tài)包含了對象的全部信息，而輸出只是狀態(tài)的組成部分。所以系統(tǒng)在進行反饋控制時，使用狀態(tài)反饋可使系統(tǒng)更好的達到效果。然而，要獲得系統(tǒng)的狀態(tài)信息，離不開更多的傳感器，但是同時也增加了成本。但是，一個系統(tǒng)的狀態(tài)變量未必都是物理量，有時即使是系統(tǒng)的物理量，限于技術手段，在實際中仍難以精確測量到這些相應的物理量，導致了很難在現(xiàn)實生產(chǎn)中精確地使用狀態(tài)反饋控制，故要

20、由具體情況選擇使用。2.3.1 基礎理論在現(xiàn)代控制理論中，將狀態(tài)量作為系統(tǒng)輸入量傳輸至系統(tǒng)輸入端同時表現(xiàn)了現(xiàn)代理論特點的反饋方式，稱為狀態(tài)反饋。狀態(tài)反饋的具體原理是：輸入量和已經(jīng)與反饋系數(shù)相乘的狀態(tài)量相加后，作為系統(tǒng)的新的輸入量重新作用于系統(tǒng)?？墒?，與輸出反饋不同的是，需要得到系統(tǒng)的輸出量即可，狀態(tài)反饋需要測出很難測得的狀態(tài)量，導致了狀態(tài)反饋技術不易實施。圖2.1 系統(tǒng)狀態(tài)反饋結(jié)構(gòu)圖圖2.1是多輸入輸出反饋系統(tǒng)，且比較直觀的解析了狀態(tài)反饋。圖中既是一個常數(shù)也是一個矩陣的字母K通常叫做增益矩陣。隨著科技的不斷進步，尤其是發(fā)展了估計狀態(tài)量理論和檢測狀態(tài)量理論后（特別是卡爾曼和布什提出的濾波方法），

21、在現(xiàn)實的操作中得到狀態(tài)量的實時觀測值已近較容易。由此，狀態(tài)反饋方法進入了可操作階段10。狀態(tài)反饋的性質(zhì)：(1) 系統(tǒng)能控制性不會變化。(2) 使用狀態(tài)反饋時需要配置系統(tǒng)極點，當其和原系統(tǒng)零點出現(xiàn)相消時，原來系統(tǒng)的能觀性會變化。(3) 狀態(tài)反饋不會改變系統(tǒng)的零點位置。且此系統(tǒng)是易操作控制的單個通道輸入輸出的。(4) 在使用狀態(tài)反饋時，系統(tǒng)的狀態(tài)x務必是可以容易獲取的是一個必須要有的前提。前文已經(jīng)提到，系統(tǒng)的狀態(tài)量不易得到，當其無法時就需要重新構(gòu)架系統(tǒng)狀態(tài)。含有動態(tài)補償器的輸出反饋的信息由觀測器獲得，非靜止狀態(tài)的反饋。盡管靜態(tài)輸出反饋具有構(gòu)成明了簡單，信息上獲取也沒有任何困難等優(yōu)勢，但它的缺點在于

22、：此種反饋不能很好地發(fā)揮系統(tǒng)性能，尤其是不能確保閉環(huán)系統(tǒng)完全穩(wěn)定11。2.3.2 系統(tǒng)在狀態(tài)反饋下可控制性對于多個變量的線性系統(tǒng)： (2.9)在任何形如： (2.10)的狀態(tài)反饋下，若被控對象完全可控。那么對于閉環(huán)系統(tǒng)，且是狀態(tài)反饋的也是完全可控的。2.3.3 系統(tǒng)在狀態(tài)反饋下可觀測性由上文已知系統(tǒng)的可控性不會因為狀態(tài)反饋發(fā)生改變，但是其會改變系統(tǒng)的可觀測性，方法就是選擇一個狀態(tài)反饋矩陣K達到破壞系統(tǒng)可觀性的目的。當然，若在狀態(tài)反饋系統(tǒng)中出現(xiàn)了零極點相消時系統(tǒng)的可觀性也會發(fā)生改變。定理2.1：輸出反饋閉環(huán)系統(tǒng)是否可控或可觀直接由被控系統(tǒng)決定，即被控系統(tǒng)是可控可觀的為輸出反饋系統(tǒng)可控可觀的充要條

23、件。2.4 輸出反饋2.4.1 基礎理論系統(tǒng)的另外一種反饋是輸出反饋。淺析原理：把比例環(huán)節(jié)作為系統(tǒng)的輸出量變成輸入量的媒介后重新作用于系統(tǒng)。簡單來說，即是將增益矩陣H加在系統(tǒng)的輸出端和輸入端之間，并且H為常數(shù)矩陣。輸出反饋易實現(xiàn)。原因是此種反饋所需的輸出量容易采集和分析，且大都具有實在的物理含義。所以輸出反饋易于使用。圖2.2 系統(tǒng)輸出反饋結(jié)構(gòu)圖圖2.2是多輸入輸出反饋系統(tǒng)，且為一個較為詳細的輸出反饋結(jié)構(gòu)圖。但如果對于單輸入輸出的系統(tǒng)，當增益矩陣H對系統(tǒng)完成輸出反饋后，原來的傳遞函數(shù)就會變?yōu)?。對于多變線性系統(tǒng)而言，當增益矩陣H發(fā)生改變時，系統(tǒng)同樣會發(fā)生改變。2.4.2 基本性質(zhì)輸出反饋的性質(zhì)：

24、(1) 輸出反饋作用無法改變系統(tǒng)的某些性能，能控性和能觀性就在其中。(2) 輸出反饋所導致的閉環(huán)系統(tǒng)均能保持開環(huán)系統(tǒng)的能控性，但系統(tǒng)的能觀測性可能發(fā)生改變。(3) 輸出反饋的一個突出特點是便于實現(xiàn)，但是其無法更好的描繪系統(tǒng)的狀態(tài)情況，以致于無法獲得滿意的系統(tǒng)性能12。3 魯棒穩(wěn)定的充要條件魯棒是一個音譯詞，表示物體或人的強韌程度。所要研究的魯棒性即是當系統(tǒng)在外界擾動下維持某些性能的特性。所以系統(tǒng)的這種性質(zhì)是其在非常規(guī)條件下運行的關鍵。魯棒性是系統(tǒng)的一個關鍵屬性。故研究如何設計一個控制器使保持預定的功能，并且此系統(tǒng)受到擾動時性能仍不變化。這種控制叫做魯棒控制。同時需要給出魯棒穩(wěn)定的充要條件。并且

25、是反饋控制下的條件。3.1 魯棒穩(wěn)定基礎理論廣義系統(tǒng)和一般系統(tǒng)存在諸多的不同。這些廣義系統(tǒng)的自身特點致使其有關的問題更為復雜。其中包括魯棒穩(wěn)定問題。研究廣義系統(tǒng)穩(wěn)定問題包含多個方面。此處主要考慮其魯棒穩(wěn)定性。而且也務必把其正則性和脈沖模存在性加入考慮范疇。對于如下系統(tǒng)： (3.1)其中，為系統(tǒng)的狀態(tài)變量；為實數(shù)矩陣，E為奇異矩陣。一般來說，對廣義系統(tǒng)而言，漸進穩(wěn)定和無脈沖是它的兩個基本要求。如下介紹兩個廣義系統(tǒng)穩(wěn)定性判別的著名定理13。定理3.1：廣義系統(tǒng)(3.1)是容許的充要條件是：對給任意確定的一個矩陣，必有解V，滿足如下方程： (3.2)相對的：定理3.2：系統(tǒng)(3.1)為容許的充要條件

26、為：給定一個任意矩陣，必有解V，符合如下不等式： (3.3)式(3.2)和(3.3)皆是李雅普諾夫不等式。3.2 狀態(tài)反饋魯棒穩(wěn)定的充要條件如下線性廣義系統(tǒng)： (3.4)其中，代表時間變量，維數(shù)適中的狀態(tài)、輸出和輸入向量分別是，。，分別是適維的實矩陣。定義3.1：廣義系統(tǒng)(3.4)是正則的，如果不恒等于零。定義3.2：廣義系統(tǒng)(3.4)叫做無脈沖模。如果廣義系統(tǒng)(3.4)是正則的且成立。定義3.3：廣義系統(tǒng)(3.4)是逐漸趨于穩(wěn)定。如果對于系統(tǒng)(3.4)的每一個解都有。引理3.1：廣義系統(tǒng)稱為是穩(wěn)定的。如果廣義系統(tǒng)是正則的，且都在左半平面上。即滿足。如果記為滿足條件和的矩陣，則有：引理3.2：

27、對于廣義系統(tǒng)無脈沖模。且是穩(wěn)定正則的。則存在并且只存在矩陣P使得：和；引理3.3：以下三個命題等價：(1) 廣義系統(tǒng)無脈沖模，且是正則且穩(wěn)定的系統(tǒng)；(2) 存在矩陣，Y滿足；(3) 存在矩陣，Y滿足14。定理3.3：廣義系統(tǒng)是魯棒穩(wěn)定的充要條件是存在正定矩陣和矩陣Y，使如下不等式： (3.5)成立。那么此充要條件達到了目的。即使得系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定。證明：廣義系統(tǒng)(3.4)是可鎮(zhèn)定的充分必要條件存在控制器，使得相應的穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng)是正則和無脈沖模。由引理3.3可得：存在矩陣，Y，滿足： (3.6)即：令即有(3.5)等價于(3.6)即充要條件得證。3.3 輸出反饋魯棒穩(wěn)定的充要條件普及相關的引理。引理

28、3.4：假設有矩陣Q和矩陣P。其中Q、P皆為矩陣，Q是鎮(zhèn)定的，P為常數(shù)。使系統(tǒng)(3.4)滿足： (3.7)P具有以下形式： (3.8)其中，且,可逆。那么(3.4)符合魯棒穩(wěn)定條件。引理3.5：設維數(shù)適當?shù)木仃?，。并且矩陣都是實?shù)的。那么對于任意，有： (3.9)引理3.6：若M，N，是給定的對稱陣，滿足，且 (3.10)對所有的，成立。則存在常數(shù)使得 (3.11)如果有輸出反饋控制器加載于系統(tǒng)(3.4)，可得出： (3.12)作用后構(gòu)成的廣義系統(tǒng)： (3.13)有矩陣P使得其滿足如下不等式，使得閉環(huán)系統(tǒng)符合的條件： (3.14)其中，。且此是魯棒穩(wěn)定條件。證明：充要性：對于閉環(huán)系統(tǒng)(3.13

29、)，取 (3.15)于是，由引理3.5，必存在，有：于是根據(jù)引理3.4可得閉環(huán)系統(tǒng)是魯棒穩(wěn)定的。必要性：根據(jù)引理3.4可知存在矩陣和。且都為正定的，使得： (3.16)成立。令，那么可知對每一個不是零，可得到 (3.17)由引理3.6可知，有使如下的不等式符合： (3.18)且是常數(shù)。結(jié)合P的求法，那么必要性得證。4 控制器設計方法4.1 概述穩(wěn)定幾乎是任何系統(tǒng)正常運行的首要前提。對于一個不穩(wěn)定的系統(tǒng)，如果要使其穩(wěn)定，則必須使用外部手段使其保持穩(wěn)定，即是系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題，使得系統(tǒng)穩(wěn)定的控制器稱是穩(wěn)定化控制器。一般來說，有許多個方式使系統(tǒng)達到穩(wěn)定。但是目前使用最多的即是反饋控制。系統(tǒng)反饋控制器設計

30、問題其實比較簡單。簡潔說即是得到反饋增益的過程，并且在系統(tǒng)內(nèi)部受到擾動時保持穩(wěn)定不變。本文主要是淺析并得出線性廣義系統(tǒng)控制器設計方法，包括狀態(tài)和輸出反饋兩種。4.2 基于LMI輸出反饋控制器設計方法考慮線性連續(xù)廣義系統(tǒng)： (4.1)其中，是奇異矩陣，、都是實數(shù)矩陣，且維數(shù)適當。代表時間變量，維數(shù)適中的狀態(tài)、輸出和輸入向量分別是，。為了調(diào)用方便，將吸引(4.1)簡單記為(E,A,B,C)設輸出反饋控制器： (4.2)其中，是待定的輸出反饋增益。則線性閉環(huán)廣義系統(tǒng)的模型為： (4.3)即簡寫為： (4.4)目的是找到增益矩陣F，以達到使得系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定的目的。定理4.1：有輸出反饋控制器(4.2)加

31、載于系統(tǒng)(4.1)。且此控制器是靜態(tài)的，最終致使系統(tǒng)到達魯棒穩(wěn)定狀態(tài)。有滿足如下條件的矩陣P，使得式(4.2)是廣義系統(tǒng)(4.1)一個魯棒穩(wěn)定控制器的充要條件，且P具有如下形式： (4.5)其中，且，可逆及，滿足如下不等式： (4.6)其中， (4.7)引理4.1：若M，N，是給定的對稱矩陣，滿足，且 (4.8)對所有的，成立。則存在常數(shù)使得 (4.9)定理4.2：設且為可逆矩陣。那么取輸出反饋控制器： (4.10)則閉環(huán)系統(tǒng)對于一切變化無法確定的輸出量皆保持魯棒穩(wěn)定15?；贚MI方法的輸出反饋控制器設計步驟：步驟一：求解不等式(4.6)的矩陣P。若這樣的解不存在，那么問題無解。步驟二：由其

32、它不等式可以求得其余未知量。步驟三：輸出反饋控制器F即為所求。4.3 基于LMI狀態(tài)反饋控制器設計方法對于一個線性定常廣義系統(tǒng)： (4.11)其中是奇異矩陣。E，A，B，C分別是維數(shù)適當?shù)木仃?，且都為實?shù)。時間變量是t，x，y，u的要求同系統(tǒng)(4.1)。假設(4.11)的狀態(tài)反饋控制器為： (4.12)這里，是常數(shù)矩陣。則系統(tǒng)(4.11)與控制器(4.12)組成的閉環(huán)系統(tǒng)為： (4.13)最后得出結(jié)論：系統(tǒng)能在形如(4.12)的狀態(tài)反饋控制器作用下保持穩(wěn)定。定理1：假設線性廣義系統(tǒng)(4.11)是可鎮(zhèn)定的。則其充要條件是存在矩陣和使如下不等式組： (4.14)成立。且矩陣，是正定的，和。假如此條

33、件存在，那么狀態(tài)反饋控制器為： (4.15)那么，可知相應的控制器為： (4.16)基于LMI方法的控制器設計步驟：步驟一：求為滿足條件和的矩陣；步驟二：求解矩陣不等式(4.14)，求解的X，Y，Z；步驟三：解式子(4.16)，求出反饋增益矩陣。4.4 總結(jié)本章主要介紹了對于線性時不變廣義系統(tǒng)，基于狀態(tài)空間模型并根據(jù)系統(tǒng)的性能要求來設計控制系統(tǒng)。有許多方式判斷狀態(tài)或輸出反饋控制器的好壞，而且判斷標準也有很多。但最終目的都是使得系統(tǒng)在控制器作用下運行平穩(wěn)。尤其是結(jié)構(gòu)內(nèi)部受到擾動的時候。在現(xiàn)實生產(chǎn)生活中狀態(tài)反饋的研究與使用更普遍，因為與輸出反饋相比它更加靈敏，所以狀態(tài)反饋可使得系統(tǒng)更快達到魯棒穩(wěn)定

34、。前文已經(jīng)說明，對于不同的系統(tǒng)需要收集的信號也是各不相同的。因此，在實際應用中，究竟是采用狀態(tài)反饋還是輸出反饋要視具體的情況而定。5 基于MATLAB的系統(tǒng)仿真5.1 MATLAB軟件簡介MATLAB軟件集各種優(yōu)點于一身。它包括數(shù)據(jù)解析、矩陣運算、系統(tǒng)建模和系統(tǒng)的控制及優(yōu)化等功能和應用程序。在現(xiàn)在的控制領域中，MATLAB軟件在圖像信號處理方面和生物醫(yī)學領域中得到廣泛的使用。MATLAB所使用的語言是一種高級語言，有不同的數(shù)據(jù)類型、運算符和控制語句可以使用。而且MATLAB所使用的編程方法不同于一般的編程方式，但其卻更加高效和簡潔。MATLAB和其它高級語言有關聯(lián)。MATLAB通過相對應的接口

35、和其他高級語言產(chǎn)生聯(lián)系，由此可知，它成為了十分重要的應用于現(xiàn)實生產(chǎn)過程中的仿真工具16。因為MATLAB所具有的十分強大的數(shù)學計算功能，使得許多學者得以從復雜的計算里解放出來。本文中主要借助MATLAB中的矩陣算例計算功能模塊，對設計好的目標進行如實精確的仿真。驗證方法的正確性。5.2 算例分析為了對以上提出的反饋控制器方法進行驗證，舉如下的MATLAB算例進行驗算。選擇作為狀態(tài)變量，為輸出變量。其系統(tǒng)狀態(tài)方程為： (5.1)其中E為奇異矩陣，且矩陣E，A，B分別為，。5.2.1 狀態(tài)反饋控制器仿真設計一個狀態(tài)反饋控制器，使閉環(huán)系統(tǒng)趨于穩(wěn)定，而且給定的初始狀態(tài)為： (5.2)仿真得出閉環(huán)系統(tǒng)的

36、狀態(tài)走勢圖。通過執(zhí)行以下M文件：E=4.57 0;0 0;A=0 10.39;-3.85 -20;B=0 20;setlmis();X=lmivar(1,2 1);Y=lmivar(2,1 2);Lmiterm(1 1 1 X,A,1,s);lmiterm(1 1 1 Y,B,1,s);lmiterm(1 2 2 X,-1,1);lmis=getlmis;tmin,xfeas=feasp(lmis,0,0,10,0,0,-1)x=dec2mat(lmis,xfeas,X)y=dec2mat(lmis,xfeas,Y)K=y*inv(x)運行結(jié)果為：Solver for LMI feasibil

37、ity problems L(x) R(x) This solver minimizes t subject to L(x) R(x) + t*I The best value of t should be negative for feasibility Iteration : Best value of t so far 1 -3. Result: best value of t: -3. f-radius saturation: 96.624% of R = 1.00e+001 tmin = -3.5697xfeas = 5.2060 -0.2540 5.0834 -1.8926 4.9

38、019x = 5.2060 -0.2540 -0.2540 5.0834y = -1.8926 4.9019K = -0.3173 0.9484所以，可知系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制器： （5.3）進一步，對給定的初始狀態(tài)，可以調(diào)用MATLAB提供的initial函數(shù)得到閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)響應曲線。執(zhí)行以下的M文件：A=0 10.39;-3.85 -20;B=0 20;K=-0.3173 0.9484;sys=ss(A+B*K,eye(2),eye(2),eye(2);t=0:0.01:20;x=initial(sys,0;2,t);x1=1 0*x;subplot(2,1,1);plot(t,x1);gri

39、dxlabel(t (sec);ylabel(x1)得到：圖5.1 系統(tǒng)初始條件下的響應曲線由圖5.1可知，加載狀態(tài)反饋控制器后曲線走勢逐漸穩(wěn)定。算例驗證成功。5.2.1 輸出反饋控制器仿真設計一個輸出反饋控制器，使得閉環(huán)系統(tǒng)漸進穩(wěn)定。而且給定的初始狀態(tài)為： （5.4）承接系統(tǒng)（5.1），其中矩陣。仿真得到閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)走勢圖。通過執(zhí)行以下M文件：E=4.57 0;0 0;A=0 10.39;-3.85 -20;B=0 20;C=2.45 3;1 0;setlmis();X=lmivar(1,2 1);Y=lmivar(2,1 2);lmiterm(1 1 1 X,A,1,s);lmiterm

40、(1 1 1 Y,B,1,s);lmiterm(1 2 2 X,-1,1);lmis=getlmis;tmin,xfeas=feasp(lmis,0,0,10,0,0,-1)x=dec2mat(lmis,xfeas,X)y=dec2mat(lmis,xfeas,Y)F=y*inv(x)運行結(jié)果為：Solver for LMI feasibility problems L(x) R(x) This solver minimizes t subject to L(x) R(x) + t*I The best value of t should be negative for feasibility

41、 Iteration : Best value of t so far 1 -3. Result: best value of t: -3. f-radius saturation: 97.967% of R = 1.00e+001tmin = -3.2340xfeas = 5.4695 -1.0721 5.3670 -0.6605 5.0211x = 5.4695 -1.0721 -1.0721 5.3670y = -0.6605 5.0211F = 0.0652 0.9486所以，系統(tǒng)輸出反饋控制器為： （5.5）進一步，對給定的初始狀態(tài)，可以調(diào)用MATLAB里的函數(shù)initial得到閉環(huán)

42、系統(tǒng)的狀態(tài)響應曲線。執(zhí)行以下的M文件：A=0 2.39;-3.85 -20;B=0 20;F=-0.6605 5.0211;sys=ss(A+B*F*C,eye(2),eye(2),eye(2);t=0:0.01:20;x=initial(sys,0;2,t);x2=1 0*x;subplot(2,1,1);plot(t,x2);grid得到：圖5.2 系統(tǒng)初始條件下的響應曲線由圖5.2可知，加載狀態(tài)反饋控制器后曲線走勢逐漸穩(wěn)定。算例驗證成功。結(jié)束語由于廣義系統(tǒng)與一般系統(tǒng)在本質(zhì)上并無太大差別，但是由于其廣泛的描述形式導致了廣義系統(tǒng)在現(xiàn)代社會中得到極大的應用。其模型廣泛應用到了現(xiàn)實生產(chǎn)生活中的各

43、個行業(yè)，所以研究廣義系統(tǒng)意義巨大。廣義系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定問題之所以如此重要是由其區(qū)別于一般系統(tǒng)的特點決定。故本文淺顯的探討了廣義系統(tǒng)狀態(tài)和輸出反饋控制器設計。并且得出設計兩種控制器時的條件，特別強調(diào)是魯棒穩(wěn)定下的條件。并借助MATLAB仿真。首章作為緒論主要粗略概述了研究廣義系統(tǒng)的背景。以及研究此系統(tǒng)的積極意義。以及此課題在當今世界上的研究概況和它的發(fā)展歷程。廣義系統(tǒng)的首次提出，以及早期研究此系統(tǒng)的先驅(qū)有哪些等等。第二章是為了下文做準備的，粗略的概述了廣義系統(tǒng)的必要知識。包括基本模型、兩種反饋方式等。第三章圍繞系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定性。主要是輸出反饋和狀態(tài)反饋下的魯棒穩(wěn)定問題。得出這兩種反饋下的魯棒穩(wěn)定的充要條件。第四章則是關于兩種控制器的具體設計的表述。給出了在LMI方法下，得出兩種控制器的設計方法。最后一章則是舉出一個具體驗證算例。使用MATLAB進行算例仿。驗證控制器設計方法的有效性和正確性。致 謝進入大四后，最重要的莫過于畢業(yè)設計。在確定自