曲率函數(shù)圖形的描繪ppt課件

1、3.7 曲曲 率率弧微分弧微分曲率及其計算公式曲率及其計算公式曲率圓與曲率半徑曲率圓與曲率半徑小結(jié)小結(jié) 思索題思索題 作業(yè)作業(yè)(curvature)(arc element) 前面講了單調(diào)性、極值、最值、凹凸性。前面講了單調(diào)性、極值、最值、凹凸性。我們知道凹凸性反映的是曲線的彎曲方向，但我們知道凹凸性反映的是曲線的彎曲方向，但是朝同一方向彎曲的兩條曲線，其彎曲的程度是朝同一方向彎曲的兩條曲線，其彎曲的程度也不盡一樣。曲率就是表征彎曲程度的量，它也不盡一樣。曲率就是表征彎曲程度的量，它等于單位路程上方向角度等于單位路程上方向角度切線的傾斜角切線的傾斜角的改動量。的改動量。一、弧微分一、弧微分NR

2、TA0 xMxxx .),()(內(nèi)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)baxfxyo),(:00yxA基點(diǎn)基點(diǎn),),(為任意一點(diǎn)為任意一點(diǎn)yxM;)1(增大的方向一致增大的方向一致曲線的正向與曲線的正向與x,)2(sAM .,取負(fù)號取負(fù)號相反時相反時取正號取正號一致時一致時的方向與曲線正向的方向與曲線正向當(dāng)當(dāng)ssAM 規(guī)定規(guī)定 為了得出曲線為了得出曲線 y = f (x) 的曲率公式的曲率公式, 先計算弧長函數(shù)先計算弧長函數(shù)s(x)對對x的微分的微分,稱為弧微稱為弧微分分.)(xss 單調(diào)增函數(shù)單調(diào)增函數(shù).),(yyxxM 設(shè)設(shè)如圖，如圖，, xx 的的增增量量設(shè)設(shè)對對應(yīng)應(yīng)于于,

3、 s sMM 0 MM0MM 于是于是 2xs2 xMM 2)( x 2MM|MM 2|MM 2 MM|MM 222)()()(xyx 2 MM|MM 21xy弧弧 s的增量為的增量為那末那末xyOsxM0 x0Mxx M s x y xs2 xs2 MM|MM 21xy0 x令令取極限取極限,MM 221|xyMMMM|limMMMMMM 即即1 又又yxyx 0lim得得 xsdd.d1d2xys 故故弧微分公式弧微分公式21y )(xss 為單調(diào)增函數(shù)為單調(diào)增函數(shù),xyOsxM0 x0Mxx M s x y 如將如將.)d()d(d22yxs 則則如如曲曲線線),(yxx ,d)(dtt

4、x .d)()(d22ttts .d1d2yxs sin)(cos)(yx代入公式代入公式,得得.d)()(d22 sxysd1d2 弧微分公式弧微分公式,d)(dtty ),(),(tytx )( 可化為參數(shù)方程方式可化為參數(shù)方程方式如曲線以極坐標(biāo)方程給出如曲線以極坐標(biāo)方程給出如曲線為參數(shù)方程如曲線為參數(shù)方程xd寫到根式內(nèi)寫到根式內(nèi),得得二、曲率及其計算公式二、曲率及其計算公式曲率是描畫曲線部分性質(zhì)彎曲程度的量。曲率是描畫曲線部分性質(zhì)彎曲程度的量。1M3M)2 2M2S 1S MM 1S 2S NN )弧段彎曲程度越大弧段彎曲程度越大,轉(zhuǎn)角越大轉(zhuǎn)角越大轉(zhuǎn)角一樣，轉(zhuǎn)角一樣，弧段越短，彎曲程度越

5、大弧段越短，彎曲程度越大1.曲率的定義曲率的定義1 ) S S) .M .MC0Myxo.sKMM 的平均曲率為的平均曲率為弧段弧段設(shè)曲線設(shè)曲線C是光滑的，是光滑的，.0是是基基點(diǎn)點(diǎn)M,sMM . 切切線線轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角為為MM定義定義sKs 0lim曲線曲線C在點(diǎn)在點(diǎn)M處的曲率處的曲率,lim0存存在在的的條條件件下下在在dsdss .dsdK 例例1 1 (1) 直線的曲率直線的曲率(2) 圓上各點(diǎn)處的曲率圓上各點(diǎn)處的曲率 直線的曲率處處為零直線的曲率處處為零;ss 0limdsdK ss 0lim0，0 圓上各點(diǎn)處的曲率等于半徑的倒數(shù)圓上各點(diǎn)處的曲率等于半徑的倒數(shù).ss 0limdsdK rs

6、rs1lim0 ，r1 圓的半徑越小曲率越大圓的半徑越小曲率越大.2.曲率的計算公式曲率的計算公式,)(二二階階可可導(dǎo)導(dǎo)設(shè)設(shè)xfy ,tany ,12dxyyd .)1(232yyk ,arctan y 有有.12dxyds ,),(),(二階可導(dǎo)二階可導(dǎo)設(shè)設(shè) tytx .)()()()()()(2322ttttttk ,)()(ttdxdy .)()()()()(322tttttdxyd (1)(2),ddsK 例例2 2?2上上哪哪一一點(diǎn)點(diǎn)的的曲曲率率最最大大拋拋物物線線cbxaxy 解解,2baxy ,2ay .)2(12232baxak 顯然顯然,2時時當(dāng)當(dāng)abx .最大最大k,)44

7、,2(2為拋物線的頂點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)又又aacbab .拋物線在頂點(diǎn)處的曲率最大322.(1)yky公式：例例 3 的曲率最??？的曲率最??？ t為何值時為何值時, 曲線曲線)2, 0(),cos1();sin( ttayttax 求出最小曲率求出最小曲率, 寫出該點(diǎn)的曲率半徑寫出該點(diǎn)的曲率半徑.解解 232)(1|)(yytK 要使要使K(t)最小最小, 等價于等價于 最大最大, 故當(dāng)故當(dāng) 即即 t曲率最小曲率最小, 且且,41minaK .41aKR ,|2sin|41ta, 1|2sin| t|2sin|t 擺線擺線三、曲率圓與曲率半徑三、曲率圓與曲率半徑定義定義D)(xfy Mk1 .)

8、,(,.1,).0(),()(處的曲率圓處的曲率圓稱此圓為曲線在點(diǎn)稱此圓為曲線在點(diǎn)如圖如圖作圓作圓為半徑為半徑為圓心為圓心以以使使在凹的一側(cè)取一點(diǎn)在凹的一側(cè)取一點(diǎn)處的曲線的法線上處的曲線的法線上在點(diǎn)在點(diǎn)處的曲率為處的曲率為在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)曲線設(shè)曲線MDkDMDMkkyxMxfy ,曲率中心曲率中心 D.曲率半徑曲率半徑 xyo1.曲線上一點(diǎn)處的曲率半徑與曲線在該點(diǎn)處的曲線上一點(diǎn)處的曲率半徑與曲線在該點(diǎn)處的曲率互為倒數(shù)曲率互為倒數(shù).1,1 kk即即留意留意: :2.曲線上一點(diǎn)處的曲率半徑越大曲線上一點(diǎn)處的曲率半徑越大,曲線在該點(diǎn)曲線在該點(diǎn)處的曲率越小處的曲率越小(曲線越平坦曲線越平坦);曲率半徑越小曲

9、率半徑越小,曲曲率越大率越大(曲線越彎曲曲線越彎曲).3.曲線上一點(diǎn)處的曲率圓弧可近似替代該點(diǎn)附曲線上一點(diǎn)處的曲率圓弧可近似替代該點(diǎn)附近曲線弧近曲線弧(稱為曲線在該點(diǎn)附近的二次近似稱為曲線在該點(diǎn)附近的二次近似).曲率圓曲率圓y=y(x)與曲線與曲線y=f(x)的關(guān)系的關(guān)系:過同一點(diǎn)過同一點(diǎn)有公切線有公切線圓弧與曲線在該點(diǎn)處曲率相等，且彎曲方向一樣圓弧與曲線在該點(diǎn)處曲率相等，且彎曲方向一樣 例例4 設(shè)工件外表的截線為拋物線設(shè)工件外表的截線為拋物線y0.4x2. 如今要如今要用砂輪磨削其內(nèi)外表用砂輪磨削其內(nèi)外表. 問用直徑多大的砂輪才比較適宜？問用直徑多大的砂輪才比較適宜？ 解 砂輪的半徑不應(yīng)大于

10、拋物線頂點(diǎn)處的曲率半徑 拋物線頂點(diǎn)處的曲率半徑為拋物線頂點(diǎn)處的曲率半徑為 r=K-11.25 因此, 選用砂輪的半徑不得超越1.25單位長 即直徑不得超越2.50單位長 y0.8x y0.8 y|x00 y|x00.8 把它們代入曲率公式 得232)1 (|yyK 08 四、小結(jié)四、小結(jié)運(yùn)用微分學(xué)的實(shí)際運(yùn)用微分學(xué)的實(shí)際,研討曲線和曲面的性研討曲線和曲面的性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支質(zhì)的數(shù)學(xué)分支微分幾何學(xué)微分幾何學(xué).根本概念根本概念: 弧微分弧微分,曲率曲率,曲率圓曲率圓.曲線彎曲程度的描畫曲線彎曲程度的描畫曲率曲率;曲線弧的近似替代曲率圓曲線弧的近似替代曲率圓(弧弧).作業(yè)作業(yè)習(xí)題習(xí)題3-7(1753-7(

11、175頁頁) )3. 5. 圖形描畫的步驟圖形描畫的步驟作圖舉例作圖舉例漸近線漸近線(asymptotic (asymptotic line)line)3.6 函數(shù)圖形的描畫函數(shù)圖形的描畫 如今我們還不能很好地如今我們還不能很好地作出函數(shù)的圖形作出函數(shù)的圖形 , 由于還不由于還不知道如何求曲線的漸近線知道如何求曲線的漸近線 .中學(xué)就會求中學(xué)就會求了了.假設(shè)動點(diǎn)假設(shè)動點(diǎn) P 沿著曲線沿著曲線 y = f ( x ) 的某一方的某一方向無向無限遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)時限遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)時, 動點(diǎn)動點(diǎn) P 到不斷線到不斷線 L 的間隔的間隔趨于零趨于零 , 那么稱此直線那么稱此直線 L 為曲線為曲線 y = f

12、( x ) 的一的一條條漸近線漸近線 . 一、曲線的漸近線一、曲線的漸近線曲線的漸近線曲線的漸近線程度漸近線程度漸近線垂直漸近線垂直漸近線1. 鉛直漸近線鉛直漸近線如如果果那么那么 0 xx0 xx 的的一一條條就就是是)(xfy 鉛直漸近線鉛直漸近線. )(limxf 或或 )(limxf 0 xx (垂直于垂直于x軸的漸近線軸的漸近線)222. 程度漸近線程度漸近線如果如果那么那么 )(limxfby 的一條的一條就是就是)(xfy 程度漸近線程度漸近線.xxb或或b(b(b為常數(shù)為常數(shù)) )(平行于平行于x軸的漸近線軸的漸近線) )(limxf兩種漸近線的定義兩種漸近線的定義*3 斜漸近

13、線斜漸近線有則曲線)(xfy 斜漸近線斜漸近線.bxky)(x或假假設(shè)設(shè),0)(limxfx)(bxk 0)(limxbkxxfxx0)(limxfx)(bxk 0)(limxbkxxfx)(limxbxxfkxxxfkx)(lim)(limxkxfbx)(x或)(x或( P75 題題13)函數(shù)圖形的描畫函數(shù)圖形的描畫Oxyxy1, 01limxx . 0 y水平漸近線, 1lim0 xx . 0 x垂直漸近線. sin 的漸近線求曲線xxy , 0sinlim xxx. sin 0 的水平漸近線是曲線xxyyOxyxxysin0y 曲線可以穿過曲線可以穿過其漸近線其漸近線 .解解例例1. l

14、n 的漸近線求曲線xy 的定義域： ln xy ) , 0(x, lnlim 0 xx是曲線 0 x. ln的垂直漸近線xy Oxyxyln1解解例例2例例. 求曲線求曲線211xy的漸近線的漸近線 .解解:2)211(limxx2 y為程度漸近線為程度漸近線;,)211(lim1xx1 x為垂直漸近線為垂直漸近線.21利用函數(shù)特性描畫函數(shù)圖形利用函數(shù)特性描畫函數(shù)圖形.確定函數(shù)的定義域、值域、延續(xù)點(diǎn)確定函數(shù)的定義域、值域、延續(xù)點(diǎn),函數(shù)能否有奇偶性、周期性函數(shù)能否有奇偶性、周期性.斷定斷定和拐點(diǎn)和拐點(diǎn),討論函數(shù)的單調(diào)性和極值討論函數(shù)的單調(diào)性和極值,曲線的凹凸性曲線的凹凸性漸近線漸近線. 適當(dāng)計算

15、曲線上一些點(diǎn)的坐標(biāo)適當(dāng)計算曲線上一些點(diǎn)的坐標(biāo),能否與坐標(biāo)軸能否有交點(diǎn)能否與坐標(biāo)軸能否有交點(diǎn).特別留意特別留意函數(shù)圖形的描畫函數(shù)圖形的描畫二、圖形描畫的步驟二、圖形描畫的步驟例例.2)1(4)(2的圖形的圖形作函數(shù)作函數(shù) xxxf解解, 0: xD非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù),)2(4)(3xxxf .)3(8)(4xxxf , 0)( xf令令, 2 x得得駐駐點(diǎn)點(diǎn), 0)( xf令令. 3 x得得2)1(4lim)(lim2 xxxfxx, 2 ; 2 y水平漸近線水平漸近線三、作圖舉例三、作圖舉例2)1(4lim)(lim200 xxxfxx, . 0 x鉛直漸近線鉛直漸近線x)3,( ),

16、0( )2, 3( 3 )0 , 2( )(xf )(xf 00)(xf 2 0 不存在不存在拐點(diǎn)拐點(diǎn)極小極小值值延延續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)3 )926, 3( 無斜漸近線無斜漸近線.3)2(4)(xxxf 4)3(8)(xxxf 2)1(4)(2 xxxf列表確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間列表確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)和拐點(diǎn)凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)和拐點(diǎn):),0 , 31( ),2, 1( ),6 , 1().1 , 2(作圖作圖2)1(4)(2 xxxf拐點(diǎn)拐點(diǎn))926, 3( 極小值極小值3)2( f補(bǔ)充點(diǎn)補(bǔ)充點(diǎn)),0 , 31( x)(xf )(xf)(xf )3,( ), 0( )2, 3( 3 )0 , 2(

17、 2 0 0 不存在不存在 0 拐點(diǎn)拐點(diǎn)極小值極小值延延續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn), 2 y. 0 x程度漸近線程度漸近線: :垂直漸近線垂直漸近線: :xyO3 1 6 2 2 1 1 2 3函數(shù)圖形的描畫函數(shù)圖形的描畫. ) 1() 1( 23的圖形作出函數(shù)xxy :函數(shù)的定義域. ) , 1() 1 ,(x, ) 1()5() 1(32xxxy, ) 1() 1(244 xxy , 5 , 1 , 0 xxy得駐點(diǎn)令 , 1 , 0 xy得拐點(diǎn)可疑點(diǎn)令解解xyy y)5 ,(5) 1 , 5(1) 1 , 1(1) , 1 (000極大極大拐點(diǎn)拐點(diǎn)例例, 5 : x極大點(diǎn), 5 .13)5( : f極大值

18、. )0 , 1 ( 拐點(diǎn)為 , ) 1() 1(lim23xxx曲線無程度漸近線曲線無程度漸近線 . , ) 1() 1(lim231xxx. 1為垂直漸近線x1) 1() 1(lim)(lim23xxxxxfxx1a5) 1(125lim)(lim22xxxxaxfxx5b . 5 xy曲線有斜漸近線 . ) 1 , 0( ,軸相交于點(diǎn)曲線與此外yOxy15 xy523) 1() 1(xxy5 .130) (1,例 3 作函數(shù)2) 3(361xxy的圖形 練習(xí)練習(xí) 解 (1)函數(shù)的定義域?yàn)? 3)(3 ) 令f (x)0得x3 令f (x)0得x6 (3)曲線性態(tài)分析表:(- , -3)

19、(-3, 3)3(3, 6)6(6, (6, ) )x f (x) f (x) yf(x)的圖形0 00 0 11/311/3拐點(diǎn)拐點(diǎn)4 4極大極大 (4)曲線有鉛直漸近線x=-3與程度漸近線y=1 (5)特殊點(diǎn)的函數(shù)值 f(0)=1 f(-1)=-8 f(-9)=-8 f(-15)=-11/4 (2)3) 3()3 (36)(xxxf, 4) 3()6(72)( xxxf 函數(shù)圖形的描畫函數(shù)圖形的描畫63912-3-6-9-12-153-3(- , -3) (-3, 3)3(3, 6)6(6, (6, ) )x yf(x)的圖形 11/311/3拐點(diǎn)拐點(diǎn)4 4極大極大 鉛直漸近線為x=-3, 程度漸近線為y=1 f(0)=1 f(-1)=-8 f(-9)=-8 f(-15)=-11/4 y=1x=-3(3,4)311, 6(-1,-8)(-9,-8)411,15(例 3 作函數(shù)2) 3