數(shù)學(xué)建模模型和技巧

1、建模模型和技巧常亮常亮常用數(shù)學(xué)建模思想常用數(shù)學(xué)建模思想一常用數(shù)學(xué)建模模型常用數(shù)學(xué)建模模型二如何處理建模中的特殊數(shù)據(jù)？如何處理建模中的特殊數(shù)據(jù)？三數(shù)學(xué)建模比賽注意？數(shù)學(xué)建模比賽注意？四常用數(shù)學(xué)建模思想常用數(shù)學(xué)建模思想 一一 一般包括問題分析、模型假設(shè)、建立模型、求解模型和驗(yàn)證模型等五個(gè)步驟。 數(shù)學(xué)建模的常用思想數(shù)學(xué)建模的常用思想 一一 數(shù)學(xué)公式定理模型方程、函數(shù)、積分或微分 程序模型算法框圖 圖表模型折線、柱狀和餅圖等 注意：數(shù)據(jù)精準(zhǔn)要有圖形說明和圖形結(jié)論 例如，微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的供給、需求曲線 文字模型數(shù)學(xué)建模的常用方法數(shù)學(xué)建模的常用方法 一一 定性分析和定量分析 機(jī)理分析建模和測(cè)試分析建模， 簡(jiǎn)

2、稱機(jī)理建模和統(tǒng)計(jì)建模探尋內(nèi)部規(guī)律并且數(shù)量化和定理化難點(diǎn)：分析能力、綜合能力 閱讀和學(xué)習(xí)文獻(xiàn)資料公式難 抽象難機(jī)理建模如同科學(xué)研究，例如氣象預(yù)報(bào)模型、地震預(yù)報(bào)模型但是機(jī)理建模卻是最有用、最能提高能力的建模主要有：微分方程模型（ODE和PDE）、差分方程模型、優(yōu)化類模型（線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、排隊(duì)論、決策論、投入產(chǎn)出模型等）如何機(jī)理建模？如何機(jī)理建模？一 英國(guó)人馬爾薩斯（英國(guó)人馬爾薩斯（Malthus，1766-1834）認(rèn)為人口的凈）認(rèn)為人口的凈增長(zhǎng)率為常數(shù)，即單位時(shí)間內(nèi)人口增量與人口總量成正比，增長(zhǎng)率為常數(shù)，即單位時(shí)間內(nèi)人口增量與人口總量成正比，設(shè)設(shè) t 時(shí)刻人口數(shù)位時(shí)刻人口數(shù)位 p(t)，則

3、有，則有 Malthus 人口模型人口模型(1) )(0,00ptpcarpdtdp如何機(jī)理建模？如何機(jī)理建模？一 用此模型估算用此模型估算17001961年間的人口數(shù)目，計(jì)算結(jié)果與年間的人口數(shù)目，計(jì)算結(jié)果與人口實(shí)際情況竟然驚人地相似。但是，當(dāng)人口實(shí)際情況竟然驚人地相似。但是，當(dāng) t + ，計(jì)算結(jié)果，計(jì)算結(jié)果 p(t) + ，具體地說，此模型可以求得，具體地說，此模型可以求得2510年的人口總數(shù)為年的人口總數(shù)為2000億左右，可見，這一模型必須進(jìn)行修正。問題出在億左右，可見，這一模型必須進(jìn)行修正。問題出在Malthus只看到繁衍增長(zhǎng)的一面，未看到種群內(nèi)競(jìng)爭(zhēng)（如人類只看到繁衍增長(zhǎng)的一面，未看到種

4、群內(nèi)競(jìng)爭(zhēng)（如人類戰(zhàn)爭(zhēng)）對(duì)種族發(fā)展的抑制作用。戰(zhàn)爭(zhēng)）對(duì)種族發(fā)展的抑制作用。)(00)(ttreptp這個(gè)這個(gè)Cauchy問題的解為問題的解為00)()(ptppbprdtdp1837年荷蘭生物數(shù)學(xué)家年荷蘭生物數(shù)學(xué)家 Verhulst 考慮單了種群成員間考慮單了種群成員間沖突乃至殘害現(xiàn)象，得出容易理解的下述單種族數(shù)學(xué)模沖突乃至殘害現(xiàn)象，得出容易理解的下述單種族數(shù)學(xué)模型：型： 其解為：)0(000ttrerpbprrpp（2） 美國(guó)和法國(guó)都曾用這個(gè)公式預(yù)報(bào)過人口變化，結(jié)果相當(dāng)符美國(guó)和法國(guó)都曾用這個(gè)公式預(yù)報(bào)過人口變化，結(jié)果相當(dāng)符合實(shí)際。顯然合實(shí)際。顯然brpt(t)lim（3） r =0.029，b可

5、以如下求得：可以如下求得：1980年年5月月1日，我國(guó)日，我國(guó)公布的人口總數(shù)公布的人口總數(shù)1979年底為年底為97092萬人，當(dāng)時(shí)人萬人，當(dāng)時(shí)人口增長(zhǎng)率為口增長(zhǎng)率為1.45%，于是，于是 r-b9.7092 108 =0.0145，從而求得：，從而求得：b，及，及 =19.42(億），即，億），即，我國(guó)的人口極限約為我國(guó)的人口極限約為19.42億人。億人。br+ 例題1 碎紙片拼接（13年國(guó)賽B題）提示：關(guān)鍵是如何量化 imread imread（000.bmp） imwrite 假設(shè)：碎紙片中字等間距、等大小 程序模型 機(jī)理建模的關(guān)鍵：1）仔細(xì)分析、團(tuán)隊(duì)討論 2）多閱讀、多學(xué)習(xí)、多交流 3）

6、合理假設(shè)，難易適中 4）注意小處、層層推進(jìn)如何機(jī)理建模？如何機(jī)理建模？一如何統(tǒng)計(jì)建模？如何統(tǒng)計(jì)建模？一如何統(tǒng)計(jì)建模？如何統(tǒng)計(jì)建模？一 統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)建模中常用的方法：常用數(shù)學(xué)建模方法和技巧常用數(shù)學(xué)建模方法和技巧二 數(shù)學(xué)建模中常用的方法：微積分（差分法、微積分（差分法、微分法、變分法等）微分法、變分法等）、圖論法、數(shù)學(xué)規(guī)劃數(shù)學(xué)規(guī)劃（線性規(guī)劃，非線性規(guī)劃，整數(shù)規(guī)劃，動(dòng)態(tài)（線性規(guī)劃，非線性規(guī)劃，整數(shù)規(guī)劃，動(dòng)態(tài)規(guī)劃，目標(biāo)規(guī)劃）、排隊(duì)方法、對(duì)策方法、規(guī)劃，目標(biāo)規(guī)劃）、排隊(duì)方法、對(duì)策方法、決策方法、模糊評(píng)判方法、時(shí)間序列方法、決策方法、模糊評(píng)判方法、時(shí)間序列方法、灰色理論方法、現(xiàn)代優(yōu)化算法（禁忌搜索算灰色理論方

7、法、現(xiàn)代優(yōu)化算法（禁忌搜索算法，模擬退火算法，遺傳算法，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)）法，模擬退火算法，遺傳算法，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)）等等9種方法。種方法。常用數(shù)學(xué)建模方法和技巧常用數(shù)學(xué)建模方法和技巧二 其他技巧：1、論文排版2、文獻(xiàn)資料查找3、論文寫作4、論文修改5、文獻(xiàn)閱讀使用技巧常用數(shù)學(xué)建模方法和技巧常用數(shù)學(xué)建模方法和技巧二 插值與數(shù)據(jù)擬合就是通過一些已知數(shù)據(jù)去確定某類函數(shù)的參數(shù)或?qū)ふ夷硞€(gè)近似函數(shù)，使所得的函數(shù)與已知數(shù)據(jù)具有較高的精度，并且能夠使用數(shù)學(xué)分析的工具分析數(shù)據(jù)所反映的對(duì)象的性質(zhì) 幾種常用的方法：幾種常用的方法：（ 1、一般插值法 2、樣條插值法 3、最小二乘曲線 4、曲面的擬合常用數(shù)學(xué)建模方法和技巧常用數(shù)學(xué)

8、建模方法和技巧二2、常用數(shù)學(xué)建模方法和技巧常用數(shù)學(xué)建模方法和技巧二常用數(shù)學(xué)建模方法和技巧常用數(shù)學(xué)建模方法和技巧二曲曲 線線 插插 值值 擬擬 合合 案例案例已知一組（二維）數(shù)據(jù)，即平面上已知一組（二維）數(shù)據(jù)，即平面上 n個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn)（xi,yi) i=1,n, 尋求一個(gè)函數(shù)（曲線）尋求一個(gè)函數(shù)（曲線）y=f(x), 使使 f(x) 在某種準(zhǔn)則下與所在某種準(zhǔn)則下與所有數(shù)據(jù)點(diǎn)最為接近，即曲線擬合得最好。有數(shù)據(jù)點(diǎn)最為接近，即曲線擬合得最好。 +xyy=f(x)+1、插值問題： 不知道某一函數(shù)f(x)在待定范圍a,b上 的具體表達(dá)式，而只能通過實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到該 函數(shù)在一系列點(diǎn)ax1, x2 , ., xn

9、b上的值 y0, y1, y2, ., yn，需要找一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)P(x) 來近似地代替f(x)，要求滿足： P(xi)=yi (i=1,2,.,n)2、插值函數(shù)：P(x) ，3、插值法：求插值函數(shù)P(x)的方法常用插值函數(shù)1、多項(xiàng)式函數(shù)2、樣條函數(shù)1、多項(xiàng)式插值方法（1）n次代數(shù)插值（2）拉格朗日插值幾點(diǎn)說明：（1）拉格朗日插值基函數(shù)僅與節(jié)點(diǎn)有關(guān)，而 與被插值函數(shù)f(x)無關(guān)。（2）拉格朗日插值多項(xiàng)式僅由數(shù)對(duì)(xi,yi)(i 1,2,n)確定，而與數(shù)對(duì)排列次序無關(guān)。（3）多項(xiàng)式插值除了上述插值法外還有其它 插值法，如如newton插值法、插值法、hermite（埃爾埃爾 米特米特）插值、分

10、段插值值法等。）插值、分段插值值法等。注意下面圖中注意下面圖中曲線曲線的變化情況！的變化情況！例例 ：在在 5, 5上考察上考察 的的Ln(x)。取。取211( )f xx 1050(,., )ixi inn -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Ln(x) f (x) 2n ( )yf x 5n 10n 二、常用插值函數(shù)1、多項(xiàng)式函數(shù)2、樣條函數(shù)2、樣條插值方法（1）樣條函數(shù)m次半截冪函數(shù)（2）k次B樣條或k次基本樣條函數(shù)的定義（1）二次樣條的定義 設(shè)a,b 的一個(gè)劃分：a=x0 x1, x2 , ., xn= b，函數(shù)f ( x

11、 )各節(jié)點(diǎn)的值分別為： f ( xi )=yi (i=1,2,.,n) 如果二次樣條函數(shù)：滿足： S ( xi )=yi (i=1,2,.,n) （2）三次樣條函數(shù)的定義 設(shè)a,b 的一個(gè)劃分：a=x0 x1, x2 , ., xn= b，函數(shù)f ( x )各節(jié)點(diǎn)的值分別為： f ( xi )=yi (i=1,2,.,n) 如果三次樣條函數(shù)：3滿足： S ( xi )=yi (i=1,2,.,n) 命令1 interp1 功能 一維數(shù)據(jù)插值。該命令對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)之間計(jì)算內(nèi)插值。它找出一元函數(shù)f(x)在中間點(diǎn)的數(shù)值。其中函數(shù)f(x)由所給數(shù)據(jù)決定。 yi = interp1(x,Y,xi,method

12、) %用指定的算法計(jì)算插值： nearest：最近鄰點(diǎn)插值，直接完成計(jì)算； linear：線性插值（缺省方式），直接完成計(jì)算； spline：三次樣條函數(shù)插值。 cubic:分段三次Hermite插值。用于對(duì)向量x與y執(zhí)行分段三次內(nèi)插值。該方法保留單調(diào)性與數(shù)據(jù)的外形； 要求要求x0,y0 x0,y0單調(diào)；單調(diào)；x x，y y可取可取為矩陣，或?yàn)榫仃?，或x x取取行向量，行向量，y y取為列向量，取為列向量，x,yx,y的值分別不能超出的值分別不能超出x0,y0 x0,y0的范圍。的范圍。z=interp2(x0,y0,z0,x,y,method)被插值點(diǎn)插值方法用用MATLAB作網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)的

13、插值作網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值插值節(jié)點(diǎn)被插值點(diǎn)的函數(shù)值nearest nearest 最鄰近插值最鄰近插值linear linear 雙線性插值雙線性插值cubic cubic 雙三次插值雙三次插值缺省時(shí)缺省時(shí), , 雙線性插值雙線性插值 插值函數(shù)插值函數(shù)griddata格式為格式為: cz =griddata（x，y，z，cx，cy，method）用用MATLABMATLAB作散點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值計(jì)算作散點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值計(jì)算 要求要求cxcx取行向量，取行向量，cycy取為列向量取為列向量。被插值點(diǎn)插值方法插值節(jié)點(diǎn)被插值點(diǎn)的函數(shù)值nearest nearest 最鄰近插值最鄰近插值linear linear

14、 雙線性插值雙線性插值cubic cubic 雙三次插值雙三次插值v4- Matlab提供的插值方法提供的插值方法缺省時(shí)缺省時(shí), , 雙線性插值雙線性插值 命令3 interp3 功能 三維數(shù)據(jù)插值（查表） 格式 VI = interp3(X,Y,Z,V,XI,YI,ZI，method) ： linear：線性插值（缺省算法）； cubic：三次插值； spline：三次樣條插值； nearest：最鄰近插值。 說明 在所有的算法中，都要求X,Y,Z是單調(diào)且有相同的格點(diǎn)形式。當(dāng)X,Y,Z是等距且單調(diào)時(shí)，用算法 *linear，*cubic，*nearest，可得到快速插值。 曲線擬合問題最常用

15、的解法曲線擬合問題最常用的解法線性最小二乘法的基本思路線性最小二乘法的基本思路第一步: :先選定一組函數(shù)先選定一組函數(shù) r1(x), r2(x), rm(x), mn, 令令 f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+ +amrm(x) （1）其中其中 a1,a2, am 為待定系數(shù)。為待定系數(shù)。 第二步: 確定確定a1,a2, am 的準(zhǔn)則（最小二乘準(zhǔn)則）：的準(zhǔn)則（最小二乘準(zhǔn)則）：使使n個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn)（xi,yi) 與與曲線曲線 y=f(x) 的距離的距離 i 的平方和最小的平方和最小 。記記 )2()()(),(211211221iiknimkkininiiimyxrayxfaaaJ 問題歸結(jié)為

16、，求問題歸結(jié)為，求 a1,a2, am 使使 J(a1,a2, am) 最小。最小。線性最小二乘擬合線性最小二乘擬合 f(x)=a1r1(x)+ +amrm(x)中中函數(shù)函數(shù)rr1 1(x), r(x), rm m(x)(x)的選取的選取 1. 1. 通過機(jī)理分析建立數(shù)學(xué)模型來確定通過機(jī)理分析建立數(shù)學(xué)模型來確定 f(x)f(x)；+f=a1+a2xf=a1+a2x+a3x2f=a1+a2x+a3x2f=a1+a2/xf=aebxf=ae-bx 2. 2. 將數(shù)據(jù)將數(shù)據(jù) (xi,yi) i=1, n 作圖，通過直觀判斷確定作圖，通過直觀判斷確定 f(x)：+f=a1+a2xf=a1+a2x+a3

17、x2f=a1+a2x+a3x2f=a1+a2/xf=aebxf=ae-bx判斷擬合效果標(biāo)準(zhǔn)：擬合度判斷擬合效果標(biāo)準(zhǔn)：擬合度R R2 2, ,值越接近于值越接近于1 1，效果越好，效果越好用用MATLAB解擬合問題解擬合問題1 1、線性最小二乘擬合、線性最小二乘擬合2 2、非線性最小二乘擬合、非線性最小二乘擬合用用MATLAB作線性最小二乘擬合作線性最小二乘擬合1. 1. 作多項(xiàng)式作多項(xiàng)式f(x)=a1xm+ +amx+am+1擬合擬合, ,可利用已有程序可利用已有程序:a=polyfit(x,y,m)2.2.多項(xiàng)式在多項(xiàng)式在x x處的值處的值y y可用以下命令計(jì)算：可用以下命令計(jì)算： y=po

18、lyvaly=polyval（a a，x x）輸出擬合多項(xiàng)式系數(shù)輸出擬合多項(xiàng)式系數(shù)a=a1, am , am+1 (數(shù)組數(shù)組) )）輸入同長(zhǎng)度輸入同長(zhǎng)度的數(shù)組的數(shù)組X，Y擬合多項(xiàng)擬合多項(xiàng)式次數(shù)式次數(shù)1. lsqcurvefit1. lsqcurvefit已知數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)據(jù)點(diǎn)： xdata=xdata=（xdata1，xdata2，xdataxdatan n），）， ydata=ydata=（ydataydata1 1，ydataydata2 2，ydataydatan n） 用用MATLAB作非線性最小二乘擬合作非線性最小二乘擬合 Matlab Matlab的提供了兩個(gè)求非線性最小二乘擬合的函數(shù)：

19、的提供了兩個(gè)求非線性最小二乘擬合的函數(shù)：lsqcurvefitlsqcurvefit和lsqnonlinlsqnonlin。兩個(gè)命令都要先建立。兩個(gè)命令都要先建立M-M-文件文件fun.mfun.m，在其中定義函數(shù)在其中定義函數(shù)f(x)f(x)，但兩者定義，但兩者定義f(x)f(x)的方式是不同的的方式是不同的, ,可參可參考例題考例題.最小 ),(21niiiydataxdataxF lsqcurvefitlsqcurvefit用以求含參量用以求含參量x x（向量）的向量值函數(shù)（向量）的向量值函數(shù)F(x,xdata)=F(x,xdata)=（F F（x x，xdataxdata1 1），），

20、F F（x x，xdataxdatan n）T T中的參變量中的參變量x(x(向量向量),),使得使得 fun是一個(gè)事先建立的是一個(gè)事先建立的定義函數(shù)定義函數(shù)F(x,xdata) 的的M-文件文件, 自變量為自變量為x和和xdata說明：x = lsqcurvefit (fun,x0,xdata,ydata,options);function f=ni(C,x1)f=C(1)*exp(x1)+C(2)*x1.2+C(3)*x1.3end保存為文件保存為文件 ni.mx1=0:0.1:1;y1=3.1,3.27,3.81,4.5,5.18,6,7.05,8.56,9.69,11.25,13.17

21、;x0=0,0,0;x,resnorm=lsqcurvefit(ni,x0,x1,y1)迭代初值迭代初值已知數(shù)據(jù)點(diǎn)已知數(shù)據(jù)點(diǎn)選項(xiàng)見無選項(xiàng)見無約束優(yōu)化約束優(yōu)化說明：x= lsqnonlinlsqnonlin （fun，x0，options）；）；fun是一個(gè)事先建立的是一個(gè)事先建立的定義函數(shù)定義函數(shù)f(x)的的M-文件，文件，自變量為自變量為x迭代初值迭代初值選項(xiàng)見無選項(xiàng)見無約束優(yōu)化約束優(yōu)化數(shù)學(xué)模型按照不同的角度劃分會(huì)得出不同的模型：常用數(shù)學(xué)建模模型常用數(shù)學(xué)建模模型三常用數(shù)學(xué)建模模型常用數(shù)學(xué)建模模型三常用數(shù)學(xué)建模模型常用數(shù)學(xué)建模模型三1 1、優(yōu)化模型、優(yōu)化模型: :線性規(guī)劃線性規(guī)劃, ,整數(shù)規(guī)劃

22、整數(shù)規(guī)劃, ,非線性規(guī)劃非線性規(guī)劃, ,動(dòng)態(tài)規(guī)劃動(dòng)態(tài)規(guī)劃, ,多目標(biāo)規(guī)劃多目標(biāo)規(guī)劃, ,隨機(jī)規(guī)劃等隨機(jī)規(guī)劃等2 2、預(yù)測(cè)模型、預(yù)測(cè)模型: :灰色預(yù)測(cè)灰色預(yù)測(cè), ,回歸分析回歸分析, ,指數(shù)平滑法指數(shù)平滑法, , 時(shí)間序列等時(shí)間序列等3 3、評(píng)價(jià)模型、評(píng)價(jià)模型: :綜合評(píng)價(jià)，主因子分析，聚類分綜合評(píng)價(jià)，主因子分析，聚類分 析析, ,因子分析等因子分析等4 4、方程模型、方程模型: :常微分方程常微分方程, ,差分方程，偏微分方差分方程，偏微分方 程等程等常用數(shù)學(xué)建模模型常用數(shù)學(xué)建模模型三1、視頻數(shù)據(jù)2、圖片數(shù)據(jù)3、大數(shù)據(jù)4、文本數(shù)據(jù)如何處理特殊數(shù)據(jù)如何處理特殊數(shù)據(jù)四例題1 碎紙片拼接（13年國(guó)賽

23、B題）提示：關(guān)鍵是如何量化 imread imread（000.bmp） imwrite 假設(shè)：碎紙片中字等間距、等大小 程序模型 機(jī)理建模的關(guān)鍵：1）仔細(xì)分析、團(tuán)隊(duì)討論 2）多閱讀、多學(xué)習(xí)、多交流 3）合理假設(shè)，難易適中 4）注意小處、層層推進(jìn)如何如何處理處理特殊數(shù)據(jù)特殊數(shù)據(jù)四數(shù)學(xué)建模比賽注意數(shù)學(xué)建模比賽注意五4、時(shí)間和體力的問題、時(shí)間和體力的問題 競(jìng)賽中時(shí)間分配也很重要，分配不好可能完不成論文，所以開始時(shí)要大致做一下安排。不必分的太細(xì)，比如第一天做第一小題，第二天做第二小題，這樣反而會(huì)有壓力，一切順其自然。開始階段不忙寫作，可以將一些小組討論的要點(diǎn)記錄下來，不要太工整，隨便寫一下，到第三天再開始寫論文也不遲的。也不要到第三天晚上才開始。另外要說的就是體力要跟上，三天一般睡眠只有不到10 個(gè)小時(shí)，所以沒有體力