高考數學(江蘇二輪專題攻略課件專題四微專題8解析幾何中最值與取值范圍的問題

1、微專題8解析幾何中最值與取值范圍的問題核心題型突破欄目索引0微專題8解析幾何中最值與取值范圍的問題核心題型突破題型一 利用圖形的性質求解2 2例1 （2017江蘇無錫期末）已知橢圓+十二1，動直線/與橢圓交于5C兩點.若點B的坐標為，求OBC面積的最大值.核心題型突破欄目索引C3解析由已知得，直線OB的方程為尸詁即3爐2尸0.設經過點C且平行于直線a的直線啲方程為尸蕓+b,則當r與橢圓只有一個公共點時Aobc的面積最大由V2 2 3 3消去y并整理，得衣+3分+決3二0.由/二9典12（決3）二0懈得by = x + bI 2/二2館當b二2館 時,C -y/3,大值為fxi +匕_ 2丿 9

2、XI3V3 + V3I_4V13（ 入、;當b=2乜時,C履-亠所以ZXOBC面積的最 2 丿【方法歸納】錐曲線上的點到定點的距離的最值問題，常用兩點間的距離公式轉化為在某區(qū)間的二次函數的最值問題解決，有時也用圓錐曲線的參數方 程,化為三角函數的最值問題或用三角形的兩邊之和（或差）與第三邊的不等關系 求解.圓錐曲線上的點到定直線的距離的最值問題解法同上或用平行切線法.核心題型突破欄目索引C2 21-1設P是橢圓*+*=1上一點MN分別是兩圓:(兀+4)+2二1和(x-4)2+/= 1上 的點側IPM+PN的最小值、最大值分別為、答案8;12相交于胚“兩點，此時解析 由橢圓及圓的方程可知，兩圓圓

3、心分別為橢圓的兩個焦點由橢圓的定 義知,PA+PB=2a=lQ.連接PAJPB份別與圓相交于兩點，此時LPMI+IPV1最 小，最小值為F4I+IPBI2二8;連接P4FB并延長，分別與 PM+PN最大，最大值為F4I+LPBI+2二12.綜上PMI+IPVI的最小值和最大值分 別為&12.1-2 (2018如東高級中學第二學期階段測試)在平面直角坐標系xOy中，已 知為圓x2+j2=4上兩點，點4(1,1),且AB丄AC,則線段BC的長的取值范圍是答案舲-血,舲+血解析 設BC的中點為D連接ADQD由丄AC,得BC=2AD,OD丄BCQD，+DC2=OC 即 0/)2+42=比.設 D(x,

4、y),則 *3+(爐 1)2+_1)2二4,化簡，得匕一引 + 丄丫仝，此即為點D的軌跡方程，圓心(丄,丄與點A(l,l)之間的距離為至則I 2) 2(2 2丿2並-：HWADW返+.所以BC=2AD e 羽-迥,羽+逅.2 2 2 2題型二利用不等式求解2 2 例2 (2017蘇北四市期末)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C:+補二 a b1 (ab0)的離心率為豐，且右焦點F到左準線的距離為6邁.(1)求橢圓C的標準方程;(2)設A為橢圓C的左頂點屮為橢圓C上位與兀軸上方的點，直線P4交y軸于點胚解析(1)由題意，得 =返 a 22c + = 6a/2.c解得廠所以b=2l. c

5、= 2J2.2 2 所以橢圓C的標準方程為二+丄二1.16 8(2)由題意，設直線FA的方程為尸心+4)00,則M(0,4Q.所以直線FN的方程為尸空(爐2血),則M。,-* .4k核心題型突破欄目索引C 當直線PA的斜率為*,即詁時,M(0,2),N(0,-4), 因為MF丄FN,FQ邁,0),所以FMN的外接圓的方程為分+1 丫二9.歹=心+ 4)， 由/+亍_消去y并整理,得.16核心題型突破欄目索引04_液2（解得心4或7產所以H8疋一4 同理可得Qw8k1 + 2疋所以化0關于原點對稱，即直線戶0過原點.所以 APQ 的面積S二 * 1041 (yP-yQ)=2 x16k1 + 2/

6、322k +W8血，當且僅當即K(1 +2lc)x+16+32 心 16=0 4-加 祿1 + 2k? 1 + 2k?又易知直線AN的方程為尸-（兀+4）,社時，取等號.所以4F0的面積的最大值為8VI【方法歸納】 圓錐曲線中的最值問題類型較多,解法靈活多變，但總體上主 要是利用代數方法，即把要求最值的幾何量或代數式表示為某個（些）參數的 表達式，然后利用基本不等式等進行求解.2-1 （2018鹽城中學高三數學階段性檢測）在平面直角坐標系中沖心在原點,對稱軸為坐標軸的橢圓，點只（0）是它的一個焦點分別為上頂點和右頂 點，原點O到線段的距離為迺.求橢圓E的標準方程;（2）過原點O的直線與線段AB

7、交于點D與橢圓交于點求四邊形AEKF面積的最大值.2 2解析才+亍(2)設EF的方程為y=kx(k0).y = kx,4x2 +3y2 = 12,4x2+3k2x2= 12.所以兀;二124 + 3宀12k24 +3k2I12(l + /c2)4 4 + 3 疋所 EF=2OE=2yxl + y =2 又點A0到EF的距離為y/l + e 71+F所以四邊形AEBF的面積為S二迪2 +理).J4 + 3k2又因為(2+尿疋2(4曲，所以岳朋所以頁2屈故四邊形4EBF面積的最大值為2&題型三利用函數的方法求解2 2cr b例3 (2017蘇錫常鎮(zhèn)二模)已知橢圓。鼻+書二lb0)的左焦點為F(-l

8、,0),左 準線方程為x=2.(1) 求橢圓C的標準方程；(2) 已知直線/交橢圓C與A 0兩點. 若直線/經過橢圓C的左焦點F,交y軸于點只且滿足臥二總，丘二“品,求證汎 +為定值； 若4,3兩點滿足OAJL 03(0為坐標原點)，求的面積的取值范圍.核心題型突破欄目索引Q解析由已知，得c=l,2.解得眉2,則夕=1.所以橢圓C的標準方程為y+y=l.(2)證明:由題設，直線Z的斜率存在.設直線/的方程為尸紅x+1),則P(O,Q.核心題型突破欄目索引C設A(xj)0(jV2j2),將直線伯勺方程代入橢圓的方程，得？+2眥兀+1)2=2 整理，得(1 +2疋)分+4炸+2尿2=0. 4*22

9、k 2 幾i十兒2兀1兀2 T71 + 2k1 + 2kT TT_ y_ y由 PA=AAF PB=a BF,知尼一戶 一J嚴1 + x,l + x2-44疋_4加+殲:+ ： +簣=丐*豐4(定值).1 + 兀+ 小 + %1兀2 + 4Zc + 2k 211 + 2疋 1 + 2/當直線OA,OB分別與坐標軸重合時湯知4OB的面積5=;2當直線OAQB的斜率均存在且不為零時， 設直線OA :y=kx,直線OB:y二丄兀人（兀1 $）0（兀2丿2）,K將y=尬代入橢圓C的方程，得士+2紜2二2.222k2,2_ :所以蟲喬石用=喬可同理工二r,/ 所以zviob的面積s二坐工2令匸加+1側膽

10、1+00）,(2 疋+1)伙2+ 2)2 + k2y2=7+k 伙2 +1）2I產(2r-l)(r + l)14w=-,貝檢 u(o,i, t2 V|亍3核心題型突破欄目索引一核心題型突破欄目索引Q【方法歸納】 解決有關范圍、最值問題時，首先要恰當地引入變量（如點的 坐標、角、斜率等）,建立目標函數，然后通過求這個函數的值域解決問題.圓 錐曲線中的范圍與最值問題大致可分為兩類:一是設計距離、面積的最值以 及與之相關的一些問題;二是求直線與圓錐曲線中幾何元素的范圍與最值，以 及這些元素存在最值時確定與之有關的一些問題.核心題型突破欄目索引Q3-1 (2018如東高級中學第二學期階段測試)已知圓M

11、:x2+(y-4)2=4,P是直線 l：x-2y=0上的一動點，過點P作圓M的切線FA,P5切點為40.(1)當切線的長度為2館時，求點P的坐標；若的外接圓為圓N,試問:當P運動時，圓N是否過定點?若過點定，求岀 所有的定點的坐標;若不過定點,請說明理由；求線段長度的最小值.核心題型突破欄目索引C解析(1)由題可知，圓M的圓心M(0,4),半徑廠=2.設P(2bQM的一條切線，所以ZMAP=90.所以MF二 J(0 - 2疔 + (4 -二 Jam 2 + 仲2 二4Q解得歸0或b二亍所以P(090)或P(2)設PQb、b).因為ZMAP=90所以經過4只M三點的圓N以MP為直徑,2其方程為(x-/?)2+f y -4戻+0 4)24核心題型突破欄目索引Q即(2%+丁-4)工(卡+才-4)=0鄉(xiāng)巧穿。解得x +y -4y = 0,8x =54 ,=?所以圓過定點(0,4), |,扌 即卡+只2 加(b+4)y+4b 二 0 ，圓 M:x2+(j-4)2=4,即