有限元方法ppt

1、變分法-有限元數(shù)學依據(jù) n1.利用變分法推導控制方程 n2.里茲法n3.伽遼金法n4.有限元法1.利用變分法推導控制方程n通過上次課的推導可知，求泛函的極值問題與解微分方程的邊值問題是等價的。n一方面滿足微分方程及邊界條件的函數(shù)將使泛函取極值，另一方面從變分的角度看，使泛函取極值的函數(shù)是滿足問題的控制微分方程和邊界條件的解。 1.利用變分法推導控制方程n原理回顧 n取泛函的變分為零，有 21d,xxxyyyxFxy0n歐拉方程為 0dddd22 yFxyFxyF物理意義是系統(tǒng)的勢能取最小或內(nèi)力功與外力功之差為零 1.利用變分法推導控制方程n邊界條件 n幾何邊界條件 00dd2121xxxxyy

2、FyyFxyF 00002121xyxyxyxyn若幾何邊界任意，則有自然邊界條件 00dd2121xxxxyFyFxyF1.利用變分法推導控制方程n例、直梁受均布載荷作用已知直梁的總勢能為即 qvdxvdxvF22221代入歐拉方程，有00442222qdxvdEIdxvdEIdxdqldxqvdxvdEI0222211.利用變分法推導控制方程00022022lldxdvdxvdEIvdxvdEIdxd邊界條件為幾何邊界條件 兩端固支0000010lxxdxdvdxdvlvv 兩端簡支00000222022lxxdxvdEIdxvdEIlvv 一端懸臂00000333220lxlxxdxvd

3、EIdxvdEIdxdvv如果能求出彈性結(jié)構(gòu)的總勢能，則可由最小勢能原理獲得其控制微分方程和邊界條件1.利用變分法推導控制方程n如果存在一個位移函數(shù)，即滿足歐拉方程，又滿足邊界條件，則此位移函數(shù)就是問題的精確解；n實際操作中，可以不得到控制方程，而直接選擇試探函數(shù)，使其滿足變分為零就可以使問題得到解答；n實際應用中，往往只讓位移函數(shù)滿足其中部分等式，剩余等式近似滿足，這就是利用變分問題直接近似計算的理論依據(jù)2.里茲法n該方法假設(shè)一位移函數(shù)，只令其先滿足位移邊界條件，然后通過n建立方程，求解方程組，得到的結(jié)果近似滿足力邊界條件和平衡方程n具體過程如下02.里茲法n若能找到的近似解，由一組線性無關(guān)

4、的函數(shù) 的線性組合表示n其中1、2、3. 為一族坐標函數(shù)序列，滿足如下條件 iiay1、ix1,x2且滿足相應的幾何邊界條件；2、互相線性無關(guān)；3、是完備的，即對于任何yx1,x2，和0，存在正整數(shù)N和常數(shù)組ai，使得|y-iai|，其中i=1,2,.,N2.里茲法n1958年W.Ritz提出了解y由一組帶有待定參數(shù)的試探函數(shù)來表示，則泛函由試探函數(shù)和待定參數(shù)表示泛函。n若y=iai是問題的解，則 =0，泛函的變分為0，相當于將泛函對所包含的待定參數(shù)進行全微分 02211nnnaaaaaa2.里茲法若ai=0，則有0ia得到一組n個方程0n1aaa這是與待定參數(shù)a的個數(shù)相等的方程組，可以求解a

5、3.伽遼金法n在里茲法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，其特點是要求試探函數(shù)不僅滿足幾何邊界條件，還要滿足自然邊界條件 n問題解仍可由n個待定參數(shù)與試探函數(shù)的線性表示 n那么iiayniiiniiiaaayy113.伽遼金法n泛函的變分012212222212121 niiixxxxniiixxdxayFdxdyFdxdyFdxayFdxdyFdxdyFydxyFdxdyFdxdyF由于ai0，則02122 dxyFdxdyFdxdyFixx3.伽遼金法n試探函數(shù)是在整個求解域上定義的，必須滿足邊界條件。對于復雜物理問題，尋找實驗函數(shù)比較困難，因此限制了使用。n例如對于受均布荷載作用的簡支直梁xxdEIlq

6、總勢能ldxqvdxvdEI0222213.伽遼金法試探函數(shù)1 xlaxxv1 lxalxalxaxv3sin2sinsin3212試探函數(shù)2分別按步驟求解直梁中點的撓度EIqllvEIqllv5 .762,9624241EIqllv8 .7624精確解為試探函數(shù)1僅滿足幾何邊界條件，而不滿足自然邊界條件；試探函數(shù)2則全部滿足。4.有限元法n不同點： 里茲法：試探函數(shù)定義在全部求解式上，滿足邊界條件 有限元：試探函數(shù)在單元內(nèi)，無需滿足邊界條件。 n求解步驟求解步驟n將求解域離散或單元n假定解在單元內(nèi)部按某種規(guī)律變化，造插值函數(shù)n推導單元方程n系統(tǒng)方程的組建n引入邊界條件n求解n返回處理重點是重

7、點是插值函數(shù)選取和單元矩陣的建立值函數(shù)選取和單元矩陣的建立 4.有限元法n1.單元離散n2.插值函數(shù)#n3.單元剛度矩陣及載荷列向量的建立#n4.整體剛度矩陣及載荷列向量n5.虛位移原理的變分法4.有限元法n1.單元離散用最小勢能原理，由于能量是可以分區(qū)域相疊加的，在最小勢能原理中涉及的泛函，其自變量函數(shù)（宗量）和它的導數(shù)的最高冪數(shù)為二次，稱為二次泛函，是積分方程，可以分區(qū)域相加e如果 eelleeedxxqvdxvdEI122221則變分0en2.插值函數(shù)n有限元的基本思想是分片近似，對于復雜問題的解，是通過單元剖分與分片近似得到的。n其中一個重要步驟是在每個單元內(nèi)選擇一個簡單的近似函數(shù)。這

8、種用以表示單元內(nèi)部解的性態(tài)的近似函數(shù)稱為插值函數(shù)。n一般采用多項式插值函數(shù)。因為： 1較易進行單元方程的列式等計算即微分與積分 2增加多項式的階次可以改進計算結(jié)果。n這里重點介紹一維插值函數(shù)。 4.有限元法多項式插值n插值多項式 mnxaxaxaaxy12321 axyxxxaaaaann則令2T13211多項式插值n插值：要求近似函數(shù)y(x)與被近似的函數(shù)f(x)在某些點處具有相同的函數(shù)值，甚至直到某階導數(shù)值。在有限元中，取均變量的節(jié)點值（包括其導數(shù)值）為未知量。n自由度：場變量的節(jié)點值，稱為節(jié)點自由度。選擇a參數(shù)的個數(shù)等于單元節(jié)點自由度數(shù)。單元近似函數(shù)可以用節(jié)點上自由度表示。令ye為單元節(jié)

9、點值向量。 iieeeeyNyNyayaay11多項式插值n1.整體坐標下，一維簡單單元場變量的線性插值多項式 eyNyNyNylxxylxxxaaxylyyalxyxyaxaaxyyxaaxyyxaaxy221121122112212211221221211121,yxx1x2xy(x)y1y2多項式插值n形函數(shù)的特點（1）形函數(shù)在其相關(guān)的節(jié)點，其值為1，在其他的節(jié)點，其值為0.（2）Ni=1為形函數(shù)完備性要求，如各節(jié)點值相等時 ijjixN iiiiiyNyyNxy多項式插值n2.采用局部坐標線性插值多項式n常常需要在單元內(nèi)對形函數(shù)及其導數(shù)進行積分，采用局部坐標簡化積分運算x1x2yiyj

10、21,xxx-1101 , 1s jjiiijjiccyNyNyyayyasaasyxxxxxaxxxxaxxlxaas2,2,21,222121211222121121其中多項式插值sNsNii121121上式中可以很容易寫出N saaNNNii21; 01, 11多項式插值n3.自然坐標下的插值函數(shù)（線性） 與單元形狀有關(guān)的無因次坐標x1x221,LLPl2l1(1,0)(0,1)單元內(nèi)一點P的位置用如下自然坐標表示lxxllLlxxllL122211l為單元長度，L1、L2為P點到節(jié)點2和節(jié)點1的距離。多項式插值n一維單元只有一個獨立坐標，L1、L2不獨立 n對于線性單元，自然坐標就是形

11、函數(shù)對于線性單元，自然坐標就是形函數(shù) 121 LLjjiiLNLN,等參單元22112211LyLyyLxLxx多項式插值n4.采用自然坐標的高次單元 j(1,0)(0,1)(1/2,1/2)ik具有二次或二次以上插值多項式的單元，稱為告辭單元。為使插值多項式的廣義坐標數(shù)（形函數(shù)的個數(shù)）與節(jié)點自由度數(shù)相匹配，除端點外還要采用中間節(jié)點。 eyNxaxaayNyNyNxy2321332211形函數(shù)二次單元3 , 2 , 1,213221121iLLaLaLaLLNiiii多項式插值0, 021, 210, 10012121211LLLLLLN如12412223212111LLNLLNLLN多項式插

12、值j(1,0)(0,1)(2/3,1/3)(1/3,2/3)kli 44332211yNyNyNyNxy形函數(shù)三次單元22142132211321,LLaLLaLaLaLLLNi121412121213211112931293219291LLLNLLLNLLLNLLLN拉格朗日插值函數(shù)n僅以場變量本身在節(jié)點處的值作為未知量所構(gòu)造的插值函數(shù)。n一維單元有n+1個節(jié)點，則單元內(nèi)場變量的近似函數(shù) nkkkkkkknkkikinkiiknkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxLxLyxy1110111000拉格朗日插值函數(shù)n討論： kixxxLxNxLxxxLikkkkk,011則當

13、（形函數(shù)） 的距離之比到的距離與節(jié)點點到點表示的是單元內(nèi)任意一iiikixkxxxxxx2拉格朗日插值函數(shù)n討論： kixxxLxNxLxxxLikkkkk,011則當（形函數(shù)） 的距離之比到的距離與節(jié)點點到點表示的是單元內(nèi)任意一iiikixkxxxxxx2拉格朗日插值函數(shù)(3)用自然坐標表示ikiiiiikninninikiLLfLLfLLLLxxxxxxxxxxxx1111111, ikiiinkiikkkLLfLLfLLNxNxL1111021,(4)理解fi(L1,L1i)和fi(L1k,L1i)的意義，對今后構(gòu)造其他形式的Langrange單元的插值數(shù)是很有幫助的。拉格朗日插值函數(shù)n

14、例一：二次單元 j(1,0)(0,1)(1/2,1/2)ik12010211212111211LLLLLLN21111121241402101211LLLLLLLLN拉格朗日插值函數(shù)n例二：三次單元j(1,0)(0,1)(2/3,1/3)(1/3,2/3)kli2111111112112911323210103113132132LLLLLLLLLLLN拉格朗日插值函數(shù)(5)列出各節(jié)點的直線方程0,; 031,; 032,; 01,1111LlLkLjLi根據(jù)形函數(shù)的特性1112113132LLLCLLN在j,k,l處保證等于0，在i點等于1，求出C多項式插值-Hermite插值函數(shù)n不但取場變

15、量在某點處的值，而且還取場變量的前幾階導數(shù)在節(jié)點處的值為未知量所構(gòu)造的插值函數(shù)，稱為幾階Hermite插值函數(shù)。對于二節(jié)點單元n階導數(shù)有 12102121211210niiinlililiininiiiiiiiQNyxHyxHyxHyxHxy多項式插值-Hermite插值函數(shù)n對n個節(jié)點，共有2n個條件，可定出2n個系數(shù)的多項式nH(x)是x的2n+1次多項式 120niiixaxNxH 120niiixaxy nlkjixHklijjkli,.,2 , 1 , 0,.2 , 1,其中nl表示第l 階哈密特多項式，k表示求k階導數(shù)ni，j表示節(jié)點號多項式插值-Hermite插值函數(shù) 0,000

16、10000jnijiijjijjxHxHxHyxy階導數(shù)求 0, 01112111011jnijiijjijijjxHxHxHxHyxy階導數(shù)求 ijjnnijnnijnijjnxHxHxHyxyn, 0101階導數(shù)求 10201xHxH多項式插值-Hermite插值函數(shù)n舉例說明：n對于梁結(jié)構(gòu)，梁單元為二節(jié)點單元，每個節(jié)點上的自由度是位移和轉(zhuǎn)角，即需要滿足場變量及一階導數(shù)連續(xù) 121120210211111011012110124231211vHvHvHvHvHNvNNvNxvikkiki多項式插值-Hermite插值函數(shù)n各項哈密特常數(shù)可以通過數(shù)學手冊查出，最后得到 n形函數(shù)反映了梁彎曲變

17、形時梁撓度的形狀形函數(shù)反映了梁彎曲變形時梁撓度的形狀 232433223232233221232231eeeeeeeelxlxxNlxlxxNlxlxxxNlxlxxN4.有限元法-單元剛度矩陣建立n對于梁，在每個單元上的勢能 dxqvdxvdEIeleee02222 eeeeeeeNNxvNvNv TT24.有限元法-單元剛度矩陣建立n因此 eeeeeleeleleeeeFKdxNqdxNNEIdxNqNNEIeeeTT0T0TT0TT21212 4.有限元法-整體剛度矩陣建立n使用單元擴維法建立整體剛度矩陣 FKFKeeeeenieTTTT121214.有限元法-整體剛度矩陣建立n對于彈性

18、體的總勢能，考慮到場變量y(x)由節(jié)點未知場變量插值近似后，則可以表示成節(jié)點場變量的泛函。如果這些場變量滿足平衡方程，由最小勢能原理 0, 2 , 1, 0011neiiimiiiiyymiyyyy4.有限元法-整體剛度矩陣建立 整體方程FKFKFK0210TT4.有限元法-虛位移原理的變分法 n在虛位移原理的應用中，主要是求剛度陣（單元）；n同樣需要選擇場變量的插值函數(shù)；n在線性彈性力學中，最小勢能原理與虛位移原理是等價的。4.有限元法-虛位移原理的變分法 n一端固定的拉桿，拉長a，對其進行應力分析。LAxn其總勢能為：LLdxdxduEdx020221nu(x)為位移函數(shù)，邊界條件有.; 00aLxuxun因此，由變分原理可知，求解上述邊界條件下的拉桿應力，相當于求泛函的極小值問題。4.有限元法-虛位移原理的變分法 n（1）劃分有限單元n將全長L劃分為四等份，節(jié)點編號分別為0,1,2,3,4.; 040auu