高中數(shù)學好題速遞400題（01—50）

1、好題速遞11已知是內(nèi)任一點,且滿足,、,則的取值范圍是 _ 解法一：令,由系數(shù)和,知點在線段上從而由、滿足條件易知解法二：因為題目沒有特別說明是什么三角形，所以不妨設為等腰直角三角形，則立刻變?yōu)榫€性規(guī)劃問題了2在平面直角坐標系中，x軸正半軸上有5個點, y軸正半軸有3個點，將x軸上這5個點和y軸上這3個點連成15條線段，這15條線段在第一象限內(nèi)的交點最多有 個答案：30個好題速遞21定義函數(shù),其中表示不超過的最大整數(shù),如:,當時,設函數(shù)的值域為,記集合中的元素個數(shù)為,則式子的最小值為 【答案】【解析】當時,其間有個整數(shù)；當,時,其間有個正整數(shù),故,由得,當或時,取得最小值2 有七名同學站成一排

2、照畢業(yè)紀念照，其中甲必須站在正中間，并且乙、丙兩倍同學要站在一起，則不同的站法有 種答案：192種好題速遞31已知直線平面，垂足為在矩形中，若點在上移動，點在平面上移動，則，兩點間的最大距離為 解：設的中點為，則點的軌跡是球面的一部分，所以當且僅當三點共線時等號成立2 將、四個球放入編號為1，2，3的三個盒子中，每個盒子中至少放一個球且、兩個球不能放在同一盒子中，則不同的放法有 種答案：30種好題速遞41 在平面直角坐標系中，設定點，是函數(shù)圖象上一動點若點之間的最短距離為，則滿足條件的實數(shù)的所有值為 解：函數(shù)解析式（含參數(shù)）求最值問題因為，則，分兩種情況：（1）當時，則（2）當時，則2 將5名

3、實習教師分配到高一年級的3個班實習，每班至少1名，最多2名，則不同的分配方案有 種答案：90種好題速遞51已知，則的最小值為 解： 構造函數(shù)，則與兩點分別在兩個函數(shù)圖象上，故所求看成兩點與之間的距離平方，令，所以是與平行的的切線，故最小距離為所以的最小值為42 某單位要邀請10位教師中的6人參加一個研討會，其中甲、乙兩位教師不能同時參加，則邀請的不同方法有 種答案：140種好題速遞61已知定圓的半徑分別為，圓心距，動圓C與圓都相切，圓心的軌跡為如圖所示的兩條雙曲線，兩條雙曲線的離心率分別為，則的值為（ ）A和中的較大者 B和中的較小者 C D解：取為兩個焦點，即若與同時相外切（內(nèi)切），則若與同

4、時一個外切一個內(nèi)切，則因此形成了兩條雙曲線此時，不妨設，則2某班學生參加植樹節(jié)活動，苗圃中有甲、乙、丙3種不同的樹苗，從中取出5棵分別種植在排成一排的5個樹坑內(nèi)，同種樹苗不能相鄰，且第一個樹坑和第5個樹坑只能種甲種樹苗的種法共有種答案：6種好題速遞71 已知是雙曲線的左右焦點，以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點，與雙曲線交于點，且、均在第一象限，當直線時，雙曲線的離心率為，若函數(shù)，則 解：，所以，所以的方程為，所以又在圓上，所以所以，所以2用0，1，2，3，4這五個數(shù)字組成無重復數(shù)字的五位數(shù)，其中恰有一個偶數(shù)數(shù)字夾在兩個奇數(shù)數(shù)字之間，這樣的五位數(shù)的個數(shù)有 個答案：28個好題速遞81 已知的

5、三邊長分別為，其中邊為最長邊，且，則的取值范圍是 解：由題意知，故，所以又因為，而所以故綜上可得2 從5名志愿者中選出3名，分別從事翻譯、導游、保潔三項不同的工作，每人承擔一項，其中甲不能從事翻譯工作，則不同的選派方案共有 種解： 48種好題速遞91在平面直角坐標系中，已知點是半圓上的一個動點，點在線段的延長線上當時，則點的縱坐標的取值范圍是 解：設，由得：所以2 編號為1、2、3、4、5的五個人分別去坐編號為1、2、3、4、5的五個座位，其中有且只有兩個的編號與座位號一致的坐法是 種答案：20種好題速遞101點是直角斜邊上一動點，將直角沿著翻折，使與構成直二面角，則翻折后的最小值是 解：過點

6、作于，連結，設，則有在中由余弦定理得在中由勾股定理得所以當時，取得最小值為2從1到10這是個數(shù)中，任意選取4個數(shù)，其中第二大的數(shù)是7的情況共有 種 答案：45種好題速遞111已知函數(shù)，若對于任意的實數(shù)均存在以為三邊長的三角形，則實數(shù)的取值范圍是 解：令當時，其中當且僅當時取得等號所以若對于任意的實數(shù)均存在以為三邊長的三角形，只需，所以當時，其中當且僅當時取得等號所以若對于任意的實數(shù)均存在以為三邊長的三角形，只需，所以 綜上可得，2在一條南北方向的步行街同側有8塊廣告牌，牌的底色可選用紅、藍兩種顏色，若只要求相鄰兩塊牌的底色不都為紅色，則不同的配色方案共有 種 答案：55種好題速遞121已知函數(shù)

7、，若關于的不等式的解集為空集，則實數(shù)的取值范圍是 解：所以的解集為所以若使的解集為空集就是的解集為空，即所以，即2某校舉行奧運知識競賽，有6支代表隊參賽，每隊2名同學，12名參賽同學中有4人獲獎，且這4人來自3人不同的代表隊，則不同獲獎情況種數(shù)共有 種 答案：種好題速遞131 已知定義在上的函數(shù)滿足；在上的表達式為，則函數(shù)與函數(shù)的圖象在區(qū)間上的交點個數(shù)為 2 若的展開式中的系數(shù)是80，則實數(shù)的值是 答案：2好題速遞141是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且滿足，則 解：，兩式相減得所以所以2 某次文藝匯演，要將A、B、C、D、E、F這六個不同節(jié)目編排成節(jié)目單，如下表：序號123456節(jié)目如果A、B兩個

8、節(jié)目要相鄰，且都不排在第3號位置，那么節(jié)目單上不同的排序方式有 種 答案：144種好題速遞151 若是兩個非零向量，且，則與的夾角的取值范圍是 解：令，則設，則由余弦定理得又，所以所以，所以由菱形性質(zhì)得2 若的展開式中第三項系數(shù)等于6，則n= 答案：12好題速遞161 函數(shù)，集合，則由的元素構成的圖形的面積是 解：畫出可行域，正好拼成一個半圓，2 甲、乙、丙、丁四個公司承包8項工程，甲公司承包3項，乙公司承包1項，丙、丁兩公司各承包2項，共有承包方式 種 答案：1680種好題速遞171 在棱長為1的正方體中，在面中取一個點，使最小，則這個最小值為 解：將正方體補全成長方體，點關于面的對稱點為，

9、連接交平面于一點，即為所求點，使最小其最小值就是連接，計算可得，所以為直角三角形，所以2 若 且，則實數(shù)m的值為 答案：1或-3好題速遞181 已知雙曲線的左、右焦點分別為，過的直線分別交雙曲線的兩條漸近線于點若點是線段的中點，且，則此雙曲線的離心率等于 解法一：由題意，從而有，又點為的中點，所以所以，整理得，所以解法二：由圖可知，是線段的垂直平分線，又是斜邊中線，所以，所以解法三：設，則，由，解得所以，所以，即，所以2 現(xiàn)有甲、已、丙三個盒子，其中每個盒子中都裝有標號分別為1、2、3、4、5、6的六張卡片，現(xiàn)從甲、已、丙三個盒子中依次各取一張卡片使得卡片上的標號恰好成等差數(shù)列的取法數(shù)為 答案

10、：18好題速遞191 已知為坐標原點，平面向量滿足：，則對任意和任意滿足條件的向量，的最大值為 解：建立直角坐標系，設則由，得等價于圓上一點與圓上一點連線段的最大值即為2 已知數(shù)列的通項公式為，則+= 答案：好題速遞201 已知實數(shù)成等差數(shù)列，點在動直線（不同時為零）上的射影點為，若點的坐標為，則的取值范圍是 解：因為實數(shù)成等差數(shù)列，所以，方程變形為，整理為所以，即，因此直線過定點畫出圖象可得，點在以為直徑的圓上運動，線段的長度滿足即2 如果一條直線與一個平面平行，那么稱此直線與平面構成一個“平行線面組”，在一個長方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“平行線面組”的個數(shù)是 個

11、答案：48好題速遞211 已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當時，若關于的方程，有且僅有6個不同實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是 解：設，問題等價于有兩個實根，或所以或綜上， 或2 在的展開式中，的冪的指數(shù)是整數(shù)的項共有 項答案：5好題速遞221 已知橢圓的左、右焦點為，直線過點且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于于點，線段的垂直平分線與的交點的軌跡為曲線，若是上不同的點，且，則的取值范圍是 解：由題意設代入，得所以，設代入，得所以所以2 人排成一排照相，要求甲不排在兩端，不同的排法共有_種(用數(shù)字作答)答案：72好題速遞231 數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，是首項為12的等差數(shù)列現(xiàn)已知且，則以下結論中一定成立的是

12、 （請?zhí)钌纤姓_選項的序號）；解：因為數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，所以該數(shù)列的奇數(shù)項與偶數(shù)項異號，即：當時，；當時，；所以是正確的；當時，又，所以結合數(shù)列是首項為12的等差數(shù)列，此時數(shù)列的公差，數(shù)列是遞減的故知：當時，又，所以結合數(shù)列是首項為12的等差數(shù)列，此時數(shù)列的公差，數(shù)列是遞減的故知：綜上可知，一定是成立的2 設的展開式的各項系數(shù)之和為M, 二項式系數(shù)之和為N，若M-N240, 則展開式中x3的系數(shù)為 答案：150好題速遞241 已知集合，其中，且是單元素集合，則集合對應的圖形的面積為 解：所以由得知，圓心對應的是四分之一單位圓?。t色）此時所對應的圖形是以這四分之一圓弧上的點為圓心，以1

13、為半徑的圓面從上到下運動的結果如圖所示：是兩個半圓（與）加上一個四分之一圓（），即圖中被綠實線包裹的部分。所以2（2010年浙江高考17）有4位同學在同一天的上、下午參加“身高與體重”、“立定跳遠”、“肺活量”、“握力”、“臺階”五個項目的測試，每位同學上、下午各測試一個項目，且不重復若上午不測“握力”項目，下午不測“臺階”項目，其余項目上、下午都各測試一人，則不同的安排方式共有_種（用數(shù)字作答）解：設有四個同學參加測試上午：身高 立定跳遠 肺活量 臺階下午：身高 立定跳遠 肺活量 握力上午測試的種類有種下午分兩類：一類為早上測臺階的同學下午測了握力，那么另三個同學就相當于三個人不坐自己位置的

14、問題，有2類選擇另一類為早上測臺階的同學下午不測握力，那么四個同學相當于四個人不坐自己位置的問題，有9類選擇所以共有種好題速遞251若在給定直線上任取一點，從點向圓引一條切線，切點為若存在定點，恒有，則的取值范圍是 解：直線上任意一點，過點作圓的切線長設，則由題知：整理得：又為定點，的任意性，所以所以所以所以2 在展開式中，含的負整數(shù)指數(shù)冪的項共有 項答案：4好題速遞261 設，則當 時，取得最小值解：當時，當時，當且僅當時取等號所以時取得最小值2（2008年浙江高考16）用1，2，3，4，5，6組成六位數(shù)（沒有重復數(shù)字），要求任何相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同，且1和2相鄰，這樣的六位數(shù)的個數(shù)是_

15、（用數(shù)字作答）解：依題先排除1和2的剩余4個元素有種方案，再向這排好的4個元素中插入1和2捆綁的整體，有種插法，不同的安排方案共有種.好題速遞271 設，則函數(shù)在上的最小值為 解：畫出圖象可得當且僅當時函數(shù)取到最小值12 若展開式的二項式系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項為 答案：20好題速遞281 已知函數(shù)滿足，則 解：令，則令，則令，則 進而有所以的周期為6，所以2（四川高考）方程中的，且互不相同，在所有這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有_條解法一：將方程變形為，若表示拋物線，則，所以分五種情況，利用列舉法解決（1）當時，或或或（2）當時，或或或以上兩種情況有9條重復，故共有條（3）同

16、理，當或時，也有23條（4）當時，或或或，共有16條綜上共有種解法二：，6選3全排列為種這些方程表示拋物線，則，要減去種又和時，方程出現(xiàn)重復，用分步計算原理可計算重復次數(shù)為所以不同的拋物線共有種好題速遞291 已知當，不等式恒成立，則的取值范圍是 解法一：結合的圖象分類討論：當，即時，解得當，即時，解得當，即時，解得 綜上可知： 或解法二：當時顯然成立當時，有或進而有：或所以或 綜上：或2 若那么n= 答案：3好題速遞301已知是定義在上的奇函數(shù)，當時，其中若對任意的恒有，則實數(shù)的取值范圍是 解：當，即時，是增函數(shù)，所以恒成立祝 你 新 年 快 樂 闔 家 幸 福你 新 年 快 樂 闔 家 幸

17、 福新 年 快 樂 闔 家 幸 福年 快 樂 闔 家 幸 福快 樂 闔 家 幸 福樂 闔 家 幸 福闔 家 幸 福家 幸 福幸 福福當，即時，則由圖象可知，兩個自變量的差距至少要不小于左右兩個零點間的差距，即，所以綜上可知，2“祝你新年快樂闔家幸?！边@句話，如圖所示形式排列，從“?！弊肿x起，只允許逐字沿水平向右或豎直向下方向讀，則讀完整句話的不同讀法共有 種答案：種好題速遞311 設函數(shù)，若函數(shù)有且只有3個實根，則實數(shù)的取值范圍是 解：令，則有兩個不等實根，則令，若使函數(shù)有且只有3個實根，只需使的圖象與直線恰有三個公共點，所以必有一條直線經(jīng)過的頂點不妨設而故有， 所以，所以2某市春節(jié)晚會原定1

18、0個節(jié)目，導演最后決定添加3個新節(jié)目，但是新節(jié)目不排在第一個也不排在最后一個，并且已經(jīng)排好的10個節(jié)目的相對順序不變，則該晚會的節(jié)目單的編排總數(shù)為 種答案：990好題速遞321 若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，那么實數(shù)的取值范圍是 解：這是，函數(shù)復合，在上遞減且恒正（或恒負）或2 若二項式展開式中含有常數(shù)項，則的最小取值是 答案：7好題速遞331 已知函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，當時，實數(shù)的取值范圍是 解：的解集為，又，所以必有這里要注意函數(shù)的定義域不能為空2（2011年浙江高考9）有5本不同的書，其中語文書2本，數(shù)學書2本，物理書1本，將其隨機地并排擺放到書架的同一層上，則同一科目的書都不相鄰的

19、情況有_種（用數(shù)字作答）解法一：設書為，位置為12345位若在最左1號位或最右5號位，則剩下四本書有形式，共有若在2號位或4號位，則剩下四本書有形式，共有若在3號位，則有所以共有48種解法二：分步完成，第一步先三本書全排列，共種第二步，將插入，分兩類一類為無型，則有種插法一類為有型，則有種插法所以共有種解法三：好題速遞341 已知以為直徑，半徑為2，點都在線段上，過作互相垂直的弦和，則的取值范圍是 解法一：如圖所示，設，則，所以令，則解法二：，其中所以又，所以2已知展開式，則 解：打開后沒有奇次項，所以0好題速遞351 已知函數(shù)，且，則的值（ ）A 恒為正 B恒為負 C恒為0 D無法確定解：易

20、判斷是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增的函數(shù)由可得所以所以所以1234567892如圖所示是2008年北京奧運會的會徽，其中的“中國印”主體由四個互不連通的色塊構成，可以用線段在不穿越其他色塊的條件下將其中任意兩個色塊連接起來（如同架橋），如果用三條線段將這四個色塊連接起來，不同的連接方法共有 種解法一：考慮A、B、C、D四塊區(qū)域，三條線連結共有兩類第一類，一塊區(qū)域和三塊區(qū)域連結，共有種第二類，四塊區(qū)域依次連結，即ABCD全排列，但注意ABCD與DCBA是同一種情況，所以共有種綜上，共有16種解法二：把問題抽象為正方形四個頂點之間連線共有6條任取其中的三條將四個點連結，只需除去構成三角形的三條連線即可故

21、有好題速遞361 已知定義在上的偶函數(shù)在上的增函數(shù)，且對任意的恒成立，則的取值范圍是 解：由題意，對任意的恒成立等價于對任意的恒成立，解得2 在的展開式中，的系數(shù)是 答案：55好題速遞371若函數(shù)有且僅有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是 解法一：令，則則有兩個零點，其中一個為0，一個大于0所以，解得 經(jīng)驗證，可知解法二：等價于，恰有三個公共點，結合圖象可得，且，所以2用紅、黃、藍三種顏色去涂圖中標號為1，2，3，9的9個小正方形（如圖），使得任意兩個相鄰（有公共邊的）小正方形所涂顏色都不相同，且“3，5，7”號數(shù)字涂相同的顏色，則符合條件的所有涂色方法有 種解：“3，5，7”號數(shù)字涂相同的顏色，共

22、有3種選擇2涂色有2種，24同色有1種，1有2種；24異色有1種，1有1種故涂完1，2，4有種同理涂完6，7，8也有6種綜上，共有種好題速遞381方程的解集為，若，則實數(shù)的取值范圍是 解法一：當時 ，當時 ，當時，的解為要使，則需或或或解之得 綜上得解法二：等價于或分別作出，的圖象如圖所示由圖可知：解法三：等價于或分別作出圖象如圖所示，所以由圖知：或或解得解法四：當時顯然成立當時，分別作出函數(shù)的圖象如圖所示由圖可知：的圖象最低點只能落在橫軸的實線部分故可得2 的展開式中，含項的系數(shù)是 答案：30好題速遞391 已知三個實數(shù)，當時滿足且，則的取值范圍是 解法一：（齊次化思想）由知因為時，所以。令

23、，則令，解法二：由令，則同類題：1. 已知正數(shù)滿足：，則的取值范圍是 2. 已知正數(shù)滿足：，則的取值范圍是 3. 已知正數(shù)滿足：，則的取值范圍是 2（安徽高考10）6位同學在畢業(yè)聚會活動中進行紀念品的交換，任意兩位同學之間最多交換一次，進行交換的兩位同學互贈一份紀念品，已知6位同學之間共進行了13次交換，則收到4份紀念品的同學人數(shù)為（ ） A1或3 B1或4 C 2或3 D2或4 解：任意兩個同學之間交換紀念品共要交換次，如果都完全交換，每個人都要交換5次，也就是得到5份紀念品，現(xiàn)在6個同學總共交換了13次，少交換了2次，這2次如果不涉及同一個人，則收到4份紀念品的同學人數(shù)有4人；如果涉及同一

24、個人，則收到4份紀念品的同學人數(shù)有2人所以答案為2或4好題速遞401 在邊長為1的正三角形紙片的邊上分別取兩點，使沿線段折疊三角形紙片后，頂點正好落在邊（設為），在這種情況下，的最小值為 解：設，則由對稱性可知，所以所以在中由正弦定理得又，所以當，即時2（陜西高考）兩人進行乒乓球比賽，先贏3局者獲勝，決出勝負為止，則所有可能出現(xiàn)的情形（各人輸贏局次不同視為不同情形）共有 種解法一：比賽場數(shù)至少3場，至多5場當為3場時，情況為甲或乙連贏3場，共2種當為4場時，若甲贏，則前三場中甲贏2場，最后一場甲贏，共有種情況同理若乙贏，也有3種情況，共有6種情況當為5場時，前4場，甲乙各贏2場，最后一場勝出的

25、人贏，共有種綜上，共有20種情況解法二：將5場比賽都比完，贏的人定為三勝兩負（沒打的比賽就算輸）則問題轉化為最終的勝利者從5場比賽里選2場輸即可，有種結果所以甲、乙兩人共有種解法三：設甲贏=1，甲輸=0， 按照第一輪甲贏或甲輸兩種情況分類，列樹狀圖羅列（以甲贏為例，出現(xiàn)三個1或三個0結束）樹梢末端共有10個，所以共有20種好題速遞411已知，函數(shù)，若函數(shù)有6個零點，則實數(shù)的取值范圍是 解：令，則函數(shù)有6個零點等價于恰有三個實根且對應有6個實根函數(shù)與圖象有三個交點，其橫坐標分別為如圖所示，其中最小的根結合圖象可知，要滿足有6個實根需使，且解得2集合，其中，則集合中滿足條件：“中最小，且”的元素有

26、 個解：本題可理解為涂色問題，四個格子，相鄰兩格不同數(shù)字，頭尾兩個數(shù)字也不同，且第一格數(shù)字最小第一格填1，則第二格有種選擇，第三格填的數(shù)字與第一格相同填1，則第四格有種選擇，因此共9種選擇；第一格填2，則第二格有種選擇，第三格填的數(shù)字與第一格相同填2，則第四格有種選擇，因此共4種選擇；第一格填3，則第二格有1種選擇填4，第三格填的數(shù)字與第一格相同填3，則第四格有1種選擇填4，因此共1種選擇；第一格填1，則第二格有種選擇，第三格填的數(shù)字與第一格不同有種選擇，則第四格有種選擇，因此共12種選擇；第一格填2，則第二格有種選擇，第三格填的數(shù)字與第一格不同有種選擇，則第四格有1種選擇，因此共2種選擇；因

27、此共有種好題速遞421 已知函數(shù)的圖象過點，且對任意的都有不等式成立若函數(shù)有三個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是 解：由題夾逼形式知，令，解得當時，即，所以又，即 所以再由對任意的恒成立即且對任意的恒成立所以，解得，所以函數(shù)有三個不同的零點即有三個不同零點則必有在上有一解，且在上有兩解由在上有一解得或，即或由在上有兩解轉化為有兩解即二次函數(shù)與一次函數(shù)相切的臨界狀態(tài)由解得結合圖象得2 若 的二項展開式中第5項為常數(shù)項，則 答案：T5Cn4(x2)n4()4Cn4x2n12，令2n120，得n6好題速遞431 在平面直角坐標系中，若動點到直線，的距離分別為滿足，則的最大值為 解： ，得畫出可行域如圖

28、，是個平行四邊形可以視為平行四邊形上的點到原點的距離的平方故當取或時，2 由0，1，2，3，4，5六個數(shù)字可以組成_個數(shù)字不重復且2，3相鄰的四位數(shù)答案：60好題速遞441對于實數(shù) ，定義運算“”： 已知實數(shù)滿足，則的最小值為 解：等價于上的點與上的點連線段的最小值，也就等價于圓心與上的點連線長度的最小值減1所以當且僅當時，2 若，則 答案：256好題速遞451在面積為2的中，分別是的中點，點在直線上，則的最小值是 解：取的中點為，連接，則由極化恒等式得此時當且僅當時取等號2某高校外語系有8名志愿者，其中有5名男生，3名女生，現(xiàn)從中選3人參加某項比賽的翻譯工作，若要求這3人中既有男生，又有女生，則不同的