高考數(shù)學一輪復習 4-1.1相似三角形精品課件 新人教版

1、選修選修4-1 幾何證明選講幾何證明選講第一講第一講 相似三角形的判定及有關(guān)相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)性質(zhì)回歸課本回歸課本相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)1.平行線等分線段定理平行線等分線段定理:如果一組平行線在一條直線上截得線如果一組平行線在一條直線上截得線段相等段相等,那么在其他直線上截得的線段那么在其他直線上截得的線段也相等也相等.推論推論1:經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第平分第三邊三邊.推論推論2:經(jīng)過梯形一腰的中點經(jīng)過梯形一腰的中點,且與底邊平行的直線且與底邊平行的直線平分另一腰平分另一腰.2.平行線分線段成

2、比例定理平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線三條平行線截兩條直線,所得的所得的對應(yīng)線段對應(yīng)線段成比例成比例.推論推論:平行于三角形一邊的直線截其他兩邊平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段所得的對應(yīng)線段成比例成比例.3.相似三角形的性質(zhì)定理相似三角形的性質(zhì)定理:相似三角形對應(yīng)高的比相似三角形對應(yīng)高的比 對應(yīng)中線對應(yīng)中線的比的比 對應(yīng)角平分線的比都等于對應(yīng)角平分線的比都等于相似比相似比;相似三角形周長的比相似三角形周長的比 外接圓的直徑比外接圓的直徑比 外接圓的周長比都外接圓的周長比都等于等于相似比相似比;相似三角形面積的比相似三角形面積的比 外接

3、圓的面積比都等于外接圓的面積比都等于相似比的平方相似比的平方;4.直角三角形的射影定理直角三角形的射影定理:直角三角形斜邊上的高是直角三角形斜邊上的高是兩直角邊兩直角邊在斜邊上的射影在斜邊上的射影的比例中項的比例中項;兩直角邊分別是它們在斜邊兩直角邊分別是它們在斜邊上上射影射影與與斜邊斜邊的比例中項的比例中項.考點陪練考點陪練1.如圖如圖,D E分別是分別是ABC的邊的邊AB AC上的點上的點,DEBC,且且2,那那ADE與四邊形與四邊形DBCE的面積比是的面積比是_.ADDBDBCE2:42,39S4.5ADEABCADESADADDBABSS四邊形解析故45:答案2.如圖如圖,AA1與與B

4、B1相交于點相交于點O,ABA1B1且且AB= A1B1.若若AOB的外接圓的直徑為的外接圓的直徑為1,則則A1OB1的外接圓的直徑為的外接圓的直徑為_.解析解析:ABA1B1且且AB= A1B1,AOBA1OB1,兩三角形外接圓的直徑之比等于相似比兩三角形外接圓的直徑之比等于相似比.A1OB1的外接圓直徑為的外接圓直徑為2.答案答案:23.(2010湛江質(zhì)檢湛江質(zhì)檢)如圖如圖,在在RtABC中中,ACB=90,CDAB于點于點D,CD=2,BD=3,則則AC=_.22:CDAD DB,AD,ACAD4344133.33B3AACAD AB解析 由射影定理又33:2 1答案4.如圖所示如圖所示

5、,ABC中中,D為為BC中點中點,E在在CA上且上且AE=2CE,AD BE交于交于F,則則_ , _.AFBFFDFE:,BEG,DG,DBC.DGCE,CE2DG.AE2CEAE4DG,EF4GF.BGGEGFEF5GF,BF64.4,4,63.42GF.AEDGAFAEEFAFDFDGGFDFBFGFEFGF解析 如圖所示 取中點連接又 為中點則且即從而同理又則32:4答案5.一直角三角形的兩條直角邊之比是一直角三角形的兩條直角邊之比是1: 3,則它們在斜邊則它們在斜邊上的射影的比是上的射影的比是_.解析解析:如圖如圖,在直角三角形在直角三角形ABC中中,BCAC=13,作作CDAB于于

6、D,由射影定理得由射影定理得BC2=BDAB,AC2=ADAB,則則故它們在斜邊上的射影的比是故它們在斜邊上的射影的比是1: 9.答案答案:1: 9221,9BCBDACAD類型一類型一平行線平行線(等等)分線段成比例定理分線段成比例定理解題準備解題準備:解決此題的關(guān)鍵是找出平行線等分線段定理的基解決此題的關(guān)鍵是找出平行線等分線段定理的基本圖形本圖形,看清楚被平行線組截得的線段看清楚被平行線組截得的線段.【典例【典例1】 如圖如圖,F為為ABCD邊邊AB上一點上一點,連接連接DF交交AC于于G,并延長并延長DF交交CB的延長線于的延長線于E.求證求證:DGDE=DFEG. 分析分析 由于條件中

7、有平行線由于條件中有平行線,考慮平行線考慮平行線(等等)分線段定理及分線段定理及推論推論,利用相等線段利用相等線段(平行四邊形對邊相等平行四邊形對邊相等),經(jīng)中間比代換經(jīng)中間比代換,證明線段成比例證明線段成比例,得出等積式得出等積式.ABCD,AD BC,AB DC,ADBC.AD BC,AB D.C,DG D,.,EDF EGDGADDFBCADEGECDEECECDGDFEGDE證明四邊形是平行四邊形又即 反思感悟反思感悟 在有關(guān)比例問題的證明中在有關(guān)比例問題的證明中,要結(jié)合平行線分線段要結(jié)合平行線分線段成比例定理成比例定理,構(gòu)造平行線解決構(gòu)造平行線解決.平行線分線段成比例定理是平行線分線

8、段成比例定理是幾何選講的基礎(chǔ)內(nèi)容幾何選講的基礎(chǔ)內(nèi)容,要熟練掌握要熟練掌握.類型二類型二相似三角形的判定及性質(zhì)相似三角形的判定及性質(zhì)解題準備解題準備:相似三角形的判定及性質(zhì)的運用相似三角形的判定及性質(zhì)的運用,是幾何證明的基是幾何證明的基礎(chǔ)礎(chǔ),要注意比例線段在研究相似圖形中的作用要注意比例線段在研究相似圖形中的作用.應(yīng)用三角形應(yīng)用三角形相似既可推理證明相似既可推理證明,還可以計算線段的長度還可以計算線段的長度,我們常常利用我們常常利用相似三角形的性質(zhì)找出幾何圖形中的等量關(guān)系相似三角形的性質(zhì)找出幾何圖形中的等量關(guān)系,列方程計列方程計算出未知量的值算出未知量的值.【典例【典例2】 如圖所示如圖所示,梯

9、形梯形ABCD中中,ABCD,且且AB=2CD,E F分別是分別是AB BC的中點的中點,EF與與BD相交于點相交于點M.(1)求證求證:EDMFBM;(2)若若DB=9,求求BM. 1DE CB;21,DEBF2,BM1.3DMDEBMBFDB分析可由已知條件證由可得又因為：故 解解 1)證明證明:E是是AB的中點的中點,AB=2EB.AB=2CD,CD=EB又又ABCD,四邊形四邊形CBED是平行四邊形是平行四邊形.CBDE,EDMFBM. .132.EDMFBM,FBC,DE2BF.DM2BM3,BMDMDEBMBFDB是的中點反思感悟反思感悟 判定兩個三角形相似要注意結(jié)合圖形性質(zhì)靈活選

10、判定兩個三角形相似要注意結(jié)合圖形性質(zhì)靈活選擇判定定理擇判定定理,若題目條件涉及平行線可選擇判定定理若題目條件涉及平行線可選擇判定定理1或判或判定定理定定理2.類型三類型三射影定理及應(yīng)用射影定理及應(yīng)用解題準備解題準備:直角三角形的射影定理是相似三角形性質(zhì)在直角直角三角形的射影定理是相似三角形性質(zhì)在直角三角形中的應(yīng)用三角形中的應(yīng)用,在直角三角形中在直角三角形中,靈活利用射影定理靈活利用射影定理,可簡可簡化某些命題的證明和線段的計算化某些命題的證明和線段的計算.特別提醒特別提醒:應(yīng)用射影定理有兩個前提條件應(yīng)用射影定理有兩個前提條件:是直角三角形是直角三角形;是斜邊上的高線是斜邊上的高線.【典例【典例

11、3】 如圖如圖,在在ABC中中,D F分別在分別在AC BC上上,且且ABAC,AFBC,BD=DC=FC=1,求求AC.分析分析 本題中有多處垂直關(guān)系本題中有多處垂直關(guān)系,要注意直角三角形射影定理要注意直角三角形射影定理的合理應(yīng)用的合理應(yīng)用. 解解 在在ABC中中,設(shè)設(shè)AC為為x,ABAC,AFBC,FC=1,根據(jù)射影定理得根據(jù)射影定理得:AC2=FCBC,即即BC=x2.再由射影定理得再由射影定理得:AF2=BFFC=(BC-FC)FC,222222242232232AFABC,DDEBCE,BDDC1,BEEC,AFBC,DEAF,DERt DEC,DEEC1.,1.1111,242,2

12、DC ,.xDEDCAFACDC AFxACxxxxxxxxAC 在中 過點 作于又在中即即即 反思感悟反思感悟 本題體現(xiàn)了基本圖形基本性質(zhì)的綜合應(yīng)用本題體現(xiàn)了基本圖形基本性質(zhì)的綜合應(yīng)用.還應(yīng)還應(yīng)該注意該注意,作垂線構(gòu)造直角三角形是解直角三角形時常用的作垂線構(gòu)造直角三角形是解直角三角形時常用的方法方法.錯源錯源分類不當分類不當 考慮不全致誤考慮不全致誤【典例】【典例】 已知已知AD是是ABC的的BC邊上的高邊上的高,若若AD2=BDCD,則則ABC的形狀是的形狀是_.剖析剖析 我們知道我們知道:在直角三角形中在直角三角形中,斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上的射影的比例中項斜邊

13、上的射影的比例中項.反之反之,因三角形的一邊上的高可因三角形的一邊上的高可能在三角形外能在三角形外,因此因此,原定理的逆命題是不成立的原定理的逆命題是不成立的,即題中即題中ABC不一定是直角三角形不一定是直角三角形.正解正解 若點若點D在線段在線段BC上上,如圖如圖(1)所示所示,由由AD2=BDCD,可證可證ABDCAD,從而可得從而可得ABC是直角三角形是直角三角形.若點若點D在在BC的延長線上的延長線上,如圖如圖(2)所示所示,則仍可證則仍可證ABDCAD,但但ABC是鈍角三角形是鈍角三角形.綜上所述綜上所述,ABC是直角三角形或鈍角三角形是直角三角形或鈍角三角形. 評析評析 在幾何圖形

14、中在幾何圖形中,分類討論的數(shù)學思想是一種重要的思分類討論的數(shù)學思想是一種重要的思想方法想方法,例如本題的三角形之高可能在三角形內(nèi)或三角形例如本題的三角形之高可能在三角形內(nèi)或三角形外外.又如直角三角形的直角頂點是哪一點又如直角三角形的直角頂點是哪一點,等腰三角形的腰等腰三角形的腰是哪兩邊是哪兩邊,相似三角形的對應(yīng)頂點是什么相似三角形的對應(yīng)頂點是什么,諸如此類諸如此類,必須分必須分類討論類討論.技法技法判定兩個三角形相似的幾種方法判定兩個三角形相似的幾種方法判定兩個三角形相似的幾種方法判定兩個三角形相似的幾種方法:兩角對應(yīng)相等兩角對應(yīng)相等,兩三角形兩三角形相似相似;兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等,兩三角形相似兩三角形相似;三邊三邊對應(yīng)成比例對應(yīng)成比例,兩三角形相似兩三角形相似;相似三角形的定義相似三角形的定義.【典例】【典例】 如圖如圖,已知已知ABCD中中,G是是DC延長線延長線上一點上一點,AG分別交分別交BD和和BC于于E F兩點兩點,證證明明:AFA