解三角形的基本題型講解學(xué)習(xí)(20210411211234)

1、解三角形的基本題型 睢縣回族高級(jí)中學(xué)楊少輝 解三角形問題是咼考的一種基本問題，可以說是?？? F面就這類問題來做個(gè)總結(jié)，有不對(duì)的地方希望大家指正 八與解三角形有尖的公式、定理=結(jié)論： （根據(jù)合比定理） 2R,（R是ABC的外接圓半徑） sin A sin B sinA sinB sin C 2、余弦定理：a2 b2 c22bccosA b a c 2accosB cab2 2abcosC 余弦定理的變形：sin2 A 22 sin B sin C 2sinBsinCcos A 2 2 sin2 B sin A sin C 2sin Asin Ceos B 1、正弦定理: 正弦定理的變 Sin2

2、 C qin A cin R 2Qin AQinRnncC a b C2R,（R是ABC的外接圓半徑） sin A sin B sin C a: b: c sin A:si nB:si nC : 3、三角形面積公式: （1） S ABC 底高； 2 （2）（兩邊及夾角）Sabc 丄 abs inC - besi nA 222 2 sin A.sin B . C sin (A B) (3)(兩角及夾邊) S ABC 1 2SinB.sinC 1,2sin A.sinC ab - 2 sin (B C) 2 sin (A C) （4）（兩角及對(duì)邊） 1 2 sin(A B).sin B 1 2 S

3、 abc a 2 sin A si n B C .si nC 1 2 si nA C .sinA bc - 2sin B2sinC sin B (5)(三邊) p-_b_c ； SABc.ppapbpc ;其中 （6）（代入正弦定理） Sabc 2R2sinAsi nBsin abc 云； 1 S abc -abc .r;（其中r為內(nèi)切圓半徑）; 4、三角形中的邊角尖系: ABC ,A B C, 轉(zhuǎn)化為三角函 數(shù)： sin A B sin C,cos cosC AB sin 6 COS ,cos sinC 大邊對(duì)大 角 ab AB si nA si nB cosA cosB ab AB si

4、nA si nB cosA cosB 銳角與鈍角的判 定. 角A為銳角 2a .2 2 b c sinA cosA 角A為直角 2a .2 2 b c sinA cosA 角A為鈍角 2a .2 2 b c sinA cosA 銳角三角形中的邊角尖 AB A -B sinA cosB 1 22 、解三角形的常見題 型： 題型一：已知兩邊及對(duì)角，判斷三角形解的個(gè)數(shù); 例1根據(jù)已知條件，判斷下列ABC解的個(gè)數(shù)： (1 ) a7,b14, A3O0 ；( 2) b 4,c 5, B 30。； (3) b25, c3,C 150。；( 4) a 1,b . 3, B 60。； 解析：顯然應(yīng)使用正弦定理

5、： ()，故：I，解得：SinB B o, 6，由 sinA sinB1 sin B6 2 圖形可知： J 直線y 1與y SinB只有唯一的交點(diǎn)，所以：只有唯一解; (2)由爲(wèi)盞解得：庇5，C吟；實(shí)際就是研究 圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；由圖像知： 有兩個(gè)交點(diǎn)，即：有兩個(gè)解; (3)由旦丄解得： si nB sinC sin B 6廠這樣的角B不存在，無解; 由旦一解得： sin A 1 ，又 0A；故：A -； sinA ei c口 2 36 (變式1)已知ABC中, j,A 若此三角形有兩個(gè)解， 求邊b的取值范圍？ 分析：由正弦定理知： a sinA b si 3sinB ；只需: 3S in X，

6、X有兩個(gè)不同的交點(diǎn)即可；由圖像可知: y 2 (變式2) (1 )在 ABC 中， sin A 4 5 A cosB ，求 cosC ； (2)在 ABC 中， sin A 4 5 cosB 13 分析： 4 CT- J、* (1)由于 cosC cos A *12 sinAsinB cosAcosB ； sin B :尖鍵 13 是cosA的正負(fù)；也就是分析角A是銳角還是鈍角；即: 交點(diǎn)的情況；如圖：只有一個(gè)交點(diǎn)，角 A cos A 33 云 4 y 5 y sin x,x 0, B 是一個(gè)銳角；即: c4 1253 cosC 5 13 135 cosC 33或 56 ； 總結(jié)：解決這類問題

7、一般用正弦定理，轉(zhuǎn)化成圖像交點(diǎn)的個(gè) 數(shù)問 題； 題型二：利用正弦定理求外接圓半徑； 例2、直三棱柱ABC A1B1C1中，BBi 2,BC 1,A一，求其外接球 6 的表面積； 分析：此題的尖鍵是確定球心的位置并求球的半徑；如圖： OiC為ABC的外接圓半徑；由正弦定理: 2COi匹；解得: sin A COi1，00門；球的半徑OC2，故：球的表面積為8 ； （變式）二面角I為，點(diǎn)P為二面角內(nèi)部一點(diǎn)，點(diǎn)P 3 到面和面的距離分別為1和2;求點(diǎn)P到直線I的距離；分析：先 作出P到直線I的距離，然后放入一個(gè)三角形求解； 過點(diǎn)P作PA于點(diǎn)A過點(diǎn)P作PB于點(diǎn)B,過點(diǎn)A作AC I于點(diǎn)C；可 得：PC為

8、所求距離；顯然，A、B、C、P四點(diǎn)共圓；PC為ABC 外接圓直徑； ABC 中，由余弦定理知: AB2 AC2 BC2 2.AC.BC.cos ACB ； AB 3 ； PC 塑 32 ； sinC V3 2 題型三：判斷三角形的形狀； 例3、在ABC中，已知a2tanB b2tanA，判斷ABC的形狀； 分析：判斷三角形的形狀，一般有兩條思路： （D證明角的 矢系；（2）證明邊的尖系； 法一：將角轉(zhuǎn)化成邊； 原式轉(zhuǎn)化為：a?泌b2泌，代入正弦定理：一 一，應(yīng) cosB cosAcosB cosA 用余弦定理可得：a心b /進(jìn)一步化簡(jiǎn)得： 2bc2ac a4 a2c2 b4 b2c20 ; a

9、2 b2 c2 a2 b2 0 ；故：a? b2 sinAcosC 3cos AsinC 可彳匕為： acosC 3ccosA ； 2.22222 繼續(xù)應(yīng)用余弦定理轉(zhuǎn)化可得：3C.bc； 2ab2bc ；解得: / 4 2 化簡(jiǎn)得：2 a? (1) 求角A； (2) 若 a 2,Sabc 3，求 b,c ； 解析： (1)邊化 sinA cosC . 3sinAsinC sinB sinC 0 ； 統(tǒng)角：sinAcosC 3sinAsinC sin A C sinC 0 化簡(jiǎn)得:、3sinAs inC si n Ceos A si nC 0 ； 進(jìn)一步化簡(jiǎn)可得：si nA-AO,；解得：A；

10、623? (2)從第一問A -得到啟發(fā)面積公式應(yīng)用： 3 1 S abc bcsi nA、3 2 可以解出be 4 ；從be 4再聯(lián)想到余弦定理；a2 b2 c2 2bc cos A ； 代入數(shù)據(jù)可得：b2 c2 8 ；兩式聯(lián)立解得：b 2,c 2 ； (變式)在ABC中，已知sinB-，且a,b,c成等比數(shù)列； 13 (D求一的值； tan A tan C (2 )若 accosB12,求 ac 的值； 總結(jié)：解決此類問題,變角轉(zhuǎn)化是矢鍵,統(tǒng)一變量是目的; 題型五：三角形中的取值范圍問題； 例7、在ABC中/已知acosC c b ； 2 (1) 求角A的大??； (2) 若，求ABC周長(zhǎng)及面

11、積的取值范圍； 解析： (1 ) sin AcosC 化簡(jiǎn)得：cos A sisinB，即： sin AcosCsisin A C ； nCnC (2)法一：轉(zhuǎn)化為邊; 由余弓玄定 a21 b2 c2 be ；周長(zhǎng) 1 a b c 1 b c ;只需要 求be的取值范圍即可；由三角形的性質(zhì)知:bca1 ；由基 本不等式可得： 滸 sin CPB sin BEP 所以，在RT BOP中，OP 30米 例10、如圖，在ABC中，已知點(diǎn)D在BC邊上/ AD AC, sin BAC 2-2,AB 3,2, AD 3,貝 U BD 的長(zhǎng)為 3 分析： 在ABD中：cos BAD乙2 ；由余弦定理可知：

12、3 BD2 AB2 AD2 2AB.AD cos BAD，解得：BD 19 ； 例11、（2013年高考新課標(biāo)1 （理）如圖，在厶ABC 中,/ ABC=90 ,AB=羽，BC=1，PABC 內(nèi)一點(diǎn)，/ BPC=90 若 PB=2,求 PA;若/ APB950,求 tan / PBA 解析：由已知得,/ PBCno。，./ PBA二30, A PBA中，由余弦 定理得 PA2 =3 1 2 V3 1 cos30=7, PA=A ； 4 242 由正弦定理 (2)設(shè)/ PBA=,由已知得,PB=sin,在厶PBA中， 得，sinl5o o sin （30。），化簡(jiǎn)得，3C0S4S， tan PB

13、A = 3 例1 1、在ABC中，A 1200，角A的角平分線AD交邊BC于點(diǎn) D,且 AB=2, CD=2DB 求 AD 的長(zhǎng)； 解析：如圖： 在ABD中用正弦定理得： 在ACD中用正弦定理得: BD sin 60。 AR sin ADB CDAC sin 60 sin ADC, 兩式聯(lián)立得：AC匹1 AB DC 2 1 S abc AB. AC .sin120 3S abd 2 例 12、在 abc 中，AB=2 BADsn6。0 ；解得：AD 3 ； bc 是 AC 上一點(diǎn)，且 AD=2CD sin乎呂，求BD的長(zhǎng); 解析：如圖: B D 先解出cos ABC O ； 法一：借助平面向量；BA禾口向量BC是二組很好的基底; BD -BA -BC 根據(jù)模長(zhǎng)公式： 33