構(gòu)造法證明不等式

1、精品資料歡迎下載構(gòu)造法證明不等式（一）1、利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性極值和最值，再由單調(diào)性來(lái)證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個(gè)難點(diǎn)，也是近幾年高考的熱點(diǎn)2、解題技巧是構(gòu)造幫助函數(shù)， 把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性或求最值， 從而證得不等式， 而如何依據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)構(gòu)造一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵一、移項(xiàng)法構(gòu)造函數(shù)【例 1】已知函數(shù)【分析】f xln x1x ，求證： 當(dāng) x1 時(shí)，恒有 11x1ln x1x 此題是雙邊不等式，其右邊直接從已知函數(shù)證明，左邊構(gòu)造函數(shù)g xln x111 ，從其導(dǎo)數(shù)入手即可證明 x1【解析】由題意得：f x11x1x，當(dāng)x11x0

2、時(shí)， f x0 ，即f x 在x1, 0 上為增函數(shù)；當(dāng) x0 時(shí)， f x0 ，即f x 在 x0 , 上為減函數(shù)；故函數(shù) fx的單調(diào)遞增區(qū)間為 1 , 0，單調(diào)遞減區(qū)間0 , ；于是函數(shù)f x 在 1,上的最大值為f x maxf00 ，因此，當(dāng) x1 時(shí)，f xf 00 ，即ln x1x0 ，ln x1x （右面得證） 現(xiàn)證左面，令g xln x111 ， 就g x1 x1x1x11 2x x1 2 ，當(dāng)x1, 0 時(shí)，gx0 ；當(dāng) x0 , 時(shí)，g x0 ，即g x 在 x 1 , 0 上為減函數(shù)，在 x0 , 上為增函數(shù)，故函數(shù)g x 在 1 , 上的最小值為g xming 00 ，

3、 當(dāng) x11時(shí)，g xg010 ，即 ln x1110 ，x1ln x11綜上可知：當(dāng) xx11時(shí)，有1x1ln x1x 【點(diǎn)評(píng)】假如f a 是函數(shù)f x 在區(qū)間上的最大（?。┲担陀衒 xf a （或f xf a ），那么要證不等式，只要求函數(shù)的最大值不超過(guò)0 就可得證2、作差法構(gòu)造函數(shù)證明【例 2】已知函數(shù)f x1 x22ln x ，求證：在區(qū)間1 , 上，函數(shù)f x 的圖象在函數(shù)g x23x 的圖象的下方3【分析】函數(shù) f x 的圖象在函數(shù)g x 的圖象的下方不等式f xg x在 1 , 上恒成立問(wèn)題，即1 x 22ln x2 x3 ，只需證明在區(qū)間31, 上，恒有1 x22ln x2

4、x 3 成立，3設(shè) f xg xf x ，x1 , ，考慮到f 11 0 ，要證不等式轉(zhuǎn)化變?yōu)椋?當(dāng) x1 6時(shí)， f xf 1 ，這只要證明：g x 在區(qū)間1 , 是增函數(shù)即可【解析】設(shè) f xg xf x ，即f x2 x 331 x 22ln x ，就f x2 x2x1 x x1 2 x2xx1；當(dāng) x1時(shí)，f xx1 2x 2xx10 ，從而f x 在 1, 上為增函數(shù)，f x1f 160 ，當(dāng) x1 時(shí)，g xf x0 ，即f xg x ，故在區(qū)間1,上，函數(shù)f x 的圖象在函數(shù)g x2 x3 的圖象的下方3【點(diǎn)評(píng)】此題第一依據(jù)題意構(gòu)造出一個(gè)函數(shù)（可以移項(xiàng)，使右邊為零， 將移項(xiàng)后的左

5、式設(shè)為函數(shù)），并利用導(dǎo)數(shù)判定所設(shè)函數(shù)的單調(diào)性，再依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義， 證明要證的不等式 讀者也可以設(shè)f xf xg x做一做，深刻體會(huì)其中的思想方法3、換元法構(gòu)造函數(shù)證明【例 3】（ 2007 年山東卷）證明：對(duì)任意的正整數(shù)n ，不等式【分析】ln 111nn 213 都成立n此題是山東卷的第（2）問(wèn)，從所證結(jié)構(gòu)動(dòng)身，只需令1x ，就問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：當(dāng) x0 n時(shí)，恒有l(wèi)n x1x2x3 成立，現(xiàn)構(gòu)造函數(shù)h xx3x 2ln x1) ，求導(dǎo)即可達(dá)到證明【解析】令 hxx3x 2ln x1) ，就h x3x 22 x1x13x3x1 2在x1x0 , 上恒正，函數(shù)hx 在 0 , 上單調(diào)遞增， x

6、0 , 時(shí)，恒有h xh0 10 ，即 x 3x2ln x10 ， ln x1x2111x3 ，對(duì)任意正整數(shù) n，取x0 ,n ，就有l(wèi)n123 nnn【點(diǎn)評(píng)】 我們知道， 當(dāng) f x在 a , b 上單調(diào)遞增， 就 xa 時(shí)，有f xf a 假如f a a ，要證明當(dāng) xa 時(shí)，f x x ，那么，只要令f x f x x ，就可以利用 f x 的單調(diào)增性來(lái)推導(dǎo) 也就是說(shuō)， 在 f x 可導(dǎo)的前提下， 只要證明f x0 即可4、從條件特點(diǎn)入手構(gòu)造函數(shù)證明【例 4】如函數(shù) yf x在 r上可導(dǎo)， 且滿意不等式xf xf x恒成立， 常數(shù) a 、b 滿足 ab，求證：af abf b 【解析】由

7、已知： xf xf x0 ，構(gòu)造函數(shù)f xxf x ，就f xxf xf x0 ，從而 f x 在 r上為增函數(shù)， ab ，f af b ，即af abf b 【點(diǎn)評(píng)】由條件移項(xiàng)后xf xf x，簡(jiǎn)單想到是一個(gè)積的導(dǎo)數(shù)，從而可以構(gòu)造函數(shù)f xxf x，求導(dǎo)即可完成證明如題目中的條件改為xf xf x ，就移項(xiàng)后xf xf x ，要想到是一個(gè)商的導(dǎo)數(shù)的分子，平常解題多留意總結(jié)5、主元法構(gòu)造函數(shù)【例 5】已知函數(shù)f xln 1xx ， g xx ln x （1）求函數(shù)f x 的最大值；（2）設(shè) 0【分析】ab，證明： 0gagb2g ab 2ba ln 2 對(duì)于第（ 2）小問(wèn)，絕大部分的同學(xué)都會(huì)望

8、而生畏同學(xué)的盲點(diǎn)也主要就在對(duì)所給函數(shù)用不上 假如能挖掘一下所給函數(shù)與所證不等式間的聯(lián)系，想一想大小關(guān)系又與函數(shù)的單調(diào)性親密相關(guān)， 由此就可過(guò)渡到依據(jù)所要證的不等式構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，借助單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，以期達(dá)到證明不等式的目的【解析】（1） 過(guò)程略；（2） 對(duì) g xx lnx 求導(dǎo)， 就g xln x1 在 gagb2g ab 中以 b 為主變2元構(gòu)造函數(shù)，設(shè)f xg ag x2 g a2x ，就f xg x2 g a2x ln xln ax 2當(dāng) 0xa 時(shí)， f x0 ，因此f x在 0 , a 內(nèi)為減函數(shù)； 當(dāng) xa 時(shí)， f x0 ，因此f x 在 a

9、, 上為增函數(shù) 從而當(dāng)xa時(shí)，f x 有微小值f a ，f a0 ， ba ，f b0 ，即gagb2g ab 20 又設(shè)g xf x xa ln2 ，就g xln xln ax 2ln 2ln xln ax ；當(dāng) x0 時(shí)，g x0 因此g x 在0 , 上為減函數(shù)，g a0 ， ba ，gb0 ，即g agbab2 g 2ba ln 2 6、構(gòu)造二階導(dǎo)函數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性（二次求導(dǎo)）【例 6】已知函數(shù)f xaex1 x2 2（1） 如f x 在 r 上為增函數(shù)，求 a 的取值范疇；（2） 如 a1，求證：當(dāng) x0 時(shí)，f x1x 【解析】（1） f xae xx ，f x 在 r上為增函數(shù)

10、， f x0 對(duì) xr 恒成立， 即 axe x對(duì) xr 恒成立；記 g xxe，就 g xe xxe x1xex ；當(dāng) x1 時(shí)，g x0 ；x當(dāng) x1時(shí)， g x0 知g x 在 ,1 上為增函數(shù)， 在1 , 上為減函數(shù)， g x 在x1 時(shí)，取得最大值，即g xmaxg11 ， a1 ，即 a 的取值范疇是ee 1 , e（2） 記f xf x1xex1 x2x21 （ x0 ），就f xexx1 ，令h xf xexx1 ，就h xex1；當(dāng) x0 時(shí)， h x0 ， h x在 0 ,上為增函數(shù)， 又 hx 在 x0 處連續(xù)， hxh00 ，即 f x0 ， f x 在 0 ,上為增函

11、數(shù)，又f x 在 x0 處連續(xù)，f xf 00 ，即f x1x 【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)函數(shù)取最大（或最?。┲禃r(shí)不等式都成立，可得該不等式恒成立，從而把不等式的恒成立問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題不等式恒成立問(wèn)題，一般都會(huì)涉及到求參數(shù)范疇，往往把變量分別后可以轉(zhuǎn)化為mf x（或 mf x）恒成立， 于是 m大于f x 的最大值（或 m 小于 f x 的最小值），從而把不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題因此，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值是解決不等式恒成立問(wèn)題的一種重要方法7、對(duì)數(shù)法構(gòu)造函數(shù)（選用于冪指數(shù)函數(shù)不等式）【例 7】證明：當(dāng) x0 時(shí)，1 11 x 1xxe 2【解析】對(duì)不等式兩邊取對(duì)數(shù)得11x ln1x1x，

12、化簡(jiǎn)為221x ln1x2 xx2 ，設(shè)幫助函數(shù)f x2 xx221x ln1x （ x0 ），f x2x2nl1x ，又f x2x0 （ x0 ），易知f x 在 0 , 上嚴(yán)格單調(diào)增加，從而1xf xf 00 （ x0 ），又由f x 在 0 , 上連續(xù)，且f x0 ，得f x 在 0 , 上嚴(yán)格單調(diào)增加， f xf 00（ x0 ），即 2 xx21x ln1x0 ，221 11 x （）2 xx21x ln1x ，故 1xxe2x08、構(gòu)造形似函數(shù)【例 8】證明：當(dāng) bae，證明abba 【分析】此題目具有冪指數(shù)形式，對(duì)不等式兩邊分別取對(duì)數(shù)得b ln aa ln b，整理為1 ln a a1 ln b ，在此基礎(chǔ)上依據(jù)“形似”構(gòu)造幫助函數(shù)bf x1 ln xx ，再依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明之【解析】不等式兩邊分別取對(duì)數(shù)得b ln aa ln b ，可化為1 ln a a1 ln b 令bf x1 ln xx ，顯然 f x 在 e , 內(nèi)連續(xù)并可導(dǎo)，f x1 ln x1x 2x21 1x2ln x0（ xe ），故f x 在 e , 內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)遞減，由bae得：f