2021年中考數(shù)學(xué)《“3

1、“3,4,5直角三角形的奇思妙想 提到三邊長都是整數(shù)的直角三角形，我們往往首先想到的就是邊長為“3,4,5的直角三角形.早在西漢時期，算書?周髀算經(jīng)?中就有“勾三股四弦五的記載.其實，我們對“3,4,5直角三角形進一步探究，還能發(fā)現(xiàn)一些有趣且有用的結(jié)論. 一、根底準(zhǔn)備如圖1 , 中，顯然.延長至點，使得，連結(jié)，那么是等腰三角形，.在中，同樣方法，可求得同時提煉如下：,.用文字語言表述為: 如果兩個銳角的正切值分別為，那么這兩個銳角的和為. 我們不妨用約定符號將上述結(jié)果簡記為“+“=.(其中“，“分別表示正切值為，的銳角) 下面我們運用此結(jié)論來解決問題，并與常規(guī)解法進行比擬.二、運用策略 例1

2、如圖2，在的網(wǎng)格中標(biāo)出了和，那么 . 解法1 構(gòu)造三角形，從而發(fā)現(xiàn)和間的關(guān)系.如圖3，顯然，并且，,. 解法2 利用“+“=的結(jié)論解決問題. 圖2中，.根據(jù)結(jié)論“如果兩個銳角的正切值分別為，那么這兩個銳角的和為，得. 例2 如圖4，正方形的邊長為，點、分別在，上，假設(shè)，且，那么的長為( )(A) (B) (C) (D) 解法1 通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形.適當(dāng)假設(shè)線段長，利用勾股定理得出等量關(guān)系式，最終求出的長. 解 如圖5，延長到，使，連結(jié)、.四邊形為正方形，,，,.設(shè),那么，.在中,.解得，那么.應(yīng)選A解法2 利用“+“=的結(jié)論求解.易見圖4中，,且.根據(jù)“+“=，得,.在中，求得.應(yīng)選

3、A.點評 比擬兩種做法，我們發(fā)現(xiàn)利用“+“=解決問題更加方便快捷.再來一題試試看吧!例3 如圖6，在中，是邊上的高，那么的長為 . 解法一 構(gòu)造正方形，利用勾股定理求長. 如圖7，分別以、為對稱軸，畫出、的軸對稱圖形，點的對稱點為、，延長、相交于點，得到四邊形是正方形.根據(jù)對稱的性質(zhì)，可得，.設(shè)，那么正方形的邊長是,.在中，根據(jù)勾股定理，可得, 解得:或(舍去). 故邊長是. 解法2 構(gòu)造全等三角形，利用相似求解.如圖8，過點作，垂足為，交于點.，.,.，.又,.設(shè)長為，即解得,即,.故答案為解法3 憑借直覺經(jīng)驗，利用“+“=求解.圖6中，聯(lián)想到“+“=，發(fā)現(xiàn)當(dāng)時，恰好有，, 從而知. 點評解法1、解法2中需要作輔助線，構(gòu)造全等或相似，利用勾股定理來求解，方法不容易想到，解決起來也比擬耗時。像這樣的選擇題、