復變函數習題答案第4章習題詳解

1、1.1)2)3)4)5)2.3.1)2)3)4)4.1)第四章習題詳解#F列數列2n 是否收斂？如果收斂,求出它們的極限:#1亠ni；1 - mi12n1n -n= e2 ；證明：lim an:不存在,判別下列級數的絕對收斂性與收斂性: n丄 n z2 In -#QOzn =06 5i n；8n#QOzn -0cos in。n下列說法是否正確？為什么？每一個幕級數在它的收斂圓周上處處收斂;2)3)5.6.1)2)3)4)5)6)7.&每一個幕級數的和函數在收斂圓內可能有奇點；每一個在z0連續(xù)的函數一定可以在 z0的鄰域內展開成泰勒級數。Q0幕級數7 cn z 一2 n能否在z=o收斂而在z =

2、 3發(fā)散?n蘭求下列幕級數的收斂半徑:（p為正整數）；Zn -4n zn -0ne zn d .In in如果送cnzn的收斂半徑為R，證明送（Re Cn ”的收斂半徑 R。提示：（Re c. z V Cnl n =0n -0證明：如果lim勺存在，下列三個幕級數有相同的收斂半徑、 cnzn ； 、上z；cnn + 1-n -1ncnz9.10111)2)3)4)5)6)7)8)121)2)設級數瓦cn收斂，而送cn發(fā)散，證明瓦cnzn的收斂半徑為1。n _0n _0n _0qQ如果級數二cnzn在它的收斂圓的圓周上一點 z0處絕對收斂，證明它在收斂圓所圍的閉區(qū)域上絕對收n q斂。把下列各函數

3、展開成z的幕級數，并指出它們的收斂半徑:1(1 +z2 )2cos z ；shz ；chz ；2z2e sin z ；1sin1 - z求下列各函數在指定點 z0處的泰勒展開式，并指出它們的收斂半徑:zozo3)Zo-114), Zo =1 i ;4 _3zl、n5) tgz ; Zo46) arctgz ； zo = 0。13.為什么在區(qū)域z cR內解析且在區(qū)間(R, R昭實數值的函數 f(z )展開成z的幕級數時，展開式的 系數都是實數？(1 14證明在f(z)= c o z i以z的各幕表出的洛朗展開式中的各系數為 I z丿1 2cncos 2 cos 二 cos n ：d；： , n

4、= 0， 1， 2,。提示：在公式 4.4.8 中，取 C 為 z = 1 ,2 ：.在此圓上設積分變量 =eL。然后證明Cn的積分的虛部等于零。15.下列結論是否正確?用長除法得z1111 亠 亠 亠 23z1z z z, zz因為01 - z z 1111 2 3 4所以2 yTzz 亠z 亠z =0z z z16.把下列各函數在指定的圓環(huán)域內展開成洛朗級數:11)；,1 S 2 ；(z +1_2 )2)3),Oz-1 C1 , 1Z_2 -He ；4)11 _Ze -,5)6)7)17.z-2，在以i為中心的圓環(huán)域內;1sin，在z =1的去心鄰域內;1 - Zz-1 z-2z -3 z -4,3czc4 ,4czv 畑。函數tgi1能否在圓環(huán)域o ：Zz ：: R O ：: R；展開成洛朗級數？為什么?18.如果k為滿足關系k2 : 1的實數，證明0nkn zGsinsin n 亠1、： -21 - 2k cos 9 + k0 k n cos n 1=n zGcos 二-k1 - 2k cos 亠 k 2提示：對Z a k展開1Z - k成洛朗級數，并在展開式的結果中置再令兩邊的實部與實部相等，虛部與虛部相等。19.如果C為正向圓周=3，求積