D105對(duì)坐標(biāo)曲面積分(7)課件

1、2021-10-15D105對(duì)坐標(biāo)曲面積分(7)第五節(jié)一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 二、二、 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì) 三、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法三、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法四、兩類曲面積分的聯(lián)系四、兩類曲面積分的聯(lián)系機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分 第十章 2021-10-15D105對(duì)坐標(biāo)曲面積分(7)一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 曲面分類雙側(cè)曲面單側(cè)曲面莫比烏斯帶莫比烏斯帶曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)曲面分左側(cè)和右側(cè)(單側(cè)曲面的典型) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 20

2、21-10-15D105對(duì)坐標(biāo)曲面積分(7)其方向用法向量指向方向余弦coscoscos 0 為前側(cè) 0 為右側(cè) 0 為上側(cè) 0 為下側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè) 設(shè) 為有向曲面,)(yxSSyxS)(側(cè)的規(guī)定 指定了側(cè)的曲面叫有向曲面, 表示 :其面元在 xoy 面上的投影記為,0)(yxyxS)(的面積為則規(guī)定,)(yx,)(yx,0時(shí)當(dāng)0cos時(shí)當(dāng)0cos時(shí)當(dāng)0cos類似可規(guī)定zxyzSS)( ,)(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-10-15D105對(duì)坐標(biāo)曲面積分(7)二、二、 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì) 1. 引例引例 設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的速度場(chǎng)為求單位

3、時(shí)間流過有向曲面 的流量 . S分析分析: 若 是面積為S 的平面, 則流量法向量: 流速為常向量: ),(),(),(zyxRzyxQzyxPv )cos,cos,(cosnvcosvS nvSnv機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-10-15D105對(duì)坐標(biāo)曲面積分(7)對(duì)一般的有向曲面 ,用“大化小, 常代變, 近似和, 取極限” ni 10lim0limni 1iiiiPcos),(iiiiRcos),(0limni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxiiiiSR)(,(iiiiQcos),(iS對(duì)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的速度場(chǎng)),(),(),(zyxRzy

4、xQzyxPv 進(jìn)行分析可得iniviiiSnv)cos,cos,(cosiiiin設(shè), 則 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-10-15D105對(duì)坐標(biāo)曲面積分(7)設(shè) 為光滑的有向曲面, 在 上定義了一個(gè)意分割和在局部面元上任意取點(diǎn),0limni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(分,yxRxzQzyPdddddd記作P, Q, R 叫做被積函數(shù)被積函數(shù); 叫做積分曲面積分曲面.yxiiiiSR)(,(或第二類曲面積分.下列極限都存在向量場(chǎng)xdydzdPQR),(),(),(zyxRzyxQzyxPA 若對(duì) 的任 則稱此極限為向量場(chǎng) A 在有向曲面上對(duì)坐標(biāo)的曲面積

5、2. 定義定義.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-10-15D105對(duì)坐標(biāo)曲面積分(7)引例中, 流過有向曲面 的流體的流量為zyPddxzQdd稱為Q 在有向曲面上對(duì)對(duì) z, x 的曲面積分的曲面積分;yxRdd稱為R 在有向曲面上對(duì)對(duì) x, y 的曲面積分的曲面積分.稱為P 在有向曲面上對(duì)對(duì) y, z 的曲面積分的曲面積分;yxRxzQzyPdddddd若記 正側(cè)正側(cè)的單位法向量為令)cos,cos,cos(n)dd,dd,d(dddyxxzzySnS) ),(, ),(, ),(zyxRzyxQzyxPA 則對(duì)坐標(biāo)的曲面積分也常寫成如下向量形式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)

6、束 2021-10-15D105對(duì)坐標(biāo)曲面積分(7)3. 性質(zhì)性質(zhì)(1) 若,1kiiki 1之間無公共內(nèi)點(diǎn), 則i且(2) 用 表示 的反向曲面, 則 SA dSASAddiSA dyxRxzQzyPddddddSnAdSA d機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-10-15D105對(duì)坐標(biāo)曲面積分(7)三、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法三、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法定理定理: 設(shè)光滑曲面yxDyxyxzz),( , ),(:取上側(cè),),(zyxR是 上的連續(xù)函數(shù), 則yxzyxRdd),() ,(yxDyxR),(yxzyxdd證證:0limni 1yxiiiiSR)(,(yxiS )(yx

7、i)( 取上側(cè),),(iiiz0limni 1) ,(iiR),(iizyxi)(yxx,yzyxRyxDdd)(,(yxzyxRdd),(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-10-15D105對(duì)坐標(biāo)曲面積分(7) 若,),( , ),(:zyDzyzyxx則有zyzyxPdd),(), (zy,PzyD),(zyxzydd 若,),( , ),(:xzDxzxzyy則有xzzyxQdd),() z, ,(xzDxQ),(xzyxzdd(前正后負(fù))(右正左負(fù))說明說明: 如果積分曲面 取下側(cè), 則yxzyxRdd),() ,(yxDyxR),(yxzyxdd機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返

8、回 結(jié)束 2021-10-15D105對(duì)坐標(biāo)曲面積分(7)例例1. 計(jì)算yxxzxzzyzyyxdd)(dd)(dd)(其中 是以原點(diǎn)為中心, 邊長(zhǎng)為 a 的正立方體的整個(gè)表面的外側(cè).解解: 利用對(duì)稱性.原式y(tǒng)xxzdd)(3 的頂部 ),(:2221aaayxz取上側(cè) 的底部 ),(:2222aaayxz取下側(cè)1dd)(3yxxzyxDyxxadd)2(3yxxz2dd)(yxxayxDdd)2(yxDyxadd333axzy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-10-15D105對(duì)坐標(biāo)曲面積分(7)解解: 把 分為上下兩部分2211:yxz根據(jù)對(duì)稱性0ddyxxyz 思考思考: 下

9、述解法是否正確:例例2. 計(jì)算曲面積分,ddyxxyz其中 為球面2x外側(cè)在第一和第八卦限部分. ozyx112yxD0,01:),(22yxyxDyxyx2221:yxz122zy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-10-15D105對(duì)坐標(biāo)曲面積分(7)yxDyxyxyxdd 1222221cossin2rryxDrrrd1210315220d2sinozyx112yxDyxzyxdd2ddyxzyx1ddyxzyxyxDyxxydd )1(22yx yxDyxxydd 221yx ddrr機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-10-15D105對(duì)坐標(biāo)曲面積分(7)例例3.

10、 設(shè)S 是球面1222zyx的外側(cè) , 計(jì)算SxxzyI2cosdd2解解: 利用輪換對(duì)稱性, 有Sxxzy2cosdd20cosddcosdd22SSzyxyxzSzzyxI2cosdd102221cos1drrrr102221cos1d4rr1tan4yxz2cosddzzyx2cosdd,cosdd22Szzyx122222221cos1ddyxyxyxyx20d22機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-10-15D105對(duì)坐標(biāo)曲面積分(7)四、兩類曲面積分的聯(lián)系四、兩類曲面積分的聯(lián)系ni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxRxzQzyPddddddyxiii

11、iSR)(,(0lim0limni 1iiiiPcos),(iiiiQcos),(iiiiRcos),(iSSRQPdcoscoscos曲面的方向用法向量的方向余弦刻畫機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-10-15D105對(duì)坐標(biāo)曲面積分(7)令yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscosSAnd向量形式),(RQPA )cos,cos,(cosn)dd,dd,d(dddyxxzzySnS SA dnAAnSnAd( A 在 n 上的投影)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-10-15D105對(duì)坐標(biāo)曲面積分(7)例例4. 位于原點(diǎn)電量為 q 的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)為

12、解解:Srqd2SRqd2q4。q)(),(22233zyxrzyxrqrrqE求E 通過球面 : r = R 外側(cè)的電通量 .SE dSnEdSrrdrrq3機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-10-15D105對(duì)坐標(biāo)曲面積分(7)yxz111例例5. 設(shè),1:22yxz是其外法線與 z 軸正向夾成的銳角, 計(jì)算.dcos2SzI解解: SzIdcos2yxzdd2rrrd)1(d210202yxDyxyxdd)1(22n機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-10-15D105對(duì)坐標(biāo)曲面積分(7)221cosyxx例例6. 計(jì)算曲面積分其中解解: 利用兩類曲面積分的聯(lián)系,

13、有zyxzdd)(2)(2xzSdcosyxddcoscosoyxz2 原式 =)( x )(2xzyxzdd,dddd)(2yxzzyxz旋轉(zhuǎn)拋物面)(2221yxz介于平面 z= 0 及 z = 2 之間部分的下側(cè). )(2xz2211cosyx 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-10-15D105對(duì)坐標(biāo)曲面積分(7)( xxyxD222)(41yx oyxz2原式 =)(2221yx yxyxxyxDdd)(22212rrrrd)cos(221220220d8yxdd得代入將,)(2221yxz機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-10-15D105對(duì)坐標(biāo)曲面積分(7

14、)內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)定義定義:Szyxfd),(iiiniiSf),(lim10yxRxzQzyPddddddzyiiiiniSP),(lim10yxiiiiSR),(1. 兩類曲面積分及其聯(lián)系兩類曲面積分及其聯(lián)系xziiiiSQ),( 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-10-15D105對(duì)坐標(biāo)曲面積分(7)性質(zhì)性質(zhì):yxRxzQzyPddddddyxRxzQzyPdddddd聯(lián)系聯(lián)系:yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscos思考思考:的方向有關(guān), 上述聯(lián)系公式是否矛盾 ?兩類曲線積分的定義一個(gè)與 的方向無關(guān), 一個(gè)與 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-

15、10-15D105對(duì)坐標(biāo)曲面積分(7)2. 常用計(jì)算公式及方法常用計(jì)算公式及方法面積分第一類 (對(duì)面積)第二類 (對(duì)坐標(biāo))二重積分(1) 統(tǒng)一積分變量代入曲面方程 (方程不同時(shí)分片積分)(2) 積分元素投影第一類： 面積投影第二類： 有向投影(4) 確定積分域把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面 注注：二重積分是第一類曲面積分的特殊情況.轉(zhuǎn)化機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-10-15D105對(duì)坐標(biāo)曲面積分(7)當(dāng)yxDyxyxzz),( , ),(:時(shí)，yxzzyxzyxfSzyxfyxDyxdd1),(,(d),(22yxyxzyxRyxzyxRyxDdd),(,(dd),(（上側(cè)取“

16、+”, 下側(cè)取“”)類似可考慮在 yoz 面及 zox 面上的二重積分轉(zhuǎn)化公式 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-10-15D105對(duì)坐標(biāo)曲面積分(7)思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. P167 題2提示提示: 設(shè),),( ,0:yxDyxz則 取上側(cè)時(shí),yxzyxRdd),(yxDyxyxRdd),(0 取下側(cè)時(shí),yxzyxRdd),(yxDyxyxRdd),(02. P184 題 13. P167 題3(3)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-10-15D105對(duì)坐標(biāo)曲面積分(7),),(Czyxf是平面1zyx在第四卦限部分的上側(cè) , 計(jì)算zyxzyxfIdd),(xzyzyxfdd),(2yxzzyxfdd),(提示提示: 求出 的法方向余弦,轉(zhuǎn)化成第一類曲面積分P167 題題3(3). 設(shè)作業(yè)作業(yè) P167 3 (1) ,(2) , (4) ; 4 (1), (2)SzyxId)(31Sd31yxxd3d01103121第六節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2021-10-15D105對(duì)坐標(biāo)曲面積分(7),ddddddzyxyxzxzyI備用題備用題 求求1:222222czbyax取外側(cè) .