MATLAB及基本運算分析

1、1.1 發(fā)展歷史1970s，創(chuàng)始人：Cleve Moler博士;1984年，Cleve Moler和John Little成立了 MathWorks公司，將MATLAB推上市場;1993年推出MATLAB4.0版;1997年推出5.0版;1998年推出5.2版;目前我們可以看到的最新版本為7.x版。 在歐美高校，MATLAB已經(jīng)成為線性代數(shù)、自動控制理論、數(shù)理統(tǒng)計、數(shù)字信號處理、時間序列分析、動態(tài)系統(tǒng)仿真等高級課程的基本教學工具；成為攻讀學位的本科生、碩士生、博士生必須掌握的基本技能。在國內(nèi)，目前各個高校也正在逐步開設(shè)相關(guān)課程，為廣大學生學習和使用MATLAB提供方便。 優(yōu)點：簡潔、緊湊，使用

2、方便靈活，庫函數(shù)豐富、可靠;運算符豐富，提供了幾乎和C語言一樣多的運算符;具有結(jié)構(gòu)化的控制語句，面向?qū)ο缶幊痰奶匦?語法限制不嚴格，程序設(shè)計自由度大;程序的可移植性很好;圖形功能強大;具有功能強勁的工具箱;源程序具有開放性。 缺點：程序的執(zhí)行速度較慢。 數(shù)學類數(shù)學類：最優(yōu)化，統(tǒng)計，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，符號數(shù)學，偏微分方程，樣條函數(shù)，數(shù)據(jù)擬合、結(jié)構(gòu)動力學，虛擬現(xiàn)實等 數(shù)據(jù)庫類數(shù)據(jù)庫類 信號處理類信號處理類 控制工程類控制工程類 金融經(jīng)濟類金融經(jīng)濟類 系統(tǒng)仿真類系統(tǒng)仿真類（Simulink）Help : 包括help，help+函數(shù)名， helpwin 和helpdesk。demo : 演示界面intro

3、: 介紹界面who : 查 詢whos: 查 詢clear: 清 除 Matlab的基本運算單元是以數(shù)字為元素的矩陣，而將數(shù)字看成11矩陣作統(tǒng)一處理,當我們使用數(shù)的運算功能時，我們可以如同平時用手在紙上寫字一樣，直接寫出要計算的表達式后，按回車鍵即可得到結(jié)果。例如：23*23ans =529這里ans是系統(tǒng)規(guī)定的存放計算結(jié)果的變量，也可以自己定義，如：x=230 x = 230y=450y = 450z=x*yz = 103500這里，將x定義為230，y定義為450，而z=x*y，這種方法常用在計算較為復(fù)雜的時候。例如：分別計算水在溫度為0、20、40、60和80度時的黏度。已知水的黏度隨溫

4、度的變化公式為： 其中：201btat ， 301.78503368. 0a000221. 0b用Matlab計算的命令為：muw0=1.785e-3; % 定義零度時的黏度a=0.03368; b=0.000221;t=0:20:80; % 定義溫度變量muw=muw0./(1+a*t+b*t.2) 0.0018 0.0010 0.0007 0.0005 0.0003這里: “；”表示當前不輸出結(jié)果；如以后想看此變量的值，只要輸入該變量名即可；“t=0:20:80”表示t的值從0開始，間隔為20，到80為止；“./”表示數(shù)組的右除，在此處，當t取不同的值后，muw即構(gòu)成了一個數(shù)組；以%開始的

5、部分表示注釋。常用運算符：、*、/、sqrt. 輸入輸出格式用format命令來控制： FORMAT SHORT 5位 FORMAT LONG 15位 FORMAT RAT 有理數(shù)表達注：具體可用 help format 查看常住變量： pi, i 或 j, inf, NaN輸入向量的方法： 1 直接輸入法 A=1 2 3 4, B=1,2,3,4,C=1;2;3;4，元素用 括起來，元素之間用空格或逗號分隔表示行向量， 用分號分隔就表示列向量。2. 利用冒號表達式生成向量基本形式為：FirstValue:Step:LastBound ，例如：B=12:3:35B = 12 15 18 21

6、24 27 30 33其中 Step也可以為負，例如：C=12:-2:5 C = 12 10 8 6特別當Step=1時可以省略。3.線性等分生成向量函數(shù)linspace用來生成線性等分向量：LINSPACE(x1, x2) generates a row vector of 100 linearly equally spaced points between x1 and x2.LINSPACE(x1, x2, N) generates N points between x1 and x2.linspace(1,10,4)linspace(1,15,6)Linspace(1,100)4.對數(shù)

7、等分生成向量 函數(shù)logspace用來生成對數(shù)等分向量: LOGSPACE Logarithmically spaced vector. LOGSPACE(d1, d2) generates a row vector of 50 logarithmically equally spaced points between decades 10d1 and 10d2. If d2 is pi, then the points are between 10d1 and pi. LOGSPACE(d1, d2, N) generates N points. logspace(0,5,6) , 此處lo

8、g以10為底數(shù)。 5. 向量的基本運算加（減）法、數(shù)加（減）加（減）法、數(shù)加（減）: :對同維數(shù)向量進行，對應(yīng)元素相加（減）；數(shù)加（減）數(shù)加（減） :是Matlab規(guī)定的一種運算，即對向量的每一個分量加（減）同一個數(shù)；數(shù)乘數(shù)乘: :向量的每一個分量乘同一個數(shù)；點積（內(nèi)積、數(shù)量積）點積（內(nèi)積、數(shù)量積）: :計算用函數(shù)dot實現(xiàn)C=dot(A,B), A和B必須同維，當A和B都為列向量時，dot(A,B)等同于A*B。C=dot(A,B,DIM) 將返回A和B在維數(shù)為DIM的點積例如：計算向量（1，2，3）和向量（3，4，5）的點積。a=1,2,3; % 如此定義的是行向量b=3,4,5;dot(

9、a,b)ans = 26a=1;2;3; % 這樣定義的是列向量b=3;4;5;dot(a,b)a*bb*a另一種計算點積的方法：sum(a.*b)ans = 26關(guān)于SUM的用法，有：SUM Sum of elements. For vectors, SUM(X) is the sum of the elements of X. For matrices, SUM(X) is a row vector with the sum over each column. For N-D arrays, SUM(X) operates along the first non-singleton dim

10、ension. SUM(X,DIM) sums along the dimension DIM. Example: If X = 0 1 2 3 4 5then sum(X,1) is 3 5 7 and sum(X,2) is 3 12;叉 積實現(xiàn)函數(shù)：crossC=cross(A,B) A與B必須為3維向量；混合積： a=1 2 3; b=3 4 5; c=cross(a,b)c = -2 4 -2dot(a,cross(b,c)ans = 24 若秩若秩(A) = 秩秩(A,b) = n, 存在唯一解存在唯一解; 若秩若秩(A) = 秩秩(A,b) n, 存在無窮多解，存在無窮多解，其通

11、解可表示為其通解可表示為Ax=0的一個基礎(chǔ)解系與的一個基礎(chǔ)解系與Ax=b的一個特解的疊加；的一個特解的疊加； 若秩若秩(A) 秩秩(A,b)，則無解，尋求最小二，則無解，尋求最小二乘近似解乘近似解. 方陣方陣A稱為稱為可逆可逆的，如果存在方陣的，如果存在方陣B，使，使A B = B A = E 則稱則稱B為為A的的逆矩陣，逆矩陣，記記 為為B = A -1。 方陣方陣A可逆的充要條件是可逆的充要條件是 A0。 A -1 = *AA1 對于方陣對于方陣A，若存在數(shù)，若存在數(shù) 和非零向量和非零向量x使使A x = x 則稱則稱 為為A一個一個特征值特征值，x為為A的一個的一個對應(yīng)于特征值對應(yīng)于特征

12、值 的的特征向量特征向量。 特征值計算歸結(jié)為特征多項式的求根。特征值計算歸結(jié)為特征多項式的求根。 對應(yīng)于特征值對應(yīng)于特征值 的特征向量是齊次線性的特征向量是齊次線性方程組方程組(A - E) x = 0 的所有非零解。的所有非零解。 正交向量正交向量 xx=0 單位向量單位向量 xx=1 正交矩陣正交矩陣AA=E 正交矩陣的各列向量兩兩正交，且均正交矩陣的各列向量兩兩正交，且均為單位向量為單位向量 MatLab的所有數(shù)值計算功能都是以（復(fù)）矩陣為基本單元進行的，因此MatLab對矩陣的運算功能是最全、最強的。 1直接輸入 多用于小型矩陣的輸入，以 為標識，同行元素以“，”或空格分開，行與行之間

13、用“；”或回車符分隔。a=1 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6a = 1 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 zeros ones eye linspace rand diag / det inv eig rank rref orth null特殊矩陣的生成 空陣； zeros 全0陣；eye 單位陣；ones 全1陣；rand隨機陣；magic魔方矩陣；company伴隨矩陣；vander 范得蒙矩陣；矩陣的基本運算矩陣的四則運算 :加 + A+B （同維矩陣） 矩陣相加減 - A-B （同維矩陣 ） 矩陣相減乘 * A*B （A的列數(shù)=B的行數(shù) ） 矩陣相乘左除 AB （

14、=INV(A)*B） 用于求方程組的解右除/ A/B (=A*INV(B) 用于求方程組的解點乘.* A.*B 同維矩陣或其中一個為數(shù) 對應(yīng)元素相乘點除./ A./B 同維矩陣或其中一個為數(shù) 對應(yīng)元素相除矩陣與常數(shù)間的運算 矩陣與常數(shù)間的運算為矩陣的每一個元素之間的運算。需要注意的是作除法運算時,常數(shù)只能作除數(shù)。 矩陣的逆運算 inv(A) :表示求矩陣A的逆矩陣。例如：a=2 1 -3 -1;3 1 0 7;-1 2 4 -2;1 0 -1 5a = 2 1 -3 -1 3 1 0 7 -1 2 4 -2 1 0 -1 5inv(a)ans = -0.0471 0.5882 -0.2706

15、-0.9412 0.3882 -0.3529 0.4824 0.7647 -0.2235 0.2941 -0.0353 -0.4706 -0.0353 -0.0588 0.0471 0.2941矩陣的行列式運算 det(A) 表示計算矩陣A的行列式。例：對于上面的a，有：det(a)= -85det(inv(a) = -0.0118矩陣的數(shù)組乘方：兩個矩陣對應(yīng)元素的乘方：A=1 2;3 4;B=2 2;1 3;A.Bans = 1 4 3 64 矩陣的開方運算由函數(shù)sqrtm實現(xiàn)，所謂S=sqrtm(A)，是指S*S=A 。矩陣的基本函數(shù)運算 特征值函數(shù)eig ,eigs條件數(shù)函數(shù)Cond:計

16、算矩陣條件數(shù)的值；Condest:計算矩陣1范數(shù)條件數(shù)的估計值；rcond :計算矩陣條件數(shù)的倒數(shù)值。特征值的條件數(shù)condeig范數(shù)函數(shù) norm，調(diào)用格式為norm(X,P)， P可為1,2,inf,fro。 NORM Matrix or vector norm. For matrices. NORM(X) is the largest singular value of X, max(svd(X)； NORM(X,2) is the same as NORM(X)； NORM(X,1) is the 1-norm of X, the largest column sum, = max(s

17、um(abs(X).NORM(X,inf) is the infinity norm of X, the largest row sum, = max(sum(abs(X).NORM(X,fro) is the Frobeniusnorm, sqrt(sum(diag(X*X).NORM(X,P) is available for matrixonly if P is 1, 2, inf or fro. 秩 函 數(shù) rank(A)跡函數(shù) trace(A)零空間函數(shù) null(A)正交空間函數(shù) orth(A) 求矩陣的一組正交基 矩陣的 LU 分解a=1 2 3;2 4 1;4 6 7;l u=

18、lu(a)l = 0.2500 0.5000 1.0000 0.5000 1.0000 0 1.0000 0 0u = 4.0000 6.0000 7.0000 0 1.0000 -2.5000 0 0 2.5000矩陣的其他操作 變維 ：reshape 旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)： rot90,fliplr,flipud,flipdim 抽取：diag基本數(shù)學函數(shù)Trigonometric.sin-Sine.sinh-Hyperbolicsine.asin-Inversesine.asinh-Inversehyperbolicsine.cos-Cosine.cosh-Hyperboliccosine.aco

19、s-Inversecosine.acosh-Inversehyperboliccosine.tan-Tangent.tanh-Hyperbolictangent.atan-Inversetangent.atan2-Fourquadrantinversetangent.atanh-Inversehyperbolictangent.sec-Secant.sech-Hyperbolicsecant.asec-Inversesecant.asech-Inversehyperbolicsecant.csc-Cosecant.csch-Hyperboliccosecant.acsc-Inversecose

20、cant.acsch-Inversehyperboliccosecant.cot-Cotangent.coth-Hyperboliccotangent.acot-Inversecotangent.acoth-Inversehyperboliccotangent.Exponential.exp-Exponential.log-Naturallogarithm.log10-Common(base10)logarithm.log2-Base2logarithmanddissectfloatingpointnumber.pow2-Base2powerandscalefloatingpointnumber.sqrt-Squareroot.nextpow2-Nexthigherpowerof2.Complex.abs-Absolutevalue.angle-Phaseangle.conj-Compl