高中數(shù)學(xué)奧數(shù)培訓(xùn)資料之不等式的證明（二）

1、蘭州成功私立中學(xué)高中奧數(shù)輔導(dǎo)資料（內(nèi)部資料）14不等式的證明不等式在數(shù)學(xué)中占有重要地位，由于其證明的困難性和方法的多樣性，而成為競賽和高考的熱門題型.證明不等式就是對不等式的左右兩邊或條件與結(jié)論進(jìn)行代數(shù)變形和化歸，而變形的依據(jù)是不等式的性質(zhì)，不等式的性分類羅列如下：不等式的性質(zhì)：這是不等式的定義，也是比較法的依據(jù).對一個不等式進(jìn)行變形的性質(zhì)：（1）（對稱性）（2）（加法保序性）（3）（4）對兩個以上不等式進(jìn)行運算的性質(zhì).（1）（傳遞性）.這是放縮法的依據(jù).（2）（3）（4）含絕對值不等式的性質(zhì)：（1）（2）（3）（三角不等式）.（4）證明不等式的常用方法有：比較法、放縮法、變量代換法、反證法、

2、數(shù)學(xué)歸納法、構(gòu)造函數(shù)方法等.當(dāng)然在證題過程中，?？伞坝梢?qū)Ч被颉皥?zhí)果索因”.前者我們稱之為綜合法；后者稱為分析法.綜合法和分析法是解決一切數(shù)學(xué)問題的常用策略，分析問題時，我們往往用分析法，而整理結(jié)果時多用綜合法，這兩者并非證明不等式的特有方法，只是在不等式證明中使用得更為突出而已.此外，具體地證明一個不等式時，可能交替使用多種方法.例題講解1求證：2，求證： 3：4設(shè)，且各不相同，求證：.5利用基本不等式證明6已知求證：7利用排序不等式證明8證明：對于任意正整數(shù)R，有9n為正整數(shù)，證明：課后練習(xí)1.選擇題(1)方程x2-y2=105的正整數(shù)解有( ).（A）一組 （B）二組 （C）三組 （D

3、）四組(2)在0,1,2,，50這51個整數(shù)中，能同時被2，3，4整除的有（ ）.（A）3個 （B）4個 （C）5個 （D）6個2填空題（1）的個位數(shù)分別為_及_.(2)滿足不等式104A105的整數(shù)A的個數(shù)是x104+1，則x的值_.(3)已知整數(shù)y被7除余數(shù)為5,那么y3被7除時余數(shù)為_.(4)求出任何一組滿足方程x2-51y2=1的自然數(shù)解x和y_.3.求三個正整數(shù)x、y、z滿足.4在數(shù)列4，8，17，77，97，106，125，238中相鄰若干個數(shù)之和是3的倍數(shù)，而不是9的倍數(shù)的數(shù)組共有多少組？5求的整數(shù)解.6求證可被37整除.7求滿足條件的整數(shù)x，y的所有可能的值.8已知直角三角形的

4、兩直角邊長分別為l厘米、m厘米，斜邊長為n厘米，且l，m，n均為正整數(shù)，l為質(zhì)數(shù).證明：2（l+m+n）是完全平方數(shù).9.如果p、q、都是整數(shù)，并且p1，q1，試求p+q的值.課后練習(xí)答案1.D.C.2.(1)9及1. (2)9. (3)4.(4)原方程可變形為x2=(7y+1)2+2y(y-7),令y=7可得x=50.3.不妨設(shè)xyz,則,故x3.又有故x2.若x=2,則,故y6.又有,故y4.若y=4,則z=20.若y=5,則z=10.若y=6,則z無整數(shù)解.若x=3,類似可以確定3y4,y=3或4,z都不能是整數(shù).4.可仿例2解.5. 分析：左邊三項直接用基本不等式顯然不行，考察到不等式

5、的對稱性，可用輪換的方法.略解：；三式相加再除以2即得證.評述：（1）利用基本不等式時，除了本題的輪換外，一般還須掌握添項、連用等技巧.如，可在不等式兩邊同時加上再如證時，可連續(xù)使用基本不等式.（2）基本不等式有各種變式 如等.但其本質(zhì)特征不等式兩邊的次數(shù)及系數(shù)是相等的.如上式左右兩邊次數(shù)均為2，系數(shù)和為1.6.88888(mod37),8888222282(mod37).77777(mod37),7777333373(mod37),88882222+77773333(82+73)(mod37),而82+73=407,37|407,37|N.7.簡解:原方程變形為3x2-(3y+7)x+3y2

6、-7y=0由關(guān)于x的二次方程有解的條件0及y為整數(shù)可得0y5,即y=0,1,2,3,4,5.逐一代入原方程可知,原方程僅有兩組解(4,5)、(5,4).8.l2+m2=n2,l2=(n+m)(n-m).l為質(zhì)數(shù),且n+mn-m0,n+m=l2,n-m=1.于是l2=n+m=(m+1)+m=2m+1,2m=l2-1,2(l+m+1)=2l+2+2m=l2+2l+1=(l+1)2.即2(l+m+1)是完全平方數(shù).9.易知pq,不妨設(shè)pq.令=n,則mn由此可得不定方程(4-mn)p=m+2,解此方程可得p、q之值.例題答案：1. 證明： 評述：（1）本題所證不等式為對稱式（任意互換兩個字母，不等式

7、不變），在因式分解或配方時，往往采用輪換技巧.再如證明時，可將配方為，亦可利用，3式相加證明.（2）本題亦可連用兩次基本不等式獲證.2.分析：顯然不等式兩邊為正，且是指數(shù)式，故嘗試用商較法.不等式關(guān)于對稱，不妨，且，都大于等于1.評述：（1）證明對稱不等式時，不妨假定個字母的大小順序，可方便解題. （2）本題可作如下推廣：若 （3）本題還可用其他方法得證。因，同理，另，4式相乘即得證. （4）設(shè)例3等價于類似例4可證事實上，一般地有排序不等式（排序原理）：設(shè)有兩個有序數(shù)組，則（順序和）（亂序和）（逆序和）其中的任一排列.當(dāng)且僅當(dāng)或時等號成立.排序不等式應(yīng)用較為廣泛（其證明略），它的應(yīng)用技巧是將

8、不等式兩邊轉(zhuǎn)化為兩個有序數(shù)組的積的形式.如.3.思路分析：中間式子中每項均為兩個式子的和，將它們拆開，再用排序不等式證明.不妨設(shè)，則（亂序和）（逆序和），同理（亂序和）（逆序和）兩式相加再除以2，即得原式中第一個不等式.再考慮數(shù)組，仿上可證第二個不等式.4.分析：不等式右邊各項；可理解為兩數(shù)之積，嘗試用排序不等式.設(shè)的重新排列，滿足，又所以.由于是互不相同的正整數(shù)，故從而，原式得證.評述：排序不等式應(yīng)用廣泛，例如可證我們熟悉的基本不等式，5.思路分析：左邊三項直接用基本不等式顯然不行，考察到不等式的對稱性，可用輪換的方法.；三式相加再除以2即得證.評述：（1）利用基本不等式時，除了本題的輪換外

9、，一般還須掌握添項、連用等技巧.如，可在不等式兩邊同時加上再如證時，可連續(xù)使用基本不等式.（2）基本不等式有各種變式 如等.但其本質(zhì)特征不等式兩邊的次數(shù)及系數(shù)是相等的.如上式左右兩邊次數(shù)均為2，系數(shù)和為1.6. 思路分析：不等式左邊是、的4次式，右邊為常數(shù)，如何也轉(zhuǎn)化為、的4次式呢.要證即證評述：（1）本題方法具有一定的普遍性.如已知求證：右側(cè)的可理解為再如已知，求證：+，此處可以把0理解為，當(dāng)然本題另有簡使證法.（2）基本不等式實際上是均值不等式的特例.（一般地，對于個正數(shù)調(diào)和平均幾何平均算術(shù)平均平方平均這四個平均值有以下關(guān)系：，其中等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立.7. 證明: 令則，故可取，使得由排序

10、不等式有：=（亂序和） （逆序和） =n，評述:對各數(shù)利用算術(shù)平均大于等于幾何平均即可得，.8. 分析:原不等式等價于，故可設(shè)法使其左邊轉(zhuǎn)化為n個數(shù)的幾何平均，而右邊為其算術(shù)平均.評述:（1）利用均值不等式證明不等式的關(guān)鍵是通過分拆和轉(zhuǎn)化，使其兩邊與均值不等式形式相近.類似可證（2）本題亦可通過逐項展開并比較對應(yīng)項的大小而獲證，但較繁.9.證明:先證左邊不等式（*）式成立，故原左邊不等式成立.其次證右邊不等式 （*）（*）式恰符合均值不等式，故原不等式右邊不等號成立.15不等式的應(yīng)用1排序不等式（又稱排序原理）設(shè)有兩個有序數(shù)組及則（同序和）（亂序和）（逆序和）其中是1，2，n的任一排列.當(dāng)且僅

11、當(dāng)或時等號（對任一排列）成立.2應(yīng)用排序不等式可證明“平均不等式”：設(shè)有n個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)分別是 此外，還有調(diào)和平均數(shù)（在光學(xué)及電路分析中要用到，和平方平均（在統(tǒng)計學(xué)及誤差分析中用到） 這四個平均值有以下關(guān)系. 3應(yīng)用算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)不等式，可用來證明下述重要不等式.柯西（Cavchy）不等式：設(shè)、，是任意實數(shù)，則等號當(dāng)且僅當(dāng)為常數(shù)，時成立.4利用排序不等式還可證明下述重要不等式.切比雪夫不等式：若， ，則例題講解1求證：2，求證： 3：4設(shè)，且各不相同，求證：.5利用基本不等式證明6已知求證：7利用排序不等式證明8證明：對于任意正整數(shù)R，有9n為正整數(shù)，證明：例題答案：1.

12、 證明： 評述：（1）本題所證不等式為對稱式（任意互換兩個字母，不等式不變），在因式分解或配方時，往往采用輪換技巧.再如證明時，可將配方為，亦可利用，3式相加證明.（2）本題亦可連用兩次基本不等式獲證.2.分析：顯然不等式兩邊為正，且是指數(shù)式，故嘗試用商較法.不等式關(guān)于對稱，不妨，且都大于等于1.評述：（1）證明對稱不等式時，不妨假定個字母的大小順序，可方便解題. （2）本題可作如下推廣：若 （3）本題還可用其他方法得證。因，同理，另，4式相乘即得證. （4）設(shè)例3等價于類似例4可證事實上，一般地有排序不等式（排序原理）：設(shè)有兩個有序數(shù)組，則（順序和）（亂序和）（逆序和）其中的任一排列.當(dāng)且僅

13、當(dāng)或時等號成立.排序不等式應(yīng)用較為廣泛（其證明略），它的應(yīng)用技巧是將不等式兩邊轉(zhuǎn)化為兩個有序數(shù)組的積的形式.如.3.思路分析：中間式子中每項均為兩個式子的和，將它們拆開，再用排序不等式證明.不妨設(shè)，則（亂序和）（逆序和），同理（亂序和）（逆序和）兩式相加再除以2，即得原式中第一個不等式.再考慮數(shù)組，仿上可證第二個不等式.4.分析：不等式右邊各項；可理解為兩數(shù)之積，嘗試用排序不等式.設(shè)的重新排列，滿足，又所以.由于是互不相同的正整數(shù)，故從而，原式得證.評述：排序不等式應(yīng)用廣泛，例如可證我們熟悉的基本不等式，5.思路分析：左邊三項直接用基本不等式顯然不行，考察到不等式的對稱性，可用輪換的方法.；三

14、式相加再除以2即得證.評述：（1）利用基本不等式時，除了本題的輪換外，一般還須掌握添項、連用等技巧.如，可在不等式兩邊同時加上再如證時，可連續(xù)使用基本不等式.（2）基本不等式有各種變式 如等.但其本質(zhì)特征不等式兩邊的次數(shù)及系數(shù)是相等的.如上式左右兩邊次數(shù)均為2，系數(shù)和為1.6. 思路分析：不等式左邊是、的4次式，右邊為常數(shù)，如何也轉(zhuǎn)化為、的4次式呢.要證即證評述：（1）本題方法具有一定的普遍性.如已知求證：右側(cè)的可理解為再如已知，求證：+，此處可以把0理解為，當(dāng)然本題另有簡使證法.（2）基本不等式實際上是均值不等式的特例.（一般地，對于個正數(shù)調(diào)和平均幾何平均算術(shù)平均平方平均這四個平均值有以下關(guān)系：，其中等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立.7. 證明: 令則，故可取，使得由排序不等式有：=（亂序和） （逆序和）