設(shè)有兩塊曲面S1, S2, 它們的方程依次為：

1、設(shè)有兩塊曲面S1, S2, 它們的方程依次為:S1: F (x, y, z) = 0S2: G (x, y, z) = 0S1 , S2的交線C上的點(diǎn)一定同時滿足這兩個方程,而不在交線上的點(diǎn)絕不會同時滿足這兩個方程.因此0),(0),(zyxGzyxF即為交線C的方程, 稱為空間曲線C的一般方程.(2)x y zo S1S2C二、空間曲線及其方程二、空間曲線及其方程1. 空間曲線的一般方程 x2+y2=1 x+y+z=2.yxz0例例5: 柱面 x 2 + y 2 = 1與平面x+y+z=2的交線是一個圓, 它的一般方程是2. 空間曲線的參數(shù)方程將曲線C上動點(diǎn)的坐標(biāo)x, y, z都表示成一個參

2、數(shù)t的函數(shù).x = x (t)y = y (t) (3)z = z (t)當(dāng)給定 t = t1時, 就得到C上一個點(diǎn)(x, y, z), 隨著 t的變動便可得曲線C上的全部點(diǎn). 方程組(2)叫做空間曲線的參數(shù)方程.例例6: 如果空間一點(diǎn) M 在圓柱面 x2 + y2 = a2 上以角速度 繞 z 軸旋轉(zhuǎn), 同時又以線速度v 沿平行于z 軸的正方向上升(其中,v都是常數(shù)), 那末點(diǎn)M 構(gòu)成的圖形叫做螺旋線, 試建立其參數(shù)方程. 解解: 取時間t為參數(shù), 設(shè)當(dāng)t = 0時, 動點(diǎn)位于x軸上的一點(diǎn) A(a, 0, 0)處, 經(jīng)過時間t, 由A運(yùn)動到M(x, y, z), M在xOy面上的投影為M (

3、x, y, 0).xyzhAOMtM(1) 動點(diǎn)在圓柱面上以角速度 繞z軸旋轉(zhuǎn), 所以經(jīng)過時間t, AOM = t. 從而x = |OM | cosAOM = acos ty = |OM | sinAOM = asin t(2) 動點(diǎn)同時以線速度v沿 z 軸向上升. 因而z = MM = vt 得螺旋線的參數(shù)方程x = acos ty = asin tz = vt 注注: 還可以用其它變量作參數(shù).xyzAOMtMyxzAOMtM例如例如: 令 = t. 為參數(shù); 螺旋線的參數(shù)方程為:x = acos y = asin z = b .vb 這里當(dāng)從 0變到 0 + 是, z由b 0變到 b 0+

4、 b ,即M點(diǎn)上升的高度與OM 轉(zhuǎn)過的角度成正比.特別, 當(dāng) = 2 時, M點(diǎn)上升高度h = 2 b, h在工程上稱 h = 2 b為螺距.3. 空間曲線在坐標(biāo)面上投影設(shè)空間曲線C的一般方程F (x, y, z) = 0G (x, y, z) = 0(4)由方程組(4)消去z后得方程 H (x, y) = 0 (5)方程(5)表示一個母線平行于z 軸的柱面, 曲線 C 一定在柱面上.xyzooC空間曲線 C 在 x O y 面上的曲線必定包含于:投影H (x, y) = 0z = 0注注: 同理可得曲線在yOz面或xOz面上的投影曲線方程.例例7: 已知兩個球面的方程分別為:x2 + y2

5、+ z2 = 1和 x2 + (y 1)2 + (z1)2 = 1 求它們的交線C在xOy面上的投影曲線的方程.解: 聯(lián)立兩個方程消去 z ,得01)21(4222zyx1)21(4222yx兩球面的交線C 在 x O y 面上的投影曲線方程為橢圓柱面設(shè)一個立體由上半球面和錐面224yxz)(322yxz所圍成, 求它在xoy面上的投影.解解: 半球面與錐面的交線為)(34:2222yxzyxzC由方程消去 z , 得 x2 + y2 =1yxzOx2 + y2 1于是交線C 在xoy面上的投影曲線為x2 + y2 = 1z = 0這是xoy面上的一個圓.所以, 所求立體在xoy面上的投影為:

6、 x2 + y2 1例例8:圓柱面)(研究方法是采用平面截痕法.6 6 二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程1.定義定義 由x, y, z的二次方程:ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz + fyz + gx + hy + iz +j = 0所表示的曲面, 稱為二次曲面. 其中a, b, , i, j 為常數(shù)且a, b, 不全為零.c, d,e, fzoxyO2 用平面z = k去截割(要求 |k | c), 得橢圓kzckbyax2222221當(dāng) |k | c 時, |k |越大, 橢圓越小;當(dāng) |k | = c 時, 橢圓退縮成點(diǎn).2. 幾種常見二次曲面幾種常見二次曲面.(

7、1) 橢球面1 用平面z = 0去截割, 得橢圓012222zbyax1222222Czbyax3 類似地, 依次用平面x = 0,平面 y = 0截割, 得橢圓:,012222xczby.012222yczax特別特別: 當(dāng)a=b=c時, 方程x2 + y2 + z2 = a2 , 表示球心在原點(diǎn)o, 半徑為a的球面.(2) 橢圓拋物面: zbyax22221 平面 z = k ,(k 0)截割, 截線是平面 z = k上的橢圓.kzkbyax2222k = 0時, 為一點(diǎn)O(0,0,0); 隨著k增大, 橢圓也增大.zyxo2 用平面 y = k去截割, 截線是拋物線,2222kyzbka

8、x. ,022axzk為時當(dāng)3 類似地，用平面 x = k 去截割, 截線是拋物線.kxzbyak2222. ,022byzk為時當(dāng)一、二階行列式的概念一、二階行列式的概念設(shè)有數(shù)表a11稱數(shù)a11 a22a12 a21為對應(yīng)于數(shù)表(1)的二階行列式，記為：22211211aaaa副對角線主對角線1.定義定義1a12a21a2221122211aaaa()()1 n 1 n 階行列式的定義階行列式的定義當(dāng) a11 a22a12 a21 0時，,211222111222211aaaaababx211222112111122aaaaababx得唯一解對于a11 x1+ a12 x2 = b1a21

9、x1+ a22 x2 = b22、二元一次 方程組的求解公式記1D2DD方程組(1)的解可以表示為：,DDx11DDx22克萊姆(Gramer)法則,122221abab,211112abab22211211aaaa時02212aa21bb2111aa21bb,211222111222211aaaaababx211222112111122aaaaababxa11 x1+ a12 x2 = b1a21 x1+ a22 x2 = b2引進(jìn)記號：333231232221131211aaaaaaaaa(+)(+)(+)()()()312312aaa322113aaa312213aaa332112aaa

10、322311aaa稱為對應(yīng)于數(shù)表(3)的三階行列式D332211aaa二、三階行列式二、三階行列式1.定義定義2設(shè)有數(shù)表333231232221131211aaaaaaaaa主對角線副對角線例例 如：如：315214132511753125)2()3(14134)3(1)2(2易證：易證：對于線性方程組333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa(4)當(dāng)333231232221131211aaaaaaaaaD 時0方程組有唯一解，記則方程組(4)的解為：,DDx11,DDx22DDx33,3332232213121aaaaaaD 321

11、bbb,3331232113112aaaaaaD 321bbb3231222112113aaaaaaD 321bbb克萊姆法則三、排列與逆序數(shù)三、排列與逆序數(shù) 由自然數(shù)1, 2, , n 組成的一個有序數(shù)組i1, i2, , in稱為一個n級排列。例如，由1，2，3可組成的三級排列共有3!6個，它們是n級排列的總數(shù)為n!個。定義定義33 2 1;1 2 3; 1 3 2; 2 1 3; 2 3 1; 3 1 2; 一個排列中，若較大的數(shù) is 排在較小的數(shù) it 的前面 ( is it ) 時，稱這一對數(shù) is it 構(gòu)成一個逆序。一個排列中逆序的總數(shù)，稱為它的逆序數(shù)。記為(i1, i2, i

12、n)，簡記為 。1 3 2(1 2 3)=0,(3 1 2)=2,(4 5 2 1 3)=7,例如：例如：2 1 33 1 2(3) 逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列(4) 將一個排列中兩個位置上的數(shù)互換，而其余不動，則稱對該排列作了一次對換。6 5 3 1 2 46 2 3 1 5 4( =11)( = 8)1 2 3 41 4 3 2例如：例如：( =0)( = 3)定理定理 1 每一個對換改變排列的奇偶性每一個對換改變排列的奇偶性結(jié)論：在結(jié)論：在 n ( 2) 級排列中，奇偶排列各有個。級排列中，奇偶排列各有個。2! n四、四、n階行列式的定義階行列式的定義分析：

13、分析：333231232221131211aaaaaaaaaD 312312322113332211aaaaaaaaa332112322311312213aaaaaaaaa =0 =2 =2 =3 =1 =1)(321) 1(jjj321321jjjaaa類似地：類似地：22211211aaaaD 21122211aaaa2121211jj)j(jaa)(nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211nnnjjjjjjaaa212121)() 1(n階行列式定義定義4例例1 計算下列n階行列式nnaaaD2211100nnaaa2211nnnnaaaaaaD2122211120nna

14、aa2211nnnnnnnnaaaaaaD11212130) 1() 1 21 (nn1121nnnaaa12)2() 1(nn) 1(2) 11(nnnnnnnnnnaaaaaaD11212130) 1()1 21 (nn1121nnnaaa11212)1() 1(nnnnnaaa333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa322113aaa312312aaa312213aaa322311aaa332112aaa行排列列排列2 1 3( =1)1 3 2( =1)( = 0)1 2 3( = 2)3 1 2考察：2113aa1321aa3232aa定理定理2 n階

15、行列式的定義也可寫成D)(21) 1(niiiniiinaaa2121nnjijijiaaa2211) 1()(21niii)(21njjj推論：D例例2： 選擇 i 和 k ，使53254321 aaaaaki成為5階行列式中一個帶負(fù)號的項解:其列標(biāo)所構(gòu)成的排列為： i 5 2 k 3若取 i = 1，k 4，故 i = 4，k = 1 時該項帶負(fù)號?？蓪⒔o定的項改為行標(biāo)按自然順序，即53432251 aaaaaki則 (1 5 2 4 3) = 4，是偶排列，該項則帶正號， 對換1，4的位置，則 4 5 2 1 3是奇排列。一、行列式的性質(zhì)一、行列式的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1：將行列式的行、列互換，

16、行列式的值不變即：,DD = DT行列式 DT 稱為行列式 D 的轉(zhuǎn)置行列式。2 2 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)則naaa11211naaa22221nnnnaaa21naaa11211TDnaaa22221nnnnaaa21證：證：顯然有 bij = aji (i, j=1, 2, ; n)則nnnjjjjjjTbbbD212121)() 1(njjjjjjnnaaa21)(2121) 1(D設(shè)行列式 DT 中位于第 i 行，第 j 列的元素為 bij性質(zhì)性質(zhì)2 互換行列式的兩行(列)，行列式僅改變符號,2111211nnnnnaaaaaaMqnqqaaa21pnppaaa21則 D=M,21

17、11211nnnnnaaaaaaDqnqqaaa21pnppaaa21證：證：在 M 中第 p 行元素,aajqjp第 q 行元素,jpjqaan.,j21nnnjjjjaaM111)()1(pjqjppjaqjqannnjjjjaa111)()1(pjqjqpjapjqannnjjjjaa111)()1(pjqjqpjapjqannnjjjjaa111)()1(pjqjqpjapjqa= D推論推論1：若行列式中有兩行(列)對應(yīng)元素相同，則行列式為零。證明證明:交換行列式這兩行，有D = D，故D = 0性質(zhì)性質(zhì)3 若行列式某一行(列)的所有元素都乘以數(shù) k，等于該行列式乘以數(shù) k，即：kD

18、nnnniniinaaaaaaaaa212111211 knnnnnaaaaaa2111211iniikakaka211D證明：證明：推論推論2：若行列式中的某行(列)全為零，則行列式為零。推論推論3：若行列式中有兩行(列)的對應(yīng)元素成比例，則該行列式為零。ninnjijjjjjakaaD)() 1(1211)(1kninnjijjjjjaaak1211)() 1(kkD k性質(zhì)性質(zhì)4 若行列式中某一行(列)的各元素都是兩個數(shù)的和，則該行列式等于兩個行列式的和。21DD 即:nnnnnaaaaaa2111211nnnnnaaaaaa2111211iniiaaa21iniiaaa21nnnnna

19、aaaaa2111211ininiiiiaaaaaa2211D證明：證明：21DD nnnjjjjjaaD1211)() 1()(iijijiaannnjjjjjaa1211)() 1(nnnjjjjjaa1211)() 1(ijia+ijia性質(zhì)性質(zhì)5 把行列式的某一行(列)的各元素乘以數(shù)k后加到另一行(列)的對應(yīng)元素上去，行列式的值不變。即：nnnnnaaaaaa2111211iniiaaa21jnjjaaa21nnnnnaaaaaa2111211iniiaaa21iniikakaka211 ja2jajna用 ri 表示 D 的第 i 行cj 表示 D 的第 j 列ri rj表示交換 i

20、、j 兩行ri k 表示第 i 行乘以 kri + k rj 表示第 j 行乘以 k 加到第 i 行ri k 表示第 i 行提出公因子 k記號：記號：例例1 計算行列式203222973430231D解：解：320022330034230031D322334231200223003430031505例例2 計算行列式3351110243152113D解：Dc1 c233151120435121313315112064802131r2 r172160112064802131r4 5r1r2 r372160648011202131r3 + 4 r21510001080011202131r4 8 r

21、22500010800112021313445rr 4025821例例3 3：計算.321321321321nxnxnxnxD解解：xxxxxxnxD000000321xxxn00000032 nx21x+ xx+ xx+ x).2) 1(1nnxxnxxxnnnx000000000322) 1( 在n階行列式余下的元素按原來順序構(gòu)成的一個n1階行列式，稱為元素 aij 的余子式，記作 Mij ，中，劃去元素 aij 所在的行和列，nnnjnininjaaaaaaaaD111111ijaijjiijMA) 1(1)i+j 稱為 aij 的代數(shù)余子式，記作余子式帶上符號3 3行列式按行行列式按行

22、( (列列) )的展開的展開 與克萊姆法則與克萊姆法則1.定義定義1一一.拉普拉斯展開定理拉普拉斯展開定理例如：例如： 在四階行列式2014365103107223D中，a23 的余子式 M23和代數(shù)余子式 A23，,21435172323M233223) 1(MA214351723分別為：考察三階行列式333231232221131211aaaaaaaaaD 332211aaa312312aaa322113aaa312213aaa332112aaa322311aaa3332232211aaaaa)(3331232112aaaaa3231222113aaaaa,131312121111AaAa

23、Aa其中：A11, A12，A13 分別為a11, a12, a13 的代數(shù)余子式.三階行列式可用其二級子式的線性組合表示?？疾烊A行列式333231232221131211aaaaaaaaaD 332211aaa312312aaa322113aaa312213aaa332112aaa322311aaa3332232211aaaaa)(3331232112aaaaa3231222113aaaaa,131312121111AaAaAa其中：A11, A12，A13 分別為a11, a12, a13 的代數(shù)余子式.11A12A13A三階行列式可用其二級子式的線性組合表示。再考察二階行列式21121

24、21122211211aaaaaaaa12121111AaAa二階行列式也可由其子式的組合表示. 例例3.3. 計算三階行列式542303241D解解：54301)4(523324203123624.72D =還可看出232322222121AaAaAa3542405221)3(4241+ 0= 8412 =72 =D,333332323131AaAaAa230244332150341+36= 24+60=72 =D,542303241D313121211111AaAaAa154303542423024+84= 1224=72 =D .以及542303241D定理定理1 (Laplace展開定

25、理) 行列式等于它的任一行(列)的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和。), 2, 1( 1niAankkiki或), 2, 1( 1njAankjkjk即：ininiiiiAaAaAaD2211njnjjjjjAaAaAaD2211證明步驟：證明步驟： 證nnnnnnaaaaaaaaa112112222111211nnnnnnAaa00 證nnnjnjnjnnjjjaaaaaaaaaa11111111111ijijijAaa0000ininiiiiAaAaAa2211nkikikAa1nnnnnaaaaaaD2111211iniiaaa000000021nnnnnnnnnnnnnnnaaaaa

26、aaaaaaaaaaaaa211121121112112111211002iaina00001ia解：3351110243152113r2 r1r4 + 5 r172016110264082113按 c2 展開7216112648) 1(121r1 + 4 r2r3 8 r2151001121080例例4 用Laplace展開定理求例22按 c1 展開1510108) 1()2(12)100120(240151001121080例例5 證明四階范德蒙行列式3433323124232221432141111xxxxxxxxxxxxD )()()()()(342414231312xxxxxxxxx

27、xxx)(41jiijxx 證：證：D4r4x1r3r3x1r2r2x1r11243412333122321424132312221413120001111xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx按c1展開)()()()()()(142413231222144133122141312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx242322432141312111)()(xxxxxxxxxxxxr3x2r2r2x2r124242323242314131200111)()(xxxxxxxxxxxxxxxx按c1展開)()()()(2442332423141312xxxxxxxxxxxxxxxx43242314131211)()()()(xxxxxxxxxxxx)()()()()(342414231312xxxxxxxxxxxx)(41jiijxx 推論：推論：n階范德蒙(Vandermonde)行列式112112222121111nnnnnnnxxxxxxxxxD)(1jinijxx