數認識講座(吳老師1)

1、如何如何在在“數的認識數的認識”教學教學 中幫助學生建立中幫助學生建立“數數”的概念？的概念？1 北京教育科學研究院北京教育科學研究院 吳正憲吳正憲數的認識：數的認識：一上：一上：2020以內數的認識（含以內數的認識（含0 0的認識）的認識）一下：一下：100100以內數的認識以內數的認識二下：萬以內數的認識二下：萬以內數的認識三上：分數的初步認識三上：分數的初步認識三下：小數的初步認識三下：小數的初步認識四上：大數的認識（億以內數的認識）四上：大數的認識（億以內數的認識）四下：小數的意義和性質四下：小數的意義和性質五下：分數的意義和性質五下：分數的意義和性質六下：負數的認識六下：負數的認識0

2、1“自左向右自左向右”，數級拓展數級拓展“向微觀向微觀”，數域拓展數域拓展改變方向，改變方向，“自右向左自右向左”2內容內容學段學段標準標準數的數的認識認識第第一一學學段段知道用算盤可以表示多位數知道用算盤可以表示多位數在現(xiàn)實情境中理解萬以內數的意義在現(xiàn)實情境中理解萬以內數的意義第第二二學學段段第二學段的要求雖然課程內容總的條目數沒有變化，但具體的內容還是有一些重要的調整。主要包括：小數、分數、百分數重點強調了理解他小數、分數、百分數重點強調了理解他們的意義們的意義，以及會進行小數、分數和百分數的轉化。在這個轉化的過程中，學生必然需要了解它們之間的關系，所以不再要求探索小數、分數和百分數之間的

3、關系。新課標中關于新課標中關于“數的認識數的認識”的要求與以往有的要求與以往有何主要不同？何主要不同？在數概念建立的過程中要注意的問題：在數概念建立的過程中要注意的問題：一、注重一、注重借助借助具體情境具體情境理解數的意義理解數的意義二、二、注重注重把握核心概念把握核心概念理解數的意義理解數的意義三、三、注重注重借助多種模型借助多種模型理解數的意義理解數的意義五、五、注重注重在循序漸進中在循序漸進中理解數的意義理解數的意義四、注重四、注重借助動手操作借助動手操作理解數的意義理解數的意義4一、注重一、注重借助借助具體情境具體情境理解數的意義理解數的意義 小學生小學生抽象思維較差，尤其是一、二年級

4、的學抽象思維較差，尤其是一、二年級的學生更是以形象思維為主，而對自然數的認識則是生更是以形象思維為主，而對自然數的認識則是從一年級一入學就開始了，所以在教學中我們應從一年級一入學就開始了，所以在教學中我們應該緊密聯(lián)系生活實際，借助直觀形象的事物幫助該緊密聯(lián)系生活實際，借助直觀形象的事物幫助學生經歷由具體學生經歷由具體抽象抽象具體的認識過程，進而具體的認識過程，進而幫助學生理解自然數的含義幫助學生理解自然數的含義。 從從2 2個人、個人、2 2頭牛、頭牛、2 2個櫻桃、個櫻桃、2 2個車輪、個車輪、2 2棵樹、棵樹、2 2本書等等，抽象出本書等等，抽象出2 2這個數，這時用一個數字也是一這個數，

5、這時用一個數字也是一個特殊的符號來表示數量，已經把具體的單位和這個個特殊的符號來表示數量，已經把具體的單位和這個數量的具體含義去掉，抽象為數數量的具體含義去掉，抽象為數“2 2”。反過來，。反過來，2 2可可以表示任何具有以表示任何具有2 2這樣數量特征的事物，這時可以讓這樣數量特征的事物，這時可以讓學生說一說生活中你還見到哪些數量是學生說一說生活中你還見到哪些數量是2 2的事物？的事物？100以內各數的認識以內各數的認識結合結合具體情境進一步理解數的意義具體情境進一步理解數的意義7具體、形象具體、形象8具體、半形象具體、半形象100100以內各數的認識以內各數的認識結合結合具體情境進一步理解

6、數的意義具體情境進一步理解數的意義9模型、半抽象模型、半抽象100100以內各數的認識以內各數的認識結合結合具體情境進一步理解數的意義具體情境進一步理解數的意義10完全抽象完全抽象100以內各數的認識以內各數的認識結合結合具體情境進一步理解數的意義具體情境進一步理解數的意義天安門廣場：長880米，寬500米，共44萬平方米， 是世界上最大的廣場 ，可容納一百萬人。大數的認識 如果如果1 1秒鐘數一張秒鐘數一張1 1元錢，每天元錢，每天2424小時不小時不間斷地數，要數完一億元錢，大家猜猜用多間斷地數，要數完一億元錢，大家猜猜用多長時間？長時間？ （3 3年年2 2個月）個月） 1 1億張紙摞億

7、張紙摞起來大約有多高？起來大約有多高？大約大約是是1 1萬米，比珠穆朗瑪峰萬米，比珠穆朗瑪峰88488848米還高。參照物的選擇，米還高。參照物的選擇，有助于學生理解有助于學生理解1 1億的大小，億的大小，易于形成數感。逐步將有形的易于形成數感。逐步將有形的數，擴展到無形的數。數，擴展到無形的數。二、注重二、注重把握核心概念把握核心概念理解數的意義理解數的意義 數位數位、計數單位、位值制、十進制記數、計數單位、位值制、十進制記數法法等核心概念對學生理解自然數的意義起著等核心概念對學生理解自然數的意義起著至關重要的作用，因此教師在教學中要給予至關重要的作用，因此教師在教學中要給予充分的重視，通過

8、這些核心概念的建立，幫充分的重視，通過這些核心概念的建立，幫助學生更好地理解掌握自然數的意義。助學生更好地理解掌握自然數的意義。 第一第一學段完成整數萬級的認識，第二學段認識學段完成整數萬級的認識，第二學段認識萬以上的數，進而整理十進制計數法。我國的計數萬以上的數，進而整理十進制計數法。我國的計數單位是每四位一級，在國際上普遍使用的是三位一單位是每四位一級，在國際上普遍使用的是三位一級，在學習時可以讓學生了解。級，在學習時可以讓學生了解。 在在歷史上，曾經出現(xiàn)五進制、二十進制、六十歷史上，曾經出現(xiàn)五進制、二十進制、六十進制進制等等。當然，最多的是以。當然，最多的是以1010為數基，現(xiàn)在世界各為

9、數基，現(xiàn)在世界各國通用的十進制，即重要的國通用的十進制，即重要的“滿十進一滿十進一”的方法。的方法。 位位值制值制 所謂所謂“位值制位值制”，是指相同的計數符號由于所，是指相同的計數符號由于所處的位置不同處的位置不同，所，所表示數目的大小表示數目的大小也也不同。有了位不同。有了位值制，就可以用有限的數字表示出無限的自然數，值制，就可以用有限的數字表示出無限的自然數，這是這是計計數歷史上的一個創(chuàng)造，一個奇跡。因此馬克數歷史上的一個創(chuàng)造，一個奇跡。因此馬克思在他的數學手稿一書中稱思在他的數學手稿一書中稱十進位值制十進位值制計計數法數法為為“最妙的發(fā)明之一最妙的發(fā)明之一”。 1.1.重視重視1010

10、的概念的建立的概念的建立 教學教學1010的認識要讓學生親自感受到由的認識要讓學生親自感受到由9 9再加再加1 1變變成十的過程，可以數、擺、捆、撥、說等，讓學生感成十的過程，可以數、擺、捆、撥、說等，讓學生感受受1010個一是一個十。建立個一是一個十。建立1010的概念，在認識的概念，在認識11-2011-20各數各數的認識中仍然要關注的認識中仍然要關注1010的概念的建立，體會滿十進一的概念的建立，體會滿十進一的過程。的過程。 2 2. .重視數計數重視數計數單位單位 為為幫助學生了解十進制計數法和位幫助學生了解十進制計數法和位值值制。制。還還要重要重視數計數單位視數計數單位， 通過數計數

11、單位幫助學生通過數計數單位幫助學生逐步建立新逐步建立新的計數單位，的計數單位， 1010個一是一個十，個一是一個十，1010個十是一百，個十是一百，10 10 個百是一千，在一個單位、一個單位地數的活動中，個百是一千，在一個單位、一個單位地數的活動中， 學生充分體會每數滿學生充分體會每數滿1010個單位就產生一個新的計數單個單位就產生一個新的計數單位位! ! 感受了兩個相鄰計數單位間的進率是十感受了兩個相鄰計數單位間的進率是十 3 3. .重視數位順序表的重視數位順序表的使用使用 隨著隨著認識的數越來越大教師應不斷擴充完善數位認識的數越來越大教師應不斷擴充完善數位順序表順序表! ! 比如：比如

12、：2020以內以內 的數起就讓學生了解個位和十的數起就讓學生了解個位和十位位! ! 百以內數時補充認識百位百以內數時補充認識百位! ! 在在 認識萬以內數的時認識萬以內數的時候候認識萬位認識萬位! !，在在大數的認識時大數的認識時里學生將認識萬級和億里學生將認識萬級和億級的數以及比億更大的數級的數以及比億更大的數! ! 數位順序表有助于學生了數位順序表有助于學生了解十進制計數法，理解數的意義并掌握讀數寫數的方解十進制計數法，理解數的意義并掌握讀數寫數的方法。法。三、注重借助三、注重借助多種模型多種模型理解數的意義理解數的意義 多種模型的表征：在數的認識過程中，我們要注意多種模型的表征：在數的認

13、識過程中，我們要注意運用多種模型幫助學生理解數的意義建立數的概念，運用多種模型幫助學生理解數的意義建立數的概念，比如說：計數器、數位桶，方格圖、數位順序表等，比如說：計數器、數位桶，方格圖、數位順序表等，這樣逐漸建立起抽象的數和現(xiàn)實中的數量之間的關系，這樣逐漸建立起抽象的數和現(xiàn)實中的數量之間的關系，并且能夠知道這個大小和現(xiàn)實中的多少之間的關系，并且能夠知道這個大小和現(xiàn)實中的多少之間的關系，這也是數感很重要的本質問題這也是數感很重要的本質問題。以自然數的認識為例：。以自然數的認識為例：百以內數的認識百以內數的認識2223百以內數的認識百以內數的認識24百以內數的認識百以內數的認識25百以內數的認

14、識百以內數的認識百數表百數表26百以內數的認識百以內數的認識27百以內數的認識百以內數的認識萬以內數的認識萬以內數的認識萬以內數的認識1010個一是十，個一是十，1010個十是一百，個十是一百，1010個一百是一千，個一百是一千，1010個一千是一萬個一千是一萬 在實際教學中我們還要在實際教學中我們還要關注多種模型的運用，幫關注多種模型的運用，幫助學生理解分數的意義。助學生理解分數的意義。1 1分數的面積模型：分數的面積模型：用面積的用面積的“部分部分整體整體”表示分數表示分數 利用利用多種模型幫助學生理解分數的意義多種模型幫助學生理解分數的意義用集合的用集合的“子集子集全集全集”來表示分數來

15、表示分數2.2.分數分數的的集合模型集合模型 3.3.分數的分數的“數線模型數線模型”：數線上的點表示分數：數線上的點表示分數 分數墻 認識認識自然數的重點在于使學生能夠從數量抽象到數，自然數的重點在于使學生能夠從數量抽象到數，而抽象離不開直觀的支撐和操作，因此我們要注意運用而抽象離不開直觀的支撐和操作，因此我們要注意運用多種學具通過動手操作，來幫助學生理解數的意義，建多種學具通過動手操作，來幫助學生理解數的意義，建立數的概念。比如：可以借助計數器、數位桶，小棒、立數的概念。比如：可以借助計數器、數位桶，小棒、方塊模型、方格圖、數位順序表等學具，逐漸建立起抽方塊模型、方格圖、數位順序表等學具，

16、逐漸建立起抽象的數和現(xiàn)實中的數量之間的關系。教學中可以讓學生象的數和現(xiàn)實中的數量之間的關系。教學中可以讓學生借助學具通過親自數一數、擺一擺、圈一圈、畫一畫等借助學具通過親自數一數、擺一擺、圈一圈、畫一畫等活動，經歷抽象的數與具體的事物一一對應的過程，感活動，經歷抽象的數與具體的事物一一對應的過程，感受具體的數量，理解自然數的實際意義。受具體的數量，理解自然數的實際意義。四、注重四、注重借助動手操作借助動手操作理解數的意義理解數的意義 在教學“1120各數的認識”一課時，許多教師都非常注重讓學生利用小棒，通過動手數一數、捆一捆、擺一擺，借助直觀形象的學具來理解1120各數的組成，進而加深對每個數

17、意義的理解。有的教師在教學有的教師在教學“100100以內數的認識以內數的認識”時，就為學生準時，就為學生準備了充足的學具，讓學生先估一估大約有多少根小棒或備了充足的學具，讓學生先估一估大約有多少根小棒或小方塊（如下圖），再讓學生親自動手數一數，經歷由小方塊（如下圖），再讓學生親自動手數一數，經歷由1 1一一點數到一一點數到100100的過程。這種一一點數是學生認識自然數的過程。這種一一點數是學生認識自然數必須要經歷的實踐過程，這一過程使學生由無意識的唱必須要經歷的實踐過程，這一過程使學生由無意識的唱數到逐步理解掌握自然數的實際意義，由只會認數到開數到逐步理解掌握自然數的實際意義，由只會認數到

18、開始學習運用數，所以這一過程是十分有必要的、也是十始學習運用數，所以這一過程是十分有必要的、也是十分重要的。當然在一個一個地數的基礎上，還可以引導分重要的。當然在一個一個地數的基礎上，還可以引導學生幾個幾個地數，如：可以兩個兩個地數、五個五個學生幾個幾個地數，如：可以兩個兩個地數、五個五個地數、十個十個地數，以此來不斷豐富學生的學習經驗。地數、十個十個地數，以此來不斷豐富學生的學習經驗。五、注重五、注重在循序漸進中在循序漸進中理解數的意義理解數的意義 學生對于數學生對于數概念的理解需要多層次、多角概念的理解需要多層次、多角度、多階段的漸進學習，希望老師們能夠整體把度、多階段的漸進學習，希望老師

19、們能夠整體把握好各部分內容的要求與各部分之間的相互關聯(lián)，握好各部分內容的要求與各部分之間的相互關聯(lián)，使學生通過小學階段的學習對自然數能夠有一個使學生通過小學階段的學習對自然數能夠有一個較為全面深刻的認識和理解。較為全面深刻的認識和理解。自然數自然數5 5的含義有哪些的含義有哪些？請大家想一想？請大家想一想1.1.自然數含義的不斷豐富自然數含義的不斷豐富自然數自然數(0(0除外除外) )的意義的意義在下面不同的情景中，自然數在下面不同的情景中，自然數5的意義有何區(qū)別？的意義有何區(qū)別？ 桌子上放著桌子上放著5 5個蘋果個蘋果。 他坐在前排左起第他坐在前排左起第5 5個座位上個座位上。 這根鐵絲長這

20、根鐵絲長5cm5cm。 小棒的長度是鐵絲的小棒的長度是鐵絲的5 5倍。倍。 2 +5 835。052.2.對于分數多維多元的認識對于分數多維多元的認識 作為作為老師要老師要深入理解深入理解分數分數豐富的意義豐富的意義，才有才有可可能引導學生對分數意義的深刻認識。能引導學生對分數意義的深刻認識。 首先首先 把握理解分數的兩個主線把握理解分數的兩個主線：比比和和數。數?！氨缺取笔且环N是一種關系；關系；“數數表現(xiàn)的是一個結果。表現(xiàn)的是一個結果。 分數意義分數意義比比數數比率比率度量度量運作運作商商其次要注意從其次要注意從四個四個層面層面理解分數意義理解分數意義 “比率比率”是指部分與整體的關系和部分

21、與部分的是指部分與整體的關系和部分與部分的關系。例如一個圓平均分成關系。例如一個圓平均分成4 4份，每一份是整體的份，每一份是整體的 四四分之一分之一。又例如，一個。又例如，一個正方形正方形面積是整個面積是整個正方形正方形的的三三分之一分之一 ，整體圖形的面積應該是多少？顯然，整體圖，整體圖形的面積應該是多少？顯然，整體圖形的面積應該是這樣的三份。形的面積應該是這樣的三份。 “度量度量”指的是可以將分數理解為分數單位的指的是可以將分數理解為分數單位的累積。例如累積。例如 五分之二五分之二里面有里面有2 2個個五個之一五個之一 ，就，就是用分數是用分數 作為單位度量作為單位度量2 2次的結果。度

22、量維度次的結果。度量維度的體驗也可以直接作用于分數加（減）法的學的體驗也可以直接作用于分數加（減）法的學習中。習中。 “運作運作”主要指的是將對分數的認識轉化為一個主要指的是將對分數的認識轉化為一個運算的過程。例如，想知道運算的過程。例如，想知道8 8個蘋果的四分之三個蘋果的四分之三 是多是多少少個蘋果個蘋果，即將，即將8 8個蘋果個蘋果這個整體平均分成這個整體平均分成4 4份，取其份，取其中的中的3 3份，列出算式就是份，列出算式就是8 84 43 3。 “商商” 主要是指分數轉化為除法之后運算的結主要是指分數轉化為除法之后運算的結果，果，讓學生體會讓學生體會分數分數也也可以和其他數一樣進行

23、運可以和其他數一樣進行運算。算。 以上這四個以上這四個方面的理解，方面的理解，對學生多角度認識對學生多角度認識分數都發(fā)揮著重要的作用。它們相輔相成，共同分數都發(fā)揮著重要的作用。它們相輔相成，共同承擔著學生對于分數內涵豐富性認識的建構。承擔著學生對于分數內涵豐富性認識的建構。 把握把握好每一階段完成的任務好每一階段完成的任務 在教學中老師們還有一個困惑，在教學中老師們還有一個困惑，在小學階在小學階段，對于分數意義的學習，教材一般分為兩個段，對于分數意義的學習，教材一般分為兩個階段：第一學段分數的初步認識和第二階段分階段：第一學段分數的初步認識和第二階段分數的數的意義意義。 對于分數意義的學習，對

24、于分數意義的學習，教材中設計了教材中設計了兩次兩次的學的學習，其實我們要理解分數的意義從平均分的學習已經習，其實我們要理解分數的意義從平均分的學習已經開始了。開始了。第一階段：認識平均分；第一階段：認識平均分；第二第二階段階段：在分數的初步認識教學中，幫助學生初步在分數的初步認識教學中，幫助學生初步建立部分與整體關系的認識，感受分數建立部分與整體關系的認識，感受分數。第三第三階段：分數意義階段：分數意義的學習的學習第四第四階段：在分數與除法關系的教學中，重點使階段：在分數與除法關系的教學中，重點使學學 生生發(fā)展對于分數理解的運作發(fā)展對于分數理解的運作 第五第五階段：在分數的運算及解決問題的教學

25、中，鼓階段：在分數的運算及解決問題的教學中，鼓勵學生綜合運用對于分數意義理解的多個維度。勵學生綜合運用對于分數意義理解的多個維度。 這這五五個階段在完成對分數意義豐富認識方面各有側個階段在完成對分數意義豐富認識方面各有側重，相互滲透，相互補充，共同幫助學生實現(xiàn)對分數意重，相互滲透，相互補充，共同幫助學生實現(xiàn)對分數意義理解的不斷發(fā)展和整體建構。義理解的不斷發(fā)展和整體建構。 總之分數的認識是一個循序漸進的過程，需要系總之分數的認識是一個循序漸進的過程，需要系統(tǒng)的進行教學設計，才能使學生真正理解熟練運用。統(tǒng)的進行教學設計，才能使學生真正理解熟練運用。 在小數的認識要注意的問題在小數的認識要注意的問題

26、 在分數初步認識學習的基礎上，教材安排了小在分數初步認識學習的基礎上，教材安排了小數的初步認識。小數的出現(xiàn)標志著十進制記數法從整數的初步認識。小數的出現(xiàn)標志著十進制記數法從整數（自然數）擴展到了分數，使分數與整數在形式上數（自然數）擴展到了分數，使分數與整數在形式上獲得了統(tǒng)一。獲得了統(tǒng)一。在教學中我們要注意在教學中我們要注意 建議一：建議一：. .利用知識遷移建立小數概念利用知識遷移建立小數概念 建議二：建議二： 溝通整數、小數、分數之間的關系溝通整數、小數、分數之間的關系 溝通整數和小數的關系。溝通整數和小數的關系。 整數與小數的計數方法是一致的整數與小數的計數方法是一致的! ! 相鄰兩個計

27、數相鄰兩個計數單位間的進率都是單位間的進率都是1010，教學中要設計相應的教學環(huán)，教學中要設計相應的教學環(huán)節(jié)將整數的計數方法遷移到小數，還要利用這些活節(jié)將整數的計數方法遷移到小數，還要利用這些活動幫助學生整理認數系統(tǒng)動幫助學生整理認數系統(tǒng)! ! 把原來認識的整數數位把原來認識的整數數位表擴充到小數表擴充到小數! ! 溝通分數和小數的關系：溝通分數和小數的關系： 小數和分數上的溝通，主要是意義上的溝通，使小數和分數上的溝通，主要是意義上的溝通，使學生理解小數是十進分數。學生理解小數是十進分數。 溝通分數、整數、小數之間的關系。溝通分數、整數、小數之間的關系。 小數小數和整數、分數有著密切的聯(lián)系，整數和整數、分數有著密切的聯(lián)系，整數可以數，一個一個地，可以數，一個一個地， 一十一十地數，一百一十一十地數，一百一百地數，小數可以數：一百地數，小數可以數：0.10.1、0.20.2、0.30.3、0.40.4、0.50.5、0.60.6、0.70.7分數可以數：分數可以數：八分之一八分之一 、八八分之二分之二 、八分之三八分之三 、 以此類推。這列數是按照一個單位進行數以此類推。這列數是按照一個單位進行數數的，無論是整數、小數、分數數的，無論是整數、小數、分數它它們的數們的數都是都是計數單位的累加。計數單位的累加。 關于關于 “ “小數的認識小數的認識”教材也分成