高二文科選修 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

1、 已知橢圓過(guò)其左焦點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓及準(zhǔn)線從左到右依次變于A、B、C、D、設(shè)f(m)=,（1）求f(m),（2）求f(m)的最值。分析：此題初看很復(fù)雜，對(duì)f(m)的結(jié)構(gòu)不知如何運(yùn)算，因A、B來(lái)源于“不同系統(tǒng)”，A在準(zhǔn)線上，B在橢圓上，同樣C在橢圓上，D在準(zhǔn)線上，可見(jiàn)直接求解較繁，將這些線段“投影”到x軸上，立即可得防 解：（1）橢圓中，a2=m，b2=m-1，c2=1，左焦點(diǎn)F1(-1,0)則BC:y=x+1,代入橢圓方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0 (2m-1)x2+2mx+2m-m2=0設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),

2、則x1+x2=-（2）當(dāng)m=5時(shí)， 當(dāng)m=2時(shí)，點(diǎn)評(píng)：此題因最終需求，而B(niǎo)C斜率已知為1，故可也用“點(diǎn)差法”設(shè)BC中點(diǎn)為M(x0,y0),通過(guò)將B、C坐標(biāo)代入作差，得，將y0=x0+1，k=1代入得，可見(jiàn)當(dāng)然，解本題的關(guān)鍵在于對(duì)的認(rèn)識(shí)，通過(guò)線段在x軸的“投影”發(fā)現(xiàn)是解此題的要點(diǎn)。 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 1橢圓的定義是什么？平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓強(qiáng)調(diào)條件：(1)平面內(nèi)；(2)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)；(3)常數(shù)2a|F1F2|2 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？焦點(diǎn)在X軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為（）；焦點(diǎn)在Y軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為(二)雙曲線的概

3、念把橢圓定義中的“距離的和”改為“距離的差”，那么點(diǎn)的軌跡會(huì)怎樣？它的方程是怎樣的呢？1、簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)如圖2-23，定點(diǎn)F1、F2是兩個(gè)按釘，拉鏈演示，點(diǎn)m為動(dòng)點(diǎn)，|MF1|-|MF2|是常數(shù)，回答為什么是常數(shù)，這樣就畫(huà)出曲線的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常數(shù)，可以畫(huà)出另一支注意：常數(shù)要小于|F1F2|，否則作不出圖形這樣作出的曲線就叫做雙曲線2、通過(guò)設(shè)問(wèn)，與橢圓類(lèi)比，歸納出雙曲線的定義及特點(diǎn)。問(wèn)題1：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的距離的差等于常數(shù)2a（小于|F1F2| ）的軌跡是什么？雙曲線的一支問(wèn)題2：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（等于|F1F2| ）的軌跡是什么？是在直線F1F2上且

4、以F1、F2為端點(diǎn)向外的兩條射線問(wèn)題3：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（大于|F1F2| ）的軌跡是什么？當(dāng)常數(shù)|F1F2|時(shí)，無(wú)軌跡3定義 平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值是常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線這兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離叫做焦距(三)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程類(lèi)似求橢圓的方程的方法來(lái)求雙曲線的方程設(shè)問(wèn)：求橢圓的方程的一般步驟方法是什么？(1)建系設(shè)點(diǎn)取過(guò)焦點(diǎn)F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸(如圖2-24)建立直角坐標(biāo)系設(shè)M(x，y)為雙曲線上任意一點(diǎn)，雙曲線的焦距是2c(c0)，那么F1、F2的坐標(biāo)分別是(

5、-c，0)、(c，0)又設(shè)點(diǎn)M與F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(2)點(diǎn)的集合由定義可知，雙曲線就是集合：P=M|MF1|-|MF2|=2a=M|MF1|-|MF2|=2a(3)代數(shù)方程將這個(gè)方程移項(xiàng)，兩邊平方得：兩邊再平方，整理得：由雙曲線定義，2c2a 即ca，所以c -a 0 設(shè)c-a=b (b0)，代入上式得：bx-ay=ab這就是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的比較：（1） 表示焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線，焦點(diǎn)是，這里；（2） 表示焦點(diǎn)在Y軸上的雙曲線，焦點(diǎn)是，這里(只須將（1）方程的x,y互換即可得到)；指出：(1)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a0，b0，但a不一定大于b；(2)如果x項(xiàng)的系數(shù)是

6、正的，那么焦點(diǎn)在x軸上；如果y項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在y軸上注意有別于橢圓通過(guò)比較分母的大小來(lái)判定焦點(diǎn)在哪一坐標(biāo)軸上(3)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中a、b、c的關(guān)系是c=a+b，不同于橢圓方程中c=a-b1、例題：例1、已知雙曲線焦點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，雙曲線上一點(diǎn)P到的距離的差的絕對(duì)值等于6，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。解：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在x軸上，所以它的標(biāo)準(zhǔn)方程為： （a0,b0） 2a=6,2c=10, a=3,c=5 所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：例2、已知雙曲線的焦點(diǎn)在y 軸上，并且雙曲線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（3， ），（，5）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。 解：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（a0

7、,b0） 因?yàn)辄c(diǎn) 在雙曲線上，所以將（3， ），（，5）分別代入所設(shè)方程中，得方程組令,則方程組化為解這個(gè)方程組，得即。所以所求的雙曲線方程為 （1）已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為6，焦距為10，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）A、 B、 C、或 D、 或（2） 已知方程表示雙曲線，求m取值范圍。雙曲線與橢圓之間的區(qū)別與聯(lián)系表橢圓雙曲線定義|MF1|+|MF2|=2a （ a 0）|MF1|MF2|=2a （ a 0）圖像X軸 Y軸焦點(diǎn)坐標(biāo)F（c，0）;F（0，c）F（c，0）;F（0，c）標(biāo)準(zhǔn)方程X軸Y軸a,b,c的關(guān)系ab0， a0，b0，但a不一定大于b1. 如果雙曲線1上一點(diǎn)P到雙曲線右焦點(diǎn)的距離是

8、2,那么點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是（ ）(A)(B)(C)(D)2. 已知雙曲線C0,b0),以C的右焦點(diǎn)為圓心且與C的漸近線相切的圓的半徑是（A）a(B)b(C)(D)3. 以雙曲線的右焦點(diǎn)為圓心，且與其漸近線相切的圓的方程是（ ）ABCD4. 以雙曲線的右焦點(diǎn)為圓心，且與其右準(zhǔn)線相切的圓的方程是（）5. 若雙曲線（a0,b0）上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離大于它到左準(zhǔn)線的距離，則雙曲線離心率的取值范圍是( )A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D. (5,+)6. 若雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)到一條準(zhǔn)線的距離之比為3：2那么則雙曲線的離心率是（ ）（A）3 （B）5 （C） （D）7. 過(guò)雙曲線的

9、右頂點(diǎn)作斜率為的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為若，則雙曲線的離心率是 ( ) A B C D8. 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是、，其一條漸近線方程為，點(diǎn)在雙曲線上.則（ ） A. -12 B. -2 C. 0 D. 4選擇題：1. A 2. B 3. A 4. B 5. B 6. D 7. C 8. C 填空題： 9. 10. 11. 2 12. 13. 16 14. 15. 16. 9. 過(guò)雙曲線的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F。過(guò)點(diǎn)F平行雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點(diǎn)B，則AFB的面積為_(kāi)10. 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，若雙曲線上存在一點(diǎn)使，則該雙曲線的離心率的取值范圍

10、是 11. 過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，以為直徑的圓恰好過(guò)雙曲線的右頂點(diǎn)，則雙曲線的離心率為_(kāi)12. 已知點(diǎn)在雙曲線上，并且到這條雙曲線的右準(zhǔn)線的距離恰是到雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的等差中項(xiàng)，那么點(diǎn)的橫坐標(biāo)是_13. 已知是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，是過(guò)點(diǎn)的弦，且的傾斜角為，那么的值是_14. 已知是的兩個(gè)頂點(diǎn)，內(nèi)角滿足，則頂點(diǎn)的軌跡方程是_15. 過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線，交雙曲線于PQ兩點(diǎn)，則|FP|FQ|的值為_(kāi).16. 已知是雙曲線上除頂點(diǎn)外任意一點(diǎn)，為左右焦點(diǎn)，為半焦距，內(nèi)切圓與切于點(diǎn)，則的值為_(kāi)17. 如圖，在以點(diǎn)為圓心，為直徑的半圓中，是半圓弧上一點(diǎn)，曲線是

11、滿足為定值的動(dòng)點(diǎn)的軌跡，且曲線過(guò)點(diǎn).（）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線的方程；（）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線l與曲線相交于不同的兩點(diǎn)、.若的面積不小于，求直線斜率的取值范圍.解：（）以O(shè)為原點(diǎn)，AB、OD所在直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A（-2，0），B（2，0），D(0,2),P（），依題意得MA-MB=PA-PBAB4.曲線C是以原點(diǎn)為中心，A、B為焦點(diǎn)的雙曲線.設(shè)實(shí)半軸長(zhǎng)為a，虛半軸長(zhǎng)為b，半焦距為c，則c2，2a2，a2=2,b2=c2-a2=2.曲線C的方程為.解法2：同解法1建立平面直角坐標(biāo)系，則依題意可得MA-MB=PA-PBAB4.曲線C是以原點(diǎn)為中心，A、B為焦點(diǎn)的雙曲線

12、.設(shè)雙曲線的方程為0，b0）.則由 解得a2=b2=2,曲線C的方程為()解法1：依題意，可設(shè)直線l的方程為ykx+2，代入雙曲線C的方程并整理得（1-k2）x2-4kx-6=0.直線l與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F， k（-,-1）（-1，1）（1，）.設(shè)E（x，y），F(xiàn)(x2,y2)，則由式得x1+x2=,于是EF而原點(diǎn)O到直線l的距離d，SDEF=若OEF面積不小于2,即SOEF，則有 綜合、知，直線l的斜率的取值范圍為-，-1(1-,1) (1, ).解法2：依題意，可設(shè)直線l的方程為ykx+2，代入雙曲線C的方程并整理，得（1-k2）x2-4kx-6=0.直線l與雙曲線C相交于不同

13、的兩點(diǎn)E、F， .k（-，-1）（-1，1）（1，）.設(shè)E(x1,y1),F(x2,y2),則由式得x1-x2= 當(dāng)E、F在同一去上時(shí)（如圖1所示），SOEF當(dāng)E、F在不同支上時(shí)（如圖2所示）.SODE=綜上得SOEF于是由OD2及式，得SOEF=若OEF面積不小于2 綜合、知，直線l的斜率的取值范圍為-，-1（-1，1）（1，）.17. 雙曲線的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，兩條漸近線分別為，經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)垂直于的直線分別交于兩點(diǎn)已知成等差數(shù)列，且與同向（）求雙曲線的離心率；（）設(shè)被雙曲線所截得的線段的長(zhǎng)為4，求雙曲線的方程解：（）設(shè)，由勾股定理可得：得：，由倍角公式，解得,則離心率（）過(guò)直線方程為,與雙曲線方程聯(lián)立將，代入，化簡(jiǎn)有將數(shù)值代入，有,解得故所求的雙曲線方程為。18. 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)（I）若動(dòng)點(diǎn)滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)的軌跡方程；（II）在軸上是否存在定點(diǎn)，使為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 解：由條件知，設(shè)，（I）解法一：（I）設(shè)，則則，由得即于是的中點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)不與軸垂直時(shí)，即又因?yàn)閮牲c(diǎn)在雙曲線上，所以，兩式相減得，即將代入上式，化簡(jiǎn)得當(dāng)與軸垂直時(shí)，求得，也滿足上述方