電子科技大學電磁場與電磁波矢量分析PPT學習教案

1、會計學1電子科技大學電磁場與電磁波矢量分析電子科技大學電磁場與電磁波矢量分析 矢量的幾何表示：用一條有方向的線段來表示矢量的幾何表示：用一條有方向的線段來表示 A矢量的幾何表矢量的幾何表示示矢量可表示為：矢量可表示為： 其中其中 為為模值模值，表征矢量的，表征矢量的大小大?。?為為單位矢量單位矢量，表征矢量的，表征矢量的方向方向； 說明：矢量書寫時，說明：矢量書寫時，印刷體印刷體為場量符號加粗，如為場量符號加粗，如 。教。教材上的矢量符號即采用印刷體。材上的矢量符號即采用印刷體。1.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù)1.1.1 標量和矢量標量和矢量 標量與矢量標量與矢量 標量：標量：只有大小，沒有方向只有大

2、小，沒有方向的物理量的物理量( (電壓電壓U U、電荷量、電荷量Q Q、能量、能量W W等）等） 矢量：矢量：既有大小，又有方向既有大小，又有方向的物理量（作用力，電、磁場強度）的物理量（作用力，電、磁場強度） 矢量的代數(shù)表示矢量的代數(shù)表示FEHBDAAeDAAeAAAeA第1頁/共46頁xxyyzzAe Ae Ae AcoscoscosxyzAAAAAA(coscoscos )xyzAA eee 矢量用坐標分量表示矢量用坐標分量表示coscoscosAxyzeeeezAxAAyAzxyO第2頁/共46頁1.1.2 矢量的運算矢量的運算xxyyzzxxyyzzAe Ae Ae ABe Be B

3、e B()()ABBAABCABC()()()xxxyyyzzzABeABeABeAB 矢量的加法和減法矢量的加法和減法說明：說明：1 1、矢量的加法符合、矢量的加法符合交換律交換律和和結合律結合律： 2 2、矢量相加和相減可用、矢量相加和相減可用平行四邊形法則平行四邊形法則求解：求解： BAABBAABB第3頁/共46頁cosABxxyyzzA BA BA BA BA B 矢量的乘法矢量的乘法 矢量與標量相乘矢量與標量相乘xxyyzzAkAe kAe kAe kAe k A標量與矢量相乘只改變矢量大小，不改變方向。標量與矢量相乘只改變矢量大小，不改變方向。 矢量的標積（點積）矢量的標積（點積

4、）()A BB AA BCA BA C 說明：說明：1 1、矢量的點積符合交換律和分配律：、矢量的點積符合交換律和分配律： 2 2、兩個矢量的點積為標量兩個矢量的點積為標量 ABAB第4頁/共46頁sin()()()xyznABxyzxyzxyzzyyzxxzzxyyxeeeA Be ABAAABBBeA BA BeA BA BeA BA B 矢量的矢積（叉積）矢量的矢積（叉積）說明：說明：1 1、矢量的叉積、矢量的叉積不符合不符合交換律，但交換律，但符合符合分配律：分配律： 2 2、兩個矢量的叉積為矢量兩個矢量的叉積為矢量 ()A BBAABCA BA C 3 3、矢量運算恒等式、矢量運算恒

5、等式()()()()()()A B CB CACA BAB CB A CC A B sinABBABA第5頁/共46頁 三維空間任意一點的位置可通過三維空間任意一點的位置可通過三條相互正交線的交點三條相互正交線的交點來確定。來確定。 在電磁場與波理論中，三種常用的正交坐標系為：在電磁場與波理論中，三種常用的正交坐標系為：直角坐直角坐標系標系、圓柱坐標系圓柱坐標系和和球坐標系球坐標系。 三條正交線組成的確定三維空間任意點位置的體系，稱三條正交線組成的確定三維空間任意點位置的體系，稱為為正交坐標系正交坐標系；三條正交線稱為；三條正交線稱為坐標軸坐標軸；描述坐標軸的量稱；描述坐標軸的量稱為為坐標變量

6、坐標變量。1.2 三種常用的正交坐標系三種常用的正交坐標系第6頁/共46頁1.2.1 直角坐標系直角坐標系xyzre xe ye z位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量線元矢量線元矢量ddddxyzlexeye zdd dd dxxyzxSe lle y zdd dd dzzxyzSe lle x y體積元體積元dd d dVx y zdd dd dyyxzySellex z坐標變量坐標變量, ,x y z坐標單位矢量坐標單位矢量,xyze e e 點點P(x0,y0,z0)0yy（平面）（平面） o x y z0 xx（平面）（平面）0zz（平面（平面）P 直角坐標系直角坐標系 xezeyex

7、yz直角坐標系的長度元、面積元、體積元直角坐標系的長度元、面積元、體積元 odzd ydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddd第7頁/共46頁1.2.2 圓柱坐標系圓柱坐標系dd dd ddd dd ddd dd dzzzzzSellezSe llezSe lle , z 坐標變量坐標變量,zee e 坐標單位矢量坐標單位矢量zree z位置矢量位置矢量ddddzreee z 線元矢量線元矢量dd d dVz 體積元體積元面元矢量面元矢量圓柱坐標系中的線元、面元和體積元圓柱坐標系中的線元、面元和體積元圓柱坐標系圓柱坐標系第8頁/共46頁說明：說明：圓柱坐標系下矢量運算方法：圓

8、柱坐標系下矢量運算方法：zzzzAe Ae Ae ABe Be Be B()()()zzzABeABeABeAB() ()zzzzzzA Be Ae Ae Ae Be Be BA BA BA B ()()zzzzzzzeeeA BAAAeA BA BeA BA BBBB()zeA BA B加減：加減：標積：標積：矢積：矢積：第9頁/共46頁1.2.3 球面坐標系球面坐標系2dd dsin d drrrSe lle r dd dsin d drzSel le rrdd dd drSel le r r球坐標系球坐標系球坐標系中的線元、面元和體積元球坐標系中的線元、面元和體積元,r 坐標變量坐標變量

9、,re e e 坐標單位矢量坐標單位矢量位置矢量位置矢量dddsin drre re re r 線元矢量線元矢量2dsin d d dVrr 體積元體積元面元矢量面元矢量第10頁/共46頁說明：球面坐標系下矢量運算：說明：球面坐標系下矢量運算： rrrrAe Ae Ae ABe Be Be B()()()rrrABe ABeABeAB() ()rrrrrrA Be Ae Ae Ae Be Be BA BA BA B ()()()rrrrrrrreeeA BAAABBBe A BA BeA BA BeA BA B加減：加減：標積：標積：矢積：矢積：第11頁/共46頁1.2.4 坐標單位矢量之間的

10、關系坐標單位矢量之間的關系xeyezeeezecossin0cossin0001直角坐標直角坐標與與圓柱坐標系圓柱坐標系eezereeesin0cossincos0001圓柱坐標圓柱坐標與與球坐標系球坐標系直角坐標直角坐標與與球坐標系球坐標系zereeecossincossinsincos0 xeyesinsinsincoscossinoxy單位圓單位圓 直角坐標系與柱坐標系之間直角坐標系與柱坐標系之間坐標單位矢量的關系坐標單位矢量的關系xeyeeeorz單位圓單位圓 柱坐標系與球坐標系之間柱坐標系與球坐標系之間坐標單位矢量的關系坐標單位矢量的關系zeeree第12頁/共46頁三種坐標系有不同

11、適用范圍：三種坐標系有不同適用范圍：1 1、直角坐標系適用于場呈、直角坐標系適用于場呈面對稱分布面對稱分布的問題求解，如無限大的問題求解，如無限大面電荷分布產(chǎn)生電場分布。面電荷分布產(chǎn)生電場分布。2 2、柱面坐標系適用于場呈、柱面坐標系適用于場呈軸對稱分布軸對稱分布的問題求解，如無限長的問題求解，如無限長線電流產(chǎn)生磁場分布。線電流產(chǎn)生磁場分布。3 3、球面坐標系適用于場呈、球面坐標系適用于場呈點對稱分布點對稱分布的問題求解，如點電荷的問題求解，如點電荷產(chǎn)生電場分布。產(chǎn)生電場分布。第13頁/共46頁1.3 標量場的梯度標量場的梯度q如果物理量是標量，稱該場為如果物理量是標量，稱該場為標量場標量場。

12、 例如例如：溫度場、電位場、高度場等。：溫度場、電位場、高度場等。q如果物理量是矢量，稱該場為如果物理量是矢量，稱該場為矢量場矢量場。 例如例如：流速場、重力場、電場、磁場等。：流速場、重力場、電場、磁場等。q如果場與時間無關，稱為如果場與時間無關，稱為靜態(tài)場靜態(tài)場，反之為，反之為時變場時變場。時變標量場和矢量場可分別表示為：時變標量場和矢量場可分別表示為： ( , , , )u x y z t 、( , , , )F x y z t 確定空間區(qū)域上的每一點都有確定物理量與之對應，稱在該區(qū)確定空間區(qū)域上的每一點都有確定物理量與之對應，稱在該區(qū)域上定義了一個域上定義了一個場場。從數(shù)學上看，場是定

13、義在空間區(qū)域上的函數(shù)：從數(shù)學上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)： 標量場和矢量場標量場和矢量場( , , )u x y z 、( , , )F x y z靜態(tài)標量場和矢量場可分別表示為：靜態(tài)標量場和矢量場可分別表示為：第14頁/共46頁1.3.1 標量場的等值面標量場的等值面 標量場空間中，由所有場值相等的點所構成的面，即為等值面。標量場空間中，由所有場值相等的點所構成的面，即為等值面。即若標量函數(shù)為即若標量函數(shù)為 ，則等值面方程為：，則等值面方程為：( , , )uu x y z( , , )u x y zcconst1.3.2 方向導數(shù)方向導數(shù)方向導數(shù)表征標量場空間中，方向導數(shù)表征標量場空間

14、中，某點處某點處場值沿場值沿特定方向特定方向變化的規(guī)律。變化的規(guī)律。 方向導數(shù)定義：方向導數(shù)定義：000()()limlMu Mu Mull M0Mll( )u r方向導數(shù)與選取的方向導數(shù)與選取的考察方向考察方向有關。有關。第15頁/共46頁 方向導數(shù)物理意義：方向導數(shù)物理意義：00Mul，標量場，標量場 在在 處沿處沿 方向增加率；方向增加率；u0M00Mul，標量場，標量場 在在 處沿處沿 方向減小率；方向減小率；u0Mll00Mul，標量場，標量場 在在 處沿處沿 方向為等值面方向（無改變）方向為等值面方向（無改變）u0Ml 方向導數(shù)的計算方向導數(shù)的計算coscoscosuuuulxyz

15、 的方向余弦。的方向余弦。 l式中式中： coscoscos、分別為分別為 與與x,y,zx,y,z坐標軸的夾角坐標軸的夾角。 l第16頁/共46頁 梯度的定義梯度的定義max( , , )lugradu x y zel式中：式中： 為場量為場量 最大變化率最大變化率的方向上的單位矢量。的方向上的單位矢量。le 梯度的性質梯度的性質 標量場的梯度為標量場的梯度為矢量矢量，且是坐標位置的函數(shù)，且是坐標位置的函數(shù) 標量場梯度的幅度表示標量場的標量場梯度的幅度表示標量場的最大增加率最大增加率 標量場梯度的方向標量場梯度的方向垂直于垂直于等值面，為標量場等值面，為標量場增加最快增加最快的方向的方向 標

16、量場在給定點沿任意方向的標量場在給定點沿任意方向的方向導數(shù)方向導數(shù)等于等于梯度在該方向投影梯度在該方向投影1.3.3 標量場的梯度標量場的梯度u第17頁/共46頁 梯度的運算梯度的運算1rzuuuueeerrz 11sinruuuueeerrr 直角坐標系：直角坐標系：()xyxyzzuuueeexgrad ueeexzzuyy哈密頓算符u 球面坐標系：球面坐標系：11()sinreeerrr 柱面坐標系：柱面坐標系：1()rzeeerrz 第18頁/共46頁0()()()( )( )CCuCuuvuvuvuvvufufuu 梯度運算相關公式梯度運算相關公式式中：式中： 為常數(shù)；為常數(shù)； C,

17、u v為坐標變量函數(shù)；為坐標變量函數(shù)； 第19頁/共46頁1.4 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度1.4.1 1.4.1 矢量線（力線）矢量線（力線）矢量場的通量矢量場的通量 矢量線的矢量線的疏密疏密表征矢量場的表征矢量場的大小大小 矢量線上每點的切向代表該處矢量場的方向矢量線上每點的切向代表該處矢量場的方向( )SF rd S 若矢量場若矢量場 分布于空間中，在分布于空間中，在空間中存在任意曲面空間中存在任意曲面S S，則定義：，則定義：( )F r為為矢量矢量 沿沿有向曲面有向曲面 S S 的通量的通量。1.4.2 1.4.2 矢量場的通量矢量場的通量( )F r矢量線矢量線OM Fd

18、rrrdr問題問題：如何定量描述矢量場的大小？如何定量描述矢量場的大?。?引入引入通量通量的概念。的概念。 第20頁/共46頁cos ( )nsssF dSF e dSFr dS 1) 1) 面元矢量面元矢量 定義：面積很小的定義：面積很小的有向有向曲面。曲面。dS：面元面積，為微分量，：面元面積，為微分量，無限小無限小dSne：面元法線方向，：面元法線方向，垂直于垂直于面元平面面元平面。說明：說明： nedS2) 2) 面元法向面元法向 的確定方法：的確定方法： 對非閉合曲面：由曲面邊線繞向按對非閉合曲面：由曲面邊線繞向按右手右手螺旋法則螺旋法則確定；確定； 對閉合曲面：閉合面對閉合曲面：閉

19、合面外法線方向外法線方向ne 若若S 為閉合曲面為閉合曲面 ( )srd AS物理意義：表示穿入和穿出閉合面物理意義：表示穿入和穿出閉合面S S的通量的的通量的代數(shù)和代數(shù)和。 第21頁/共46頁 若若 ，通過閉合曲面有凈的矢量線穿出，閉合面內有發(fā)，通過閉合曲面有凈的矢量線穿出，閉合面內有發(fā)出矢量線的出矢量線的正源正源；0 若若 ，有凈的矢量線進入，閉合面內有匯集矢量線的，有凈的矢量線進入，閉合面內有匯集矢量線的負負源源；0 若若 ，進入與穿出閉合曲面的矢量線相等，閉合面內，進入與穿出閉合曲面的矢量線相等，閉合面內無源無源，或或正源負源代數(shù)和為正源負源代數(shù)和為0 0。0 通過通過閉合面閉合面S

20、S的通量的通量的物理意義：的物理意義：000第22頁/共46頁1.4.31.4.3、矢量場的散度、矢量場的散度 散度的定義散度的定義 在場空間在場空間 中任意點中任意點M M 處作一個閉合曲面，所圍的體積處作一個閉合曲面，所圍的體積為為 ，則定義場矢量，則定義場矢量 在在M M 點處的散度為：點處的散度為： ( )F rV0( )div( )limsVF rdF rVS( )F r即即流出單位體積元封閉面的通量。流出單位體積元封閉面的通量。第23頁/共46頁 散度的物理意義散度的物理意義 矢量場的散度表征了矢量場的矢量場的散度表征了矢量場的通量源的分布特性通量源的分布特性( (體密度體密度)

21、)； 矢量場的矢量場的散度是標量散度是標量； 矢量場的散度是空間坐標的函數(shù)；矢量場的散度是空間坐標的函數(shù)； 矢量場的散度值表征空間中某點處矢量場的散度值表征空間中某點處通量源的密度通量源的密度。( ( 正源正源) )( )0divF r 負負源源) )( )0divF r( ( 無源無源）( )0divF r 若若 處處成立，則該矢量場稱為處處成立，則該矢量場稱為無散無散場場 若若 ，則該矢量場稱為，則該矢量場稱為有散場有散場， 為源密度為源密度( )0divF r( )0divF r 討論：在矢量場中，討論：在矢量場中，第24頁/共46頁 在直角坐標系下：在直角坐標系下：( )yxzFFFd

22、ivF rxyz() ()xyzxxyyzzeeeF eF eF exyz( )F r 在圓柱坐標系下：在圓柱坐標系下： 在球面坐標系下：在球面坐標系下：()11( )rzFrFFF rrrrz22111( )()(sin)sinsinrFF rr FFrrrr 散度的計算散度的計算第25頁/共46頁1.4.4 散度定理（矢量場的高斯定理）散度定理（矢量場的高斯定理）( )( )VsF r dVF rdS 該公式表明了矢量場該公式表明了矢量場 的散度在體積的散度在體積V內的積分等于矢量場穿內的積分等于矢量場穿過包圍該體積的過包圍該體積的邊界面邊界面S S的通量。的通量。( )F r 散度運算相

23、關公式散度運算相關公式0 ()()()()()()()CCCCfCffkFkF kf FfFFfFGFG 為常矢量為標量函數(shù)為常數(shù)第26頁/共46頁1.5 矢量場的環(huán)流矢量場的環(huán)流 旋度旋度磁感應線要磁感應線要么穿過曲面么穿過曲面磁感應線要么同時磁感應線要么同時穿入和穿出曲面穿入和穿出曲面磁感應線磁感應線磁場的環(huán)流：磁場的環(huán)流：第27頁/共46頁1.5.1 1.5.1 矢量的環(huán)流矢量的環(huán)流在場矢量在場矢量 空間中，取一有向閉合空間中，取一有向閉合路徑路徑 ，則稱，則稱 沿沿 積分的結果稱積分的結果稱為矢量為矢量 沿沿 的環(huán)流。即：的環(huán)流。即：( )F r( )F r( )F r( )lF rd

24、l 線元線元矢量矢量 ：長度趨近于：長度趨近于0 0，方向沿路徑切線方向。，方向沿路徑切線方向。dl 環(huán)流意義：若矢量場環(huán)流不為零，則矢量場中存在產(chǎn)環(huán)流意義：若矢量場環(huán)流不為零，則矢量場中存在產(chǎn)生矢量場的漩渦源。生矢量場的漩渦源。反映矢量場漩渦源分布情況反映矢量場漩渦源分布情況討論：討論：SSn 環(huán)量的定義APllll第28頁/共46頁1.5.2 1.5.2 矢量的旋度矢量的旋度 環(huán)流面密度環(huán)流面密度0limcnsF dlrot FS 稱為矢量場稱為矢量場 在在M M點處沿點處沿 方向的漩渦源密度方向的漩渦源密度。( )F r n定義：定義：空間某點空間某點M M處單位面元邊界閉合曲線的環(huán)流：

25、處單位面元邊界閉合曲線的環(huán)流：SCMFn1)1)環(huán)流面密度大小與所選取的單位面元方向環(huán)流面密度大小與所選取的單位面元方向 有關。有關。nrotnnFe rotF（投影關系）2) 任意取向面元的環(huán)流面密度與最大環(huán)流面密度的關系：任意取向面元的環(huán)流面密度與最大環(huán)流面密度的關系：第29頁/共46頁 矢量場的矢量場的旋度旋度 矢量場在矢量場在M M點的旋度為該點處點的旋度為該點處環(huán)流面密度最大時環(huán)流面密度最大時對應的矢量，對應的矢量，模值等于模值等于M M點處最大環(huán)流面密度點處最大環(huán)流面密度，方向為，方向為環(huán)流密度最大的方向環(huán)流密度最大的方向，表，表示為示為 ，即：，即：rot F式中：式中： 表示矢

26、量場旋度的方向；表示矢量場旋度的方向； nmax0rotlimcSF dlFnS 旋度的物理意義旋度的物理意義 矢量的旋度為矢量的旋度為矢量矢量，是空間坐標的函數(shù)，是空間坐標的函數(shù) 矢量在空間某點處的旋度表征矢量場在該點處的矢量在空間某點處的旋度表征矢量場在該點處的漩渦源密度漩渦源密度第30頁/共46頁 旋度的計算旋度的計算 直角坐標系：直角坐標系：xxyyzzrotFe rot Fe rot Fe rot F()()()yyxxzzxyzFFFFFFeeeyzzxxyF xyzxyzeeexyzFFF第31頁/共46頁1zzeeeFzFFF2sin1sinsinrrerereFrrFrFrF

27、 柱面坐標系：柱面坐標系： 球面坐標系：球面坐標系：矢量場的旋度矢量場的旋度的散度恒為零的散度恒為零標量場的梯度標量場的梯度的旋度恒為零的旋度恒為零()fFfFfF ()fCfC 0C ()FGFG ()FGGFFG ()0F ()0u 旋度計算相關公式：旋度計算相關公式：證證明明證證明明第32頁/共46頁討論：散度和旋度比較討論：散度和旋度比較 0,0FF0.0FF0,0FF0,0FF第33頁/共46頁1.5.3 1.5.3 斯托克斯定理斯托克斯定理()cdd lAAS0limro tcnSdSlAe由旋度的定義 對于有限大面積s，可將其按如圖方式進行分割，對每一小面積元有)11()clA

28、dAdS 22()clA dAdS ()sAdS clA d()SlA dSA dl斯托克斯定理的證明：得證！ 意義：矢量場的旋度在曲面上的積分等意義：矢量場的旋度在曲面上的積分等于該矢量場在限定該曲面的閉合曲線上的環(huán)于該矢量場在限定該曲面的閉合曲線上的環(huán)流。流。曲面的曲面的剖分剖分方向相反大方向相反大小相等抵消小相等抵消第34頁/共46頁 若矢量場若矢量場 在某區(qū)域在某區(qū)域V V內，處處內，處處 ，但在某些位，但在某些位置或整個空間內，有置或整個空間內，有 ，則稱在該區(qū)域，則稱在該區(qū)域V V內，場內，場 為無旋場。為無旋場。 1.6 無旋場與無散場無旋場與無散場1.6.1 1.6.1 無旋場

29、無旋場0F0F( )F r( )F r( )( )0cSF rdlF rdS結論：結論：無旋場場矢量沿任何閉合路徑的環(huán)流等于零無旋場場矢量沿任何閉合路徑的環(huán)流等于零( (無漩渦源無漩渦源) )。 重要性質重要性質：無旋場的旋度始終為無旋場的旋度始終為0，可引入標量輔助函數(shù)可引入標量輔助函數(shù)表征矢量場，即表征矢量場，即Fu 例如：靜電場例如：靜電場0EE 第35頁/共46頁1.6.2 1.6.2 無散場無散場 若矢量場若矢量場 在某區(qū)域在某區(qū)域V V內，處處內，處處 ，但在某些位置，但在某些位置或整個空間內，有或整個空間內，有 ，則稱在該區(qū)域，則稱在該區(qū)域V V內，場內，場 為為無源有旋場。無源

30、有旋場。 ( )F r0F0FJ( )F r( )( )0SVF rdSF r dV結論：結論：無散場通過任意閉合曲面的通量等于零（無散度源）無散場通過任意閉合曲面的通量等于零（無散度源）。 重要性質：重要性質：無散場的散度始終為無散場的散度始終為0，可引入矢量函數(shù)的旋度表示無散場，可引入矢量函數(shù)的旋度表示無散場FA 例如，恒定磁場例如，恒定磁場BA 0B第36頁/共46頁（3 3）無旋、無散場）無旋、無散場 （源在所討論的區(qū)域之外）（源在所討論的區(qū)域之外）0F （4 4）有散、有旋場）有散、有旋場這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分(

31、)( )( )( )( )lCF rF rFru rA r 無旋場部分無旋場部分無散場部分無散場部分()0u Fu 20u第37頁/共46頁1.7 拉普拉斯運算拉普拉斯運算 標量場的拉普拉斯運算標量場的拉普拉斯運算對標量場的梯度求散度的運算稱為拉普拉斯運算。記作：對標量場的梯度求散度的運算稱為拉普拉斯運算。記作：2“”式中：式中：稱為拉普拉斯算符。稱為拉普拉斯算符。 在直角坐標系中：在直角坐標系中：2222222uuuuxyz 在圓柱坐標系中：在圓柱坐標系中：22222211()uuuuz 在球面坐標系中：在球面坐標系中：(1.7.3)(1.7.3)第38頁/共46頁 矢量場的拉普拉斯運算矢量場的拉普拉斯運算2()()FFF 在直角坐標系中：在直角坐標系中：2222xxy