專題04 一元一次方程、二元一次方程（組）、分式方程及其應(yīng)用（解析版）

專題04一元一次方程、二元一次方程（組）、分式方程及其應(yīng)用目錄熱點(diǎn)題型歸納 1題型01一元一次方程的解法 1題型02二元一次方程（組）的解法 4題型03一次方程（組）的實(shí)際應(yīng)用 9題型04分式方程及其解法 16題型05分式方程的實(shí)際應(yīng)用 21中考練場(chǎng) 26 題型01一元一次方程的解法【解題策略】一元一次方程概念：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是一次的整式方程，叫做一元一次方程。其一般形式是ax+b=0(a,b為常數(shù)，且a≠0).解法：解法依據(jù)是等式的基本性質(zhì).性質(zhì)①：若a=b，則a±m(xù)=b±m(xù)；性質(zhì)②：若a=b，則am=bm；若a=b，則(d≠0).解一元一次方程的步驟去分母:在方程兩邊同時(shí)乘以所有分母的最小公倍數(shù)（即把每個(gè)含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍數(shù)）去括號(hào):去括號(hào)法則（可先分配再去括號(hào)）移項(xiàng):把未知項(xiàng)移到議程的一邊（左邊），常數(shù)項(xiàng)移到另一邊（右邊）合并同類項(xiàng):分別將未知項(xiàng)的系數(shù)相加、常數(shù)項(xiàng)相加系數(shù)化為“1”:在方程兩邊同時(shí)除以未知數(shù)的系數(shù)（即方程兩邊同時(shí)乘以未知數(shù)系數(shù)的倒數(shù)）6、檢根x=a:方法：把x=a分別代入原方程的兩邊，分別計(jì)算出結(jié)果。①若左邊＝右邊，則x=a是方程的解；②若左邊≠右邊，則x=a不是方程的解。注：當(dāng)題目要求時(shí)，此步驟必須表達(dá)出來。在解方程過程中，各部分都存在容易出錯(cuò)的一些“小陷阱”，現(xiàn)將各步驟的注意事項(xiàng)總結(jié)如下：【易錯(cuò)警示】在解方程過程中，各部分都存在容易出錯(cuò)的一些“小陷阱”，現(xiàn)將各步驟的注意事項(xiàng)總結(jié)如下：去分母①不含分母的項(xiàng)也要乘以最小公倍數(shù)；②分子是多項(xiàng)式的一定要先用括號(hào)括起來去括號(hào)括號(hào)外是負(fù)因數(shù)時(shí)，一是要注意變號(hào)，二是要注意各項(xiàng)都不要漏乘公因數(shù)移項(xiàng)移項(xiàng)要變號(hào)合并同類項(xiàng)單獨(dú)的一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)為“±1”系數(shù)化為1不要顛倒了被除數(shù)和除數(shù)（未知數(shù)的系數(shù)作除數(shù)——分母）【典例分析】例1.（2023·湖南）關(guān)于x的一元一次方程2x+m=5的解為x=1，則m的值為(

)A.3 B.?3 C.7 D.?7【答案】A

【解析】解：∵x=1是關(guān)于x的一元一次方程2x+m=5的解，

∴2×1+m=5，

∴m=3，

故選：A．

根據(jù)方程的解的定義把x=1代入方程即可求出m的值．

本題主要考查了一元一次方程的解的定義，熟知：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是方程的解．例2.（2023·浙江）小紅在解方程7x3=解：2×7x=(4x?1)+1，

…(1)請(qǐng)?jiān)谙鄳?yīng)的方框內(nèi)用橫線劃出小紅的錯(cuò)誤處．

(2)寫出你的解答過程．【答案】解：(1)如圖：

(2)去分母：2×7x=(4x?1)+6，

去括號(hào)：14x=4x?1+6，

移項(xiàng)：14x?4x=?1+6，

合并同類項(xiàng)：10x=5，

系數(shù)化1：x=12．【解析】(1)根據(jù)等式的性質(zhì)，解一元一次方程的步驟即可判斷；

(2)首先去分母、然后去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、次數(shù)化成1即可求解．

此題考查了解一元一次方程，其步驟為：去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)合并，把未知數(shù)系數(shù)化為1，求出解．【變式演練】1.（2024·廣西模擬）關(guān)于x的一元一次方程2x+m=5的解為x=1，則m的值為

(

)A.3 B.?3 C.7 D.?7【答案】A

【解析】解：∵x=1是關(guān)于x的一元一次方程2x+m=5的解，

∴2×1+m=5，

∴m=3，

故選：A．

根據(jù)方程的解的定義把x=1代入方程即可求出m的值．

本題主要考查了一元一次方程的解的定義，熟知：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是方程的解．2.（2024·河北模擬）米老鼠在解方程2x?13=x+a2?1的過程中，去分母時(shí)方程右邊的?1忘記乘6，因而求得的解為x=2．

(1)請(qǐng)你幫助米老鼠求出a的值；【答案】解：(1)把x=2代入方程2(2x?1)=3(x+a)?1得：2×(2×2?1)=3(2+a)?1，

解得：a=13；

(2)方程為2x?13=x+132?1，

2(2x?1)=3(x+13【解析】(1)把x=2代入方程2(2x?1)=3(x+a)?1得出2×(2×2?1)=3(2+a)?1，再求出方程的解即可；

(2)去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化成1即可．

本題考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，注意：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫方程的解．3.（2024·陜西模擬）解方程：8x+45=1+11x+1【答案】解：8x+45=1+11x+17，

7(8x+4)=35+5(11x+1)，

56x+28=35+55x+5，

56x?55x=35+5?28，【解析】按照解一元一次方程的步驟：去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1，進(jìn)行計(jì)算即可解答．

本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的步驟是解題的關(guān)鍵．題型02二元一次方程（組）的解法【解題策略】二元一次方程的概念：含有兩個(gè)未知數(shù)，且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是一次的方程叫做二元一次方程【易錯(cuò)警示】二元一次方程的解必須是兩個(gè)未知數(shù)同時(shí)確定的組合，用大括號(hào)括起來即可；1個(gè)二元一次方程的解不唯一，可能有無數(shù)個(gè)；二元一次方程中用一個(gè)未知數(shù)來表示另一個(gè)未知數(shù)，依據(jù)的是等式的基本性質(zhì)；二元一次方程組的概念：由兩個(gè)一次方程組成，并且含有兩個(gè)未知數(shù)的方程組，叫做二元一次方程組二元一次方程組解法：名稱步驟具體操作代入消元法①將方程組中的一個(gè)方程變形，使得一個(gè)未知數(shù)能用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示；②用這個(gè)代數(shù)式代替另一個(gè)方程中相應(yīng)的未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程，求得一個(gè)未知數(shù)的值；③把這個(gè)未知數(shù)的值代入代數(shù)式，求得另一個(gè)未知數(shù)的值；④寫出方程組的解；加減消元法①將其中一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)化為相同（或互為相反數(shù)）②通過相減（或相加）消去這個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程③解這個(gè)一元一次方程，得到一個(gè)未知數(shù)的值；④將求得的未知數(shù)的值代入原方程組中的任一個(gè)方程，求得另一個(gè)未知數(shù)的值；⑤寫出方程組的解；【典例分析】例1．（2023·浙江）（二元一次方程的解）下列各組數(shù)滿足方程2x+3y=8的是(

)A.x=1,y=2 B.x=2,y=1 C.x=?1,y=2【答案】A

【解析】略例2.（2023·廣東）（二元一次方程組的概念）下列方程組中，是二元一次方程組的是．(

)A.1x+2y=4x?5y=3 B.a+b=4【答案】D

【解析】【分析】

本題主要考查二元一次方程組的概念有關(guān)知識(shí)，根據(jù)二元一次方程組的概念對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可．

【解答】

解：A.第一個(gè)方程不是整式方程，不符合二元一次方程組的概念，故不是二元一次方程組，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.該方程組中含有3個(gè)未知數(shù)，不符合二元一次方程組的概念，故不是二元一次方程組，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C.方程組中第二個(gè)方程最高次數(shù)為2次，不符合二元一次方程組的概念，故不是二元一次方程組，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤．

D.符合二元一次方程組的概念，故是二元一次方程組，故該選項(xiàng)正確．例3.（2023·四川）（二元一次方程組的解）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組3x?y=4m+1x+y=2m?5的解滿足x?y=4，則m的值為(

)A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B

【解析】解：∵關(guān)于x、y的二元一次方程組為3x?y=4m+1①x+y=2m?5②，

①?②，得：

∴2x?2y=2m+6，

∴x?y=m+3，

∵x?y=4，

∴m+3=4，

∴m=1．

故選：B．

把方程組的兩個(gè)方程相減得到2x?2y=2m+6，結(jié)合x?y=4，得到m的值．

本題主要考查了二元一次方程組的解，解題的關(guān)鍵是把方程組的兩個(gè)方程相加得到m例4.（2023·天津）（代入消元法）方程組y=2x3x+y=15的解是(

)A.x=2y=3 B.x=4y=3 C.x=4y=8【答案】D

【解析】【分析】

本題考查的是二元一次方程組的解法，方程組中未知數(shù)的系數(shù)較小時(shí)可用代入消元法，當(dāng)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)時(shí)用加減消元法較簡(jiǎn)單．

此題利用代入消元法求解即可．

【解答】

解：y=2x①3x+y=15②,

①代入②得，3x+2x=15，

解得x=3，

將x=3代入①得，y=2×3=6，

所以方程組的解是x=3y=6．

例5.（2023·四川）（加減消元法）已知關(guān)于x、y的二元一次方程組3x?y=4m+1,x+y=2m?5的解滿足x?y=4，則m的值為(

)A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B

【解析】略【變式演練】1.（2023·廣東）若二元一次方程3x?y=7，2x+3y=1，y=kx?9有公共解，則k的取值為(

)A.3 B.?3 C.?4 D.4【答案】D

【解析】【分析】

本題先通過解二元一次方程組，求得后再代入關(guān)于k的方程而求解的．

由題意建立關(guān)于x，y的方程組，求得x，y的值，再代入y=kx?9中，求得k的值．

【解答】

解：解3x?y=72x+3y=1得：x=2y=?1，

代入y=kx?9得：?1=2k?9，

解得：k=4．

故選：2.（2023·四川）關(guān)于x，y的方程組3x+y=2m?1,x?y=n的解滿足x+y=1，則4m÷2A.1 B.2 C.4 D.8【答案】D

【解析】解：∵方程組3x+y=2m?1①x?y=n②，

∴①?②得，2x+2y=2m?n?1，

∴x+y=2m?n?12，

∵x+y=1，

∴2m?n?12=1，

∴2m?n=3，

∴4m÷2n=22m÷2n=22m?n=3.（2023·廣東）用加減法消元解方程組x+3y=8①x?y=1②的過程中，正確的是(

)A.①+②，得4y=9 B.①+②，得2y=9

C.①?②，得4y=7 D.①?②，得2y=7【答案】C

【解析】【分析】

此題考查了解二元一次方程組，解方程組時(shí)利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．

根據(jù)解二元一次方程組的步驟解方程組即可．

【解答】

解：用加減法消元解方程組x+3y=8①x?y=1②的過程中，正確的是①?②，得4y=7，

故選：C題型03一次方程（組）的實(shí)際應(yīng)用【解題策略】1、列方程解應(yīng)用題的一般步驟：步驟“點(diǎn)睛”“審”（即審題）“審”題目中的已知量、未知量、基本關(guān)系；“設(shè)”（即設(shè)未知數(shù)）一般原則是：?jiǎn)柺裁淳驮O(shè)什么；或未知量較多時(shí)，設(shè)較小的量，表示較大的量“列”【即列方程（組）】找準(zhǔn)題目中的等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系列出方程“解”【即解方程（組）】根據(jù)一次方程（組）的解法解出方程，注意解方程的過程不需要在解答中體現(xiàn)“驗(yàn)”（即檢驗(yàn)）非題目要求，此步可以不寫檢驗(yàn)分兩步，一是檢驗(yàn)方程是否解正確；二是檢驗(yàn)方程的解是否符合題意“答”（即寫出答案）最后的綜上所述2、常見類型及關(guān)系式：常見運(yùn)用題型解應(yīng)用題的步驟：①審清題意;②找等量關(guān)系;③設(shè)未知數(shù);④列方程;⑤解方程;⑥驗(yàn)根;⑦作答.工作(或工程)問題：工作量=工作效率×工作時(shí)間利息問題：利息=本金×利率×期數(shù);本息和=本金+利息行程問題：路程=速度×?xí)r間;其中,相遇問題:s甲+s乙=s總;追及問題：(同地異時(shí))前者走的路程=追者走的路程;(異地同時(shí))前者走的路程+兩地間的距離=追者走的路程利潤(rùn)問題：利潤(rùn)=賣價(jià)-進(jìn)價(jià)；利潤(rùn)率=×100%.數(shù)字問題：兩位數(shù)=10×十位數(shù)字+個(gè)位數(shù)字；三位數(shù)=100×百位數(shù)字+10×十位數(shù)字+個(gè)位數(shù)字分配問題等【典例分析】例1．（2023·河北）某磁性飛鏢游戲的靶盤如圖所示.珍珍玩了兩局，每局投10次飛鏢，若投到邊界則不計(jì)入次數(shù)，需重新投.計(jì)分規(guī)則如下：

投中位置A區(qū)B區(qū)脫靶一次計(jì)分(分)31?2在第一局中，珍珍投中A區(qū)4次，B區(qū)2次.脫靶4次．

(1)求珍珍第一局的得分;

(2)第二局，珍珍投中A區(qū)k次，B區(qū)3次，其余全部脫靶.若本局得分比第一局提高了13分，求k的值．【答案】(1)由題意得4×3+2×1+4×(?2)=6(分)，

答：珍珍第一局的得分為6分;

(2)由題意得3k+3×1+(10?k?3)×(?2)=6+13，

解得：k=6，

則k的值為6．

【解析】(1)根據(jù)題意列式計(jì)算即可求解;

(2)根據(jù)題意列一元一次方程即可求解．

本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合

適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．例2.（2023·遼寧）某禮品店經(jīng)銷A，B兩種禮品盒，第一次購(gòu)進(jìn)A種禮品盒10盒，B種禮品盒15盒，共花費(fèi)2800元；第二次購(gòu)進(jìn)A種禮品盒6盒，B種禮品盒5盒，共花費(fèi)1200元．

(1)求購(gòu)進(jìn)A，B兩種禮品盒的單價(jià)分別是多少元；

(2)若該禮品店準(zhǔn)備再次購(gòu)進(jìn)兩種禮品盒共40盒，總費(fèi)用不超過4500元，那么至少購(gòu)進(jìn)A種禮品盒多少盒？【答案】解：(1)設(shè)購(gòu)買每盒A種禮品盒要x元，每盒B種禮品盒要y元，由題意得，

10x+15y=28006x+5y=1200，

解得：x=100y=120，

答：購(gòu)買每盒A種禮品盒要100元，每盒B種禮品盒要120元；

(2)設(shè)需要購(gòu)買m個(gè)A種禮品盒，則購(gòu)買(40?m)個(gè)B種禮品盒，由題意得，

100m+120(40?m)≤4500，

解得：m≥15，

答：最少需要購(gòu)買15個(gè)A【解析】(1)設(shè)購(gòu)買每盒A種禮品盒要x元，每盒B種禮品盒要y元，由題意即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；

(2)設(shè)該公司需要購(gòu)買m個(gè)A種禮品盒，則購(gòu)買(40?m)個(gè)B種禮品盒，由題意即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出結(jié)論．

此題考查了二元一次方程組和一元一次不等式的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到關(guān)鍵描述語，進(jìn)而找到所求的量的數(shù)量關(guān)系，列出方程組和不等式．例3（2023·江蘇）某商場(chǎng)銷售A、B兩種商品，每件進(jìn)價(jià)均為20元.調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果售出A種20件，B種10件，銷售總額為840元；如果售出A種10件，B種15件，銷售總額為660元．

(1)求A、B兩種商品的銷售單價(jià)；

(2)經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研，A種商品按原售價(jià)銷售，可售出40件，原售價(jià)每降價(jià)1元，銷售量可增加10件；B種商品的售價(jià)不變，A種商品售價(jià)不低于B種商品售價(jià).設(shè)A種商品降價(jià)m元，如果A、B兩種商品銷售量相同，求m取何值時(shí)，商場(chǎng)銷售A、B兩種商品可獲得總利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【答案】解：(1)設(shè)A種商品的銷售單價(jià)為a元，B種商品的銷售單價(jià)為b元，

由題意可得：20a+10b=84010a+15b=660，

解得a=30b=24，

答：A種商品的銷售單價(jià)為30元，B種商品的銷售單價(jià)為24元；

(2)設(shè)利潤(rùn)為w元，

由題意可得：w=(30?m?20)(40+10m)+(24?20)(40+10m)=?10(m?5)2+810，

∵A種商品售價(jià)不低于B種商品售價(jià)，

∴30?m≥24，

解得m≤6，

∴當(dāng)m=5時(shí)，w取得最大值，此時(shí)w=810，

答：m取5時(shí)，商場(chǎng)銷售A、【解析】(1)根據(jù)售出A種20件，B種10件，銷售總額為840元；如果售出A種10件，B種15件，銷售總額為660元，可以列出相應(yīng)的二元一次方程組，然后求解即可；

(2)根據(jù)題意和(1)中的結(jié)果，可以寫出利潤(rùn)與m的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)A種商品售價(jià)不低于B種商品售價(jià)，可以得到m的取值范圍，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值．

本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程組、寫出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值．例4.（2023·四川）習(xí)近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然正氣.”某校為提高學(xué)生的閱讀品味，現(xiàn)決定購(gòu)買獲得茅盾文學(xué)獎(jiǎng)的甲，乙兩種書共100本，已知購(gòu)買2本甲種書和1本乙種書共需100元；購(gòu)買3本甲種書和2本乙種書共需165元．

(1)求甲，乙兩種書的單價(jià)分別為多少元；

(2)若學(xué)校決定購(gòu)買以上兩種書的總費(fèi)用不超過3200元，那么該校最多可以購(gòu)買甲種書多少本？【答案】解：(1)設(shè)甲種書的單價(jià)是x元，乙種書的單價(jià)是y元，

根據(jù)題意得：2x+y=1003x+2y=165，

解得：x=35y=30．

答：甲種書的單價(jià)是35元，乙種書的單價(jià)是30元；

(2)設(shè)該校購(gòu)買甲種書m本，則購(gòu)買乙種書(100?m)本，

根據(jù)題意得：35m+30(100?m)≤3200，

解得：m≤40，

∴m的最大值為40．

答：該校最多可以購(gòu)買甲種書40【解析】(1)設(shè)甲種書的單價(jià)是x元，乙種書的單價(jià)是y元，根據(jù)“購(gòu)買2本甲種書和1本乙種書共需100元；購(gòu)買3本甲種書和2本乙種書共需165元”，可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；

(2)設(shè)該校購(gòu)買甲種書m本，則購(gòu)買乙種書(100?m)本，利用總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量，結(jié)合總價(jià)不超過3200元，可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出結(jié)論．

本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：(1)找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；(2)根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．【變式演練】1.（2023·遼寧）為了增強(qiáng)學(xué)生身體素質(zhì)，學(xué)校要求男女同學(xué)練習(xí)跑步.開始時(shí)男生跑了50m，女生跑了80m，然后男生女生都開始勻速跑步.已知男生的跑步速度為4.5m/s，當(dāng)?shù)竭_(dá)終點(diǎn)時(shí)男、女均停止跑步，女生從開始勻速跑步到停止跑步共用時(shí)120s.已知x軸表示從開始勻速跑步到停止跑步的時(shí)間，y軸代表跑過的路程，則：

(1)男女跑步的總路程為______；

(2)當(dāng)男、女相遇時(shí)，求此時(shí)男、女同學(xué)距離終點(diǎn)的距離．【答案】1000m

【解析】解：(1)男生勻速跑步的路程為4.5×100=450(m)，450+50=500(m)，

則男女跑步的總路程為500×2=1000(m)，

故答案為：1000m；

(2)設(shè)從開始勻速跑步到男、女相遇時(shí)的時(shí)間為x?s，

女生跑步的速度為(500?80)÷120=3.5(m/s)，

根據(jù)題意得：80+3.5x=50+4.5x，

解得x=30，

∴此時(shí)男、女同學(xué)距離終點(diǎn)的距離為4.5×(100?30)=315(m)，

答：此時(shí)男、女同學(xué)距離終點(diǎn)的距離為315m．

(1)根據(jù)男女同學(xué)跑步的路程相等，即可求解；

(2)求出女生跑步的速度，列方程求解即可．

此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，然后設(shè)出未知數(shù)列出方程．2.（2023·廣東模擬）五月初，某地遭遇了持續(xù)強(qiáng)降雨的惡劣天氣，造成部分地區(qū)出現(xiàn)嚴(yán)重洪澇災(zāi)害，某愛心組織緊急籌集了部分資金，計(jì)劃購(gòu)買甲、乙兩種救災(zāi)物品共4?000件送往災(zāi)區(qū)，已知每件甲種物品的價(jià)格比每件乙種物品的價(jià)格貴10元，用450元購(gòu)買甲種物品的件數(shù)恰好與用400元購(gòu)買乙種物品的件數(shù)相同．(1)求甲、乙兩種救災(zāi)物品每件的價(jià)格分別是多少元？(2)經(jīng)調(diào)查，災(zāi)區(qū)對(duì)乙種物品件數(shù)需求量是甲種物品件數(shù)的3倍，若該愛心組織按照此需求的比例購(gòu)買這4000件物品，需籌集資金多少元？【答案】解：(1)設(shè)甲種救災(zāi)物品每件的價(jià)格為x元/件，則乙種救災(zāi)物品每件的價(jià)格為(x?10)元/件，

可得：450x=400x?10，

解得：x=90，

經(jīng)檢驗(yàn)，x=90是原方程的解，

答：甲種救災(zāi)物品每件的價(jià)格為90元/件，乙種救災(zāi)物品每件的價(jià)格為80元/件．

(2)設(shè)甲種物品件數(shù)y件，可得：

y+3y=4000，

解得：y=1000，

所以籌集資金=90×1000+80×3000=330000

元，

答：籌集資金【解析】本題考查了列分式方程解實(shí)際問題的運(yùn)用，列一元一次方程解決實(shí)際問題，正確列出方程是解題關(guān)鍵．

(1)設(shè)甲種救災(zāi)物品每件的價(jià)格為x元/件，則乙種救災(zāi)物品每件的價(jià)格為(x?10)元/件，根據(jù)已知每件甲種物品的價(jià)格比每件乙種物品的價(jià)格貴10元，用450元購(gòu)買甲種物品的件數(shù)恰好與用400元購(gòu)買乙種物品的件數(shù)相同，可列方程求解．

(2)設(shè)甲種物品件數(shù)為y件，根據(jù)災(zāi)區(qū)對(duì)乙種物品件數(shù)需求量是甲種物品件數(shù)的3倍，可列出方程求解．3.（2023·重慶）某公司不定期為員工購(gòu)買某預(yù)制食品廠生產(chǎn)的雜醬面、牛肉面兩種食品．

(1)該公司花費(fèi)3000元一次性購(gòu)買了雜醬面、牛肉面共170份，此時(shí)雜醬面、牛肉面的價(jià)格分別為15元、20元，求購(gòu)買兩種食品各多少份？

(2)由于公司員工人數(shù)和食品價(jià)格有所調(diào)整，現(xiàn)該公司分別花費(fèi)1260元、1200元一次性購(gòu)買雜醬面、牛肉面兩種食品，已知購(gòu)買雜醬面的份數(shù)比牛肉面的份數(shù)多50%，每份雜醬面比每份牛肉面的價(jià)格少6元，求購(gòu)買牛肉面多少份？【答案】解：(1)設(shè)購(gòu)買炸醬面x份，牛肉面y份，

根據(jù)題意得：x+y=17015x+20y=3000，

解得：x=80y=90．

答：購(gòu)買炸醬面80份，牛肉面90份；

(2)設(shè)購(gòu)買牛肉面m份，則購(gòu)買炸醬面(1+50%)m份，

根據(jù)題意得：1200m?1260(1+50%)m=6，

解得：m=60，

經(jīng)檢驗(yàn)，【解析】(1)設(shè)購(gòu)買炸醬面x份，牛肉面y份，利用總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量，結(jié)合該公司花費(fèi)3000元一次性購(gòu)買了雜醬面、牛肉面共170份，可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；

(2)設(shè)購(gòu)買牛肉面m份，則購(gòu)買炸醬面(1+50%)m份，利用單價(jià)=總價(jià)÷數(shù)量，結(jié)合每份雜醬面比每份牛肉面的價(jià)格少6元，可得出關(guān)于m的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后，即可得出結(jié)論．

本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：(1)找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；(2)找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程．4.（2023·廣東）某商場(chǎng)在世博會(huì)上購(gòu)置A，B兩種玩具，其中B玩具的單價(jià)比A玩具的單價(jià)貴25元，且購(gòu)置2個(gè)B玩具與1個(gè)A玩具共花費(fèi)200元．

(1)求A，B玩具的單價(jià)；

(2)若該商場(chǎng)要求購(gòu)置B玩具的數(shù)量是A玩具數(shù)量的2倍，且購(gòu)置玩具的總額不高于40000元，則該商場(chǎng)最多可以購(gòu)置多少個(gè)A玩具？【答案】解：(1)設(shè)每件A玩具的進(jìn)價(jià)為x元，則每件B玩具的進(jìn)價(jià)為(x+25)元，

根據(jù)題意得：2(x+25)+x=200，

解得：x=50，

可得x+25=50+25=75，

則每件A玩具的進(jìn)價(jià)為50元，每件B玩具的進(jìn)價(jià)為75元；

(2)設(shè)商場(chǎng)可以購(gòu)置A玩具y個(gè)，

根據(jù)題意得：50y+75×2y≤40000，

解得：y≤200，

則該商場(chǎng)最多可以購(gòu)置200個(gè)A玩具．

【解析】(1)設(shè)每件A玩具的進(jìn)價(jià)為x元，則每件B玩具的進(jìn)價(jià)為(x+25)元，根據(jù)購(gòu)置2個(gè)B玩具與1個(gè)A玩具共花費(fèi)200元元列出方程，求出方程的解即可得到結(jié)果；

(2)設(shè)商場(chǎng)最多可以購(gòu)置A玩具y個(gè)，根據(jù)B玩具的數(shù)量是A玩具數(shù)量的2倍，且購(gòu)置玩具的總額不高于40000元列出不等式，求出不等式的解即可得到結(jié)果．

此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，弄清題中的等量關(guān)系和不等關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．5.（2023·江蘇）某校舉行“二十大知識(shí)學(xué)習(xí)競(jìng)賽”活動(dòng)，老師讓班長(zhǎng)小華到商店購(gòu)買筆記本作為獎(jiǎng)品.甲、乙兩家商店每本硬面筆記本比軟面筆記本都貴3元(單價(jià)均為整數(shù))．

(1)若班長(zhǎng)小華在甲商店購(gòu)買，他發(fā)現(xiàn)用240元購(gòu)買硬面筆記本與用195元購(gòu)買軟面筆記本的數(shù)量相同，求甲商店硬面筆記本的單價(jià)．

(2)若班長(zhǎng)小華在乙商店購(gòu)買硬面筆記本，乙商店給出了硬面筆記本的優(yōu)惠條件(軟面筆記本單價(jià)不變)：一次購(gòu)買的數(shù)量少于30本，按原價(jià)售出；不少于30本按軟面筆記本的單價(jià)售出.班長(zhǎng)小華打算購(gòu)買m本硬面筆記本(m為正整數(shù))，他發(fā)現(xiàn)再多購(gòu)買5本的費(fèi)用恰好與按原價(jià)購(gòu)買的費(fèi)用相同，求乙商店硬面筆記本的原價(jià)．【答案】解：(1)設(shè)甲商店硬面筆記本的單價(jià)為x元，則甲商店軟面筆記本的單價(jià)為(x?3)元，

根據(jù)題意得：240x=195x?3，

解得：x=16，

經(jīng)檢驗(yàn)，x=16是所列方程的解，且符合題意．

答：甲商店硬面筆記本的單價(jià)為16元；

(2)設(shè)乙商店硬面筆記本的原價(jià)為y元，則乙商店軟面筆記本的原價(jià)為(y?3)元，

根據(jù)題意得：my=(m+5)(y?3)，

整理得：5y?3m=15，

∴y=35m+3．

∵m<30m+5≥30，且m，y【解析】(1)設(shè)甲商店硬面筆記本的單價(jià)為x元，則甲商店軟面筆記本的單價(jià)為(x?3)元，利用數(shù)量=總價(jià)÷單價(jià)，結(jié)合用240元購(gòu)買硬面筆記本與用195元購(gòu)買軟面筆記本的數(shù)量相同，可列出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后，即可得出結(jié)論；

(2)設(shè)乙商店硬面筆記本的原價(jià)為y元，則乙商店軟面筆記本的原價(jià)為(y?3)元，利用總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量，結(jié)合再多購(gòu)買5本的費(fèi)用恰好與按原價(jià)購(gòu)買的費(fèi)用相同，可列出關(guān)于y，m的二元一次方程，結(jié)合m<30m+5≥30且m，y均為正整數(shù)，即可求出結(jié)論．

本題考查了分式方程的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：(1)找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；(2)題型04分式方程及其解法【解題策略】一、分式方程1．分母里含有未知數(shù)的有理方程叫分式方程．2．使分式方程分母為零的未知數(shù)的值即為增根；分式方程的增根有兩個(gè)特征：(1)增根使最簡(jiǎn)公分母為零；(2)增根是分式方程化成的整式方程的根．二、分式方程的基本解法解分式方程的一般步驟：(1)去分母，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程；(2)解這個(gè)整式方程，求得方程的根；(3)檢驗(yàn)，把解得整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母為零，則它不是原方程的根，而是方程的增根，必須舍去；如果使最簡(jiǎn)公分母不為零，則它是原分式方程的根．☆：分式方程會(huì)無解的幾種情況①解出的x的值是增根，須舍去，無解②解出的x的表達(dá)式中含參數(shù)，而表達(dá)式無意義，無解③同時(shí)滿足①和②，無解☆：求有增根分式方程中參數(shù)字母的值的一般步驟：①讓最簡(jiǎn)公分母為0確定增根；②去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程；③將增根帶入（當(dāng)有多個(gè)增根時(shí)，注意分類，不要漏解）；④解含參數(shù)字母的方程的解?！镜淅治觥坷?．（2023·山東）（分式方程的解）已知x=1是方程m2?x?1x?2=3的解，那么實(shí)數(shù)m的值為(

)A.?2 B.2 C.?4 D.4【答案】B

【解析】解：將x=1代入方程，得：m2?1?11?2=3，

解得：m=2．

故選：B．

將x=1代入原方程即可求出m的值．

例2.（2023·廣東）（分式方程的一般解法）方程1x?3=2x的解為A.x=?6 B.x=?2 C.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步驟是解決本題的關(guān)鍵．

根據(jù)分式方程的一般步驟解答即可．

【解答】

解：去分母，得x=2x?6，

∴x=6．

經(jīng)檢驗(yàn)，x=6是原方程的解．

故選D．例3.（2023·山西）（分式方程的一般解法）解方程：1x?1+1=3【答案】解：原方程可化為

1x?1+1=方程兩邊同乘2(x?1)，得2+2(x?1)=3．解得

x=32檢驗(yàn)：當(dāng)

x=32

時(shí)，∴原方程的解是

x=32【解析】方程兩邊同時(shí)乘以2(x?1)

，則可以把方程轉(zhuǎn)化為整式方程，即可求得x的值，把所求的值代入2(x?1)進(jìn)行檢驗(yàn)即可．

本題主要考查了分式方程的解法，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解，注意解分式方程一定要驗(yàn)根．例4.（2023·上海）（分式方程的特殊解法—換元法）用換元法解方程x?1x2?x2x?1=3時(shí)，如果設(shè)A.y2+3y?1=0 B.y2?3y?1=0

C.【答案】B

【解析】解：設(shè)x?1x2=y，

方程x?1x2?x2x?1=3化為y?1y=3，

整理得：y例5.（2023·山東模擬）（分式方程的增根）關(guān)于x的分式方程mx?2?32?x=1有增根，則A.m=2 B.m=1 C.m=3 D.m=?3【答案】D

【解析】【分析】

此題考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．

分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有增根，確定出m的值即可．

【解答】

解：去分母得：m+3=x?2，

由分式方程有增根，得到x?2=0，即x=2，

把x=2代入整式方程得：m+3=0，

解得：m=?3，

故選：D．例6.（2023·廣東）（由實(shí)際問題抽象出分式方程）隨著城際交通的快速發(fā)展，某次動(dòng)車平均提速60km/?，動(dòng)車提速后行駛480km與提速前行駛360km所用的時(shí)間相同.設(shè)動(dòng)車提速后的平均速度為x?km/?，則下列方程正確的是(

)A.360x=480x+60 B.360x?60=【答案】B

【解析】解：∵隨著城際交通的快速發(fā)展，某次動(dòng)車平均提速60km/?，且動(dòng)車提速后的平均速度為x?km/?，

∴動(dòng)車提速前的平均速度為(x?60)km/?．

根據(jù)題意得：360x?60=480x．

故選：B．

根據(jù)動(dòng)車提速前后速度間的關(guān)系，可得出動(dòng)車提速前的平均速度為(x?60)km/?，利用時(shí)間=路程÷速度，結(jié)合動(dòng)車提速后行駛480km與提速前行駛360km所用的時(shí)間相同，即可列出關(guān)于【變式演練】1.（2023·黑龍江）已知關(guān)于x的分式方程mx?2+1=x2?x的解是非負(fù)數(shù).則mA.m≤2 B.m≥2

C.m≤2且m≠?2 D.m<2且m≠?2【答案】C

【解析】解：分式方程去分母得：m+x?2=?x，

解得：x=2?m2，

由分式方程的解是非負(fù)數(shù)，得到2?m2≥0，且2?m2?2≠0，

解得：m≤2且m≠?2，

故選：C．2.（2023·全國(guó)模擬）用換元法解方程2xx?1?3=x?1x時(shí)，設(shè)xx?1=yA.2y2?3y?1=0 B.3y2?2y+3=0【答案】A

【解析】解：2xx?1?3=x?1x，

設(shè)xx?1=y，則原方程化為：2y?3=1y，

2y2?3y=1，

2y23.（2023·四川模擬）關(guān)于x的分式方程mx?2?32?x=1有增根，則mA.m=2 B.m=1 C.m=3 D.m【答案】D

【解析】【分析】

此題考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．

分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有增根，確定出m的值即可．

【解答】

解：去分母得：m+3=x?2，

由分式方程有增根，得到x?2=0，即x=2，

把x=2代入整式方程得：m+3=0，

解得：m=?3，

故選：D．4.（2023·江蘇）解方程：2x?5x?2=3x?3【答案】解：去分母得：2x?5=3x?3?3(x?2)，

去括號(hào)得：2x?5=3x?3?3x+6，

移項(xiàng)得：2x?3x+3x=5?3+6，

合并同類項(xiàng)得：2x=8，

把x的系數(shù)化為1得：x=4，

檢驗(yàn)：把x=4代入最簡(jiǎn)公分母x?2=4?2=2≠0，

故原分式方程的解為：x=4．

【解析】?jī)蛇呁瑫r(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母(x?2)去分母，然后去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、把x的系數(shù)化為1，即可算出x的值，然后再檢驗(yàn)．

此題主要考查了分式方程的解法，關(guān)鍵是不要忘記檢驗(yàn)，沒有分母的項(xiàng)不要漏乘，這是同學(xué)們最容易出錯(cuò)的地方．5.（2023·湖北）為了落實(shí)“雙減”政策，進(jìn)一步豐富文體活動(dòng)，學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)一批籃球和足球.已知每個(gè)籃球的價(jià)格比每個(gè)足球的價(jià)格多20元，用1500元購(gòu)進(jìn)籃球的數(shù)量比用800元購(gòu)進(jìn)足球的數(shù)量多5個(gè).如果設(shè)每個(gè)足球的價(jià)格為x元，那么可列方程為(

)A.1500x+20?800x=5 B.1500x?20【答案】A

【解析】解：設(shè)每個(gè)足球的價(jià)格為x元，可列方程為：

1500x+20?800x=5．

故選：A．

根據(jù)足球價(jià)格表示出籃球的價(jià)格，再利用1500元購(gòu)進(jìn)籃球的數(shù)量比用800題型05分式方程的實(shí)際應(yīng)用【解題策略】一、分式方程的應(yīng)用：解分式方程應(yīng)用題的關(guān)鍵是把握題意,找準(zhǔn)等量關(guān)系,列出分式方程,最后要驗(yàn)根。二、列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：①審，②設(shè)，③列，④解，⑤驗(yàn)，⑥答其中，檢驗(yàn)這一步必須有!分式方程的應(yīng)用題與一元一次方程應(yīng)用題類似，不同的是要注意檢驗(yàn)：(1)檢驗(yàn)所求的解是否是所列分式方程的解；(2)檢驗(yàn)所求的解是否符合實(shí)際．三、常見類型及關(guān)系式：【典例分析】例1．（2023·吉林）隨著中國(guó)網(wǎng)民規(guī)模突破10億，博物館美育不斷向線上拓展.敦煌研究院順勢(shì)推出數(shù)字敦煌文化大使“伽瑤”，受到廣大敦煌文化愛好者的好評(píng).某工廠計(jì)劃制作3000個(gè)“伽瑤”玩偶擺件，為了盡快完成任務(wù)，實(shí)際平均每天完成的數(shù)量是原計(jì)劃的1.5倍，結(jié)果提前5天完成任務(wù)，問原計(jì)劃平均每大制作多少個(gè)擺件？

【答案】解：設(shè)原計(jì)劃平均每天制作x個(gè)擺件，

根據(jù)題意，得3000x?30001.5x=5，

解得：x=200，

經(jīng)檢驗(yàn)，x=200是原分式方程的根，且符合題意，【解析】設(shè)原計(jì)劃平均每天制作x個(gè)擺件，根據(jù)“結(jié)果提前5天完成任務(wù)”列分式方程，求解即可．

本題考查了分式方程的應(yīng)用，理解題意并能根據(jù)題意建立方程是解題的關(guān)鍵．例2.（2023·遼寧）(2023·錦州中考)2023年5月15日，遼寧男籃取得第三次CBA總冠軍，遼籃運(yùn)動(dòng)員的拼搏精神感染了眾多球迷．某?；@球社團(tuán)人數(shù)迅增，急需購(gòu)進(jìn)A，B兩種品牌籃球，已知A品牌籃球單價(jià)比B品牌籃球單價(jià)的2倍少48元，采購(gòu)相同數(shù)量的A，B兩種品牌籃球，分別需要花費(fèi)9600元和7200元．求A，B兩種品牌籃球的單價(jià)分別是多少元．【答案】解：設(shè)B品牌籃球單價(jià)為x元，則A品牌籃球單價(jià)為(2x?48)元，

由題意，可得：96002x?48=7200x，

解得：x=72，

經(jīng)檢驗(yàn)，x=72是所原方程的解，

所以A品牌籃球的單價(jià)為：2×72?48=96(元)．

答：A品牌籃球單價(jià)為96元，B【解析】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)B品牌籃球單價(jià)為x元，由題意可得A品牌籃球單價(jià)為(2x?48)元，根據(jù)“采購(gòu)相同數(shù)量的A，B兩種品牌籃球分別需要花費(fèi)9600元和7200元”，列出相應(yīng)的方程，解答即可．例3.（2023·山東模擬）為了解決雨季時(shí)城市內(nèi)澇的難題，我市決定對(duì)部分老街道的地下管網(wǎng)進(jìn)行改造．在改造一段長(zhǎng)3600米的街道地下管網(wǎng)時(shí)，每天的施工效率比原計(jì)劃提高了20%，按這樣的進(jìn)度可以比原計(jì)劃提前10天完成任務(wù)．(1)求實(shí)際施工時(shí)，每天改造管網(wǎng)的長(zhǎng)度；(2)施工進(jìn)行20天后，為了減少對(duì)交通的影響，施工單位決定再次加快施工進(jìn)度，以確?？偣て诓怀^40天，那么以后每天改造管網(wǎng)至少還要增加多少米？【答案】(1)解：設(shè)原計(jì)劃每天改造管網(wǎng)x米，則實(shí)際施工時(shí)每天改造管網(wǎng)(1+20%)x米，

由題意，得

3600x?3600(1+20%)x=10

，解得x＝60．

經(jīng)檢驗(yàn)，x＝60是原方程的解，且符合題意，

此時(shí)，60×(1+20%)＝72（米）．

故實(shí)際施工時(shí)，每天改造管網(wǎng)的長(zhǎng)度是72米．???????

(2)解：設(shè)以后每天改造管網(wǎng)還要增加m米，

由題意，得(40-20)(72+m)≥3600-72×20，

解得m≥36．

【解析】1.

本題考查了列分式方程解實(shí)際問題的運(yùn)用，在解答時(shí)找到相等關(guān)系并建立方程是解題的關(guān)鍵．

設(shè)原計(jì)劃每天改造管網(wǎng)x米，則實(shí)際施工時(shí)每天改造管網(wǎng)(1+20%)x米，根據(jù)比原計(jì)劃提前10天完成任務(wù)建立方程求出其解就可以了；

2.

本題考查了列一元一次不等式解實(shí)際問題的運(yùn)用，在解答時(shí)找到不相等關(guān)系并列出不等式是解題的關(guān)鍵．

設(shè)以后每天改造管網(wǎng)還要增加m米，根據(jù)總工期不超過40天建立不等式求出其解即可．【變式演練】1.（2023·吉林模擬）2022年我國(guó)已成為全球最大的電動(dòng)汽車市場(chǎng)，電動(dòng)汽車在保障能源安全，改善空氣質(zhì)量等方面較傳統(tǒng)汽車都有明顯優(yōu)勢(shì)．經(jīng)過對(duì)某款電動(dòng)汽車和某款燃油車的對(duì)比調(diào)查發(fā)現(xiàn)，電動(dòng)汽車平均每公里的充電費(fèi)比燃油車平均每公里的加油費(fèi)少0.6元．若充電費(fèi)和加油費(fèi)均為200元時(shí)，電動(dòng)汽車可行駛的總路程是燃油車的4倍，求這款電動(dòng)汽車平均每公里的充電費(fèi)．【答案】

解：

設(shè)這款電動(dòng)汽車平均每公里的充電費(fèi)為x元，

則燃油車平均每公里的加油費(fèi)為(x+0.6)元，根據(jù)題意，得200x=200x+0.6×4經(jīng)檢驗(yàn)，x=0.2是原方程的解，且符合題意．答：這款電動(dòng)汽車平均每公里的充電費(fèi)為0.2元【解析】本題考查分式方程的應(yīng)用，分析題意，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．

設(shè)這款電動(dòng)汽車平均每公里的充電費(fèi)為x元，則燃油車平均每公里的加油費(fèi)為(x+0.6)元，根據(jù)“電動(dòng)汽車可行駛的總路程是燃油車的4倍列分式方程，解方程即可求解。2.（2023·廣東模擬）某工程隊(duì)接到了修建3000米道路的施工任務(wù)，修到一半的時(shí)候，由于采用新的施工技術(shù)，修建效率提高為原來的1.5倍，結(jié)果提前5天完成了施工任務(wù)，問原來每天修多少米道路？【答案】解：設(shè)原來每天修建x米道路，則采用新的施工技術(shù)后每天修建1.5x米道路，

依題意得：3000×12x?3000×121.5x=5，

解得：x=100，【解析】設(shè)原來每天修建x米道路，則采用新的施工技術(shù)后每天修建1.5x米道路，利用工作時(shí)間=工作總量÷工作效率，結(jié)合結(jié)果提前5天完成了施工任務(wù)，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論．

本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．3.（2023·山東）為進(jìn)行某項(xiàng)數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)，小明到一個(gè)批發(fā)兼零售的商店購(gòu)買所需工具.該商店規(guī)定一次性購(gòu)買該工具達(dá)到一定數(shù)量后可以按批發(fā)價(jià)付款，否則按零售價(jià)付款.小明如果給學(xué)校九年級(jí)學(xué)生每人購(gòu)買一個(gè)，只能按零售價(jià)付款，需用3600元；如果多購(gòu)買60個(gè)，則可以按批發(fā)價(jià)付款，同樣需用3600元，若按批發(fā)價(jià)購(gòu)買60個(gè)與按零售價(jià)購(gòu)買50個(gè)所付款相同，求這個(gè)學(xué)校九年級(jí)學(xué)生有多少人？【答案】解：設(shè)這個(gè)學(xué)校九年級(jí)學(xué)生有x人，

根據(jù)題意得：3600x×50=3600x+60×60，

解得：x=300，

經(jīng)檢驗(yàn)，x=300是所列方程的解，且符合題意．【解析】設(shè)這個(gè)學(xué)校九年級(jí)學(xué)生有x人，利用單價(jià)=總價(jià)÷數(shù)量，結(jié)合按批發(fā)價(jià)購(gòu)買60個(gè)與按零售價(jià)購(gòu)買50個(gè)所付款相同，可列出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后，即可得出結(jié)論．

本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．4.（2023·遼寧）甲、乙兩人加工同一種零件，每小時(shí)甲比乙多加工2個(gè)這種零件，甲加工25個(gè)這種零件所用的時(shí)間與乙加工20個(gè)這種零件所用的時(shí)間相等，求乙每小時(shí)加工多少個(gè)這種零件．【答案】解：設(shè)乙每小時(shí)加工x個(gè)這種零件，則甲每小時(shí)加工(x+2)個(gè)這種零件，

根據(jù)題意得：25x+2=20x，

解得：x=8，

經(jīng)檢驗(yàn)，x=8是所列方程的解，且符合題意．

【解析】設(shè)乙每小時(shí)加工x個(gè)這種零件，則甲每小時(shí)加工(x+2)個(gè)這種零件，利用工作時(shí)間=工作總量÷工作效率，結(jié)合甲加工25個(gè)這種零件所用的時(shí)間與乙加工20個(gè)這種零件所用的時(shí)間相等，可列出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后，即可得出結(jié)論．

本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．1.（2023·海南）若代數(shù)式x+2的值為7，則x等于(

)A.9 B.?9 C.5 D.?5【答案】C

【解析】【分析】

本題考查解一元一次方程的解法；解一元一次方程常見的過程有去括號(hào)、移項(xiàng)、系數(shù)化為1等．根據(jù)題意，列出關(guān)于x的一元一次方程x+2=7，通過解該方程可以求得x的值．

【解答】

解：由題意，得x+2=7，

移項(xiàng)，得x=5．

故選C．2.（2023·江蘇）下列4組數(shù)中，不是二元一次方程2x+y=4的解的為(

)A.x=1,y=2 B.x=2,y=0 C.x=0.5,y=3【答案】D

【解析】略3.（2023·北京）(2020·北京·中考真題)方程組x?y=13x+y=7的解為

．【答案】x=2y=1【解析】【分析】用加減消元法解二元一次方程組即可．【詳解】解：兩個(gè)方程相加可得

4x=8

，∴

x=2

，將

x=2

代入

x?y=1

，可得

y=1

，故答案為：

x=2y=1

【點(diǎn)睛】本題考查解二元一次方程組，熟練掌握加減消元法解二元一次方程組的步驟是解題的關(guān)鍵．4.（2023·天津）方程組y=2x3x+y=15的解是(

)A.x=2y=3 B.x=3y=6 C.x=4y=3【答案】B

【解析】解：y=2x①3x+y=15②，

把①代入②得：3x+2x=15，

解得：x=3，

把x=3代入①得：y=6，

則方程組的解為x=3y=6．

故選：B．

方程組利用代入消元法求出解即可．5.（2023·江蘇）解二元一次方程組：x?y=13x+2y=8．【答案】解：x?y=1①3x+2y=8②，

①×2得：2x?2y=2③，

②+③得：5x=10，

解得：x=2，

把x=2代入①中得：2?y=1，

解得：y=1，

∴原方程組的解為：x=2y=1【解析】利用加減消元法進(jìn)行計(jì)算，即可解答．

本題考查了解二元一次方程組，熟練掌握加減消元法是解題的關(guān)鍵．6.（2023·四川）解方程組3x+y=8?①2x?y=7?②．【答案】解：3x+y=8①2x?y=7②，

①+②得：5x=15，

解得：x=3，

將x=3代入①得：3×3+y=8，

解得：y=?1，

故原方程組的解為：x=3y=?1【解析】利用加減消元法解方程組即可．

本題考查解二元一次方程組，解二元一次方程組的基本方法為代入消元法和加減消元法，必須熟練掌握．7.（2023·四川）涼山州雷波縣是全國(guó)少有的優(yōu)質(zhì)臍橙最適生態(tài)區(qū).經(jīng)過近20年的發(fā)展，雷波臍橙多次在中國(guó)西部農(nóng)業(yè)博覽會(huì)上獲得金獎(jiǎng)，雷波縣也被譽(yù)名為“中國(guó)優(yōu)質(zhì)臍橙第一縣”，某水果商為了解雷波臍橙的市場(chǎng)銷售情況，購(gòu)進(jìn)了雷波臍橙和資中血橙進(jìn)行試銷.在試銷中，水果商將兩種水果搭配銷售，若購(gòu)買雷波臍橙3千克，資中血橙2千克，共需78元人民幣；若購(gòu)買雷波臍橙2千克，資中血橙3千克，共需72元人民幣．

(1)求雷波臍橙和資中血橙每千克各多少元？

(2)一顧客用不超過1440元購(gòu)買這兩種水果共100千克，要求雷波臍橙盡量多，他最多能購(gòu)買雷波臍橙多少千克？【答案】解：(1)設(shè)雷波臍橙每千克x元，資中血橙每千克y元，

根據(jù)題意得：3x+2y=782x+3y=72，

解得：x=18y=12．

答：雷波臍橙每千克18元，資中血橙每千克12元；

(2)設(shè)購(gòu)買雷波臍橙m千克，則購(gòu)買資中血橙(100?m)千克，

根據(jù)題意得：18m+12(100?m)≤1440，

解得：m≤40，

∴m的最大值為40．

答：他最多能購(gòu)買雷波臍橙40【解析】(1)設(shè)雷波臍橙每千克x元，資中血橙每千克y元，根據(jù)“購(gòu)買雷波臍橙3千克，資中血橙2千克，共需78元人民幣；購(gòu)買雷波臍橙2千克，資中血橙3千克，共需72元人民幣”，可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；

(2)設(shè)購(gòu)買雷波臍橙m千克，則購(gòu)買資中血橙(100?m)千克，利用總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量，結(jié)合總價(jià)不超過1440元，可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出結(jié)論．

本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：(1)找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；(2)根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．8.（2023·四川）2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新時(shí)代”為主題的世界清沽能源裝備大會(huì)在德陽舉行.大會(huì)聚焦清潔能源裝備產(chǎn)業(yè)發(fā)展熱點(diǎn)和前瞻性問題，著力實(shí)現(xiàn)會(huì)展聚集帶動(dòng)產(chǎn)業(yè)聚集，其中德陽清潔能源裝備特色小鎮(zhèn)位于德陽經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)，規(guī)劃面積4.82平方公里，計(jì)劃2025年基本建成，若甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)計(jì)劃參與修建“特色小鎮(zhèn)”中的某項(xiàng)工程，已知由甲單獨(dú)施工需要18個(gè)月完成任務(wù)，若由乙先單獨(dú)施工2個(gè)月，再由甲、乙合作施工10個(gè)月恰好完成任務(wù).承建公司每個(gè)月需要向甲工程隊(duì)支付施工費(fèi)用8萬元，向乙工程隊(duì)支付施工費(fèi)用5萬元．

(1)乙隊(duì)單獨(dú)施工需要幾個(gè)月才能完成任務(wù)？

(2)為保證該工程在兩年內(nèi)完工，且盡可能的減少成本，承建公司決定讓甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)同時(shí)施工，并將該工程分成兩部分，甲隊(duì)完成其中一部分工程用了a個(gè)月，乙隊(duì)完成另一部分工程用了b個(gè)月，已知甲隊(duì)施工時(shí)間不超過6個(gè)月，乙隊(duì)施工時(shí)間不超過24個(gè)月，且a，b為正整數(shù)，則甲乙兩隊(duì)實(shí)際施工的時(shí)間安排有幾種方式？哪種安排方式所支付費(fèi)用最低？【答案】解：(1)設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)施工需要x個(gè)月才能完成任務(wù)，根據(jù)題意得，

1x×2+(118+1x)×10=1，解得x=27，

經(jīng)檢驗(yàn)x=27是原方程的根，

答：乙隊(duì)單獨(dú)施工需要27個(gè)月才能完成任務(wù)；

(2)根據(jù)題意得，a18+b27=1，

整理得，a=54?2b3=18?23b，

∵a，b為正整數(shù)，且a≤6，b≤24，

∴b為3的倍數(shù)，

∴b=24時(shí)，a=2；b=21時(shí)，a=4；b=18時(shí)，a=6，

∴方案一：甲隊(duì)施工2個(gè)月，乙隊(duì)施工24個(gè)月；

方案二：甲隊(duì)施工4個(gè)月，乙隊(duì)施工21個(gè)月；

方案三：甲隊(duì)施工6個(gè)月，乙隊(duì)施工18個(gè)月；

設(shè)甲乙兩隊(duì)實(shí)際施工的費(fèi)用為w萬元，得，

w=8a+5b=8×(18?23b)+5b=?1【解析】(1)設(shè)完成本項(xiàng)工程的工作總量為“1”，乙隊(duì)單獨(dú)施工需要x個(gè)月才能完成任務(wù)，由已知條件：乙先單獨(dú)施工2個(gè)月，再由甲、乙合作施工10個(gè)月恰好完成任務(wù)．列出分式方程，求解即可．

(2)由已知條件：甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)同時(shí)施工，甲隊(duì)完成其中一部分工程用了a個(gè)月，乙隊(duì)完成另一部分工程用了b個(gè)月，可列出關(guān)于a、b的二元一次方程，從而得到a=18?23b，又根據(jù)a，b為正整數(shù)，得出甲乙兩隊(duì)實(shí)際施工的時(shí)間安排的三種方式；設(shè)甲乙兩隊(duì)實(shí)際施工的費(fèi)用為w萬元，得w=8a+5b，又因?yàn)閍=18?23b，進(jìn)而得到關(guān)于w和b的一次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．

本題主要考查了列方程解決工程問題，根據(jù)a、b的取值范圍及a、9.（2023·廣東）某地葡萄豐收，準(zhǔn)備將已經(jīng)采摘下來的11400公斤葡萄運(yùn)送杭州，現(xiàn)有甲、乙、丙三種車型共選擇，每輛車運(yùn)載能力和運(yùn)費(fèi)如表表示(假設(shè)每輛車均滿載)車型甲乙丙汽車運(yùn)載量(公斤/輛)600800900汽車運(yùn)費(fèi)(元/輛)500600700(1)若全部葡萄都用甲、乙兩種車型來運(yùn)，需運(yùn)費(fèi)8700元，則需甲、乙兩種車型各幾輛？(2)為了節(jié)省運(yùn)費(fèi)，現(xiàn)打算用甲、乙、丙三種車型都參與運(yùn)送，已知它們的總輛數(shù)為15輛，你能分別求出這三種車型的輛數(shù)嗎？怎樣安排運(yùn)費(fèi)最??？【答案】解：(1)設(shè)需要甲車x輛，乙車y輛，根據(jù)題意可得600x+800y=11400解得x=3y=12(2)設(shè)需要甲車x輛，乙車y輛，根據(jù)題意得600x+800y+900(15?x?y)=11400，整理得3x+y=21，∵x，y都是正整數(shù)，x+y<15x=4，5，6

，

方案一：甲車4輛，乙車9輛，丙車2輛，運(yùn)費(fèi)8800元方案二：甲車5輛，乙車6輛，丙車4輛，運(yùn)費(fèi)8900元方案三：甲車6輛，乙車3輛，丙車6輛，運(yùn)費(fèi)9000元∵

8800<8900<9000∴方案一運(yùn)費(fèi)最省，運(yùn)費(fèi)是8800元.

【解析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，考查了二元一次不定方程的正整數(shù)解．(1)根據(jù)題意，列出方程組，解之即可；(2)結(jié)合題意，列出相應(yīng)二元一次方程，對(duì)照題意，即可得解．10.（2023·山東）某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)了A，B兩種商品，若銷售10件A商品和20件B商品，則可獲利280元；若銷售20件A商品和30件B商品，則可獲利480元．

(1)求A，B兩種商品每件的利潤(rùn)；

(2)已知A商品的進(jìn)價(jià)為24元/件，目前每星期可賣出200件A商品，市場(chǎng)調(diào)查反映：如調(diào)整A商品價(jià)格，每降價(jià)1元，每星期可多賣出20件，如何定價(jià)才能使A商品的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【答案】解：(1)設(shè)A商品每件的利潤(rùn)為x元，B商品每件的利潤(rùn)為元，

根據(jù)題意，得10x+20y=28020x+30y=480，

解得：x=12y=8，

答：A商品每件的利潤(rùn)為12元，B商品每件的利潤(rùn)為8元．

(2)設(shè)降價(jià)a元利潤(rùn)為w元根據(jù)題意，得：

w=(12?a)(200+20a)，

=2400+240a?200a?20a，

=?20a2+40a+2400，

=?20(a?1)2+2420．

∵?20<0．

∴當(dāng)a=1時(shí)，w有最大值，最大值為2420，此時(shí)定價(jià)24+12?1=35(元)【解析】(1)根據(jù)題意列出二元一次方程組解答即可；

(2)根據(jù)“商品利潤(rùn)=單件利潤(rùn)×銷售數(shù)量“，列出二次函數(shù)解析式，將其化成頂點(diǎn)式，再結(jié)合“售價(jià)=進(jìn)價(jià)+利潤(rùn)“解答即可．

本題主要考查了二元一次方程組和二次函數(shù)的應(yīng)用，讀懂題意并能列出等量關(guān)系式是解答本題的關(guān)鍵．11.（2023·山西）風(fēng)陵渡黃河公路大橋是連接山西、陜西、河南三省的交通要塞．該大橋限重標(biāo)志牌顯示，載重后總質(zhì)量超過30噸的車輛禁止通行．現(xiàn)有一輛自重8噸的卡車，要運(yùn)輸若干套某種設(shè)備，每套設(shè)備由1個(gè)A部件和3個(gè)B部件組成，這種設(shè)備必須成套運(yùn)輸．已知1個(gè)A部件和2個(gè)B部件的總質(zhì)量為2.8噸，2個(gè)A部件和3個(gè)B部件的質(zhì)量相等．(1)求1個(gè)A部件和1個(gè)B部件的質(zhì)量各是多少；(2)該卡車要運(yùn)輸這種成套設(shè)備通過此大橋，一次最多可運(yùn)輸多少套這種設(shè)備．【答案】(1)設(shè)一個(gè)A部件的質(zhì)量為x噸，一個(gè)B部件的質(zhì)量為y噸．

根據(jù)題意，得x+2y=2.82x=3y，解得x=1.2y=0.8．

答：一個(gè)A部件的質(zhì)量為1.2噸，一個(gè)B部件的質(zhì)量為0.8噸．

(2)設(shè)該卡車一次可運(yùn)輸m套這種設(shè)備通過此大橋．

根據(jù)題意，得(1.2+0.8×3)m+8≤30.解得m≤559．

因?yàn)閙為整數(shù)，m取最大值，所以m=6．

【解析】(1)設(shè)一個(gè)A部件的質(zhì)量為x噸，一個(gè)B部件的質(zhì)量為y噸.，然后根據(jù)等量關(guān)系“1個(gè)A部件和2個(gè)B部件的總質(zhì)量為2.8噸”和“2個(gè)A部件和3個(gè)B部件的質(zhì)量相等”列二元一次方程組求解即可;

(2)設(shè)該卡軍一次可運(yùn)輸m套這種設(shè)備通過此大橋.根據(jù)“載重后總質(zhì)量超過30噸的車輛禁止通行”列

不等式再結(jié)合m為整數(shù)求解即可．

本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，正確列出二元一次方程組和不等式是解答本題的關(guān)鍵．12.（2023·湖北）為積極響應(yīng)州政府“悅享成長(zhǎng)?書香恩施”的號(hào)召，學(xué)校組織150名學(xué)生參加朗誦比賽，因活動(dòng)需要，計(jì)劃給每個(gè)學(xué)生購(gòu)買一套服裝.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查得知，購(gòu)買1套男裝和1套女裝共需220元；購(gòu)買6套男裝與購(gòu)買5套女裝的費(fèi)用相同．

(1)男裝、女裝的單價(jià)各是多少？

(2)如果參加活動(dòng)的男生人數(shù)不超過女生人數(shù)的23，購(gòu)買服裝的總費(fèi)用不超過17000元，那么學(xué)校有幾種購(gòu)買方案？怎樣購(gòu)買才能使費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是多少？【答案】解：(1)設(shè)男裝單價(jià)為x元，女裝單價(jià)為y元，

根據(jù)題意得：x+y=2206x=5y，

解得：x=100y=120，

答：男裝單價(jià)為100元，女裝單價(jià)為120元．

(2)設(shè)參加活動(dòng)的女生有a人，則男生有(150?a)人，

根據(jù)題意可得150?a≤23a120a+100(150?a)≤17000，

解得：90≤a≤100，

∵a為整數(shù)，

∴a可取90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，100，一共11個(gè)數(shù)，

故一共有11種方案，

設(shè)總費(fèi)用為w元，則w=120a+100(150?a)=15000+20a，

∵20>0，

∴當(dāng)a=90時(shí)，w有最小值，最小值為15000+20×90=16800(元)，

此時(shí)，150?a=60(套)，

答：當(dāng)女裝購(gòu)買90【解析】(1)設(shè)男裝單價(jià)為x元，女裝單價(jià)為y元，根據(jù)題意列方程組求解即可；

(2)設(shè)參加活動(dòng)的女生有a人，則男生有(150?a)人，列不等式組找到a的取值范圍，再設(shè)總費(fèi)用為w元，得到w與a的關(guān)系，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)a取最小值時(shí)w有最小值，據(jù)此求解即可．

本題考查二元一次方程組和一元一次不等式組的應(yīng)用，找到題中的等量關(guān)系或不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．13.（2023·廣東）在某文具用品商店購(gòu)買3個(gè)籃球和1個(gè)足球共花費(fèi)190元；購(gòu)買2個(gè)籃球和3個(gè)足球共花費(fèi)220元．

(1)求購(gòu)買1個(gè)籃球和1個(gè)足球各需多少元？

(2)若計(jì)劃用不超過900元購(gòu)買籃球和足球共20個(gè)，那么最多可以購(gòu)買多少個(gè)籃球？【答案】解：(1)設(shè)購(gòu)買1個(gè)籃球需要x元，1個(gè)足球需要y元，

根據(jù)題意得：3x+y=1902x+3y=220，

解得：x=50y=40．

答：購(gòu)買1個(gè)籃球需要50元，1個(gè)足球需要40元；

(2)設(shè)可以購(gòu)買m個(gè)籃球，則購(gòu)買(20?m)個(gè)足球，

根據(jù)題意得：50m+40(20?m)≤900，

解得：m≤10，

∴m的最大值為10．

答：最多可以購(gòu)買10【解析】(1)設(shè)購(gòu)買1個(gè)籃球需要x元，1個(gè)足球需要y元，根據(jù)“購(gòu)買3個(gè)籃球和1個(gè)足球共花費(fèi)190元；購(gòu)買2個(gè)籃球和3個(gè)足球共花費(fèi)220元”，可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；

(2)設(shè)可以購(gòu)買m個(gè)籃球，則購(gòu)買(20?m)個(gè)足球，利用總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量，結(jié)合總價(jià)不超過900元，可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結(jié)論．

本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：(1)找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；(2)根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．14.（2023·山東）若關(guān)于x的分式方程xx?1+1=m1?x的解為非負(fù)數(shù)，則mA.m≤1且m≠?1 B.m≥?1且m≠1

C.m<1且m≠?1 D.m>?1且m≠1【答案】A

【解析】解：xx?1+1=m1?x，

兩邊同乘(x?1)，去分母得：x+x?1=?m，

移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：2x=1?m，

系數(shù)化為1得：x=1?m2，

∵原分式方程的解為非負(fù)數(shù)，

∴1?m2≥0，且1?m2≠1

解得：m≤1且m≠?115.（2023·上海）下列方程中，有實(shí)數(shù)根的是(

)A.x2+2x+1=0 B.x2+x+1=0

C.【答案】A

【解析】解：方程x2+2x+1=0的根的判別式Δ=3>0，故選項(xiàng)A中方程有實(shí)數(shù)根；

方程x2+x+1=0的根的判別式Δ=?3<0，故選項(xiàng)B中方程無實(shí)數(shù)根；

∵x≥0，

∴選項(xiàng)C中方程無實(shí)數(shù)根；

方程1x?1=xx?1無解，故選項(xiàng)D中方程無實(shí)數(shù)根；

故選：A．

16.（2023·海南）分式方程1x?5=1的解是(

)A.x=6 B.x=?6 C.x=5 D.x=?5【答案】A

【解析】【分析】

本題考查分式方程的解法；熟練掌握分式方程的方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)分式方程的求解方法解題，注意檢驗(yàn)根的情況【解答】解：兩邊同時(shí)乘以(x?5)，可得：1=x?5，解得x=6，經(jīng)檢驗(yàn)x=6是原方程的根．17.（2023·陜西）解方程：2xx+5?1=x+5【答案】解：原方程兩邊同乘x(x+5)去分母得：2x2?x(x+5)=(x+5)2，

去括號(hào)得：2x2?x2?5x=x2+10x+25，

移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：?15x=25【解析】利用解分式方程的步驟解方程即可．

本題考查解分式方程，熟練掌握解方程的方法是解題的關(guān)鍵．18.（2023·四川）關(guān)于x的分式方程x+mx?2+12?x=3有增根，則【答案】?1

【解析】解：方程兩邊同乘(x?2)得：x+m?1=3(x?2)，

由題意得：x=2是該整式方程的解，

∴2+m?1=0，

解得：m=?1，